5. От случайности к необратимости

5. От случайности к необратимости

Рассмотрим последовательность квадратов, на которые действует «преобразование пекаря». Эта последо­вательность изображена на рис. 39. Представим себе, что заштрихованные области заполнены чернилами, а незаштрихованные — водой. При t=0 мы имеем так называемое производящее разбиение квадрата. При­няв его за исходное, мы построим серию разбиений либо на горизонтальные полосы, если отправимся в бу­дущее, либо на вертикальные полосы, если начнем дви­гаться в прошлое. В обоих случаях мы получим базис­ные разбиения. Произвольное распределение чернил по квадрату формально представимо в виде суперпози­ции базисных разбиений. Каждому базисному распре­делению можно поставить в соответствие внутреннее время, равное просто числу «преобразований пекаря», которые необходимо проделать, чтобы перейти от про-

Рис. 39. Начав с «производящего разбиения» (см. текст) в мо­мент времени 0 и многократно повторив «преобразование пекаря», мы получили горизонтальные полосы. Двигаясь в прошлое, мы по­лучили бы вертикальные полосы.

изводящего распределения к данному. Следовательно, системы такого типа допускают своего рода внутрен­ний возраст

Внутреннее время Т сильно отличается от обычного механического времени, поскольку зависит от глобальной топологии системы. Можно даже говорить об «овременивании» пространства, тем самым вплотную при­ближаясь к идеям, недавно выдвинутым географами, которые ввели понятие хроногеографии. Взглянув на «структуру города или ландшафта, мы видим времен­ные элементы как взаимосвязанные и сосуществующие. Бразилиа или Помпеи вполне соответствовали бы оп­ределенному внутреннему возрасту, в какой-то мере аналогичному одному из базисных разбиений в «пре­образовании пекаря». Наоборот, современный Рим с его зданиями, построенными в самые различные перио­ды, соответствовал бы среднему времени точно так же, как произвольное разбиение разложимо на элементы,

отвечающие различным внутренним временам.

Посмотрим еще раз на рис. 39. Что произойдет, ес­ли мы продвинемся далеко в будущее? Зазоры между горизонтальными чернильными полосами будут стано­виться все уже и уже. Какова бы ни была точность наших измерений, спустя некоторое время она будет превзойдена, и мы заключим, что чернила равномерно распределены по всему объему. Неудивительно поэто­му, что такого рода приближение к «равновесию» мож­но описать с помощью стохастических процессов типа цепей Маркова, о которых мы упоминали в гл. 8. Не­давно это утверждение было доказано со всей матема­тической строгостью, но сам по себе результат пред­ставляется вполне естественным. Со временем чернила равномерно распределяются по объему так же, как ша­ры в модели Эренфестов равномерно распределялись по урнам (см. гл. 8). Но если мы заглянем в прошлое, снова начав с производящего разбиения при t=0, то увидим то же самое явление. Чернила будут распреде­ляться вертикальными полосами, и снова, углубив­шись в прошлое достаточно далеко, мы обнаружим равномерное распределение чернил по объему. Это по­зволяет нам сделать вывод о том, что и этот процесс допускает описание с помощью цепи Маркова, но на­правленной в прошлое. Таким образом, из неустойчи­вых динамических процессов мы получаем две цепи Маркова: одну, стремящуюся к равновесию в будущем, другую — в прошлом.  Мы считаем, что этот результат весьма интересен, и хотели бы его прокомментировать. Внутреннее время дает нам новое, «нелокальное» описание.

Хотя «возраст» системы (т. е. соответствующее раз­биение) нам известен, мы тем не менее не можем сопо­ставить ему однозначно определенную локальную тра­екторию. Мы знаем лишь, что система находится где-то в заштрихованной части квадрата (см. рис. 39). Анало­гичным образом, если известны точные начальные ус­ловия, соответствующие какой-то точке системы, то мы не знаем ни разбиения, которому она принадлежит, ни возраста системы. Следовательно, для таких систем существуют два взаимодополнительных описания. Си­туация здесь несколько напоминает ту, с которой мы уже встречались в гл. 7 при рассмотрении квантовой механики.

Существование новой альтернативы — нелокального описания — открывает перед нами путь к переходу от динамики к вероятностям. Системы, для которых такой переход возможен, мы называем внутренне случайными системами.

В классических детерминистических системах мы можем говорить о вероятностях перехода из одной точ­ки в другую лишь в весьма вырожденном смысле: вероятность перехода равна единице, если две точки ле­жат на одной динамической траектории, и нулю, если они не лежат на одной траектории.

В настоящей вероятностной теории нам понадобятся вероятности, принимающие, к отличие от вероятностей типа «нуль—единица», любые значения от пуля до единицы. Как такое возможно? Здесь перед нами во весь рост встает конфликт между субъективистскими взглядами на вероятность и ее объективными интер­претациями. Субъективная интерпретация соответствует случаю, когда отдельные траектории неизвестны. Вероятность (и в конечном счете связанная с ней необ­ратимость) при таком подходе имеет своим истоком наше незнание. К счастью, существует другая, объек­тивная интерпретация: вероятность возникает в резуль­тате альтернативного описания динамики, нелокального описания, возможного лишь для сильно неустойчи­вых динамических систем.

При таком подходе вероятность становится объек­тивным свойством, порождаемым, так сказать, внутри динамики и отражающим фундаментальную структуру динамической системы. Мы уже подчеркивали важ­ность основного открытия Больцмана   —  установления связи между энтропией и вероятностью. Для внутрен­не случайных систем понятие вероятности обретает ди­намический смысл. Теперь нам необходимо совершить переход от внутренне случайных систем к необрати­мым системам. Как мы уже знаем, неустойчивые дина­мические процессы порождают по две цепи Маркова.

Взглянем на эту двойственность с другой точки зрения. Рассмотрим распределение, сосредоточенное не на всей поверхности квадрата, а на отрезке прямой. Отрезок может быть вертикальным или горизонталь­ным. Выясним, что произойдет с этим отрезком под действием «преобразований пекаря», обращенных в бу­дущее. Результат их показан на рис. 40: вертикальный отрезок рассекается на части и в далеком будущем стягивается в точку. Наоборот, горизонтальный отрезок при каждом «преобразовании пекаря» удваивается, и в далеком будущем его образы («копии») равномерно покроют весь квадрат. Ясно, что при движении вспять

Рис. 40. Сжатие и растяжение слоев при «преобразовании пе­каря». Со временем сжимающийся слой А1 сокращается (последова­тельные этапы сокращения обозначены А1, В1, C1). Растягивающиеся слои удваиваются (последовательные этапы удвоения обозначены А2, В2, С2).

во времени (в прошлое) наблюдается обратная карти­на. По очевидным причинам вертикальный отрезок на­зывается сжимающимся, а горизонтальный — растягивающимся слоем.

Мы видим, что аналогия с теорией бифуркаций полная. Сжимающийся слой и растягивающийся слой соответствуют двум реализациям динамики, каждая из которых связана с нарушением симметрии и появлени­ем несимметричных режимов парами. Сжимающийся слой отвечает равновесному состоянию в далеком буду­щем, растягивающийся — в далеком прошлом. Мы по­лучаем, таким образом, две цепи Маркова с противо­положной ориентацией во времени.

Теперь нам необходимо совершить переход от внут­ренне случайных систем к системам внутренне необра­тимым. Для этого нам необходимо понять, чем, собст­венно, отличается сжимающийся слой от растягиваю­щегося. Нам известна еще одна система, столь же не­устойчивая, как и «преобразование пекаря», — систе­ма, описывающая рассеяние твердых шаров. Для этой системы растягивающиеся и сжимающиеся слои име­ют простой физический смысл. Сжимающийся слой со­ответствует множеству твердых шаров, скорости кото­рых случайным образом распределены в далеком прошлом и становятся параллельными в далеком будущем. Растягивающийся слой соответствует обратной ситуа­ции: скорости сначала параллельны, а затем их распре­деление становится случайным. Различие между сжи­мающимися и растягивающимися слоями очень напо­минает различие между расходящимися и сходящими­ся волнами в примере Поппера. Исключение сжимаю­щихся слоев соответствует экспериментально установленному факту: как бы ни изощрял свое хитроумие экс­периментатор, ему никогда не удастся добиться, чтобы скорости в системе оставались параллельными после произвольного числа столкновений. Исключая сжима­ющиеся слои, мы оставляем тем самым лишь одну из двух введенных нами цепей Маркова. Иначе говоря, второе начало становится принципом отбора началь­ных условий. Оно допускает лишь такие начальные условия, при которых система эволюционирует к равно­весному состоянию в будущем.

Правильность такого принципа отбора подтвержда­ется динамикой. Нетрудно видеть, что в примере с «преобразованием пекаря» сжимающийся слой навсег­да остается сжимающимся, а растягивающийся — рас­тягивающимся. Подавляя одну из двух цепей Маркова, мы переходим от внутренне случайной к внутренне не­обратимой системе. В описании необратимости мы выде­ляем три основных элемента:

неустойчивость

­

внутренняя случайность

­

внутренняя необратимость

Самым сильным из них является внутренняя необрати­мость: случайность и неустойчивость следуют из не­го.

Каким образом подобный вывод можно совместить с динамикой? Как известно, в динамике «информация» сохраняется, в то время как цепи Маркова, забывая пре­дысторию, утрачивают информацию (вследствие чего энтропия возрастает; см. гл. 8). Никакого противоречия здесь нет: когда от динамического описания «преобра­зования пекаря» мы переходим к термодинамическому описанию, нам приходится изменять функцию распреде­ления. Связано это с тем, что «объекты», в терминах которых энтропия возрастает, отличаются от объектов, рассматриваемых в динамике. Новая функция распре­деления r соответствует внутренне ориентированному во времени описанию динамической системы. Мы не можем останавливаться на математических аспектах перехода от старой функции распределения к новой. Скажем лишь, что преобразование, переводящее одну функцию распределения в другую, должно быть нека­ноническим (см. гл. 2). Следовательно, прийти к термо­динамическому описанию мы можем лишь ценой отказа от обычных понятий динамики.

Примечательно, что такое преобразование существу­ет, в результате чего оказывается возможным объеди­нить динамику и термодинамику, физику бытия и физи­ку становления. Позднее в этой главе и в заключитель­ном разделе книги мы еще вернемся к новым термоди­намическим объектам. Подчеркнем лишь, что в состоянии равновесия всякий раз, когда энтропия достигает своего максимума, эти объекты должны вести себя случайным образом.

Заслуживает внимания и то, что необратимость воз­никает, так сказать, из неустойчивости, наделяющей на­ше описание неустранимыми статистическими особенно­стями. Действительно, что означала бы стрела времени в детерминистическом мире, в котором и прошлое и бу­дущее содержатся в настоящем? Стрела времени ассо­циируется с переходом из настоящего в будущее имен­но потому, что будущее не содержится в настоящем и мы совершаем переход из настоящего в будущее. Построение необратимости на основе случайности чре­вато многими последствиями, выходящими за рамки собственно естествознания. Этих последствий мы кос­немся в заключительном разделе нашей книги, а теперь кратко поясним, в чем заключается различие между со­стояниями, разрешенными вторым началом, и состоя­ниями, которые второе начало запрещает.