Решение задачи

1 Найдем методом произведений выборочные: среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Воспользуемся методом произведений, для чего составляем таб.1

m=3; n=4.

x_i=0,2*m+0,3*(i-1)*n.

x₁=0,2*3+0,3*(1-1)*4=0,6

x₂=0,2*3+0,3*(2-1)*4=1,8

x₃=0,2*3+0,3*(3-1)*4=3

x₄=0,2*3+0,3*(4-1)*4=4,2

x₅=0,2*3+0,3*(5-1)*4=5,4

x₆=0,2*3+0,3*(6-1)*4=6,6

x₇=0,2*3+0,3*(7-1)*4=7,8

В качестве ложного нуля принимаем С=3 – варианта  с наибольшей частотой 27. Шаг выборки h=x₂-x₁=1,8-0,6=1,2.  Тогда условные варианты определяем по формуле:

==

Подсчитываем условные варианты u_i и заполняем все столбцы.

Последний столбец служит для контроля вычислений по тождеству:

∑ n_i (u_i+1)²=∑ n_iu_i²+2∑ n_iu_i+n.

Контроль: 530=270+2*80+100.

Вычисления произведены верно. Найдем условные моменты.

M₁^*===0,8;  M₂^*===2,8.

Вычисляем выборочную среднюю:

=M₁^* * h + C= 0,8*1,2+3=3,96

Находим выборочную дисперсию:

d_B= [ M₂^*- (M₁^*)²]* h²= [2,8 - (0,8)²]*1,2²=3,1

Определим выборочное среднее квадратическое отклонение:

σ_B===1,76

2 Строим нормальную кривую.

Для облегчения вычислений все расчеты сводим в таб.2

Заполняем первые три столбца.

В четвертом столбце записываем условные варианты по формуле, указанной в «шапке» таблицы. В пятом столбце находим значения функции:

Функции φ(u_i) четная, т.е. φ(u_i)= φ(-u_i).

Значения функции φ(u_i) в зависимости от аргумента u_i (берутся положительные u_i, т.к. функция  φ(u_i) четная) находим из таблицы.

Теоретические частоты теоретической кривой находим по формуле:

=φ(u_i)=68,18*φ(u_i)

И заполняем последний столбец. Отметим, что в последнем столбце частоты  округляются до целого числа и .

В системе координат  строим нормальную (теоретическую) кривую по выравнивающим частотам  (они отмечены кружками) и полигон наблюдаемых частот (они отмечены крестиками). Полигон наблюдаемых частот построен в системе координат .

3 Проверим  гипотезу о нормальности Х при уровне значимости α=0,05.

Вычислим , для чего составим расчетную таблицу 3.

Суммируя числа пятого столбца, получаем  X²_наиб=2,18

Суммируя числа последнего столбца, получаем 102,18.

Контроль: X²_наиб=2,18

∑−∑n_i =102,18−100= 2,18

Совпадение результатов подтверждает правильность вычислений.

Найдем число степеней свободы, учитывая, что число групп выборки (число различных вариантов) 7. , где s- число различных значений x_i.  , т.е r=2._{υ = s−2=>υ = 7−2−1=4}

По таблице критических точек распределения х², по уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы ν=4 находим 9,5.

Так как   то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Другими словами, расхождение эмпирических и теоретических частот незначимое. Следовательно, данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

Найдем доверительный интервал для оценки неизвестного МО М(Х), пологая, что Х имеет нормальное распределение, среднее квадратическое отклонение σ=σ_x=σ_B=1,76 и доверительная вероятность γ=0,95.

Известен объем выборки: n=100, выборочная средняя  

3,96.

Из соотношения 2Ф(t)= γ получим Ф(t)=0,475. По таблице находим параметр t=1,96.

Найдем точность оценки

δ =  = =0,34

Доверительный интервал таков: