Краткий перечень основных понятий теории графов.

Теория графов как теоретическая дисциплина может рассматриваться как раздел дискретной математики, исследующий свойства конечных множеств (бесконечные графы не будут вводиться в рассмотрение) с заданными отношениями между их элементами. Как прикладная дисциплина теория графов позволяет описывать и исследовать многие физические, технические, экономические, биологические, социальные и другие системы. Например, графом, изображенным на рис. 1, в котором точки − вершины графа − города, линии, соединяющие вершины − ребра − дороги, соединяющие города, описывается так называемая транспортная задача (задача нахождения кратчайшего пути из одного города- пункта в другой).

Рис. 1.

Формальное определение графа таково. Пусть задано конечное множество V, состоящее из n элементов, называемых вершинами графа, и подмножество X декартова произведения V×V, то есть ориентированным графом D называется совокупность (V,X). Неориентированным графом G называется совокупность множества V и множества ребер − неупорядоченных пар элементов, каждый из которых принадлежит множеству V.

Одинаковые пары - параллельные или кратные ребра;

Кратностью ребер называют количество одинаковых пар.

Рис.2.

Например, кратность ребра {v₁, v₂} в графе, изображенном на рис. 2, равна двум, кратность ребра {v₃, v₄} − трем.

Псевдограф − граф, в котором есть петли и/или кратные ребра.

Мультиграф − псевдограф без петель.

Граф − мультиграф, в котором ни одна пара не встречается более одного раза.

Граф называется ориентированным, если пары (v,w) являются упорядоченными.

Ребра ориентированного графа называются дугами.

Итак, используемые далее обозначения:

V – множество вершин;

X – множество ребер или дуг;

v (или v_i)– вершина или номер вершины;

G, G₀ - неориентированный граф;

D, D₀ – ориентированный;

{v,w} − ребра неориентированного графа;

{v,v} – обозначение петли;

(v,w) − дуги в ориентированном графе;

v,w - вершины, x,y,z – дуги и ребра;

n(G), n(D) количество вершин графа;

m(G) - количество ребер, m(D) - количество дуг.

Примеры

1) Ориентированный граф D=(V, X), V={v₁, v₂, v₃, v₄},

X={x₁=(v₁,v₂), x₂=(v₁,v₂), x₃=(v₂,v₂), x₄=(v₂,v₃)}.

Рис. 3.

2) Неориентированный граф G=(V, X), V={v₁, v₂, v₃, v₄, v₅},

X={x₁={v₁,v₂}, x₂={v₂,v₃}, x₃={v₂,v₄}, x₄={v₃,v₄}}.

Рис. 4.

Понятия смежности, инцидентности, степени

Если x={v,w} - ребро, то v и w − концы ребра x.

Если x=(v,w) - дуга ориентированного графа, то v − начало, w – конец дуги.

Вершина v и ребро x неориентированного графа (дуга x ориентированного графа) называются инцидентными, если v является концом ребра x (началом или концом дуги x ).

Вершины v, w называются смежными, если {v,w}ÎX.

Степенью вершины v графа G называется число d(v) ребер графа G, инцидентных вершине v.

Вершина графа, имеющая степень 0 называется изолированной, а степень 1 – висячей.

Полустепенью исхода (захода) вершины v ориентированного графа D называется число d⁺(v) (d^-(v)) дуг ориентированного графа D, исходящих из v (заходящих в v).

Следует заметить, что в случае ориентированного псевдографа вклад каждой петли инцидентной вершине v равен 1 как в d⁺(v), так и в d^-(v).

Маршруты и пути

Последовательность v₁x₁v₂x₂v₃...x_kv_k+1, (где k³1, v_iÎV, i=1,...,k+1, x_iÎX, j=1,...,k), в которой чередуются вершины и ребра (дуги) и для каждого j=1,...,k ребро (дуга) x_j имеет вид {v_j,v_j+1} (для ориентированного графа (v_j,v_j+1)), называется маршрутом, соединяющим вершины v₁ и v_k+1 (путем из v₁ в v_k+1).

Пример

В графе, изображенном на рис.4, v₁x₁v₂x₂v₃x₄v₄x₃v₂ - маршрут, v₂x₂v₃x₄v₄ – подмаршрут;

маршрут можно восстановить и по такой записи x₁x₂x₄x₃ ;

если кратности ребер (дуг) равны 1, можно записать и так v₁v₂v₃v₄v₂ .

Цепь − незамкнутый маршрут (путь), в котором все ребра (дуги) попарно различны.

Цикл − замкнутая цепь (в неориентированном графе).

Контур − замкнутый путь (в ориентированном графе).

Простой путь (цепь) − путь (цепь, цикл, контур), в котором ни одна дуга/ребро не встречается дважды.

Простой цикл (контур) − цикл (контур), в котором все вершины попарно различны.

Гамильтонова цепь (путь, цикл, контур) − простая цепь (путь, цикл, контур), проходящая через все вершины.

Эйлерова цепь (путь, цикл, контур) − цепь (путь, цикл, контур), содержащая все ребра (дуги) графа по одному разу.

Длина маршрута (пути) − число ребер в маршруте (дуг в пути).

Утверждение 1. Для того чтобы связный псевдограф G обладал Эйлеровым циклом, необходимо и достаточно, чтобы степени всех его вершин были четными.

Утверждение 2. Для того чтобы связный псевдограф G обладал Эйлеровой цепью, необходимо и достаточно, чтобы он имел ровно 2 вершины нечетной степени.

Матрицы смежности и инцидентности

Пусть D=(V,X) ориентированный граф, V={v₁,...,v_n}, X={x₁,...,x_m}.

Матрица смежности ориентированного графа D − квадратная матрица

A(D)=[a_ij] порядка n, где

Матрица инцидентности − матрица B(D)=[b_ij] порядка n´m, где

Матрицей смежности неориентированного графа G=(V,X) называется квадратная симметричная матрица A(G)=[a_ij] порядка n, где

Матрица инцидентности графа G называется матрица B(G)=[b_ij] порядка n´m, где

Связность. Компоненты связности

Подграфом графа G (ориентированного графа D) называется граф, все вершины и ребра которого содержатся среди вершин и ребер графа G (D).

Подграф называется собственным, если он отличен от самого графа.

Говорят, что вершина w ориентированного графа D (графа G) достижима из вершины v, если либо w=v, либо существует путь (маршрут) из v в w.

Граф (ориентированный граф) называется связным (сильно связным), если для любых двух его вершин v, w существует маршрут (путь), соединяющий v и w.

Компонентой связности графа G (сильной связности ориентированного графа D) называется его связный (сильно связный) подграф, не являющийся собственным подграфом никакого другого связного (сильно связного) подграфа графа G (ориентированного графа D).

Матрицы достижимости и связности

Пусть A(D) – матрица смежности ориентированного псевдографа D=(V,X) (или псевдографа G=(V,X)), где V={v₁,…, v_n}. Обозначим через A^k=[a^(k)_ij] k-ю степень матрицы смежности A(D).

Элемент a^(k)_ij матрицы A^k ориентированного псевдографа D=(V,X) (псевдографа G=(V,X)) равен числу всех путей (маршрутов) длины k из v_i в v_j.

Матрица достижимости ориентированного графа D − квадратная матрица T(D)=[t_ij] порядка n, элементы которой равны

Матрица сильной связности ориентированного графа D − квадратная матрица S(D)=[s_ij] порядка n, элементы которой равны

Матрица связности графа G − квадратная матрица S(G)=[s_ij] порядка n, элементы которой равны

Пусть G=(V,X) – граф, V={v₁,…, v_n}, A(G) – его матрица смежности. Тогда

S(G)=sign[E+A+A²+A³+… A^n-1] (E- единичная матрица порядка n).

Утверждение 3. Пусть D=(V,X) – ориентированный граф, V={v₁,…, v_n}, A(D) – его матрица смежности. Тогда

1)   T(D)=sign[E+A+A²+A³+… A^n-1],

2)   S(D)=T(D)&T^T(D) (T^T-транспонированная матрица, &- поэлементное умножение).

Расстояния в графе

Пусть  называется минимальная длина пути между ними, при этом  пути.

Расстояние в графе удовлетворяют аксиомам метрики

1)  

2)    (не в ориентированном графе)

3)  

4)    в связном графе (не в ориентированном графе).

Пусть  связный граф (или псевдограф).

Диаметром графа G называется величина

Пусть

Максимальным удалением (эксцентриситетом) в графе G от вершины  называется величина

Радиусом графа G называется величина

Центром графа G называется любая вершина  такая, что

Образ и прообраз вершины и множества вершин

Пусть  ориентированный граф

Обозначим

V₁ ;

V₁.

Нагруженные графы

Нагруженный граф − ориентированный граф D=(V,X), на множестве дуг которого определена не которая функция

Цифра над дугой (см. рис. 5)− вес дуги (цена дуги).

Рис. 5.

Обозначения: для любого пути П нагруженного ориентированного графа D через l(П) сумму длин дуг, входящих в путь П. (Каждая дуга считается столько раз, сколько она входит в путь П).

Величина l называется длиной пути.

Если выбрать веса равными 1, то придем к ненагруженному графу.

Путь в нагруженном ориентированном графе из вершины v в вершину w, где v¹w, называется минимальным, если он имеет наименьшую длину.

Аналогично определяется минимальный маршрут в нагруженном графе.

Введем матрицу длин дуг C(D)=[c_ij] порядка n, причем

Свойства минимальных путей в нагруженном ориентированном графе

1) Если для " дуги  " минимальный путь (маршрут) является простой цепью;

2) если  минимальный путь (маршрут) то для " i,j :  путь (маршрут)  тоже является минимальным;

3) если  − минимальный путь (маршрут) среди путей (маршрутов) из v в w, содержащих не более k+1 дуг (ребер), то  − минимальный путь (маршрут) из v в u среди путей (маршрутов), содержащих не более k дуг (ребер).

Деревья и циклы

Граф G называется деревом если он является связным и не имеет циклов.

Граф G называется лесом если все его компоненты связности - деревья.

Свойства деревьев:

Следующие утверждения эквивалентны:

1)      Граф G есть дерево.

2)      Граф G является связным и не имеет простых циклов.

3)      Граф G является связным и число его ребер ровно на 1 меньше числа вершин.

4)      " две различные вершины графа G можно соединить единственной (и при этом простой) цепью.

5)      Граф G не содержит циклов, но, добавляя к нему любое новое ребро, получаем ровно один и притом простой цикл

Утверждение 4. Если у дерева G имеется, по крайней мере, 1 ребро, то у него найдется висячая вершина.

Утверждение 5.Пусть G связный граф, а  − висячая вершина в G, граф  получается из G в результате удаления вершины  и инцидентного ей ребра. Тогда  тоже является связным.

Утверждение 6.Пусть G - дерево с n(G) вершинами и m(G) ребрами. Тогда m(G)=n(G)-1.

Утверждение 7.Пусть G – дерево. Тогда любая цепь в G будет простой.

Остовным деревом связного графа G называется любой его подграф, содержащий все вершины графа G и являющийся деревом.

Пусть G – связный граф. Тогда остовное дерево графа G должно содержать n(G)-1 ребер. Значит, для получения остовного дерева из графа G нужно удалить  ребер.

Число  − цикломатическое число графа G.

Решение контрольных задач по теме «Теория графов».

Задание 1. Компоненты сильной связности ориентированного графа.

С помощью матрицы смежности найти компоненты сильной связности ориентированного графа D.

Cоставляем матрицу смежности A(D) размерности  (n− количество вершин) для данного ориентированного графа: она состоит из нулей и единиц, номера строк – индексы вершин , из которых исходят дуги, номера столбцов – индексы вершин, в которые дуги входят (если есть дуга, исходящая из вершины v_i и входящая в v_j, то элемент матрицы смежности, стоящий на пересечении i-той строки и j-того столбца равен 1, иначе – 0.).

Для того, чтобы выделить компоненты сильной связности, необходимо сначала найти матрицу достижимости T(D) ориентированного графа по первой формуле утверждения 3, затем находим матрицу сильной связности S(D) ориентированного графа (она должна быть симметрической) по второй формуле из того же утверждения.

Алгоритм выделения компонент сильной связности

1. Присваиваем p=1 (p − количество компонент связности),

2. Включаем в множество вершин V_p компоненты сильной связности D_p вершины, соответствующие единицам первой строки матрицы S_p. В качестве матрицы A(D_p) возьмем подматрицу матрицы A(D), состоящую из элементов матрицы A, находящихся на пересечении строк и столбцов, соответствующих вершинам из V_p.

3. Вычеркиваем из S_p строки и столбцы, соответствующие вершинам из V_p. Если не остается ни одной строки (и столбца), то p- количество компонент сильной связности. В противном случае обозначим оставшуюся после вычеркивания срок и столбцов матрицу как S_p+1, присваиваем p=p+1 и переходим к п. 2.

Пример

Выделим компоненты связности ориентированного графа, изображенного на рис. 6. В данной задаче количество вершин n=5.

Рис. 6.

Значит, для данного ориентированного графа матрица смежности будет иметь размерность 5×5 и будет выглядеть следующим образом

Найдем матрицу достижимости для данного ориентированного графа по формуле 1) из утверждения 3:

Следовательно,

Таким образом, матрица сильной связности, полученная по формуле 2) утверждения 3, будет следующей:

Присваиваем p=1  и составляем множество вершин первой компоненты сильной связности D₁: это те вершины, которым соответствуют единицы в первой строке матрицы S(D). Таким образом, первая компонента сильной связности состоит из одной вершины

Вычеркиваем из матрицы S₁(D) строку и столбец, соответствующие вершине v₁, чтобы получить матрицу S₂(D):

Присваиваем p=2. Множество вершин второй компоненты связности составят те вершины, которым соответствуют единицы в первой строке матрицы S₂(D), то есть  исходного графа D − в ее качестве возьмем подматрицу матрицы A(D), состоящую из элементов матрицы A, находящихся на пересечении строк и столбцов, соответствующих вершинам из V₂:

Вычеркиваем из матрицы S₂(D) строки и столбцы, соответствующие вершинам из V₂ ,чтобы получить матрицу S₃(D), которая состоит из одного элемента:

и присваиваем p=3. Таким образом, третья компонента сильной связности исходного графа, как и первая, состоит из одной вершины

Таким образом, выделены 3 компоненты сильной связности ориентированного графа D:

Задание 2. Расстояния в ориентированном графе

С помощью алгоритма фронта волны найти расстояния в ориентированном графе D: диаметр, радиус и центры.

Пусть  ориентированный граф с n³2 вершинами и v,w (v¹w) – заданные вершины из V.

Алгоритм поиска минимального пути из  в  в ориентированном графе

(алгоритм фронта волны).

1)         Помечаем вершину  индексом 0, затем помечаем вершины Î образу вершины  индексом 1. Обозначаем их FW₁ (v). Полагаем k=1.

2)               Если  или k=n-1, и одновременно то вершина  не достижима из

В противном случае продолжаем:

3)               Если

В противном случае мы нашли минимальный путь из  в  и его длина равна k. Последовательность вершин

есть этот минимальный путь. Работа завершается.

4)               Помечаем индексом k+1 все непомеченные вершины, которые принадлежат образу множества вершин c индексом k. Множество вершин с индексом k+1 обозначаем k:=k+1 и переходим к 2).

Замечания

·                   Множество  называется фронтом волны k^го уровня.

·                   Вершины  могут быть выделены неоднозначно, что соответствует случаю, если  несколько минимальных путей из  в

Чтобы найти расстояния в ориентированном графе, необходимо составить матрицу минимальных расстояний R(D)между его вершинами. Это квадратная матрица размерности i=1,..,n).

Сначала составляем матрицу смежности. Затем переносим единицы из матрицы смежности в матрицу минимальных расстояний (

Рассматриваем первую строку, в которой есть единицы. Пусть это строка − i-тая и на пересечении с j-тым столбцом стоит единица (то есть  можно попасть в вершину  за один шаг. Рассматриваем j-тую сроку (строку стоит вводить в рассмотрение, если она содержит хотя бы одну единицу). Пусть элемент  в вершину  можно попасть за два шага. Таким образом, можно записать

Примечание: В контрольной работе самый длинный путь найти при помощи алгоритма фронта волны.

Пример

Найдем расстояния в ориентированном графе D, изображенном на рис. 7. В данной задаче количество вершин n=7, следовательно, матрицы смежности  и минимальных расстояний между вершинами ориентированного графа D будут иметь размерность 7×7.

Рис.7.

Матрица смежности:

Начинаем заполнять матрицу R(D) минимальных расстояний: сначала ставим нули по главной диагонали и r_ij=a_ij, если a_ij=1, (т.е. переносим единицы из матрицы смежности). Рассматриваем первую строку. Здесь есть две единицы, то есть из первой вершины за один шаг можно попасть во вторую и шестую. Из второй вершины можно попасть за один шаг в третью (путь в первую вершину нас не интересует), следовательно, можно записать

Таким образом, диаметром исследуемого ориентированного графа будет

Для каждой вершины заданного ориентированного графа найдем максимальное удаление (эксцентриситет) в графе G от вершины нее по формуле, которая была приведена выше r(v_i) − максимальное из расстояний, стоящих в i-той строке. Таким образом,

r(v₁)=3, r(v₂)=3, r(v₃)=5, r(v₄)=4, r(v₅)=2, r(v₆)=2, r(v₇)=3.

Значит, радиусом графа G будет

Соответственно, центрами графа G будут вершины v₅ и v₆ , так как величины их эксцентриситетов совпадают с величиной радиуса

Опишем теперь нахождение минимального пути из вершины v₃ в вершину v₆ по алгоритму фронта волны. Обозначим вершину v₃ как V₀, а вершину v₆ - как W (см. рис. 8). Множество вершин, принадлежащих образу V₀, состоит из одного элемента - это вершина v₄, которую, согласно алгоритму, обозначаем как V₁: FW₁(v₃)={v₄}. Поскольку искомая вершина не принадлежит фронту волны первого уровня - это множество вершин, принадлежащих образу вершины V₁: FW₂(v₃)={v₇}, обозначаем v₇≡V₂. В образ вершины V₂ входят две вершины - v₅ и v₄, но, так как v₄ уже была помечена как V₀, то фронт волны третьего уровня состоит из одного элемента: FW₃(v₃)={v₅}, v₅≡V₃. Из непомеченных вершин в образ вершины V₃ входят v₁ и v₂, соответственно, FW₄(v₃)={v₁, v₂}, v₁≡V₄, v₂≡V₄. Теперь помечены все вершины, кроме v₆, которая входит в образ вершины FW₅(v₃)={v₆≡W}, работа алгоритма закончена. Минимальный путь (5 шагов) из вершины v₃ в вершину v₆ выглядит так: v₃ v₄ v₇ v₅ v₁ v₆.

Рис.8.

Задание 3. Минимальный путь в нагруженном ориентированном графе

Найти минимальный путь в нагруженном ориентированном графе из вершины  в вершину  по методу Форда-Беллмана.

Рассмотрим сначала общую задачу – нахождения минимального пути из вершины v_нач в v_кон.

Пусть D=(V,X) – нагруженный ориентированный граф, V={v₁,…,v_n}, n>1. Введем величины i=1,…,n, k=0,1,2,…,n–1.

Для каждого фиксированного i и k величина  равна длине минимального пути среди путей из v_нач в v_i содержащих не более k дуг. Если путей нет, то

Положим также

Составляем матрицу длин дуг C(D)=[c_ij] порядка n:

Утверждение. При i=2,…,n, k³0 выполняется равенство

                                                                             (3.1)

Алгоритм Форда-Беллмана нахождения минимального пути в нагруженном ориентированном графе D из v_нач в v_кон.( v_нач ≠ v_кон).

( записываем в виде матрицы, i- строка, k-столбец).

1)         Составляем таблицу i=1,…,n, k=0,…,n-1. Если v_нач в v_кон нет. Конец алгоритма.

2)         Если  то это число выражает длину любого минимального пути из v_нач в v_кон. Найдем минимальное k₁³1, при котором  получим, что k₁- минимальное число дуг в пути среди всех минимальных путей из v_нач в v_кон.

3)         Затем определяем номера i₂,…,  такие, что

то есть восстанавливаем по составленной таблице и матрице стоимости искомый минимальный путь из v_нач в v_кон.

Пример

Найдем минимальный путь из вершины v₂ в v₆ в ориентированном нагруженном графе D, изображенном на рис. 9. В рассматриваемом графе количество вершин n=7, следовательно, матрица длин дуг ориентированного графа D будет иметь размерность 7×7.

Рис. 9.

Матрица длин дуг для рассматриваемого графа будет выглядеть следующим образом:

Согласно алгоритму, составляем таблицу стоимости минимальных путей из вершины v₂ в вершину v_i не более, чем за k шагов, k=0,…n-1 (n=7, следовательно, k=0,…6). Как было определено выше,  для всех остальных вершин v_i ≠ v₂, то есть первый столбец таблицы состоит из элементов, равных v₂ за один шаг. Далее по формуле (3.1) находим по столбцам все оставшиеся элементы таблицы. Например, чтобы найти элемент  и первого столбца матрицы стоимости и выбираем минимальное из получившихся чисел:

В конечном итоге получаем следующую таблицу:

C(D) восстановить минимальный путь из вершины v₂ в v₆, который будет строиться с конца, то есть, начиная с вершины v6. Для этого выбираем минимальное из чисел, стоящих в строке, соответствующей v₆ в таблице. Это число – 21 – длина минимального искомого пути. В первый раз такая длина была получена при количестве шагов, равном 4. В вершину v₆ мы можем попасть за один шаг из вершин v₁ и v₇ (длина соответствующих дуг 8 и 5 соответственно – данные из матрицы C(D)). Выбираем минимальную по длине из этих дуг. Далее, в вершину v₇ можно попасть из v₄ и v₅(длина соответствующих дуг 7 и 3 соответственно). Продолжая аналогичным образом, найдем искомый путь за 4 шага минимальной длины из вершины v₂ в v₆: v₂ v₃ v₅ v₇ v₆.

Задание 4. Эйлеровы циклы и цепи

Найти Эйлерову цепь в неориентированном графе.

Исходя из утверждений 1 и 2, чтобы найти Эйлерову цепь, нужно соединить две вершины с нечетными степенями фиктивным ребром. Тогда задача сводится к нахождению Эйлерова цикла по приведенному ниже алгоритму. Из найденного цикла удаляется фиктивное ребро, тем самым находится искомая Эйлерова цепь.

Алгоритм выделения эйлерова цикла в связном мультиграфе с четными степенями вершин

1)         Выделим из G цикл m₁. (так как степени вершин четны, то висячие вершины отсутствуют). Положим l=1, G’=G.

2)         Удаляем из G’ ребра, принадлежащие выделенному циклу m₁. Полученный псевдограф снова обозначаем как G’. Если в G’ отсутствуют ребра, то переходим к шагу 4. Если ребра есть, то выделяем из G’ цикл m_l+1 и переходим к шагу 3.

3)         Присваиваем l:=l+1 и переходим к шагу 2.

4)         По построению выделенные циклы содержат все ребра по одному разу. Если l:=1, то искомый Эйлеров цикл найден (конец работы алгоритма). В противном случае находим циклы, содержащие хотя бы по одной общей вершине (в силу связности графа это всегда можно сделать). Склеиваем эти циклы. Повторяем эти операции, пока не останется один цикл, который является искомым.

Пример.

Найдем Эйлерову цепь в неориентированном графе G, изображенном на рис. 10.

Прежде, чем приступать к нахождению Эйлеровой цепи, необходимо проверить степени вершин графа G − согласно утверждению 2, для существования Эйлеровой цепи, необходимо и достаточно, чтобы в графе G ровно 2 вершины нечетной степени.

Рис. 10.

В рассматриваемом графе нечетные степени имеют вершины v₃ и v₁ (степень этих вершин равна 3). Соединяя эти вершины фиктивным ребром так, как показано на рис. 11, получаем граф G’:

Рис. 11.

Поскольку в конечном итоге будет получена цепь, то очевидно, что началом и концом этой цепи будут вершины с нечетными степенями. Поэтому, следуя описанному выше алгоритму, будем циклы m_i так, чтобы хотя бы один из них начинался или кончался на вершинах v₃ или v₁.

Пусть цикл m₁ составят ребра, проходящие через следующие вершины: v₃ v₄ v₇ v₆ v₁ v₂ v₃. Согласно алгоритму, удаляем из G’ все ребра, задействованные в цикле m₁. Теперь граф G’ будет таким, как показано на рис. 12.

Составляем следующий цикл m₂: v₄ v₅ v₆ v₂ v₅ v₇ v₄. Граф G’ после удаления ребер, составляющих цикл m₂, изображен на рис. 13.

Очевидно, что последний цикл m₃ будет состоять из v₃ v₅ v₁|v₃, где последнее ребро, соединяющее вершины v₁ и v₃ – фиктивно. После удаления ребер, составляющих цикл m₃, в графе G’ не останется ни одного ребра.

Теперь по общим вершинам склеиваем полученные циклы. Поскольку m₁ и m₂ имеют общую вершину v₄, то, объединяя их, получим следующий цикл: v₃ v₄ v₅ v₆ v₂ v₅ v₇ v₄ v₇ v₆ v₁ v₂ v₃. Теперь склеим получившийся цикл с циклом m₃: v₃ v₄ v₅ v₆ v₂ v₅ v₇ v₄ v₇ v₆ v₁ v₂ v₃ v₅ v₁|v₃. Удаляя фиктивное ребро, получаем искомую Эйлерову цепь: v₃ v₄ v₅ v₆ v₂ v₅ v₇ v₄ v₇ v₆ v₁ v₂ v₃ v₅ v₁.

Задание 5. Минимальное остовное дерево

Найти минимальное остовное дерево в неориентированном нагруженном графе.

Алгоритм выделения минимального остовного дерева в неориентированном нагруженном графе G

1)         Выберем в графе G ребро минимальной длины. Вместе с инцидентными ему двумя вершинами оно образует подграф G₂ графа G. Положим i:=2.

2)         Если i=n(G), то задача решена и G_i – искомое минимальное остовное дерево графа G. Иначе переходим к шагу 3).

3)         Строим граф G_i+1. Для этого добавим к графу G_i новое ребро минимальной длины из оставшихся, которое инцидентно какой-либо вершине графа G_i и одновременно вершине, не содержащейся в G_i. Вместе с этим ребром включаем в G_i+1 и эту инцидентную ему вершину. Присваиваем i:=i+1 и переходим к шагу 2).

Пример.

Найдем минимальное остовное дерево в неориентированном нагруженном графе, изображенном на рис.14.

Рис.14.

Обозначим ребро, соединяющее вершины v_i и v_j через x_ij.

Для удобства использования приведенного выше алгоритма решения поставленной задачи, составим матрицу длин ребер. В рассматриваемом графе количество вершин n=8, следовательно, матрица длин ребер графа G будет иметь размерность 8×8 и выглядеть следующим образом:

Согласно приведенному выше алгоритму, выбираем ребро минимальной длины (выбираем среди элементов матрицы C(G) минимальное − это c₄₇=1) и вместе с инцидентными ему двумя вершинами относим к графу G₂. Таким образом, G₂ будет равна l(G₂)=c₄₇=1. Поскольку v₄, либо v₇. Выбираем ребро x₄₆ с длиной c₄₆=3 и вместе с вершиной v₆ добавляем к графу G₂, обозначая его теперь как G₃: l(G₃)=c₄₇+c₄₆=1+3=4. Аналогично находим графы:

          ;

    ;

                                     ;

                                     ;

            ,

Поскольку i=8=n(G), работа алгоритма заканчивается.

Таким образом, искомое минимальное остовное дерево графа G − граф G₈, изображенный на рис. 15, длина которого равна 22.

Рис.15.

Задание 6. Задача о коммивояжёре

Постановка задачи.

Коммивояжёр (бродячий торговец) должен выйти из первого города, посетить по разу в неизвестном порядке города 2,3..n и вернуться в первый город. Стоимости проезда между городами известны. В каком порядке следует объезжать города, чтобы замкнутый путь (тур) коммивояжера был наименее затратным?

Сформулируем задачу в терминах теории графов, введя следующие обозначения: пусть D=[V, X] – полный ориентированный граф и f: X® - весовая функция, V={v₁, v₂,…, v_n} – множество вершин, X – множество дуг, C={c_ij}, i,j=1,2…n – весовая матрица данного ориентированного графа, то есть с_ij=f(v_i,v_j), причем для любого i справедливо c_ii=¥. Требуется найти простой остовной ориентированный цикл (или «цикл коммивояжёра») минимального веса.

Следует заметить, что требование полноты ориентированного графа (наличие дороги из любого города в любой) можно опустить. Однако в этом случае гамильтонов цикл может и не существовать (по теореме, для его существования достаточна полнота орграфа). Следовательно, описываемый метод ветвей и границ приведёт к полному перебору всех вариантов незаконченных циклов прежде, чем станет очевиден факт отсутствия решения.

Очевидно, c_ij следует трактовать как стоимость проезда из города i в город j. Допустим, что добрый мэр города j издал указ выплачивать каждому въехавшему в город коммивояжеру $5. Это означает, что любой тур подешевеет на $5, поскольку в любом туре нужно въехать в город j. Но поскольку все туры равномерно подешевели, то прежний минимальный тур будет и теперь стоить меньше всех. Добрый же поступок мэра можно представить как уменьшение всех чисел j-го столбца матрицы M на 5. Если бы мэр хотел спровадить коммивояжеров из j-го города и установил награду за выезд в размере $10, это можно было бы выразить вычитанием 10 из всех элементов j-й той строки. Это снова бы изменило стоимость каждого тура, но минимальный тур остался бы минимальным. Итак, доказана следующая лемма.

Вычитая любую константу из всех элементов любой строки или столбца матрицы C, мы оставляем минимальный тур минимальным.

В этой связи введем следующие термины. Пусть имеется некоторая числовая матрица. Привести строку этой матрицы означает выделить в строке минимальный элемент (его называют константой приведения) и вычесть его из всех элементов этой строки. Очевидно, в результате в этой строке на месте минимального элемента окажется нуль, а все остальные элементы будут неотрицательными. Аналогичный смысл имеют слова «привести столбец матрицы».

Привести матрицу по строкам означает, что все строки приводятся. Аналогичный смысл имеют слова «привести матрицу по столбцам». Приведение матрицы означает сначала приведение этой матрицы по строкам, а затем по столбцам.

Если с помощью приведённой матрицы удастся построить такую последовательность переходов по городам (по вершинам графа), которым соответствует последовательность нулевых элементов приведенной матрицы, то ясно, что для этой матрицы мы получим минимальный тур. Но он же будет минимальным и для исходной весовой матрицы С, только для того, чтобы получить правильную стоимость тура, нужно будет прибавить все константы приведения. Таким образом, сумма констант приведения играет роль оценки снизу для стоимости всех туров.

Весом элемента матрицы называют сумму констант приведения матрицы, которая получается из данной матрицы заменой обсуждаемого элемента на ¥. Следовательно, слова «самый тяжёлый нуль в матрице» означают, что в матрице подсчитан вес каждого нулевого элемента, а затем фиксирован нуль с максимальным весом.

Продемонстрируем теперь метод ветвей и границ для решения задачи о коммивояжёре.

Пусть требуется найти легчайший простой остовной ориентированный цикл в полном взвешенном ориентированном графе на пяти вершинах, со следующей весовой матрицей C:

Верхняя строка и левый столбец, выделенные затемненным фоном, содержат номера вершин графа; символ ¥, стоящий на главной диагонали означает отсутствие дуг-петель; кроме того, символ ¥ здесь и всюду означает «компьютерную бесконечность», то есть самое большое из возможных в рассмотрении чисел; считается, что в сумме ¥ с любым числом даёт ¥.

Обозначим за Г множество всех обходов коммивояжера (т. е. всех простых ориентированных остовных циклов). Поскольку граф – полный, это множество заведомо не пусто. Сопоставим ему число j(Г), которое будет играть роль значения на этом множестве оценочной функции: это число равно сумме констант приведения данной матрицы весов дуг графа и является оценкой снизу для стоимости минимального тура коммивояжёра. Приведённую матрицу весов данного графа следует запомнить, обозначим ее через С₁.

Подсчитаем j(Г). Для этого выполним приведение матрицы весов.

Сначала – по строкам:

Теперь − по столбцам:

Сумма констант приведения j(Г)=4+4+2+1+2+1=14.

Обозначим полученную матрицу через С₁ и найдём в ней самый тяжёлый нуль. Заметим, что замена нулевого элемента на ¥ приводит к изменению лишь двух слагаемых суммы констант приведения j(Г) – по одному при приведении строк и столбцов. Поэтому вес нуля можно определить суммированием наименьших элементов его строки и столбца. Вообще нуль в клетке (i,j) приведённой матрицы означает, что цена перехода из города i в город j равна 0. А если мы не пойдём из города i в город j? Тогда все равно нужно въехать в город j за минимальную цену, указанные в j-том столбце; и все равно надо будет выехать из города i за минимальную цену, указанную в i-той строке. А это и есть оценка нуля. Например, вес нуля в первой строке и четвёртом столбце складывается из минимума по первой строке, равного 4 (c_1,2=c_1,3=4), и минимума по четвёртому столбцу, равного 0 (c_5,4=0), без учета самого c_1,4.

Итак, запишем приведённую матрицу еще раз, указывая рядом с каждым нулем его вес:

Самым тяжёлым оказывается нуль в клетке (1,4).

Разобьём множество Г на две части: множество  (все циклы, проходящие через дугу (1,4)) и  (все циклы, не проходящие через дугу (1,4)). Такое ветвление определяет необходимость выбора одного из этих вариантов. Множеству  соответствует матрица С_1,1, полученная вычёркиванием соответствующих строки (строку 1) и столбца (столбец 4). У оставшихся строк и столбцов сохраним их исходные номера. Разумеется, вместе с вычёркиванием строки и столбца, в матрице надо заменить на ¥ числа в определённых клетках так, чтобы не получалось коротких циклов (длиной меньше n). В данном случае из города 4 мы уже не можем проехать в город 1, поэтому в клетке (1,4) ставим знак ¥.

Сумма констант приведения матрицы С_1,1 здесь равна 1, поэтому j(Г_{(1,4)})=j_{1,4}=14+1=15. Сопоставим результат j(Г_{(i,j)}) множеству Г_{(i,j)}, (в нашем случае Г_{(1,4)}).

Множеству  (в нашем случае С_1,2, полученная заменой на ¥ элемент с_1,4 в матрице С₁:

Сумма констант последнего приведения равна 4, так что

Теперь выберем между множествами  и  то, на котором минимальна функция j. В нашем случае из множеств, которому соответствует меньшее из чисел j(Г_{(1,4)})=15 и _{(1,4)}.

Итак, выделена определенная дуга (1,4) графа и построены новые матрицы, к которым, очевидно, можно применить описанную выше процедуру. При каждом таком повторном применении будет фиксироваться очередная дуга графа, которая в конечном итоге войдёт в искомый гамильтонов цикл (цикл коммивояжёра), если данная ветвь будет продолжена до конца и иметь минимальный вес.

В матрице С_1,1 подсчитаем веса нулей (веса нулей указаны в скобках):

Самым тяжёлым является нуль с номером (4,3), так что теперь следует рассматривать множества  и

Обратимся к первому из них. Поскольку, вычеркнув строку 4 и столбец 3 в матрице С_1,1, нужно также заменить на ¥ числа в определённых клетках так, чтобы не получалось коротких циклов (длиной меньше n), то в клетке с номером (3,1) надо поставить символ ¥. Получим матрицу С_1,1,1:

Для оценочной функции

Матрица С_1,1,2 для множества

Оценочная функция С_1,1,1:

Поскольку все нули имеют одинаковый вес, выберем любой из них; для определённости – нуль, стоящий в клетке (2,1).

Теперь речь пойдёт о множествах  и

Как и раньше, вычёркивая строку 2 и столбец 1 в матрице С_1,1,1, нужно также заменить на ¥ числа в определённых клетках так, чтобы не получалось коротких циклов (длиной меньше n). Так в клетке с номером (3,2) окажется символ ¥.

Получаем для оценочной функции

Для множества  матрица такова:

Для оценочной функции

Получилось, что для дальнейшей разработки можно брать любое из множеств  и ´2. Её нулевые клетки дают те дуги, которые с найденными ранее составляют обход коммивояжёра, причём вес этого обхода равен значению оценочной функции – 18. Вот этот обход:

(1,4)(4,3) (3,5) (5,2) (2,1) или 1®4®3®5®2®1

Найденный путь коммивояжёра является оптимальным, потому что значения оценочной функции на всех оборванных ветках (на границах) больше либо равны стоимости этого пути. Возможно, что оптимальный цикл будет не единственным. При ином варианте выборов по ходу разбиений можно было получить и другой оптимальный путь коммивояжёра, однако стоимость этих путей будет одинакова.

Задания для самостоятельного решения

1. С помощью матрицы смежности найти компоненты сильной связности ориентированного графа D.

2. С помощью алгоритма фронта волны найти расстояния в ориентированном графе D: диаметр, радиус и центры.

Примечание: самый длинный путь в графе найти при помощи алгоритма фронта волны.

3. Найти минимальный путь в нагруженном графе по методу Форда-Беллмана.

4. Найти Эйлерову цепь в неориентированном графе.

5. Найти минимальное остовное дерево в неориентированном нагруженном графе.

6. Методом ветвей и границ найти оптимальный путь коммивояжёра при следующей матрице стоимости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.    Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Наука, 1987. -598 с.

2.    Бахвалов Н.С. Численные методы. Часть 1. -М.: Наука, 1973. -631 с.

3.    Самарский А.А. Введение в численные методы. -М.: Наука, 1987. -286 с.

4.    Калиткин Н.Н. Численные методы. -М.: Наука, 1978. -512 с.

5.    Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислитель­ные методы. Т. I, II. -М.: Наука, 1987. -600 с.

6.    Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Ураков А.Р. Линейные некорректные задачи. Верификация численных результатов. Учебное пособие. -Уфа: УГАТУ, 2002. -91 с.

7.    Smith D.A., Ford W.F. Acceleration of linear and logarithmic convergence. – SIAM J. Numer. Anal., 1979, v. 16. -P. 223-240.

8.    Smith D. A., Ford W. F. Numerical comparisons of non-linear convergence accelerations. – Mathematics of Computation, 1982, v. 38, 158. -P. 481–499.

9.    Прудников А.П., Бычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. –М.: Наука, 1981. -800 с.