4. Динамика и термодинамика — два различных мира

4. Динамика и термодинамика — два различных мира

Мы уже упоминали о том, что траектории несовме­стимы с понятием необратимости. Но поведение траек­торий — отнюдь не единственный язык, на котором мы можем сформулировать динамику. В качестве альтерна­тивы сошлемся на теорию ансамблей, развитую Гиббсом и Эйнштейном и представляющую особый ин­терес при изучении систем, состоящих из большого чис­ла молекул. Существенно новым элементом в теории ансамблей Гиббса—Эйнштейна явилась возможность сформулировать динамическую теорию независимо от точного задания каких бы то ни было начальных усло­вий.

В теории ансамблей физические системы рассматри­ваются в фазовом пространстве. Динамическое состоя­ние точечной частицы (материальной точки) определя­ется ее положением (вектором с тремя компонентами) и импульсом (тоже вектором с тремя компонентами). Такое состояние можно представить двумя точками (каждая из которых принадлежит «своему» трехмер­ному пространству) или одной точкой в шестимерном пространстве координат и импульсов. Это и есть фазо­вое пространство. Геометрическое представление дина­мических состояний одной точечной частицы обобщает­ся на случай произвольной системы п частиц. Для того чтобы задать состояние такой системы, необходимо ука­зать nr6 чисел, или точку в 6n-мерном фазовом про­странстве. Эволюции во времени системы п частиц бу­дет соответствовать траектория в фазовом простран­стве.

Мы уже говорили о том, что точные начальные ус­ловия макроскопической системы никогда не известны. Однако ничто не мешает нам представить систему ан­самблем точек, т. е. «облаком» точек, соответствующих различным динамическим состояниям, совместимым с той информацией о системе, которой мы располагаем. Каждая область фазового пространства может содер­жать бесконечно много представляющих точек. Их плотность служит мерой вероятности найти рассматри­ваемую систему в данной области. Вместо того чтобы рассматривать бесконечно много дискретных точек, удобнее ввести непрерывное распределение представля­ющих точек в фазовом пространстве. Пусть r(q1, ..., q3n, p1, ..., p3n) — плотность распределения представляющих точек в фазовом пространстве, где q1, ..., q3n — коорди­наты п точек, a p1, ..., p3n — импульсы тех же точек (каждая точка имеет три координаты и три импульса). Плотность r есть плотность вероятности найти динамическую систему в окрестности точки  q1, ..., q3n, p1, ..., p3n фазового пространства.

При таком подходе плотность r может показаться идеализацией, искусственной конструкцией, а траекто­рия точки в фазовом пространстве «непосредственно» соответствующей описанию «естественного» поведения системы. Но в действительности идеализацией являет­ся точка, а не плотность. Дело в том, что начальное состояние никогда не бывает известно с бесконечной степенью точности, позволяющей стянуть область в фа­зовом пространстве в отдельную точку. Мы можем лишь определить ансамбль траекторий, выходящих из ан­самбля представляющих точек, соответствующих тому, что нам известно относительно начального состояния системы. Функция плотности r отражает уровень на­ших знаний о системе: чем точнее знания, тем меньше область в фазовом пространстве, на которой плотность отлична от нуля, т. е. та область, где может находить­ся система. Если бы плотность была равномерно рас­пределена по всему фазовому пространству, то утверж­дать что-либо относительно состояния системы было бы невозможно. Она могла бы находиться в любом из состояний, совместимых с ее динамической структурой.

При таком подходе точка соответствует максимуму знания, которым мы можем располагать о системе. Та­кой максимум есть результат предельного перехода, все возрастающей точности нашего знания. Как мы уви­дим в гл. 9, фундаментальная проблема состоит в том, чтобы выяснить, какой предельный переход реально осуществим. Непрестанное повышение точности означа­ет, что от одной области в фазовом пространстве, где плотность r отлична от нуля, мы переходим к другой, меньшей, которая содержится в первой. Такое стягива­ние мы можем продолжать до тех пор, пока область, содержащая систему, не станет сколь угодно малой. Но при этом, как мы увидим в дальнейшем, необходимо соблюдать осторожность: «сколь угодно малая» не оз­начает «нулевая», и априори ниоткуда не следует, что наш предельный переход непременно приведет к непро­тиворечивому предсказанию отдельной однозначно оп­ределенной траектории.

Теория ансамблей   Гиббса—Эйнштейна — естест­венное продолжение теории Больцмана. Функцию плот­ности r в фазовом пространстве можно рассматривать как аналог функции распределения скоростей f, кото­рую использовал Больцман. Но по своему физическо­му содержанию PPP «богаче», чем f. Функция плотности r так же, как и f, определяет распределение скоростей, но, помимо этого, r содержит и другую информацию, в частности вероятность найти две частицы на опреде­ленном расстоянии друг от друга. В функцию плотно­сти PPP входит и все необходимое для определения кор­реляций между частицами, о которых шла речь в пре­дыдущем разделе. Более того, r содержит полную ин­формацию о всех статистических свойствах системы п тел.

Опишем теперь эволюцию функции плотности в фа­зовом пространстве. На первый взгляд это еще более дерзкая задача, чем та, которую поставил перед собой Больцман: описание временной эволюции функции рас­пределения скоростей. Но это не так. Канонические уравнения Гамильтона, о которых шла речь в гл. 2, по­зволяют нам получить точное эволюционное уравнение для r без дальнейших приближений. Это так называе­мое уравнение Лиувилля, к которому мы еще вернемся в гл. 9. Пока же отметим лишь одно важное следствие из гамильтоновой динамики: плотность r эволюциони­рует в фазовом пространстве как несжимаемая жид­кость (если представляющие точки в какой-то момент времени занимают в фазовом пространстве область объ­емом V, то объем области остается постоянным во вре­мени). Форма области может изменяться произвольно, но объем ее при всех деформациях сохраняется.

Таким образом, теория ансамблей Гиббса открыва­ет возможность строгого сочетания статистического под­хода (исследования «популяции»,  описываемой плот­ностью r) и законов динамики. Она допускает также более точное представление состояния термодинамиче­ского равновесия. Например, в случае изолированной системы ансамбль представляющих точек соответству­ет системам с одной и той же энергией Е. Плотность r отлична от нуля только на микроканонической поверх­ности в фазовом пространстве, отвечающей заданному значению энергии. Первоначально плотность r может быть распределена по микроканонической поверхности произвольно. В состоянии равновесия плотность r пе­рестает изменяться во времени и не должна зависеть от выбора начального состояния. Следовательно, при-

Рис. 28. Временнáя эволюция в фазовом пространстве «объема», содержащего представляющие точки системы: величина объема остается неизменной, а форма искажается. Положение в фазовом пространстве задается координатой q и импульсом р.

ближение к равновесному состоянию имеет простой смысл в терминах эволюции плотности r: функция рас­пределения r становится постоянной на всей микроканонической поверхности. Каждая точка такой поверх­ности с равной вероятностью может представлять си­стему. Это соответствует микроканоническому ансамб­лю.

Приближает ли теория ансамблей хоть сколько-ни­будь к решению проблемы необратимости? Теория Больцмана описывает термодинамическую энтропию с помощью функции распределения скоростей f. Для это­го Больцману пришлось ввести свою H-функцию. Как мы уже знаем, система эволюционирует во времени до тех пор, пока распределение скоростей не становится максвелловским, и на протяжении всей эволюции H функция монотонно убывает. Можно ли теперь в бо­лее общем плане принять за основу возрастания энтро­пии эволюцию распределения r в фазовом пространст­ве к микроканоническому ансамблю? Достаточно ли для этого вместо больцмановской функции H, выра­женной через f, взять гиббсовскую функцию HG, зави­сящую точно таким же образом от r? К сожалению, ответы на оба вопроса отрицательны. Если мы рассмот­рим уравнение Лиувилля, описывающее эволюцию плот­ности r в фазовом пространстве, и учтем сохранение объема «фазовой жидкости», о котором уже упоминалось, то вывод последует незамедлительно: функция HG постоянна и поэтому не может быть аналогом энт­ропии. По отношению к теории Больцмана последнее обстоятельство кажется не столько продвижением впе­ред, сколько шагом назад!

Несмотря на этот негативный аспект, вывод Гиббса остается весьма важным. Мы уже неоднократно отме­чали расплывчатость и. неоднозначность понятий поряд­ка и хаоса. Постоянство функции HG свидетельствует о том, что в рамках динамической теории не существу­ет никакого изменения порядка! «Информация», выра­жаемая функцией HG, остается постоянной. Сохранение информации можно понимать следующим образом: столкновения порождают корреляции. В результате столкновений скорости рандомизируются, становятся случайными, что позволяет нам описывать весь про­цесс как переход от порядка к хаосу. Вместе с тем по­явление корреляции в результате столкновений свиде­тельствует об обратном процессе: о переходе от хаоса к порядку! Теория Гиббса показывает, что оба процес­са — прямой и обратный — в точности компенсируют друг друга.

Итак, мы приходим к важному выводу: независимо от выбора представления (будь то движение по траек­ториям или теория ансамблей Гиббса—Эйнштейна) нам не удастся построить теорию необратимых процес­сов, которая выполнялась бы для любой системы, удов­летворяющей законам классической (или квантовой) механики. У нас нет даже способа говорить о переходе от порядка к хаосу! Как следует понимать эти отрица­тельные результаты? Любая ли теория необратимых процессов находится в неразрешимом конфликте с ме­ханикой (классической или квантовой)? Нередко высказывалось предложение включить космологические чле­ны, которые учитывали бы влияние расширяющейся Вселенной на уравнения движения и порождали бы стрелу времени. С подобной идеей трудно согласиться. С одной стороны, не вполне ясно, как вводить эти кос­мологические члены. С другой стороны, точные динами­ческие эксперименты, по-видимому, отвергают сущест­вование космологических членов, по крайней мере если говорить о земных масштабах, которые мы и рассмат­риваем в данном случае (достаточно вспомнить о пре­цизионных космических экспериментах, поставленных с помощью искусственных спутников Земли и под­твердивших с высокой точностью уравнения Ньютона). Вместе с тем, как уже неоднократно подчеркивалось, мы живем в плюралистическом мире, в котором обра­тимые и необратимые процессы сосуществуют в одной и той же расширяющейся Вселенной.

Еще более радикальный вывод состоит в том, чтобы встать на точку зрения Эйнштейна и считать время как необратимость иллюзией, которая никогда не найдет се­бе места в объективном мире физики. К счастью, су­ществует другой выход, который мы подробно рас­смотрим в

Теория ансамблей Гиббса вводит лишь один допол­нительный, но очень важный элемент по сравнению с динамикой траекторий: наше незнание точных началь­ных условий. Маловероятно, чтобы одно лишь это не­знание приводило к необратимости.