2    

Äëÿ ðàñ÷åòà äàííîé ñèñòåìû â íåëèíåéíîì âèäå áûëà ðàçðàáîòàíà ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðîãðàììà êîòîðàÿ èíòåãðèðîâàëà ñèñòåìó óðàâíåíèÿ ìåòîäîì Ðóíãå-Êóòòà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà.

Äëÿ ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ìåòîäîì Ðóíãå-Êóòòà íåîáõîäèìî çíàòü íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, òî åñòü çíà÷åíèÿ âåêòîðà ñîñòîÿíèé â íóëåâîé ìîìåíò âðåìåíè, â äàííîì ñëó÷àå îíè íóëåâûå.

Ïîñëå îñóùåñòâëåíèÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ðåçóëüòàòû áûëè çàïèñàíû â ôàéë, è çàòåì ïîñòðîåíû. Ãðàôèêè èìåþò ñëåäóþùèé âèä:

Ðèñóíîê 1.

3    

Äëÿ ðàñ÷åòà ñèñòåìû â ëèíåàðèçîâàííûì âèäå ïî ôîðìóëàì, íåîáõîäèìî ëèíåàðèçîâàòü ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ò. å. çàìåíèòü òðè íåëèíåéíûõ ýëåìåíòà ëèíåéíûìè êàê ýòî ïîêàçàíî â 2.5. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü êîýôôèöèåíòû ñòàòèñòè÷åñêîé ëèíåàðèçàöèè íàì íåîáõîäèìî çíàòü ïàðàìåòðû ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà íà âõîäå â íåëèíåéíîñòü (ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ). Ïàðàìåòð âõîäà â òðåòüþ íåëèíåéíîñòü èìååòñÿ â âåêòîðå ñîñòîÿíèé. Ïîýòîìó åãî äèñïåðñèÿ ïðèñóòñòâóåò â ìàòðèöå êîâàðèàöèè. Äëÿ íàõîæäåíèÿ äèñïåðñèé íà âõîäå â ïåðâóþ è âòîðóþ íåëèíåéíîñòè ïðîèçâåäåì ñëåäóþùèå äåéñòâèÿ. Ïðåîáðàçóåì ñèñòåìó òàêèì îáðàçîì ÷òîáû âõîäîì ñèñòåìû îñòàâàëñÿ îäèí èç âõîäîâ â íàøó ñèñòåìó, à âûõîäîì âõîä â íåëèíåéíîñòü (äâà âõîäà ðàññìàòðèâàþòñÿ îòäåëüíî, à çàòåì èõ äèñïåðñèè ñêëàäûâàþòñÿ).

Èòàê, ïîñ÷èòàåì äèñïåðñèè îò âîçäåéñòâèé a è h, íà âõîäàõ ïåðâîé è âòîðîé íåëèíåéíîñòè:

Íàçîâåì ñèãíàë íà âõîäå â ïåðâóþ íåëèíåéíîñòü õ, âî âòîðóþ y òîãäà óðàâíåíèå ñâÿçûâàþùèå x è a áóäóò èìåòü âèä:

Çäåñü  êîýôôèöèåíòû ñòàòèñòè÷åñêîé ëèíåàðèçàöèè ñîîòâåòñòâåííî ïåðâîé è âòîðîé íåëèíåéíîñòåé, äàëåå:

Ñëåäîâàòåëüíî ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ áóäåò èìåòü âèä:

Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà íà âõîäå a èìååò âèä:

Òîãäà äèñïåðñèÿ íà âõîäå ïåðâîé íåëèíåéíîñòè áóäåò èìåòü âèä:

 òåîðèè èçâåñòíî, ÷òî èíòåãðàëû âèäà:

ãäå:

 àíàëèòè÷åñêîé ôîðìå èìåþò âèä:

ãäå

Ðàññìîòðèì îòäåëüíî çíàìåíàòåëü íàøåãî èíòåãðàëà, ïðèâåäåííûé ê âèäó:

Òîãäà:

Îòñþäà ñëåäóåò:

Îòêóäà:

Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïîëó÷èì îñòàëüíûå äèñïåðñèè:

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äèñïåðñèÿ íà âõîäå â ïåðâóþ íåëèíåéíîñòü èìååò âèä:

Íà âõîäå âòîðîé íåëèíåéíîñòè:

Äàëåå íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü âûðàæåíèÿ äëÿ ñàìèõ êîýôôèöèåíòîâ ñòàòèñòè÷åñêîé ëèíåàðèçàöèè, âîñïîëüçîâàâøèñü âûâåäåííûìè ðàíüøå ñîîòíîøåíèÿìè. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî âñå èíòåãðàëû â ýòèõ ôîðìóëàõ áóäóò èìåòü îäèí èç òðåõ, íèæå ïåðå÷èñëåííûõ, âèäîâ:

Ýòè èíòåãðàëû, ñ÷èòàþòñÿ â ÷èñëåííîì âèäå è ïîëó÷àþòñÿ ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè îøèáîê è ãàóññîâñêîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè. Îíè ðåàëèçîâàíû â ïðîãðàììå â âèäå ôóíêöèé, òîãäà êîýôôèöèåíòû ñòàòèñòè÷åñêîé ëèíåàðèçàöèè äëÿ ïåðâîãî íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà áóäóò èìåòü âèä:

K0=k2*J1(0,-s,m,D,-1)+l1*J0(0,-s,m,D,-1)+

k1*J1(-s,s,m,D,0)+k2*J1(s,0,m,D,1)+l2*J0(s,0,m,D,1);

K1=(k2*J2(0,-s,m,D,-1)+l1*J1(0,-s,m,D,-1)+k1*J1(-s,s,m,D,0)+

k2*J2(s,0,m,D,1)+l2*J1(s,0,m,D,1)-m*K0)/D;

Äëÿ âòîðîãî:

K0=-s*J0(0,-s,m,D,-1)+J1(-s,s,m,D,0)+s*J0(s,0,m,D,1);

K1=(-s*J1(0,-s,m,D,-1)+J2(-s,s,m,D,0)+s*J1(s,0,m,D,1)+

s*m*J0(0,-s,m,D,-1)-m*J1(-s,s,m,D,0)-s*m*J0(s,0,m,D,1))/D;

Äëÿ òðåòüåãî:

K0=-s*J0(0,-s,m,D,-1)+J1(-s,s,m,D,0)+s*J0(s,0,m,D,1);

K1=(-s*J1(0,-s,m,D,-1)+J2(-s,s,m,D,0)+s*J1(s,0,m,D,1)+

s*m*J0(0,-s,m,D,-1)-m*J1(-s,s,m,D,0)-s*m*J0(s,0,m,D,1))/D;

Ëèíåàðèçîâàííàÿ ñèñòåìà äîëæíà èìåòü âèä:

Âîñïîëüçîâàâøèñü óðàâíåíèÿìè äëÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû ìàòðèöû ìîæíî çàïèñàòü:

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ìàòðèöà A íà êàæäîì øàãå èíòåãðèðîâàíèÿ áóäåò èçìåíÿòüñÿ, â çàâèñèìîñòè îò êîýôôèöèåíòîâ ëèíåàðèçàöèè, êîòîðûå â ñâîþ î÷åðåäü çàâèñÿò îò äèñïåðñèé íà âõîäå íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå çàâèñÿò îò äèñïåðñèé íà âõîäå. Ñëåäîâàòåëüíî íà êàæäîì øàãå èíòåãðèðîâàíèÿ íàøåé ñèñòåìû ìû äîëæíû èíòåãðèðîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ìàòðèöû êîâàðèàöèé K:

Ðåàëèçóÿ âñå âûøåñêàçàííîå ïîëó÷èì ãðàôèê èçìåíåíèÿ âåêòîðà ñîñòîÿíèé ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû:

Ðèñóíîê 2.

Ýâîëþöèÿ ìàòðèöû êîâàðèàöèè ïî âõîäíûì âîçäåéñòâèÿì èìååò âèä:

Ðèñóíîê 3

Äèñïåðñèÿ âûõîäíîé êîîðäèíàòû:

Ðèñóíîê 4