Применяя специальные математические методы, можно вывести -функцию, удовлетворяющую статистическому значению:

,

         и в то же время представляющую решение второго уравнения Шредингера.

         В таком случае можно говорить об "экспериментально определенной" -функции. Такого рода определенность указывает на то, что она возможна лишь как некое грубое приближение и не допускает точного измерения.

         Вообще говоря, Карнап поступает правильно, сменив исходную позицию, отказавшись от ригористического деления на теоретическое и перцептуальное в пользу практических требований науки. Но в таком случае позволительно спросить: что же собственно эмпирицистского остается в его критерии значимости? Больше нельзя говорить о полной или частичной редукции теоретических понятий к наблюдаемым предикатам; решающим фактором становится то, получают ли теоретические понятия роль соучастия в предсказаниях вместе с предложениями наблюдения, теоретическими постулатами и правилами соответствия. Но тогда эти понятия являются порождениями мышления, а не ощущений, и, следовательно, не имеют чисто эмпирической природы.

         Итак, мы видим, что эта работа Карнапа есть не улучшение эмпирицистской позиции, выраженной в "Проверяемости и значении" и свойственной Венскому кружку, а скорее является определенным отречением от этой позиции.

         Таким образом, упомянутое ранее возражение, основанное на том, что идеи работы Карнапа "Теоретические понятия науки" позволяют считать принцип причинности эмпирически значимым и практически верифицируемым, следует отвести. Я утверждаю, что это возражение основывается на неправильном употреблении понятия "эмпирическое". Теперь мы видим, что в отличие от более ранних работ эта статья Карнапа свидетельствует о его признании решающего значения спонтанности мышления, которое стимулируется, но не детерминируется наблюдениями во всей области науки (а не только в сфере логики).

         В этой связи важно понять, что имеет в виду Карнап, когда говорит о "реальном" объяснении в науке, а именно: лишь то, что теория признается до тех пор, пока ее постулаты вместе с правилами соответствия могут использоваться для направления ожиданий исследователя, точнее, для выведения предложений наблюдения, которыми выражаются эти ожидания. Следовательно, "реальное" для него - это то, что применимо для достижения поставленных целей, а не то, что теоретически основывается на ощущениях.

         См. также: Stegmüller W. Das Problem der Kausalität // Probleme der Wissenschaftstheorie, Festschrift fr Victor Kraft. Vienna, 1960. S. 87; Pap A. Analytische Erkenntnistheorie. Vienna, 1955. S. 138 и далее.

         Применяя все эти неэмпирические правила, мы с помощью простых преобразований приходим к уравнению:

где

         Если обозначить среднее отклонение L от X как L, то в конечном счете мы получаем

         (Более подробный анализ см. в: Westphal W. Physikalisches Praktikum. Braunschweig, 1963. S. 290 и далее.)

         если

         Следовательно, можно предсказать, что мы получим

         С другой стороны, если мы имеем смесь, то есть ансамбль, состоящий из подансамблей, каждый из которых был чистым, то, например, Nc12 систем этого ансамбля имеют значение 1 и состояние 1;Nc22 систем этого ансамбля имеют значение 2 и состояние 2 и т.д. Следовательно, мы можем предсказать, что в будущем измерения дадут  Nc12d1l2+Nc22d2l2+...раз, или

         значение 1 (Вероятность 1 - Nc12; вероятность 1 такова же, как
1 - Nc12dl2 и так далее для всех состояний k).

         Из этого следует, что предсказания для чистого случая отличаются от предсказаний для смеси, потому что

         вообще говоря не суть одно и то же.

         где P - матрица плотности и U - матрица оператора U в данной базовой   системе n (Здесь n не рассматриваются как собственные функции U). В свободном от дисперсии ансамбле каждый элемент будет иметь одно и то же значение uk.

         Поэтому  так же, как

         Теперь допустим, что U - оператор, проецируемый на подпространство, образуемое собственным вектором m, тогда, благодаря идемпотенции U, мы также получаем

         и поскольку в данном случае Tr(PU) = Pmm(Pik - элементы матрицы плотности P), то исходя из того, что Tr(P)=1 и Tr(PU)=1, получаем для всех i или 1.

         Но этот результат несовместим с тем, что для всех возможных ортогональных декомпозиций функции состояния в

          в гильбертовом пространстве условие

         сохраняется и, следовательно,

         Из этого следует, что значения P всегда могут быть найдены для каждого

 и