Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
Министерство образования Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Самарский государственный университет»
механико-математический факультет
кафедра дифференциальных уравнений и теории управления
специальность прикладная математика
Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
Курсовая работа
Выполнил студент
2 курса 1222 группы
Труфанов Александр Николаевич
Научный руководитель
Долгова Ольга Андреевна
__________
работа защищена
«___»___________200_г.
Оценка _______________
зав. Кафедрой профессор д.ф.-м.н.
Соболев В.А.
Самара 2004
Теорема существования и единственности решения уравнения
Пусть дано уравнение
с начальным условием
Пусть в замкнутой области R
Последовательные приближения определяются формулами:
k = 1,2....
Задание №9
Перейти от уравнения
к системе нормального вида и при начальных условиях
построить два последовательных приближения к решению.
Произведем замену переменных
;
и перейдем к системе нормального вида:
Построим последовательные приближения
Задание №10
Построить три последовательных приближения к решению задачи
Построим последовательные приближения
Задание №11
а) Задачу
свести к интегральному уравнению и построить последовательные приближения
б) Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные приближения, и доказать их равномерную сходимость.
Сведем данное уравнение к интегральному :
Докажем равномерную сходимость последовательных приближений
С помощью метода последовательных приближений мы можем построить последовательность
непрерывных функций, определенных на некотором отрезке
i = 0, 1, 2 …
Если график функции проходит в области Г, то функция определена этим равенством, но для того, чтобы могла быть определена следующая функция проходил в области Г. Этого удается достичь, выбрав отрезок выполнялись неравенства:
, i = 1, 2, …,
где 0 < k < 1. Из этих неравенств вытекает следующее:
, i = 1, 2, …,
Рассмотрим нашу функцию на достаточно малом отрезке, содержащим
что и является условием равномерной сходимости последовательных приближений.
С другой стороны, на нашем отрезке выполняется сходится, то последовательность приближений является равномерно сходящийся на этом отрезке.
Список использованной литературы
1. Л.С. Понтрягин. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961
2. А.Ф. Филиппов «Сборник задач по дифференциальным уравнениям», М.: Интеграл-Пресс, 1998
3. О.П. Филатов «Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям»,Самара: Издательство «Самарский университет», 1999
4. А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева «Дифференциальные уравнения», М.: Наука. Физматлит, 1998