ИНДЕКСЫ

Определение индексов.

Слово индекс означает указатель, показатель. В статистике индексом называется относительная величина, которая характеризует изменение во времени и в пространстве уровня изучаемого общественного явления или степень изучения плана.

При помощи индексов:

1)    определяются средние изменения сложных, непосредственно несоизмеримых совокупностей во времени;

2)    оценивается средняя степень выполнения плана по совокупности в целом или ее части;

3)    устанавливаются средние отношения сложных явлений в пространстве;

4)    определяется роль отдельных факторов в общем изменении сложных явлений во времени или в пространстве и, в частности, изучается влияние структурных сдвигов.

При решении первой задачи - изучении изменения явлений во времени - индексы выступают как показатели динамики, при решении второй – как показатели выполнения плана, третьей – как показатели сравнения, четвертой – как аналитическое средство. По степени охвата различают индивидуальные и общие индексы.

Индивидуальные индексы.

Индивидуальные индексы выражают соотношение отдельных элементов совокупности. Так, если в 1990 г было произведено 55,4 млн.т минеральных удобрений, а в 1998 г – 80,4 млн.т, то в 1998 г. было произведено 80,4/55,4=1,45 раза, или на 45%, больше минеральных удобрений по сравнению с 1990 г. Это и есть индивидуальный индекс, характеризующий динамику производства минеральных удобрений за 1990-1998 гг.

Индивидуальный индекс обозначается буквой «i» и определяется путем сопоставления двух величин, характеризующих уровень изучаемого явления во времени или пространстве, т.е. за два сравниваемых периода. Период, уровень которого сравнивается, называется отчетным или текущим, периодом и обозначается подстрочным знаком «1», а период, с уровнем которого проводится сравнение, называется базисным  и обозначается подстрочным знаком «0» или «пл», если при внутрифирменном планировании сравнение производится с планом. Если изменение явлений изучается за ряд периодов, то каждый период обозначается соответственно знаком «0», «1», «2», «3» и т.д.

В статистической практике принято количество обозначать буквой q, цену -  p, себестоимость -  z, затраты времени на производство единицы продукции – t.

Индивидуальные индексы представляют собой относительные величины, например:

Индекс цен     

Индекс выражается в виде коэффициентов, когда база для сравнения принимается за единицу, и в процентах, когда база для сравнения принимается за 100. Если в результате вычисления полученный индекс больше 1 или 100 %, то это указывает на рост явления, если меньше 1 или 100% - на снижение уровня явления.

Базисные и цепные индексы.

Для вычисления индексов, как и всякой другой относительной величины, необходимо иметь данные за два периода, или два сравниваемых уровня.

Если имеются данные за ряд периодов или уровней, в качестве базы для сравнения может быть принят один и тот же начальный уровень или уровень предыдущего периода. В первом случае мы получим индексы с постоянной базой – базисные, а во втором – индексы с переменной базой – цепные.

И базисные, и цепные индексы имеют определенное значение в экономическом анализе. Первые характеризуют изменение явлений за длительный период времени по отношению к какой-либо одной отправной точке. Если же возникает потребность следить за текущими изменениями явлений, применяют цепные индексы. Вопрос о том, каким индексом пользоваться, в каждом конкретном случае решают исходя из целей исследования.

Если базисные и цепные индексы охватывают один и тот же период, между ними существует определенная взаимосвязь: произведение цепных индексов равно базисному.

Существующая взаимосвязь между базисными и цепными индексами дает возможность вычислять базисные индексы по данным о цепных и наоборот.

В статистике часто приходится иметь дело с показателями, связанными между собой, как сомножители с произведением. Например, валовой сбор равен произведению урожайности и площади, фонд заработной платы – произведению средней заработной платы и численности работников и т.д. В такой же связи находятся и индексы этих показателей: индекс произведения равен произведению индексов сомножителей.

где  i_pq -  индекс товарооборота

       i_p – индекс цен

       i_q – индекс физического объема товарооборота.

Такие индексы называются сопряженными. Их взаимосвязь дает возможность по двум имеющимся индексам находить третий.

Общие индексы.

Общие индексы показывают соотношение совокупности явлений, сосотоящей из разнородных, непосредственно несоизмеримых элементов. Например, несмотря на различия потребительских стоимостей отдельных продуктов, все они являются результатом труда и поэтому могут быть выражены общей мерой через стоимость, трудовые затраты и т.д. Так, для опеределения общей стоимости различных видов продукции в качестве соизмерителя используется обычно цена за единицу продукцию, для определения общей себестоимости или произведенных затрат – себестоимость единицы продукции, общих затрат труда – затраты труда на производство единицы продукции и т.д. Рассмотрим построение общего индекса на примере вычисления индексов товарооборота.

Количество и цены проданных магазинам продуктов.

Обозначим цену за единицу каждого периода в отчетном периоде буквой р₁, в базисном периоде – р₀, количество проданных товаров в отчетном периоде – q₁, в базисном – q₀, общую стоимость проданных товаров в отчетном периоде по ценам отчетного периода – р₁q₁, то же в базисном по ценам базисного периода – р₀q₀, общий индекс товарооборота – I_pq.

Общее изменение товарооборота стоимости проданных товаров можно определить, сопоставив общую стоимость проданных товаров в отчетном периоде по ценам отчетного периода с общей стоимостью проданных товаров в базисном периоде по ценам базисного периода: I_pq=25045/21470=1,167 или 116,7%. Таким образом, товарооборот (общая выручка от продажи товаров)  увеличился в отчетном периоде по сравнению с базисным на 16,7%. В нашем примере в отчетном периоде за реализованные товары было получено 25045 руб., а в базисном – 21470 руб.   Следовательно, в отчетном периоде по сравнению с базисным товарооборот увеличился в абсолютном выражении на 25045 – 21470=3575 руб.

Придерживаясь принятых обозначений, можно записать формулу общего индекса товарооборота:

Аналогично индексу товарооборота рассчитываются индексы продукции, потребления и т.д.

Приведенная формула индекса товарооборота называется агрегатной. Агрегатными называются индексы, числители и знаменатели которых представляют собой суммы, произведения или суммы произведений уровня изучаемого явления. Агрегатная форма индекса является основной, наиболее распространенной формой экономических индексов; она показывает относительное изменение изучаемого экономического явления и абсолютные размеры этого изменения.

Веса агрегатных индексов цен и физического объема продукции. Агрегатная формула индекса товарооборота показывает, что его величина зависит от двух явлений, от двух переменных величин: физического объема товарооборота, т.е. количества проданных товаров, и цены за каждую единицу реализованных товаров. Чтобы выявить влияние каждой переменной в отдельности, следует влияние одной из них исключить, т.е. принять условно в качестве постоянной, неизменной величины на уровне отчетного или базисного периода. Какой же период принять в качестве постоянной величины? В связи с этим возникает вопрос о базисных и отчетных весах агрегатного индекса. Рассмотрим этот вопрос на примере индекса цен и индекса физического объема товарооборота.

Агрегатный индекс цен. Общее изменение цен можно определить, считая постоянной, неизменной величиной количество проданных товаров за отчетный или базисный период. Если для получения индекса цен принять в качестве весов данные о количестве проданного товара за отчетный период, то, придерживаясь принятых выше обозначений, можно записать формулу агрегатного индекса цен:

Если же принять в качестве весов данные о количестве проданных товаров в базисном периоде, то формула агрегатного индекса цен будет иметь следующий вид:

Получены две формулы агрегатных индексов цен: с отчетными и базисными весами. Эти индексы не идентичны. Чтобы убедиться в этом, вычислим индексы цен с отчетными и базисными весами, используя данные таблицы.

Агрегатный индекс цен с отчетными весами равен

Агрегатный индекс цен с базисными весами равен:

Таким образом, величины индекса зависит от индексируемых показателей, т.е. от величин, изменения которых мы хотим определить (в данном случае цен), и от сомножителей, которые берутся в качестве весов (в нашем примере – количества проданных товаров), так как в зависимости от того, какие данные взяты в качестве весов – данные базисного или отчетного периода, получают два разных индекса.

Первый индекс характеризует изменение цен отчетного периода по сравнению с базисным по продукции, реализованной в отчетном периоде, и фактическую экономию от снижения цен. Экономическое содержание второго индекса совершенно другое. Он показывает, насколько изменились цены в отчетном периоде по сравнению с базисным, но по той продукции, которая была реализована в базисном периоде, и экономию, которую модно было бы получить от снижения цен, т.е. условную экономию. Возникает проблема выбора весов: какой период следует брать в качестве весов – базисный или отчетный? Правильное решение очень важно, поскольку от него зависит достоверность результатов изучаемого явления.

Агрегатный индекс цен с отчетными весами I_p=92.1% означает, что цены на указанные товары в отчетном периоде снизились по сравнению с базисным на 7,9% (базисный период принимается за 100%), а абсолютная фактическая экономия от снижения цен составила Sp₁q₁-Sp₀q₁=25045-27200=-2155 руб.

Агрегатный индекс с базисными весами I_p=90.7% означает, что цены в базисном периоде, если бы действовали цены отчетного периода снизились бы на 9,3%, а абсолютная условная экономия составила бы Sp₁q₀-Sp₀q₀=19465-21470=-2005 руб.

Нас же интересует фактическое снижение цен в отчетном периоде по сравнению с базисным и фактическая экономия от снижения цен. Поэтому мы выбираем агрегатный индекс с отчетными весами, правильно отражающий динамику изменения цен.

Таким образом, чтобы вычислить индекс цен, необходимо сопоставить стоимость товаров, проданных в отчетном периоде по ценам отчетного периода, со стоимостью этих же товаров, но по ценам базисного периода.

Агрегатный индекс представляет собой дробь, числитель и знаменатель которой состоят из двух сомножителей. Один из них является переменной индексируемой величиной (р₁ и р₀), а второй принимается условно в качестве постоянной величины – веса индекса (q₁).

Агрегатный индекс физического объема товарооборота должен показывать изменение физического объема в отчетном периоде по сравнению с базисным. Чтобы агрегатный индекс характеризовал только изменение физического объема товарооборота (продукции, потребления) и не отражал изменение цен, в качестве весов берутся неизменные цены как для базисного, так и для отчетного периода. Применение в качестве весов неизменных цен дает возможность получить правильное представление о динамике физического объема товарооборота (продукции или потребления), так как устраняет влияние динамики цен на динамику количества выпущенной, проданной или потребленной продукции.

Таким образом, в индексе физического объема сомножитель индексируемого показателя берется на уровне базисного периода.

Пользуясь принятыми обозначениями, запишем формулу агрегатного индекса физического объема продукции:

где числитель представляет собой стоимость продукции отчетного периода по ценам базисного, а знаменатель – стоимость продукции базисного периода по ценам того же периода. Подставив в формулу  необходимые данные из таблицы, получим I_q=27200/21470=1,267, или 126,7%. Это значит, что в отчетном периоде по сравнению с базисным общий физический объем реализованной продукции увеличился на 26,7%.

Абсолютное изменение физического объема вычисляется как разность между числителем и знаменателем индекса. В нашем примере

т.е. в отчетном периоде по сравнению с базисным физический объем реализованной продукции увеличился в абсолютном выражении на 5730 руб.

Постоянные и переменные веса агрегатных индексов. При вычислении индекса за два периода вопрос о весах сводится к выбору между базисным и отчетным периодами. На практике приходится иметь дело не только с двумя, но и с большим числом периодов. Если индексы исчисляются за несколько периодов, то для всех них могут быть приняты одни и те же веса – индексы с постоянными и переменными весами, или же для каждого периода свои веса – индексы с переменными весами. Покажем это на примере:

Количество и цены проданных товаров

Требуется вычислить помесячные индексы. Их можно вычислить по-разному, в зависимости от решаемой задачи.

Теоретически возможны четыре типа индексов.

1. Общие базисные индексы цен с постоянными (базисными) весами (январскими):

и т.д.

В данных индексах цены каждого последующего периода (февраля – р₁, марта – р₂ и т.д.) сопоставляются с ценами января (р₀) и взвешиваются на одно и то же количество товаров, проданных в январе (q₀). Полученные показатели характеризуют изменение цен по сравнению с начальным периодом, но не отражают изменения в структуре проданных товаров.

2. Общие базисные индексы цен с переменными (отчетными) весами:

и т.д.

В этих индексах цены каждого последующего периода (февраля – р₁, марта – р₂ и т.д.) сравниваются с ценами января (р₀), но в качестве весов берется каждый раз количество товаров отчетного периода (q_1,  q₂ и т.д.).

В вычисленных индексах находят отражение как изменения цен по сравнению с начальным (базисным) периодом, так и изменения структуры проданных товаров.

3. Общие цепные индексы цен с постоянными весами (январскими):

и т.д.

Эта группа индексов получена путем сопоставления цен каждого последующего периода с предыдущим, взвешенных на одно и то же количество товаров, проданных в январе (q₀). Эти индексы отражают изменение цен каждого периода по сравнению с предыдущим, но не отражают изменения в структуре проданных товаров.

4. Общие цепные индексы цен с переменными весами:

и т.д.

Эти индексы получены путем сопоставления цен каждого последующего периода с предыдущим, но взвешенных в каждом случае на количество товаров отчетного периода (q₁, q₂ и т.д.).

В рассчитанных индексах находит отражение как изменение цен за ряд последовательных периодов, так и изменение структуры проданных товаров.

Индексы с переменными весами не дают возможности перехода от цепных индексов к базисным, и наоборот, так как веса их различны:

Индексы с постоянными весами допускают возможность перехода от цепных к базисным индексам, и наоборот. Перемножив два (или несколько) цепных индексов с постоянными весами, получим базисный индекс:

а поделив два базисных индекса с постоянными весами, получим цепной:

Аналогично можно построить с постоянными и переменными весами индексы физического объема продукции и т.д.

В связи с разнообразием индексов возникает вопрос о выборе наиболее пригодного из них в каждом конкретном случае. Так, для характеристики изменения цен по сравнению с начальным периодом без учета изменений в структуре проданных (произведенных) товаров применяют общие базисные индексы с постоянными весами, в тех же целях, но с учетом изменения структуры – базисные индексы с переменными весами. Для определения изменения цен каждого периода по сравнению с предыдущим без учета изменений в структуре проданных товаров применяют цепные индексы с постоянными весами, с учетом изменений в структуре – цепные индексы с переменными весами.

Выбор периода взвешивания индексов зависит от того, какие индексы вычисляются: индексы количественных (объемных) или качественных показателей. В теории статистики принята следующая система взвешивания: сомножители количественных индексируемых показателей берутся на уровне базисного периода, а качественных – на уровне отчетного.

Другие агрегатные индексы.

Помимо индексов товарооборота, цен и физического объема в статистико-экономическом анализе применяются другие агрегатные индексы. Рассмотрим некоторые из них.

Индекс себестоимости продукции. Аналогично индексу цен строится агрегатный индекс себестоимости продукции. Он показывает, во сколько раз себестоимость в отчетном периоде в среднем выше или ниже базисной или плановой себестоимости, а также абсолютный размер экономии или перерасхода в результате изменения себестоимости. Индекс себестоимости продукции является индексом качественных показателей и исчисляется по весам (объему) продукции отчетного периода:

где z₁ -  себестоимость единицы продукции в отчетном периоде; z₀ – то же в базисном (или плановом) периоде; q₁ – количество продукции в отчетном периоде.

Индекс производительности труда. Производительность труда определяется количеством продукции, произведенной в единицу времени, или затратами рабочего времени на производство единицы продукции. Для определения изменения производительности труда в отчетном периоде по сравнению с базисным надо затраты рабочего времени на производство единицы продукции в базисном периоде (t₀) поделить на затраты рабочего времени на производство единицы продукции в отчетном периоде (t₁). Таким образом, индивидуальный индекс производительности труда равен

Чтобы построить агрегатный индекс производительности труда, необходимо затраты рабочего времени на производство единицы продукции взвесить на количество продукции, произведенной в отчетном периоде:

где t₁q₁ – фактические затраты времени на производство всей продукции в отчетном периоде, а t₀q₁ указывает, сколько времени пришлось бы затратить на производство всей продукции отчетного периода в базисном периоде. В этом индексе, в отличие от приведенных выше, t₀ находится в числителе, а не в знаменателе, потому что время и производительность труда связаны обратной зависимостью: чем меньше затраты времени на производство продукции, тем выше при прочих равных условиях производительность труда. Поэтому, чтобы при исчислении индекса получить прямой показатель производительности труда, t₀  записывается в числитель, а t₁ – в знаменатель индекса.

Агрегатный индекс производительности труда, как индекс качественных показателей, также рассчитывается по весам (объему продукции) отчетного периода.

Индекс трудоемкости. Индекс трудоемкости характеризует изменение трудоемкости единицы продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным. Величина индекса трудоемкости обратно пропорциональна величине индекса производительности труда, вычисленной по затратам времени на производство единицы продукции. Формула индивидуального индекса:

а агрегатного -

Индекс трудоемкости является индексом качественных показателей и вычисляется по весам отчетного периода.

Индекс выполнения плана. Особенность этого индекса заключается в том, что при его вычислении фактические данные сопоставляются не с базисными, а с плановыми, причем весами индекса могут быть показатели как плановые, так и фактические.

Среднеарифметические и среднегармонические индексы.

Агрегатные индексы цен, физического объема товарооборота и др. могут быть вычислены при условии, если известны индексируемые величины и веса, т.е. р и q. Но в ряде случаев мы не располагаем необходимыми данными, а имеем произведение рq и индивидуальные индексы i. Возникает проблема построения средних индексов, идентичных агрегатным, путем осреднения индивидуальных индексов. Эта задача решается преобразованием агрегатного индекса в среднеарифметический и среднегармонический индексы.

Рассмотрим преобразование агрегатного индекса в среднеарифметический на примере агрегатного индекса физического объема товарооборота. В этом случае индивидуальные индексы должны быть взвешены на базисные соизмерители. Из индивидуального индекса физического объема товарооборота  следует, что q₁=i_qq₀. Заменив q₁  в числителе агрегатного индекса физического объема товарооборота  на i_qq₀, получим

Это и есть среднеарифметический индекс физического объема товарооборота.

В тех случаях, когда не известны отдельные значения p₁ и q₁, а дано их произведение p₁q₁ – товарооборот отчетного периода и индивидуальные индексы цен  определеим неизвестное значение р₀ и, заменив в формуле агрегатного индекса цен  значение

Индекс в такой форме называется среднегармоническим.

Система взаимосвязанных индексов. Факторный анализ.

Система взаимосвязанных индексов дает возможность широко применять индексный метод для изучения взаимосвязей общественных явлений, проведения факторного анализа с целью определения роли, влияния отдельных факторов на изменение сложного явления. И здесь снова возникает проблема весов.

Рассмотрим построение систем взаимосвязанных индексов на примере индексов цен, физического объема товарооборота и товарооборота. Агрегатные индексы цен, физического объема товарооборота и стоимости товарооборота изложены выше. При построении агрегатного индекса цен одна индексируемая величина является величиной переменной (р₁ и р₀), а вторая величина – веса индекса – принимается условно в качестве постоянной величины (q). В агрегатном индексе физического объема продукции переменной индексируемой величины является физический объем (количество) продукции (q₁ и q₀), а в качестве соизмерителя постоянной величины принимается цена (р₀). Таким образом, принцип построения индексов цен и физического объема продукции заключается в том, что они характеризуют изменение одного фактора при постоянном, неизменном значении другого фактора.

Величина индекса товарооборота зависит не только от изменения цен от одного периода к другому, но и от изменения физического объема товарооборота, т.е. не только от индекса цен, но и от индекса физического объема товарооборота. Связь между этими тремя индексами такая: I_pq=I_p*I_q. Чтобы убедиться в этом, подставим буквенные обозначения и получим:

При построении системы взаимосвязанных индексов веса сопряженных индексов должны браться на уровне разных периодов. Если индексы качественных показателей построены с весами отчетного периода, то индексы количественных показателей должны быть построены с соизмерителями базисного периода. В противном случае не будет системы взаимосвязанных индексов.

При анализе себестоимости необходимо учитывать следующую систему взаимосвязанных индексов: I_zq=I_z*I_q, т.е. индекс издержек производства равен индексу себестоимости, умноженному на индекс физического объема:

В этой системе индексов I_z взвешивается по количеству изделий, выработанных в отчетном периоде, а I_q – по уровню себестоимости отдельных изделий в базисном периоде.

Аналогично, при анализе производительности труда можно построить систему взаимосвязанных индексов. Так, индекс производительности труда равен отношению индекса физического объема продукции (по трудовым затратам) к индексу трудовых затрат:

Если, например, индекс физического объема продукции составил 114,4%, а индекс трудовых затрат – 104%, то индекс производительности труда будет равен:

Производительность труда в отчетном периоде по сравнению с базисным выросла на 10%.

До сих пор мы при помощи индекса рассматривали двухфакторную связь: связь общего индекса с двумя сопряженными индексами – факторами. Но общий индекс может зависеть от трех, четырех и более факторов, т.е. связь может быть трехфакторная, четырехфакторная и т.д. Поэтому общие индексы могут быть разложены не только на два, но и на три и более факторных индекса, объясняющих изменение общего индекса влиянием каждого фактора в отдельности.

Индексы средних величин.

Индексы переменного и фиксированного состава. В ряде случаев приходится изучать динамику общественных явлений, уровни которых выражены средними величинами (средней себестоимостью, средней заработной платой, средней урожайностью, продуктивностью животных, средней производительность труда и т.д.)

Динамика средних показателей зависит от одновременного изменения вариантов, из которых формируются средние, и изменения удельных весов этих вариантов, т.е. от структуры изучаемого явления. Так, например, средняя производительность труда на предприятии может возрастать за счет ее повышения у рабочих отдельных специальностей и повышения удельного веса рабочих с более высокой производительностью труда в общей численностью рабочих.

Таким образом, на изменение динамики среднего значения изучаемого явления могут оказывать влияние одновременно два фактора: изменение осредняемого показателя и изменение структуры. Изучение совместного действия указанных  факторов на общее изменение динамики среднего уровня явления, а также роли и влияния каждого фактора в отдельности в общей динамике средней проводится в статистике при помощи системы взаимосвязанных индексов.

Так как величина индекса зависит отвесов, то и здесь возникает вопрос о весах средних. В связи с этим различают индексы переменного и фиксированного состава. Рассмотрим их построение и содержание на примере индекса себестоимости продукции. Очевидно, что на эту величину влияют не только изменение себестоимости единицы продукции на каждой фирме, но и изменение роли отдельных фирм в общем объеме выпускаемой продукции. Общий индекс, в котором отражается влияние этих двух факторов, определяем как отношение следующих двух средних:

и                                       

т.е.                           

Индексы, отражающие изменение средних величин за счет влияния только индексируемых величин при постоянных весах, называются индексами фиксированного (постоянного) состава.

Разложение общих индексов на факторные также дает возможность определить роль отдельных факторов в общем изменении явления не только в относительном, но и в абсолютном выражении.

Изучение динамики средних показателей индексным методом возможно только после разбивки данных совокупностей на группы по признакам, характеризующим структурные сдвиги, и вычисления групповых средних. Таким образом, применение индексного метода для проведения факторного анализа и изучения структурных сдвигов тесно связано с методом группировок.

Систему взаимосвязанных индексов для анализа динамики средних показателей можно представить в следующем виде:

₁ и х₀ – уровни осредняемого показателя соответственно в отчетном и базисном периодах, а f₁ и f₀ – веса (частоты) усредняемых показателей соответственно в отчетном и базисном периодах.

В указанной системе взаимосвязанных индексов при построении индекса фиксированного состава в качестве весов принята структура отчетного периода, что позволяет нам проследить изменение средней динамики изучаемого явления только за счет изменения осредняемых значений качественного показателя. При построении индекса структурных сдвигов в качестве соизмерителя принята величина осредняемого показателя на уровне базисного периода, что дает возможность изучить изменение средней динамики явления только за счет структурных сдвигов.