Теория чисел (программа-калькулятор на Pascal)
МОСКОВСКИЙ АВИАЦИООНЫЙ ИНСТИТУТ (МАИ)
МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (МАИ)
(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Факультет
«СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, ИНФОРМАТИКА И
ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКА»
Кафедра 308
«Информационные технологии»
<>
Группа 03-119
Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине:
«Теория чисел»
Выполнил: Тузов И.И.
Руководитель: доцент, к.т.н. Гридин А.Н.
Москва 2010
ЗАДАНИЕ
Разработать программу-калькулятор CalcKurs на языке программирования Pascal, реализующую следующие функции:
1.формирование заданного подмножества натурального ряда с помощью общего делителя;
2.факторизация числа с опциями;
3.нахождение НОД и НОК для заданной совокупности натурального ряда;
4.нахождение рациональных решений уравнения с целочисленными коэффициентами;
5.представление рациональной дроби в виде цепной;
6.представление цепной дроби в виде рациональной.
Оборудование и ПО:
Название Windows: Windows Seven (6.1.7600) Ultimate
Название процессора: Intel(R) Core(TM)2 CPU 6300 @ 1.86GHz
Установлено памяти: 1 022,49 MB
Среда программирования: Turbo Pascal 7.0
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Задание……………………………………….…………………………………………………2
Оглавление…………………………………….……………………………………………….3
1. Введение….………………………………………………………………………………….4
2. Специальная часть……………...……………………………………………….………..5-17
2.1. Интерфейс программы…………………………………………………………………5
2.2. Описание процедур…………………………………………………………………6-17
2.2.1. DelOstatok..…..….…………………………………………………………………..6-7
2.2.2. Factor………....….…………………………………………………………………..8-9
2.2.3. NodNok…..….……………………………………………………………………10-11
2.2.4. SuperGorner..………..…………………………………….………………………12-13
2.2.5. Express…………………………………………………………………………….14-15
2.2.6. AntiExp………….………………………………………………………………...16-17
3. Заключение……...……….………………………………………………………………….18
4. Список использованных источников……………….……………………………………..19
Приложение..…………………………………………….…………………………………20-23
Листинг программы…..……………………………….………………………………...20-23
3
1.ВВЕДЕНИЕ
Теория чисел — это одно из направлений математики, которое иногда называют «высшей арифметикой». Данная наука изучает натуральные числа и некоторые сходные с ними объекты, рассматривает различные свойства (делимость, разложимость, взаимосвязи и так далее), алгоритмы поиска чисел, а также определяет ряд достаточно интересных наборов натуральных чисел.
Так, к примеру, в рамках теории чисел рассматриваются вопросы делимости целых чисел друг на друга, алгоритм Евклида для поиска наибольшего общего делителя, поиск наименьшего общего кратного, малая и большая теоремы Ферма. В качестве самых известных рядов натуральных чисел можно привести ряд Фибоначчи, простые числа, совершенные и дружественные числа, степени и суперстепени натуральных чисел.[1]
Вне самой математики теория чисел имеет довольно мало приложений, и развивалась она не ради решения прикладных задач, а как искусство ради искусства, обладающее своей внутренней красотой, тонкостью и трудностью. Тем не менее теория чисел оказала большое влияние на математическую науку, поскольку некоторые разделы математики (в том числе и такие, которые впоследствии нашли применение в физике) были первоначально созданы для решения особенно сложных проблем теории чисел.[2]
Разработанная программа включает в себя набор из нескольких основных операций, которые могут понадобиться при решении более сложных задач.
Назначение программы CalcKurs.
Программа CalcKurs выполняет следующие функции:
1.формирование заданного подмножества натурального ряда с помощью общего делителя;
2.факторизация числа с опциями;
3.нахождение НОД и НОК для заданной совокупности натурального ряда;
4.нахождение рациональных решений уравнения с целочисленными коэффициентами;
5.представление рациональной дроби в виде цепной;
6.представление цепной дроби в виде рациональной.
4
2.СПЕЦИАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
Интерфейс программы
<>
<>
5
Описание процедур
procedure DelOstatok;
Назначение.
Данная процедура формирует заданное подмножество натурального ряда с помощью общего делителя.
Алгоритм.
Ищется общий делитель совокупности делителей (общий делитель ищется с помощью нахождения наименьшего общего кратного делителей). На заданном множестве (кол-во цифр в числах) ищем первый элемент, который будет удовлетворять заданному условию (делится на НОК с остатком), запоминаем элемент и прерываем цикл.
Формируем подмножество с помощью прибавления к первому элементу делителя, суммируем количество элементов, пока элементы не станут больше заданной размерности.
Пример.
Делитель=10, остаток=3, размерность=2 (от 10 до 99)
Количество элементов=9
Подмножество элементов={13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93}
Тесты.
1.Некорректные данные
<>
2.Корректные данные
6
<>
7
procedure Factor;
Назначение.
Данная процедура выполняет факторизацию (разложение на простые множители) числа с опциями.
Алгоритм.
Ищем для данного числа простой множитель с помощью решета Эратосфена[3]
(Для нахождения всех простых чисел не больше заданного числа n, следуя методу Эратосфена, нужно выполнить следующие шаги:
Выписать подряд все целые числа от двух до n (2, 3, 4, …, n).
Пусть переменная p изначально равна двум — первому простому числу.
Вычеркнуть из списка все числа от 2p до n, делящиеся на p (то есть, числа 2p, 3p, 4p, …)
Найти первое не вычеркнутое число, большее чем p, и присвоить значению переменной p это число.
Повторять шаги 3 и 4 до тех пор, пока p не станет больше, чем n
Все не вычеркнутые числа в списке — простые числа.)
и делим заданное число на данный множитель, потом ищем следующий простой множитель(если он повторяется, то возводим его в степень), и так до тех пор, пока число не станет равным единице. Записываем все простые множители.
Далее находим все делители числа и составляем из них множество. Вычисляем сумму делителей.
Пример.
Число=21
множество делителей=1 3 7 21
кол-во простых множителей=2
21=3 ^ 1 * 7 ^ 1
кол-во множителей=4
сумма множителей=32
Тесты.
1.Некорректные данные
<>
8
2.Корректные данные
<>
9
procedure NodNok;
Назначение.
Данная процедура находит НОД и НОК для заданной совокупности натурального ряда.
Алгоритм.
С помощью алгоритма Евклида (есть числа a,b и последовательность R1>R2>R3>…>RN, где каждое RK - это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело. Тогда НОД(a,b), наибольший общий делитель a и b, равен RN, последнему ненулевому члену этой последовательности) находим НОД[4] для первых двух чисел, «цепляем» следующее число для нахождения следующего НОД, и так до тех пор, пока совокупность чисел не закончится.
Для нахождения НОК первых двух чисел используем следующий алгоритм: разлагаем данные числа на простые множители и к одному из таких разложений приписываем множители недостающие у него против разложений остальных данных чисел[5], и аналогично нахождению НОД «цепляем» следующее число.
Пример.
Числа: 21 и 12
НОД(12,21)=3
НОК(12,21)=84
Тесты.
1.Некорректные данные <>
2.Корректные данные
10
<>
11
procedure SuperGorner;
Назначение.
Данная процедура находит рациональные решения уравнения с целочисленными коэффициентами.
Алгоритм.
Рациональные корни уравнения ищутся с помощью расширенной схемы(метода) Горнера[6] (раскладываем свободный член и коэффициент перед старшей степенью на все возможные множители и делим все множители свободного члена на все множители коэффициента перед старшей степенью (добавляем также знак “-”); подставляем полученные значения в уравнение, если уравнение получается равным нулю, то это значение - корень данного уравнения).
Пример.
Уравнение: 6x3-11x2+6x-1=0
Возможные корни: +1, +1/2, +1/3, +1/6
Корни уравнения: 1/3, 1/2, 1
Тесты.
1.Некорректные данные
<>
2.Корректные данные
12
<>
13
procedure Express;
Назначение.
Данная процедура переводит рациональную дробь в цепную[7].
Алгоритм.
Делим числитель на знаменатель, запоминаем его целое значение (a div b, где а - числитель, b - знаменатель), находим остаток от деления числителя на знаменатель (a mod b), присваиваем числителю значение остатка, меняем местами числитель и знаменатель, и так делаем до тех пор, пока (a mod b) не станет равен нулю.
Пример.
Рациональная дробь:123/47
Цепная дробь: [2,1,1,1,1,1,1,3]
Тесты.
1.Некорректные данные
<>
2.Корректные данные
14
<>
15
procedure AntiExp;
Назначение.
Данная процедура переводит цепную дробь в рациональную.
Алгоритм.
Умножаем последний элемент цепной дроби с предпоследним и прибавляем к полученному значению единицу, это будет значением числителя, значением знаменателя будет последний элемент цепной дроби, меняем их местами, теперь последним элементом цепной дроби будет полученный знаменатель; так делаем, пока не закончатся элементы цепной дроби.
Пример.
Цепная дробь: [2,3,4,5]
Рациональная дробь: 157/68
Тесты.
1.Некорректные данные
<>
2.Корректные данные
16
<>
17
3.ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Разработана программа CalcKurs, выполняющая следующие функции:
1.формирование заданного подмножества натурального ряда с помощью общего делителя;
2.факторизация числа с опциями;
3.нахождение НОД и НОК для заданной совокупности натурального ряда;
4.нахождение рациональных решений уравнения с целочисленными коэффициентами;
5.представление рациональной дроби в виде цепной;
6.представление цепной дроби в виде рациональной.
К минусам программы можно отнести невысокую размерность чисел, которые участвуют в вычислениях (-2147483648..2147483647), некоторые алгоритмы можно сделать более оптимальными.
К плюсам можно отнести простоту в пользовании программой, её малую требова-тельность к ресурсам компьютера, программа исполняет основополагающие алгоритмы теории чисел. Она может помочь в изучении данного раздела математики.
18
4.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
http://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_чисел
http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/CHISEL_TEORIYA.php
http://ru.wikipedia.org/wiki/Решето_Эратосфена
http://ru.wikipedia.org/wiki/Наибольший_общий_делитель
http://ru.wikipedia.org/wiki/Наименьшее_общее_кратное
http://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_Горнера
http://dic.academic.ru/dic.nsf/es/39322/непрерывная
19
ПРИЛОЖЕНИЕ
Листинг программы
program kurs;
uses crt;
function pow(a,x:longint):longint;
var
t,i:longint;
begin
t:=a;
for i:=1 to x-1 do
t:=t*a;
pow:=t;
end; {pow}
{----------------------------------------}
procedure DelOstatok;
var
dd:array [1..200] of integer;
R:integer; {размерность чисел}
i:longint; {делитель}
k:longint; {остаток}
D,a,b:longint; {элементы заданного множества}
SUM:longint; {кол-во эл-ов, удовл условию}
S,T:byte;
q:char;
e,j,l,n:integer;
maxa,minj,maxj:longint;
begin
repeat
begin
writeln('введите ко-во чисел для нахождения НОК делителей');
readln(n);
writeln('введите ',n,' чисел: ');
readln(dd[1]);
maxa:=dd[1];
for i:=2 to n do
begin
readln(dd[i]);
if dd[i]>maxa then maxa:=dd[i];
end;
i:=1;while (dd[i]<>0) and (i<=n) do inc(i);
if i<>n+1 then writeln('НОК не сущ-ет')
else begin
e:=1;
for i:=2 to maxa do
begin
maxj:=0;
for l:=1 to n do
begin
j:=0;
while (dd[l] mod i=0) do
begin
dd[l]:=dd[l] div i;
inc(j);
end;
if (j>maxj) then maxj:=j;
end;
if (maxj<>0) then for l:=1 to maxj do e:=e*i;
end;
writeln('НОК делителей=',e);
end;
end;
i:=e;
write ('введите остаток=');
readln(k);
if ((i<=0) or (k<0)) then {проверка
{вывод эл-ов на экран}
end; writeln;
end;
writeln('Повторить ?(Y/N)');
q:=ReadKey;
until q in ['N','n'];
clrscr;
end; {DelOstatok}
{----------------------------------------}
procedure Factor;
var
numb, powers: array [1..100] of longint;
c:longint;
n:longint;
n1,H:longint;
i:longint;
k,t: longint;
q:char;
begin
repeat
write('Введите число=');
readln(c);
if c<=0 then {проверка на корр числа}
begin
writeln('число должно быть>0');
readln;
exit;
end
else
{вывод мн-ва делителей}
begin
write('мн-во делителей: D(num)=');
for H:= 1 to c do
if c mod H=0 then
write(H,' ');
end;
{конец вывода делителей}
n:= 1;
n1:= 0;
while c <> 1 do
begin
i:= 2;
while c mod i <> 0 do {проверка на делимостьс/без остатка}
Inc(i);
Inc(n1);
if n1 = 1 then
begin
numb[n]:= i;
powers[n]:= 1;
end
else
if numb[n] = i then Inc(powers[n])
else
begin
Inc(n); {увеличение кол-ва простых множителей}
numb[n]:= i;
powers[n]:= 1;
end; {while}
c:= c div i; {деление числа на простой множитель}
end; {while}
{\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\}
writeln;
writeln('кол-во простых множителей: ',n);
write('num = ');
k:=1;
t:=1;
writeln('НОД=',k);
if k=1 then writeln('числа взаимно простые');
end;
begin
i:=1;while (b[i]<>0) and (i<=n) do inc(i);
if i<>n+1 then writeln('НОК не сущ-ет')
else begin
d:=1;
for i:=2 to maxa do
begin
maxj:=0;
for l:=1 to n do
begin
j:=0;
while (b[l] mod i=0) do
begin
b[l]:=b[l] div i;
inc(j);
end;
if (j>maxj) then maxj:=j;
end;
if (maxj<>0) then for l:=1 to maxj do d:=d*i;
end;
writeln('НОК=',d);
end;
end;
end;
writeln('Повторить ?(Y/N)');
q:=ReadKey;
until q in ['N','n'];
clrscr;
end;{NodNok}
{----------------------------------------}
procedure SuperGorner;
type
vector= array[1..11] of integer;
rvector=array[1..100] of real;
var
sum,suma:real;
i,k,j,b,c,a,n:integer;
vec:vector;
vecb:rvector;
veca:rvector;
q:char;
BEGIN
Writeln('Введите степень уравнения (max = 10)');
Readln(n);
if n<=0 then writeln(`степень не может быть<=0')
else begin
Inc(n);
writeln('введите его коэффициенты:');
for i := 1 to n do
read(vec[i]);
while vec[i]=0 do
Begin
i:=i-1;
writeln('ответ:0');
End;
k:=1;
b:=vec[i];
for j:=1 to abs(b) do
begin
if (b mod j)=0 then
begin
vecb[k]:=j;
k:=k+1;
procedure AntiExp;
var s: array [1..100] of integer;
a,b,i,n,t:integer;
q:char;
begin
repeat
writeln('введите кол-во эл-ов цепной дроби=');
read(n);
if n<=0 then writeln(`кол-во эл-ов не может быть<=0')
else begin
writeln('введите значения этих эл-ов=');
for i:=1 to n do
read(s[i]);
a:=1;b:=s[n];
for i:= n downto 2 do
begin
t:=s[i-1]*b+a;
a:=b;
b:=t;
end;
writeln;
writeln(b,'/',a);
end;
writeln('Повторить ?(Y/N)');
q:=ReadKey;
until q in ['N','n'];
clrscr;
end;{AntiExp}
{----------------------------------------}
var
k:integer;
q:char;
begin
writeln('Дискретная математика');
writeln('Курсовая работа, группа 03-119, каф308');
writeln('выполнил: Тузов И.И.');
writeln('руководитель: Гридин А.Н.');
writeln;
writeln('Калькулятор с функциями, описанными ниже');
writeln;
Writeln('Нажмите Enter');
readln;
clrscr;
repeat
writeln('Какую выполнить операцию?');
writeln;
writeln('1-вычисление мн-ва N-значных чисел с заданным делителем и остатком ');
writeln('2-факторизация числа');
writeln('3-нахождение НОД и НОК чисел');
writeln('4-нахождение рационльных корней уравнения с целочисл коэфф');
writeln('5-перевод рациональной дроби в цепную');
writeln('6-перевод цепной дроби в рациональную');
read(k);
|
делителя и остатка на отриц-сть}
begin
write ('делитель или остаток не могут быть<0 ');
end
else
begin
if i>k then {проверка на делитель>остатка}
begin
write ('введите размерность=');
readln(R);
if R<=0 then
begin
writeln ('некорректная размерность ');
readln;
end
else begin
if R=1 then
begin a:=1; b:=9; end
else begin
a:=pow(10,(R-1)); {инициализация верх и нижн границ}
b:=pow(10,R);
b:=b-1;
end;
end;
if b<i then {проверка на делимое>делителя}
writeln ('делиоме не может быть < делителя ')
else
begin
SUM:=0; {обнуление сумы кол-ва эл-ов}
for D:= a to b do
begin
if (D mod i)=k then {проверка эл-ов на условие}
begin
SUM:=SUM+1;
end;
end;
writeln;
writeln ('кол-во эл-ов с делителем=', i:3, ' и остатком=', k:3, ' равно', SUM:6);
end; {b<i}
end {if i>k}
else
write ('остаток не может быть > делителя ');
end; {if otriz}
{\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\}
write ('вывести значения на экран?(1-да\0-нет)');
readln(S);
if S=1 then
if SUM=0 then
writeln('нет эл-ов, удовл. условию')
else
begin
for D:= a to b do
if (D mod i)=k then
begin
write(' ',D:4);
{вычисление кол-ва делителей и их мн-ва}
for i:= 1 to n do
begin
write(numb[i], ' ^ ', powers[i]);
k:=k*((pow(numb[i],powers[i]+1) - 1) div (numb[i] - 1));
t:=t*(powers[i]+1); {кол-во делителей}
if i <> n then write(' * ');
end;
writeln;
writeln('кол-во множителей: tau(num)=',t);
writeln('сумма множителей: sigma(num)=',k);
writeln('Повторить ?(Y/N)');
q:=ReadKey;
until q in ['N','n'];
clrscr;
end;{Factor}
{----------------------------------------}
procedure NodNok;
type TArray=array [1..200] of integer;
var a,b:TArray;
i,l,j,maxa,minj,maxj:longint;
k,d:longint;
n:integer;
q:char;
begin
repeat
clrscr;
writeln('введите ко-во чисел для нахождения НОД и НОК');
readln(n);
writeln('введите ',n,' чисел: ');
if n<=0 then writeln(`кол-во чисел не может быть<=0')
else begin
readln(a[1]);
b[1]:=a[1];
maxa:=a[1];
for i:=2 to n do
begin
readln(a[i]);
b[i]:=a[i];
if a[i]>maxa then maxa:=a[i];
end;
i:=1;
while (a[i]=0) and (i<=n) do inc(i);
if i=n+1 then writeln('НОД - любое число')
else begin
for j:=1 to n do if a[j]=0 then a[j]:=a[i];
k:=1;
for i:=2 to maxa do
begin
minj:=1000;
for l:=1 to n do
begin
j:=0;
while (a[l] mod i=0) do
begin
a[l]:=a[l] div i;
inc(j);
end;
if (j<minj) then minj:=j;
end;
if (minj<>0) then for l:=1 to minj do k:=k*i;
end;
vecb[k]:=-j;
k:=k+1;
end;
end;
a:=1;
for j:=1 to abs(vec[1]) do
begin
if (vec[1] mod j)=0 then
begin
veca[a]:=j;
a:=a+1;
{ veca[a]:=-j;
a:=a+1;}
End;
end;
b:=a;
for j:=1 to k-1 do
Begin
for a:=1 to b-1 do
Begin
Begin
c:=i;
sum:=0;
for i:=1 to c do
Begin
sum:=sum+vec[i]*pow1(vecb[j]/veca[a],c-i);
if (sum<0.00001) and (sum>-0.00001) then
if vec[a]=1 then writeln('ответ:',round(vecb[j]))
else writeln('ответ:',round(vecb[j]), '/',round(veca[a]));
end;
End;
End;
End; end;
readln;
end;{SuperGorner}
{----------------------------------------}
procedure Express;
var
a,b,t:integer;
q:char;
begin
repeat
writeln('введите числитель=');
readln(a);
writeln('введите знаменатель=');
readln(b);
if b=0 then writeln(`знаменатель не может быть=0')
else begin
write('[');
while (a mod b>0) do
begin
write(a div b,',');
a:=a mod b;
t:=b;
b:=a;
a:=t;
end;
write(a div b, ']');
end;
writeln(`Повторить ?(Y/N)');
q:=ReadKey;
until q in ['N','n'];
clrscr;
end;{Express}
{----------------------------------------}
case k of
1:DelOstatok;
2:Factor;
3:NodNok;
4:SuperGorner;
5:Express;
6:AntiExp;
else
writeln ('нет операции');
end;{case}
writeln('Повторить выполнение калькулятора ?(Y/N)');
q:=ReadKey;
until q in ['N','n'];
clrscr;
readln;
end.{prog}
|