Т. Углы E и , образованные соответствующими радиус-векторами и диаметром, на котором расположен сегмент АС, дают представление о том, как была определена эта позиция. Следует только напомнить, что на рис. 1 орбитальные отношения изображены не так, как это было у Тихо Браге, а так, как они были впервые вычислены Кеплером с помощью данных Тихо.

Далее Кеплер собирался вычислить расстояния от точки экванта C и точки Солнца А до орбитального центра B, а также определить линию апсид, то есть диаметра, на котором лежат А, B и С. Однако АB могла быть определена только в том случае, если бы была известна действительная гелиоцентрическая долгота Марса по отношению к точке А (но не ранее названная "гелиоцентрическая долгота" Марса, которая на самом деле определялась по отношению к точке С). Поэтому Кеплер более не мог опираться только на теории Тихо; и он смело возвращается к ранее отвергнутым им же hypothesis vicaria, а ошибку, вытекавшую из их применения, пытается компенсировать грубым приближением в вычислениях. В результате он пришел к следующему выводу: Земля и Марс движутся по круговым орбитам с разделенным эксцентриситетом; две эксцентрические точки C и А (рис. 1) лежат на одной линии апсид, находясь на равном расстоянии от центра окружности по разные ее стороны.

Что же в конечном счете было основанием для такого вывода? Теоретические воззрения, проблематичные даже для самого Кеплера: 1. Теории Тихо (включая утверждения о гелиоцентрических положениях Марса и Земли) и 2. Hypothesis vicaria самого Кеплера, ранее столь решительно отвергаемые им. К тому же он использовал довольно грубое приближение в вычислениях; кроме того, он руководствовался классически-философским допущением о круговом движении небесных тел наряду с данными наблюдений Тихо, считавшимися почти непогрешимыми.

Но ни догматы, ни проблематичные допущения не помешали Кеплеру сделать следующий смелый шаг в сторону не только от Птолемея, но и от Коперника. Он отказывается от попыток строить эквантную окружность, то есть решать задачу, навязанную традицией, и вместо этого пытается выявить закономерность, объясняющую неравномерность орбитальной скорости Земли, вращающейся вокруг Солнца. Снова прибегнув к приближениям, он вычислил, что скорость Земли в точках перигелия и афелия обратно пропорциональна расстояниям до Солнца в этих точках. Этого минимума эмпирических данных оказалось достаточно, чтобы сразу же идти дальше, экстраполируя все точки на орбитальной кривой и распространяя этот вывод на все планеты. Таким образом, Кеплер формулирует следующие универсальные положения:

1. Все планеты движутся по круговым орбитам с разделенным эксцентриситетом; Солнце находится в одной из точек эксцентриситета.

2. Скорость планет обратно пропорциональна их расстояниям от Солнца.

Второе положение - так называемый закон радиуса.

По закону радиуса скорость планеты в точке P на орбите с центром C обратно пропорциональна расстоянию = PS до Солнца S: следовательно, время, затрачиваемое на движение в этом сегменте, пропорционально PS. Но как выразить эту зависимость точной формулой? Казалось невозможным найти прямое отношение между радиусом и временем движения. И здесь Кеплер вспомнил так называемую теорему Архимеда, выражающую отношение площади круга и радиуса окружности. Согласно этой теореме площадь сектора QCP можно рассматривать как предел суммы бесконечного числа бесконечно малых треугольников с высотой, равной радиусу окружности. Это подсказало Кеплеру идею связать время, за которое планета проходит путь PQ, не непосредственно с радиусом окружности, а с площадью сектора, описываемого радиус-вектором. Не долго думая, он применил теорему Архимеда, благодаря чему в его распоряжении оказалось достаточно сомнительное средство выражения через площадь, описываемую отрезком CP (то есть радиус-вектором орбиты) времени, необходимого для прохождения планетой соответственной дуги орбиты, и тем самым он получил по крайней мере косвенную возможность выразить соотношение времени и радиус-вектора в следующей формуле:

(1)                             

где t - время прохождения планетой дуги PQ, а Т - время, затрачиваемое планетой на прохождение всей орбиты. Если r = 1, то площадь QCP = 1/2 , площадь CSP = 1/2 e sin , а - площадь круга.

Из (1) следует:

(2)                             

может быть вычислено, если известно t (хотя методы, которыми располагал Кеплер, могли давать только грубое приближение).

Итак, расстояние между планетой и Солнцем определяется уравнением

(3)                             

получаемым, в соответствии с рис. 2 по закону косинусов. Наконец, из этого следует уравнение

(4)                             

из которого по простому отношению косинусов выводится значение v, и, следовательно, положение планеты в момент времени t.

В этих рассуждениях используются: 1) закон радиуса, с помощью которого устанавливается отношение между временем и радиусом; 2) модификация теоремы Архимеда, посредством которой от вывода площади сектора круга, описываемого радиус-вектором, переходят к вычислению площади QSP, то есть чего-то совершенно отличного от сектора круга. Таким образом, отношение между временем и радиус-вектором преобразуется в отношение между временем и площадью круга. Едва ли можно говорить об эмпирических основаниях закона радиуса, а указанный переход от теоремы Архимеда к ее модификации не был обоснован математически. И то, и другое было хорошо известно Кеплеру. К этому надо добавить, что в уравнениях 1 - 4 фигурирует эксцентриситет e, что стало возможным только благодаря hypothesis vicaria, которые Кеплер вначале отвергал.

Таким образом, и на этой стадии исследований Кеплер вновь показал, что его не слишком заботила точность и достаточность эмпирического, математического или теоретического обоснования, хотя, как это видно из отрывка, приведенного в начале этой главы, их возможность им предполагалась. Поэтому нет ничего удивительного в том, что, исходя из минимума эмпирических данных, он в конечном счете отказался и от остававшейся части аксиомы Платона - от допущения о круговой форме планетарных орбит - как ранее он отказался от другой ее части, от допущения о постоянстве угловой скорости планет.

На этот шаг он решился в ходе новой попытки определить орбиту Марса. Вначале Кеплер применил уже описанный метод, использованный при вычислении орбиты Земли. Так же как тогда он сравнивал различные положения Земли по отношению к константному положению Марса, так и теперь три различных положения Марса соотносятся им с одним и тем же положением Земли. Тем самым были определены три расстояния Марса от Солнца и три угла, образуемых соответствующими радиус-векторами. С помощью утомительных, хотя и простых, тригонометрических вычислений он определил линию апсид и значение эксцентриситета Солнца для трех различных случаев. Все результаты были различны. Из этого мог быть сделан только один вывод: орбита Марса не может быть круговой.

Этот революционный для астрономии вывод был сделан на основе тех же смелых допущений, как и при вычислении орбиты Земли. Почва, на которой теперь стоял Кеплер, была не менее зыбкой, чем раньше: теория Тихо, hypothesis vicaria и вера в правильность данных Тихо.

И на заключительной стадии исследования, когда он пришел к заключению, что орбиты планет должны иметь форму эллипса, спекулятивный дух ему не изменил. Обратимся к рис. 3.

Прежде всего, следуя принципу простоты, Кеплер постулировал отклонение орбиты Марса от круговой формы по формуле b = 1-e2, где 1 - радиус, e - эксцентриситет Солнца, b - ось действительной орбиты. Позднее он представил b = 1 - (e2/2).

Но однажды он сделал открытие, суть которого мы сможем понять, взглянув на рис. 4, представляющий орбиту Марса. Он заметил, что

(5)                             

Здесь - наибольший угол, образованный схождением сегмента P1S (планета-Солнца) и P1C (планета-центральная точка окружности). Если затем просто подставить предполагаемое значение b в вычисления, то получится

а поскольку e << 1, то

но 1 + (e2/2) равно 1.00429, что согласуется с вычисленным результатом (5).

Он предположил, что (см. рис. 5) отношение, аналогичное уравнению (5) должно выглядеть следующим образом:

Иначе говоря, отношение расстояния между Солнцем и планетой на "истинной" орбите к расстоянию между Солнцем и планетой на "воображаемой" орбите аналогично отношению r/b на рис. 3.

При r = 1 получаем:

SP cos = PM

PM = 1 + e cos .

Из этого следует, что планетарные орбиты выражаются формулой

(6)                                          

После изнурительных трудов - "paene usque ad insanium" - Кеплер установил, что уравнение (6) выражает формулу эллипса, хотя и приблизительно (надо напомнить, что математический аппарат, доступный Кеплеру, был еще достаточно примитивен).

Итак, и на этой стадии, как мы видим, Кеплер вновь прибегает к использованию предположений, спекуляций и грубых приближений; более того, проверка уравнения (6) предполагает сравнение значений SPe с теми значениями, которые были получены методами определения расстояния, применяемыми Кеплером; критические замечания об этих методах были сделаны выше.

В заключение рассмотрим еще один шаг Кеплера (см. рис. 6).

В соответствии с формулой (1) здесь также должно выполняться соотношение

(7)                             

Другими словами, время t, необходимое, чтобы планета прошла по эллиптической дуге QPc, относится ко времени T, затрачиваемому на прохождение всей орбиты, так, как площадь SQPc относится к общей площади эллипса, где b - радиус малой оси, а большая ось принята за 1. Здесь Кеплер делает предположение, аналогичное тому, какое уже было сделано ранее (см. рис. 4 и 5):

(8)                             

Согласно (1)

Если подставить это значение в (8) и (7), то в результате простых вычислений получим:

Решающий шаг в этом выводе - принятие за исходный пункт уравнения (7) - есть не что иное, как новое и не менее проблематичное применение теоремы Архимеда; теперь она применяется к сектору эллипса, вершиной которого является один из его фокусов, в котором помещается Солнце.

Теперь можно сформулировать два первых закона Кеплера [ср. уравнение (6)]:

(9)                             

(10)                           

Уравнение (10) говорит о том, что планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Уравнение (9) говорит, что в равные промежутки времени радиус "Солнце-планета" пробегает равные площади.

По отношению к Марсу, который является центральной проблемой и исходным пунктом всех рассуждений, это означает, что  и e в уравнении (9) могут быть определены только благодаря ранее отброшенным (даже в усовершенствованном виде) hypothesis vicaria. Поэтому они использовались как при вычислениях SPс, так и в методе оценки и проверки полученного результата (включая определение трех положений Марса по отношению к одной и той же позиции Земли).

Вот как в действительности обстояли дела с обоснованием двух первых законов Кеплера, обоснованием, которое еще и сегодня часто представляют чем-то таким, что возникло исключительно на базе опыта.