Встает вопрос: действительно ли квантовая механика способствует появлению новой логики, заставляющей усомниться в значимости логики традиционной? Прежде чем ответить на него, рассмотрим так называемый юнговский двухщелевой эксперимент по интерференции света (рис. 7).

На рисунке схематически изображено, как электроны из светового источника Q проходят через экран с двумя щелями и попадают на фотопластинку. По условиям эксперимента

точка, в которой частица соприкоснется с пластинкой, не может быть точно предсказана; ее описание связано с вероятностной функцией P. Если открыта только щель 1, мы имеем функцию P1, если только щель 2, - функцию P2. Но если открыты обе щели, мы имеем функцию P1,2. Пусть имеет место следующее уравнение: P1,2 = P1 + P2.

Однако в эксперименте обнаруживается, что это уравнение ложное. Если - амплитуда вероятности, введенная квантовой механикой, то положение дел было бы правильно описать следующим образом:

Теперь выясним предпосылки, на которых основывается (1):

1. Электроны - материальные частицы.

2. Каждая частица проходит либо через щель 1, либо через щель 2. Tertium non datur (TND).

Сторонники так называемой квантовой логики не испытывают каких-либо затруднений, отказываясь от первой предпосылки. Действительно, на основе именно этого эксперимента Юнг пришел к выводу о волновой природе света. Но они (по причинам, в которые мы здесь не станем входить) отказываются от второй предпосылки - принципа классической логики - и полагают, что логика должна быть модифицирована.

В первом столбце перечислены все три значения A. Во втором столбце определено отрицание A, обозначаемое

При помощи этой таблицы затем определяются пропозициональные операторы, соответствующие "дизъюнкции" и "импликации" - аналогам одноименных операторов, которые фигурируют в обычных учебниках пропозициональной логики. Их можно свести в таблицу:

Таблица 2.

Очевидно, что в строках 1,3,7 и 9 дизъюнкция совпадает с обычным определением. То же можно сказать об альтернативной импликации в тех же строках. В этих случаях A и B имеют только истинные и ложные значения.

Если теперь добавить к этой таблице определение эквиваленции: "Два высказывания эквивалентны, если оба истинны, оба ложны или оба неопределенны", то получим следующие эквиваленции в качестве тавтологий, то есть формул тождественно истинных в данной системе:

(3)                             

(4)                             

(5)                             

(Если A - истинно в (3), то ~~~A  также истинно, по таблице 1; если A - ложно, то ~~~A - также ложно; если A - неопределенно, то ~~~A также неопределенно. Следовательно, эта эквиваленция истинна в любом случае, то есть тождественно истинна. То же можно сказать о (4) и (5), применяя таблицу 2.

Рассмотрим высказывание

(6)                             

Из (6) с помощью (3), (4) и (5) получим (7) Bv~B~~A. Из (7) следует (6), таким образом, (6) и (7) следуют друг из друга:

(8)                             

Применяя табличные определения, можно выразить (6) следующим образом: если A истинно или ложно, то B неопределенно. Высказывание (7) читается: если B истинно или ложно, то A неопределенно.

Такое отношение между A и B полностью соответствует принципу дополнительности в квантовой механике. Например, "Если измерены координаты частицы, и результаты выражены в высказывании A, то A - истинно или ложно. Тогда высказывание B о том, что частица имеет такой-то импульс, принципиально неопределенно, следовательно, имеет значение "неопределенно", следовательно, (6) читается как: A дополнительно B; тогда (8) читается: если А дополнительно B, то B дополнительно A". Дополнительность симметрична, и эта симметрия (координат и импульса) есть эмпирический закон квантовой механики.

Здесь уместно спросить, какова природа трехзначной логики без закона исключенного третьего? Как образуется такая логика?

Ответ состоит в следующем: эту логику образует ряд определений, которые можно рассматривать как произвольно вводимые аксиомы; сами по себе они не обладают непосредственной или интуитивно ясной общезначимостью. Они целенаправленно строятся таким образом, чтобы при соответствующей интерпретации некоторые формулы выражали эмпирические факты квантовой механики. Это пропозициональное исчисление, специально приспособленное для квантовой механики. Но какой смысл мы вкладываем в понятие "логики", если такого рода пропозициональное исчисление называть логикой?

Логика характеризуется тем, что она может быть сформулирована аксиоматически. Вводятся аксиомы, а затем по определенным правилам из этих аксиом выводятся теоремы. В основании традиционной логики лежат представления о том, что ее аксиомы выражают общезначимые выводы. Например, в силлогистике - это модус Barbara, в пропозициональной логике - "если A, то A" и т.д. По определению, идущему от Лейбница, общезначимость логических аксиом означает, что они истинны во всех возможных мирах. То же самое имеют в виду, когда говорят, что предметом логики являются тавтологии, то есть высказывания, которые ничего не говорят о том конкретном мире, в котором мы находимся. К этому можно было прибавить определение Лоренцена, который полагал, что логика есть дисциплина, изучающая правила, по которым должно строиться любое исчисление. Это определение, как теперь ясно, также связано с традиционным пониманием логики.