Структура аффинного пространства над телом

 MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section 1 SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT  SEQ MTSec 1 h * MERGEFORMAT     Структура аффинного пространства над телом

1.   Введение

Чтобы лучше понимать аффинную структуру и не теряться от ее кажущейся сложности, можно обратиться к более общему понятию однородного пространства. Это даст также повод вспомнить, что понятие группы возникло путем абстракции из понятия группы преобразований, и, более того, оно полностью проявляет себя, когда мы рассматриваем действие группы на некотором множестве.   

 Считая хорошо известным понятие абстрактной группы, введем

Определение 1.1. Пусть

Говорят, что   действует слева на множестве  удовлетворяет условиям

     и                                                (1)

Аналогично говорят, что  действует на  справа, если определено отображение  удовлетворяет условиям

      и                                              (1/)

Соотношения (1) (соответственно (1/)) показывают, что биекции  на  (соответственно

Например, любая группа  действует сама на себе слева левыми сдвигами:  и справа правыми сдвигами:

Группа  действует на себе слева также внутренними автоморфизмами:

Условимся считать, если иное не оговорено, что действие группы на множестве понимается как действие слева.

Понятно, что для коммутативной группы

Определение 1.2. Пусть группа  действует слева на множестве  с законом действия  действует на  транзитивно, если для любой пары  элементов  существует хотя бы один элемент  просто транзитивно, если этот элемент  всегда единственный.

Пример. Линейная группа  автоморфизмов  действует транзитивно на

Определение 1.3. Пусть группа  действует слева на множестве Стабилизатором подмножества  множества  называется множество

Непосредственно ясно, что  состоит из одного элемента группой изотропии элемента

Замечание. Стабилизатор  является пересечением двух множеств  и    действует на себе трансляциями и  не является подгруппой, а

Определение 1.4. Пусть орбитой элемента  называется образ  при отображении

Если   действует на  транзитивно, то орбиты всех элементов совпадают с

Замечание. На отношение эквивалентности, полагая пространством орбит.

Однородные пространства

Определение 1.5. Однородным пространством, ассоциированным с группой транзитивное действие группы

Пример (типовой). Пространство смежных классов группы по ее подгруппе.

Пусть левыми смежными классами относительно  из  объявляются эквивалентными, если существует элемент  есть множество  элементов вида

Действие слева группы  на  определяется с помощью  является однородным пространством относительно этого действия.

Мы увидим, что всякое однородное пространство приводится (при помощи биекции) к пространству такого вида.

Теорема 1.1. Пусть   пусть  факторпространства  на   выполнено  на

Доказательство. Соотношение  равносильно  и, значит,   или  переносится на фактормножество и представляется в виде

Специальный случай

Если группа  действует на  просто транзитивно, то группы изотропии  тривиальны; для каждой точки  отображение  является биекцией, удовлетворяющей условию

Эта биекция  позволяет перенести на которая, однако, будет зависеть от выбора точки  допускает структуру группы, изоморфной

Так и будет обстоять дело в случае ”аффинной структуры”.

2.Аффинные пространства

Определение 2.1. Пусть Аффинным пространством, ассоциированным с ℰ, на котором определено просто транзитивное действие абелевой группы

Это действие записывается обычно в виде

                 ℰ,      

Для любого  биекция ℰ ℰ, называется трансляцией на вектор  элементов  ℰ единственный вектор  

Чтобы отличить элементы ℰ (называемые точками) от элементов  (называемых векторами), мы будем преимущественно обозначать ”точки” прописными буквами латинского алфавита, такими, как

Можно привести два равносильных данному определению 2.1. обычных определения, не опирающихся на понятие действия группы.

Определение 2.2. Аффинным пространством, ассоциированным с ℰ, снабженное семейством биекций

a) ℰ и

b) для любой пары  ℰℰ существует единственный вектор

Определение 2.3. Аффинным пространством, ассоциированным с ℰ, снабженное отображением ℰℰ

a)     для каждого ℰ отображение ℰ биективно;

b)     для любых точек  из ℰ  выполнено соотношение Шаля

             

Заметим, что из этих условий следует, что для любой точки ℰ мы имеем

От определения 2.3. к определению 2.2. можно перейти, обозначив через  единственную точку

Из какого бы определения мы ни исходили, существенным остается тот факт, что для любой точки ℰ отображение  ℰ,  есть биекция; эта биекция позволяет перенести на ℰ векторную структуру

Обозначения. Полученная таким путем векторная структура на ℰ будет называться векторной структурой с началом ℰ с этой структурой будет обозначаться ℰA.

Говоря нестрого, аффинное пространство выглядит как векторное пространство, начальный (нейтральный) элемент которого еще не выбран. Аффинные свойства ℰ- это те свойства векторного пространства ℰA, которые не зависят от выбора точки

Таким образом, можно было бы, пренебрегая аффинной структурой, свести все задачи аффинной геометрии к задачам векторного характера путем выбора начальной точки; так и делается в математическом обиходе. Но больше в духе ”внутреннего” исследования была бы работа без выбора начальной точки, позволяя яснее представить именно аффинные свойства ℰ. Так мы и поступим, не забывая при этом, что введение векторной структуры с надлежащим выбором начальной точки часто проясняет дело.

Размерность аффинного пространства

Пусть ℰ- аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством ℰ равна размерности

В частности, любое одноточечное множество допускает единственную аффинную структуру размерности

    Аффинные подпространства

    (Линейные аффинные многообразия)

Пусть ℰ- аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством  пространства  образует подгруппу группы ℰ трансляциями. По определению, орбиты действия  на ℰ называются линейными аффинными многообразиями (сокращенно ЛАМ) с направлением также аффинными подпространствами в ℰ.

Если  есть ЛАМ с направляющим подпространством  и  допускает структуру векторного пространства с началом  и  есть векторное подпространство в  ℰA. Обратно, любое ВПП пространства ℰA  есть ЛАМ, проходящее через

Предложение 3.1. Аффинные подпространства в ℰ, проходящие через точку  векторные подпространства векторного пространства ℰA.

Это краткое рассмотрение показывает, что направление ЛАМ  пространства ℰ  полностью определяется заданием множества точек

Другие определения.

Предложение 3.1. показывает, что данное выше определение эквивалентно следующему элементарному определению:

Определение 3.1. Непустое подмножество  аффинного пространства ℰ называется линейным аффинным многообразием, если в  существует точка  является векторным подпространством в

Приняв определение 3.1., можно непосредственно установить следующее

Предложение 3.2. Пусть ℰ и  есть векторное подпространство в  из  множество  совпадает с

Доказательство.  есть множество векторов  есть образ  при биекции

Установив это, легко убедиться, что  наделено структурой аффинного пространства, ассоциированного с векторным пространством

Вместо того, чтобы исходить из векторной структуры  на

Определение 3.2. Пусть  и ℰ с помощью

                            

аффинными многообразиями с направлением  называются классы эквивалентности по отношению

Существуют и другие способы определить ЛАМ пространства ℰ, но нам кажется, что данные выше определения ведут к наиболее простому способу изложения дальнейшего.

Случай векторного пространства.

Каждое векторное пространство  канонически снабжено аффинной структурой, так как  действует на себе трансляциями; в этом случае нулевой вектор  называется также ”началом”  и

          .

ЛАМ пространства  при параллельном переносе

Ради кратности ЛАМ, не проходящие через начало, будут называться собственно аффинными (поскольку они не являются ВПП в

 Размерность линейного аффинного многообразия

Вернемся к случаю произвольного аффинного пространства ℰ; предшествующие рассмотрения позволяют определить размерность ЛАМ как размерность его направляющего ВПП. Отсюда появляются понятия: аффинной прямой (ЛАМ размерности 1) и аффинной плоскости (ЛАМ размерности 2). ЛАМ размерности  суть точки ℰ.

Аффинной гиперплоскостью называется ЛАМ, направляющее подпространство которого есть векторная гиперплоскость.

Пересечение линейных аффинных многообразий

Предложение 3. 3. Пусть ℰ и  для каждого

Если пересечение  непусто, то оно является аффинным подпространством в  с направляющим

Доказательство сразу получается из определения 3.1. При тех же обозначениях имеет место

Предложение 3.4. Для того, чтобы пересечение  двух ЛАМ в ℰ было непустым, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие точки  и  , что

  

Доказательство. Если  имеем   и

Обратно, если существуют  и  в виде  , принадлежит  и, как легко видеть,  принадлежит также  не пусто.

Из предложения 3.4. можно получить примеры ЛАМ с пустым пересечением, а также

Предложение 3.5. Если ℰ, направляющие которых взаимно дополняют друг друга в  и  имеют единственную общую точку.

Параллелизм

Определение 3.3. Говорят, что два линейных аффинных многообразий  вполне параллельны, если они имеют одно и то же направляющее подпространство:

Более общо, говорят, что  параллельно   многообразий  удовлетворяют включению

Можно проверить, что отношение ” вполне параллельно (соответственно параллельно)  ” равносильно существованию трансляции  пространства ℰ, такой, что  (соответственно

Аффинное подпространство, порожденное подмножеством ℰ

Предположение 3.6. Если ℰ, то существует единственное аффинное подпространство в ℰ, обозначаемое  и обладающее следующим свойством:

Любое аффинное подпространство ℰ, содержащее

Говорят, что  порождено

Коротким способом доказательства предложения 3.6. является применение предложения 3.3.:  есть пересечение всех ЛАМ, содержащих

Более элементарный и конструктивный способ состоит в выборе в  начальной точки ℰA, содержащего  (поскольку ЛАМ, содержащее ℰ). Таким образом,  есть ВПП в ℰA, порожденное не зависит от выбора точки   в  есть ВПП в

Предложение 3.7. Пусть ℰ; для каждой точки  положим  не зависит от выбора  и  есть ЛАМ, проходящее через  с направлением

Можно дать прямое доказательство этого утверждения, аналогичное доказательству предложения 3.2.

В частности, если  не зависит от  и, следовательно, совпадает с

 и 

Отсюда вытекает

Предложение 3.8. Размерность аффинного подпространства, порожденного  точками  пространства ℰ не превосходит  тогда и только тогда, когда  векторов  (свободное семейство.

Другие свойства ЛАМ изучаются в связи с понятием барицентра.

Барицентры: приложения к изучению аффинных подпространств

В последующем ℰ всегда обозначает аффинное пространство, ассоциированное с левым векторным пространством  над, вообще говоря, некоммутативным телом   ℰ

Теорема 4.1. Для каждого конечного семейства (системы)   взвешенных точек, такого, что a), b), c):

a)

b) ℰ 

c) ℰ 

Эта точка называется барицентром (центром тяжести) системы

Эквивалентность трех условий легко устанавливается с помощью соотношения Шаля.

Свойства. a)  Однородность (слева).

Предложение 4.2. Для любого  имеем

            

b) Ассоциативность.

Предложение 4.3. Пусть разбиение  .

Если для любого  скаляр  отличен от нуля и мы положим

Доказательства получаются непосредственно

Замечания. По определению 4.2. можно всегда привести дело к случаю, когда ”полная масса” системы  равна 1. В этом и только в этом случае можно положить

                             

Для успешного использования этого обозначения следует заметить, что соотношение  равносильно каждому из следующих утверждений:

         и ℰ                                       (1)

                 ℰ                                               (2)

так как (2) влечет за собой (1).

Эквибарицентром конечного подмножества  пространства ℰ называется точка  не является делителем числа

Следующее утверждение показывает, что отыскание барицентра сводится, за некоторыми исключениями, к последовательному построению барицентров пар точек.

Предложение 4.4. Пусть  для всех  и

Если характеристика  отлична от 2, то существует разбиение  множества

 и

Доказательство. Если одна из сумм  и

Если все суммы  равны нулю, то все  равны одному и тому же элементу

Если характеристика  отлична от 2, то  не равно нулю, получим искомое разбиение, выбирая   как двухэлементное подмножество, а  как подмножество из  элементов.

Следствие. Если характеристика  не равна 2, то построение барицентра  точек приводится к последовательному построению  барицентров пар.

Приложения к линейным аффинным многообразиям

Теорема 4.5. Если ℰ, то  есть множество барицентров конечных семейств взвешенных точек с носителями в

Доказательство. Уточним сначала, что под носителем семейства  понимается множество

Условившись об этом, выберем некоторую точку  в  суть точки

                                                                               (3)

где  и   и поэтому  (см. предложение 3.7). Обратно, если  ( с суммой, необязательно равной 1), такие, что

 с  и

таким образом,  есть барицентр системы с носителем в

Определение 4.1. Подмножество ℰ называется аффинно порождающим ℰ, если  ℰ; оно называется аффинно свободным, если любая любая точка  из  единственным образом представляется в виде

 и  при любом

Множество, одновременно аффинно свободное и аффинно порождающее, называется аффинным репером.

Выбирая начало  в  и пологая  аффинно свободное (соответственно аффинно порождающее) тогда и только тогда, когда  свободное (соответственно множество образующих). (Напомним, что  не зависит от выбора

Предложение 4.6. Для того, чтобы подмножество  пространства ℰ было аффинно порождающим, необходимо и достаточно, чтобы  не содержалось ни в какой аффинной гиперплоскости в ℰ.

Наконец, применяя предложение 3.7, получим

Предложение 4.7. Если ℰ- аффинное пространство конечной размерности  точками.

Обратно, для того, чтобы  точек в ℰ образовали аффинный репер, необходимо и достаточно, чтобы  векторов   образовали базис  не принадлежали одной аффинной гиперплоскости.

Заметим, что если  есть ЛАМ конечной размерности в ℰ и  есть множество точек  с аффинная прямая, соединяющая две точки  в ℰ, есть множество точек

Характеризация аффинных подпространств

Следующая теорема оправдывает элементарное определение плоскости в школьном курсе геометрии как такого множества   точек, что каждая прямая, имеющая с ним две общие точки, вся принадлежит

Теорема 4.8. для того, чтобы непустая часть  пространства  была линейным аффинным многообразием, необходимо и достаточно, чтобы

a) если  - любая прямая, соединяющая две точки

b) если  лежал в

Доказательство. Нам уже известна необходимость этого условия. Для доказательства достаточности выберем в  точку  и покажем, что  есть ВПП пространства

a)     Предположив, что  и  влекут

Действительно, по предположению существует точка  АВ) и, значит,

Рассмотрим далее два любых вектора  и  в   и выберем  (что возможно, так как  не сводится к  и  (см. рис. 1) принадлежат соответственно прямым (АВ) и (АС), а поэтому  и  принадлежит  , откуда  есть ВПП в

                Рис. 1

b)     Если  влечет  (так как  может принимать только два значения 0, 1). Если

Аффинные и полуаффинные отображения

Определение 5.1. Пусть ℰ,

Отображениеℰназывается полуаффинным (соответственно аффинным), если в ℰ существует такая точка    полулинейно (соответственно линейно).

Предложение 5.1. Если в ℰ существует точка ℰ и отображение  не зависит от

Доказательство. Для любой пары ℰ имеем в силу линейности

что и доказывает требуемое.

Обозначения. Отображение  обозначается  и называется полулинейной (соответственно линейной) частью

Истолкование. Фиксируем в ℰ некоторую точку  и снабдим  векторными структурами, принимая за начало в ℰ точку  будет полуаффинным (соответственно аффинным) в том и только том случае, если ℰА в

 В частности, изучение полуаффинных (соответственно аффинных) отображений пространства ℰ в себя, допускающих неподвижную точку ℰА в себя.

Так обстоит дело в случае геометрий, проектирований и симметрий (см. ниже).

Важно заметить, что полуаффинные (соответственно аффинные) отображения полностью определяется своей полулинейной (соответственно линейной) частью и образом одной точки.

Если  и  есть отображение вида  полулинейно (соответственно линейно), а

Непосредственные следствия. Если ℰ полуаффинно, то

1)     Образ ЛАМ в ℰ есть ЛАМ в

2)     Прообраз ЛАМ в  есть ЛАМ в ℰ или пустое множество.

3)     Для любой системы  взвешенных точек ℰ образ барицентра  есть барицентр  обозначает изоморфизм тел, ассоциированных с

Применение аффинных реперов

Теорема 5.2. Пусть ℰ,    на ℰ и

 Тогда существует единственное полуаффинное отображение  пространства ℰ  в  для всех

Более того,  биективно (соответственно инъективно, сюръективно) тогда и только тогда, когда семейство  есть аффинный репер (соответственно свободное семейство, семейство образующих) для

Доказательство. Вернемся к теореме  в качестве начала в ℰ, а соответствующую точку  определяется равенством

                        

для любого конечного подмножества  и любой системы скаляров

В частности, аффинное отображение ℰ в  определяется заданием образа аффинного репера из ℰ.

 Приложение: уравнение аффинной гиперплоскости или ЛАМ

Опираясь на исследование, проведенное в параграфе II.6, легко получаем

Предложение 5.3. Пусть ℰ- аффинное пространство над телом

a)     Если  ℰ - непостоянное аффинное отображение, то ℰ с направлением

b)     Обратно, если ℰ, то существует аффинное отображение  ℰ, такое, что ℰ  в  с этим свойством суть отображения

Если ℰ- аффинное пространство конечной размерности  в ℰ определяется системой уравнений вида  ℰ в

Характеризация аффинных отображений

Теорема 5.4. Пусть ℰℰ было аффинным, необходимо и достаточно, чтобы

a)     при

         ℰ

b)     при  образ эквибарицентра любых трех точек ℰ был эквибарицентром их образов.

Доказательство (аналогичное случаю теоремы 4.8.).

a)     При фиксированной точке ℰ соотношение a) показывает, что для любого вектора  направляющего пространства  имеем

.

Отображение  удовлетворяет, следовательно, условию

Чтобы доказать, что выполняется и условие  для любых   и  условиями a), получим тогда

откуда

Можно также сформулировать теорему 5.4. так: отображение ℰ в  является аффинным тогда и только тогда, когда его ограничение на любую аффинную прямую в ℰ  аффинно.

В дальнейшем мы дадим чисто геометрическую характеристику полуаффинных отображений.

Неподвижные точки аффинных и полуаффинных отображений.

Теорема 5.5. Если  его неподвижных точек не пусто, то оно является ЛАМ с направляющим множеством

             С другой стороны, если  конечномерно и

            Доказательство. Если фиксировать точку  где

·        Если  равносильно

·        Если  инъективно и потому в случае конечной размерности  биективно; в  такая, что  откуда следует второе утверждение.

   Важное  замечание. Если  

Это общее замечание особенно полезно в случае аффинных отображений.

Аффинные и полуаффинные группы.

Если  и  -  два аффинных (соотв. полуаффинных) отображения, то  также есть аффинное (соотв. полуаффинное) отображение и  Отсюда выводится

Теорема 5.6. Пусть  Аффинные (соотв. полуаффинные) биекции  на  образуют группу, которую мы обозначаем  (соотв.  (линейная или полулинейная часть) есть гомоморфизм

      Наконец, для любой точки  в  ограничение  на группу изотропии точки  (соотв.

Последнее утверждение получим, выбирая

Следствие. Если  есть подгруппа в  (соотв. в

 В частности, если  то  есть инвариантная подгруппа в .

      Если  есть инвариантная подгруппа в и центральными симметриями.

      Если гомотетиями, то дилатаций.

      Пусть  где  В этом случае  имеет единственную неподвижную точку  определяемую из условия  где   выражается как  Такое отображение называется гомотетией с центром  и коэффициентом

      Сформулируем

Предложение 5.7. Трансляции и гомотетии  составляют инвариантную подгруппу группы дилатаций

 Если основное тело  коммутативно, то группа  является инвариантной подгруппой группы

Проектирования

Назовем проектированием  пространства

                                

                                                        Рис. 2

Для такого отображения любая точка

Предложение 5.8. Отображение  является проектированием, если существует ВПП  пространства  в  с направляющим подпространством  дополнительным к  ее образ  есть точка пересечения  с ЛАМ, проходящим через  с направлением  (рис. 2).

Аффинные симметрии

 Теорема 5.9. Пусть

Для того, чтобы аффинное отображение   было инволютивным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело по меньшей мере одну неподвижную точку и чтобы его линейная часть была векторной симметрией

            Такое отображение называется аффинной симметрией.

Доказательство. Если  будет середина отрезка  таким образом, эта точка инвариантна при отображении  и, выбрав ее за начало, мы сведем дело к векторному случаю.

Предложение 5.10.  Отображение  является аффинной симметрией, если существуют ВПП  пространства  и ЛАМ  такие, что для любой точки (см.рис.2)

1).

2). Середина

Если  сводится к одной точке  то  и  есть центральная симметрия с центром

Теорема Фалеса

            Пусть по-прежнему  есть ВПП в  и   два аффинных пространства в  дополнительны к  Обозначим через  на  (соотв. Тогда, как легко видеть,  является аффинной биекцией  на  точки  определяется условиями  и  (см. рис. 3).

            В более общей форме теорема Фалеса есть не что иное, как констатация того факта, что установленное

                         

                                              Рис.3

указанным способом соответствие между  и  является аффинным.

В частности, если  векторная гиперплоскость, то справедлива

Теорема 5.11. Аффинные гиперплоскости, параллельные некоторой фиксированной гиперплоскости, высекают на произвольной паре не параллельных им прямых пропорциональные отрезки.

§6. Каноническое погружение аффинного пространства в векторное. Приложения.

Пусть снова  позволяет отождествить  с  теперь мы докажем, что  изоморфного

            Метод будет состоять в сопоставлении каждой точке  отображения

Предварительно сформулируем такое утверждение:

Лемма. Пусть  левое векторное пространство над телом  а  отображений  в  по отношению к обычным операциям сложения функций и умножению их слева на скаляры:

    и   

            В силу доказанного искомое векторное пространство  будет ВПП в   порожденным отображениями  Поэтому мы начнем с изучения этого пространства

Предложение 6.1. Пусть   векторное подпространство в  пуст, далее,  элемент из

А). Сумма  зависит только от функции  и притом линейно, т.е. является линейным отображением  в  которое мы обозначим

Б). Если  то существует единственная  точка

В). Если  то  постоянна.

Доказательство. Заметим сначала, что утверждение А) не очевидно, так как могут существовать различные системы взвешенных точек  но оно легко вытекает из того факта, что для любой пары  выполнено соотношение

                                                                                                (1)

которое доказывает существование и линейность функции

Б). Если  выберем в  произвольную точку  Соотношение  (1) показывает, что в  существует единственная точка  такая, что  она определяется условием  Из (1) также видно, что эта точка – единственная, для которой  Таким образом, барицентр семейства  зависит только от функции

В). Наконец, последнее утверждение также вытекает из (1).

Следствие.  является теоретико-множественным объединением векторного пространства постоянных функций и множества функций вида

Предложение 6.2. Пусть  отображение  и пусть  в  которое любому вектору  ставит в соответствие постоянную функцию, равную  на

Тогда  аффинно с линейной частью  есть аффинная гиперплоскость в  с уравнением  

Доказательство. Для любой пары  разность  аффинно,  и  инъективно, как и

            С другой стороны, как показывает предыдущее предложение, функции  суть элементы  удовлетворяющие условию

Теорема 6.3. К каждому аффинному пространству

·        Векторное пространство  изоморфное

·        Ненулевую линейную форму  на

·        Аффинную инъекцию  - аффинная гиперплоскость в

Доказательство. Остается только установить изоморфизм между  и   путем изоморфизм очевидным образом зависит от выбора точки

 Заметим, что аффинная гиперплоскость  имеет в качестве направляющей векторную гиперплоскость  постоянных функций, которая отождествляется с

Замечания. 1). Векторную структуру на множестве  можно определить непосредственно, не прибегая к векторному пространству

2). Особый интерес теоремы 6.3 в том, что она обеспечивает каноническое погружение  единственным образом определяемое заданием

Обозначения. Векторное пространство  и обозначается

      Если  имеет размерность  то размерность  равна   Мы увидим, что введение этого пространства позволяет прояснить многие вопросы.

§7. Приложения теоремы о погружении.

Векторная интерпретация барицентров.

      Вернемся к обозначениям §6. Инъекция  с аффинной гиперплоскостью  в  позволяет отождествить

      Предложение 7.1. Пусть

Доказательство. Это вытекает из соотношения  

Правило. Отождествление  с подмножеством в    элементов

Приложения. 1). Для того, чтобы три точки  из  были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовали не равные одновременно нулю скаляры  такие, что

                     и                                              (1)

      Соотношения (1) на самом деле равносильны одному соотношению     и возможностью складывать подобные соотношения.

2). Если  то барицентром системы  является точка пересечения с  векторной прямой с направляющей  в

3). Для того чтобы семейство  точек из  было аффинно свободным (соотв. аффинно порождающим), необходимо и достаточно, чтобы семейство  было свободным (соотв. семейством образующих) в векторном пространстве

В частности, аффинный репер  является базисом

Векторная интерпретация аффинных отображений.

Мы начнем с установления одного общего результата, независимого от теории векторных продолжений

Предложение 7.2. Пусть  (соответственно  (соответственно

А) Если  - линейное отображение, такое, что  на  есть аффинное отображение  в  на

Б) обратно, если  - аффинное отображение, то существует единственное линейное отображение  совпадает с

Доказательство.

А) Если  линейно и  имеем и  на  аффинно с линейной частью

Б) Обратно, пусть в  и обозначим через  (соответственно  (соответственно  

1.

2. Ограничения  на  равно линейной части

Но существует единственное линейное отображение  из  в  определено своими ограничениями на дополнительные ВПП  и  пространства  на  - есть аффинное отображение с той же линейной частью, что и  то же значение, что и   откуда вытекает доказываемый результат.

      Существует, следовательно, биективное соответствие между аффинными отображениями  в  и линейными отображениями  в

С другой стороны, если

                                            Рис.4

Наконец, если  - автоморфизм  и  - аффинная гиперплоскость в  влечет равенства  есть аффинная гиперплоскость в II 6.2, вернувшись к векторному случаю путем замены начала в

            Т.о. мы можем сформулировать

Предложение 7.3. Пусть  - векторное пространство,  - аффинная гиперплоскость в   Существует изоморфизм группы аффинных биекций  на стабилизаторе  в  (подгруппу

            Эти результаты применимы, в частности, к случаю, когда,  - векторные продолжения аффинных пространств  - образы  при канонических погружениях  в  пространства  отождествляется с подгруппой

            Случай конечной размерности.

Если аффинное пространство  имеет конечную размерность  можно выбрать базис  так, что  при  и  есть декартов репер в  с началом  (рис 4).

            В этом случае  является множеством точек  в базисе  пространства

                                 (2)

где  - квадратная матрица порядка  с матрицей (2) соответствует аффинное отображение  имеет форму

 ,                     (3)

Матричные вычисления показали бы, что для этого соответствия соблюдаются правила композиции отображений. С другой стороны, эндоморфизм  с матрицей (2) обратим тогда и только тогда, когда обратима матрица (2), и тогда выполняется и равенство

Теорема 7.4. Группа аффинных биекций  принадлежит

В частности, группа аффинных биекций  тела  изоморфна подгруппе  в

8.Геометрическая характеризация инъективных полуаффинных отображений.

            Ниже мы обозначаем через  два аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторными пространствами  над произвольными телами  в

            Теорема 8.1. Допустим, что  было полуаффинным, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло следующим двум условиям:

1.      Образ любой аффинной прямой из  был аффинной прямой в

2.       Образы двух параллельных прямых был параллельными прямыми.

Доказательство. Необходимость условия очевидна. Доказательство

достаточности проведем в несколько этапов, все время предполагая, что  удовлетворяет условиям 1) и 2).

А). Образы при  двух различных прямых  из  суть также две различные прямые.

В самом деле, пусть  - прямые в  -  две различные точки их общего образа. Тогда прообразы  точек  и  и  одновременно и различны (в силу иньективности

     Б). Отображение  не зависит от выбора

В самом деле, пусть другая точка  и  таковы, что

  параллелограмм, то из 2) и А) следует, что его образ

   

Если точки  принадлежат одной прямой  позволяет выбрать в  так, что

откуда

Отображение  обозначаем отныне просто

В).  Отображение  инъективно и удовлетворяет условию

                     (1)

Инъективность  сразу следует из инъективности  выберем в  такие точки  и

Д). Существует отображение

                        (2)

Доказательство. Достаточно найти  выберем  в  так, что  и  коллинеарны, то коллинеарны и векторы  не зависит от вектора  (по предположению ненулевого).

1).  Если  с направляющими

Для любого

откуда в силу неколлинеарности  

2). Если  позволяет выбрать   так, что пары  и  свободны. Отсюда находим, что

  

Так для каждого  отображение  есть константа, мы обозначим ее через

Е). Отображение  является изоморфизмом тел.

 Выбрав  и  влекут (с учетом

 и

т.е. показывают, что  - гомоморфизм тел.

            Наконец, для любой точки  отображение  есть биекция  на прямую  на  биективно.

            Итак,

Случай плоскости.

Если  двумерны, то условие 2) в теореме 8.1 следует из условия 1) и инъективности

Следствие. Если

Замечание. Условия теоремы 8.1 выполняются, в частности, если  есть прямая, параллельная  дилатация.

9.Основная теорема аффинной геометрии.

            Исходя из теоремы 8.1 и опираясь на характеризацию аффинных многообразий, представленную теоремой 4.8, мы докажем здесь следующую теорему:

Теорема 9.1. Пусть

1). Образ любой прямой в  был прямой в

2). Аффинное подпространство в

            Мы подразделим доказательство этой теоремы на семь лемм; в каждой из них предполагается, что  удовлетворяет условиям 1) и 2).

Лемма 1. Если  есть ЛАМ в  

Доказательство. Пусть  и  есть по условию 1) образ прямой  содержится в

Лемма 2. Если  и множество  непусто, то оно является ЛАМ в

Доказательство. Результат очевиден, если  сводится к одной точке. В противном случае для любой пары различных точек  прямая  содержится в  согласно 1). Таким образом, прямая  и теорема 4.8 показывает, что  есть ЛАМ.

Лемма 3. Для любой непустой части  пространства

                             (1)

Доказательство.  есть ЛАМ в  есть ЛАМ в

Аналогично, по лемме 2,  дает

Окончательно получаем равенство (1).

Лемма 4. Пусть    -  прямая, то и

Доказательство. Мы можем предположить, что  есть ЛАМ размерности 2 в  другой прямой; по леммам 2и 3,  есть ЛАМ размерности

А). Покажем сначала, что

Допустим, что  и  действительно имеют общую точку. Тогда найдутся точки  и  и полагая по-прежнему

и аналогично

откуда

            Поскольку сформулированное утверждение при  не имеют общих точек.

Б). Предположим, что  имеет размерность 2.

            Если бы на прямой

            Значит,  - две прямые без общих точек, лежащие в одном ЛАМ размерности 2, т.е. параллельные.

В). Если  сводится к одной  точке, то меняя ролями

Лемма 5. Если

непусты, то  и

Доказательство. По лемме 2,  и  суть ЛАМ в  обозначим через  прямая

 Меняя ролями  и  имеют общее направление.

Лемма 6. Обозначим через  общее направление непустых ЛАМ в  вида  по отношению эквивалентности

 Тогда    является аффинной.

Доказательство. Выбор начала  в  сводит дело к случаю факторпространства векторного пространства  По его векторному подпространству II.4.3, приняв точку  за начало в

             Отметим, что  на

            Лемма 7. В обозначениях леммы 6 отображение  полуаффинно.

Доказательство. Существование и инъективность  вытекают из того, что соотношение

Пусть  есть ЛАМ в

            По лемме 3,

Наконец,

            Отсюда следует, что  из  полуаффинно и так же обстоит дело с

Теорема 9.1 тем самым полностью установлена.

Этот результат особенно интересен в случае, когда тела  и  или  пространства  в

            Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии условия 2): ведь любое отображение

            Так же и в случае  условие 1) выполнено для любого отображения  в  и

            Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинераны», даже при условии, что биективно.

            Например,  есть биекция векторного пространства  и

Лемма 6. Обозначим через  общее направление непустых ЛАМ в  вида  по отношению эквивалентности

 Тогда    является аффинной.

Доказательство. Выбор начала  в  сводит дело к случаю факторпространства векторного пространства  По его векторному подпространству II.4.3, приняв точку  за начало в

             Отметим, что  на

            Лемма 7. В обозначениях леммы 6 отображение  полуаффинно.

Доказательство. Существование и инъективность  вытекают из того, что соотношение

Пусть  есть ЛАМ в

            По лемме 3,

Наконец,

            Отсюда следует, что  из  полуаффинно и так же обстоит дело с

Теорема 9.1 тем самым полностью установлена.

Этот результат особенно интересен в случае, когда тела  и  или  пространства  в

            Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии условия 2): ведь любое отображение

            Так же и в случае  условие 1) выполнено для любого отображения  в  и

            Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинераны», даже при условии, что биективно.

            Например,  есть биекция векторного пространства  и