Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией
Министерство образования Российской Федерации
Башкирский государственный педагогический университет
Кафедра математического анализа
Дипломная квалификационная работа
Автор: Гарипов Ильгиз.
Тема: Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией.
К защите допущен ____________
Заведующий кафедрой к.ф. м. н. доцент Сафаров Т.Г. Руководитель д.физ-мат. наук. профессор Султанаев Я.Т.
Уфа 2001
Содержание
Стр.
Введение 3
§ SEQ §_ * ARABIC 1 Свойства функции 4
§ 2 Свойства функции и ее производных. 5
2.1 5
2.2 6
2.3 где a>0 7
2.4 9
§ 3 Поведение 11
3.1 11
3.2 11
3.3 12
3.4 13
§ 4 Поведение 14
4.1 14
4.2 15
4.3 15
4.4 16
Заключение 17
Литература 18
Введение
Пусть произвольная функция, определенная на и при
Введем в рассмотрение функцию с помощью следующего равенства:
(1)
Назовем эту функцию усреднением функции
Это название оправдано так как из (1) и теоремы о среднем для интегралов можем заключить
§ SEQ §_ * ARABIC 2 Свойства функции
1. Если при Доказательство: " N >0,
2. (2)
3. (3)
Дифференцируя формулу (1) по dx получаем
(4)
(5)
§ 2 Свойства функции и ее производных.
I) Рассмотрим вид функции для случаев когда
2.1
2.2
2.3 где a>0;
Разделим интеграл на два интеграла и вычислим их отдельно.
Второй интеграл не оказывает влияния на первый, так как при
Доказательство:
Рассматривая второй интеграл, мы получаем:
Рассматривая первый интеграл, получаем:
Последние два слагаемых полученных при интегрировании содержат в произведении x эти слагаемые будут очень быстро уменьшатся и весь интеграл при становится очень малым по сравнению с первой частью. Поэтому можно считать что при
Следовательно:
2.4.
Наложить на ограничение, такое чтобы не влияло на поведение функции.
Рассматривая полученное выражение можно заметить что
становится пренебрежительно малым по отношению к остальной части
как только Ограничение №1
В тоже время
Становится бесконечно малым как только Ограничение №2
Раскрывая в оставшейся части скобки, по Биному Ньютона получаем, что
должен быть очень малым при
так как ограниченная функция, к 0 должен стремится
Ограничение №3
Учитывая ограничения 1, 2, 3 получаем:
Следовательно, ограничение на удовлетворяющее поставленной задаче, при котором присутствие .
§ 3 Рассмотрим поведение функции для случаев:
3.1)
3.2)
3.3)
Вычислим отдельно интегральное выражение, стоящее в числителе:
=
=
рассматривая пределы при видим что на поведение функции оказывает влияние только главный член
Поведение данной функции при эквивалентно поведению функции
(*)
Вычислим интеграл в знаменателе:
(**)
Учитывая (*)и (**) получаем
Следовательно, по формуле (2) получаем
3.4
Отдельно вычислим числитель и знаменатель:
По ранее доказанному в пункте 2.4 мы можем сказать что второй интеграл не оказывает влияния на поведение функции. Поэтому мы можем утверждать, что числитель эквивалентен выражению:
Вычислим знаменатель:
Разделив интеграл на 2 интеграла, мы получаем:
По пункту 2.4 можем вывести что второй интеграл не влияет на поведение функции при
Следовательно, знаменатель:
§4. Рассмотрим поведение второй производной
Для облегчения вычислений введем обозначения:
При этом формула для (6)
4.1
Виду того, что d(x) очень мал то будет несравним с d(x) т.е.
4.2
используя равенства, полученные в пункте 2.2 и 3.2, преобразуя данное равенство, приходим к выражению:
(Все выкладки приводить не буду в виду их громоздкости и сложности для восприятия. Добавлю только что все выкладки, примененные в данном пункте полностью повторяют ограничения и эквивалентные выражения, использованные в пунктах 2.2 и 3.2).
Отсюда следует что
4.3
Используя данные, полученные в п.3.3 получаем что
Возвращаясь к п. 3.3 находим:
Вычисляя
и
4.4
и
Заключение
В результате проведенного исследования поведения усредненной функции в случае осциллирующих коэфициентов, получены данные приведенные в следующей таблице: