Теория случайных функций
Московский Государственный Институт Электроники и Математики
(Технический Университет)
КУРСОВАЯ РАБОТА
по курсу
“Теория случайных функций“
Студент: Ференец Д.А.
Преподаватель: Медведев А.И.
Вариант: 2.4.5.б
Москва, 1995
Дано:
Восстанавливаемая, резервированная система (5,1) с КПУ, вероятность срабатывания КПУ равна b.
Время невыхода из строя (т.е. безотказной работы) основного элемента распределено экспоненциально с параметром a.
Время восстановления вышедшего из строя элемента распределено экспоненциально с параметром m.
Тип резервироавния - ненагруженный.
Для описания состояния системы введем двумерный случайный поцесс n(t) = (x(t), d(t)) с координатами, описывающими:
- функционирование элементов
x(t) Î {0, 1, 2} - число неисправных элементов;
- функционирование КПУ
d(t) Î {0,1} - 1, если исправен, 0 - если нет.
Так как времена безотказной работы и восстановления имеют экспоненциальное распределение, то в силу свойств экспоненциального распределения, получим, что x(t) - однородный Марковский процесс.
Определим состояние отказа системы:
Система отказывает либо если переходит в состояние 2 процесса x(t) (т.е. отказ какого-либо элемента при количестве резервных элементов, равным нулю), либо если находится в состоянии 0 процесса d(t) (т.е. отказ какого-либо элемента и отказ КПУ).
Таким образом, можно построить граф состояний системы:
|
0 |
|
1 |
|
П |
0 - состояние, при котором 0 неисправных элементов, т.е. состояние n(t) = (0, d(t))
1 - состояние, при котором 1 неисправный элемент, т.е. состояние n(t) = (1, 1)
П - состояние, при котором либо 2 неисправных элемента, либо 1 неисправный элемент и неисправный КПУ, т.е. композиция состояний n(t) = (1, 1), n(t) =(2, 0) - поглощающее состояние.
Найдем интенсивности переходов.
Так как выход из строя каждого из элементов - события независимые, то получим:
вероятность выхода из строя элемента: 1-exp(-5ah) = 5ah + o(h)
вероятность восстановления элемента: 1-exp(-mh) = mh + o(h)
Þ
Пусть
Þ Получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:
Пусть
т.е. применим преобразование Лапласа к
Т.к.
Þ
Þ
( - корни
Представляя каждую из полученных функций в виде суммы двух правильных дробей, получаем:
Применяя обратное преобразование Лапласа, получаем выражения для функций
Þ
Þ
Þ Искомая вероятность невыхода системы из строя за время t:
где
Итак,
где
Определим теперь среднее время жизни такой системы, т.е. MT (T - время жизни системы):
Þ