2) Асимптотическая устойчивость есть устойчивость с дополнительным условием (3) : любое решение x₁ ( t ) , начинающееся в момент t₀ в D   - трубке, с течением времени неограниченно приближается к решению x ( t )  (рис.2). Трубка радиуса D   называется областью притяжения решения x ( t ). Решение x₂ ( t ), начинающееся при t = t₀  за пределами области притяжения, но в пределах d  - трубки, не покидает  e   - трубку, хотя может и не приближаться к решению x(t).

Определение 2.   Решение x ( t )  =  x ( t ; t₀ , x₀ )  системы (1) называется неустойчивып по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчивым), если оно не является устойчивым в положительном направлении.

Аналогично определяется неустойчивость в отрицательном направлении.

Комментарий к определению 2. Геометрически неустойчивость по Ляпунову означает, что среди решений, близких в начальный момент t₀ к решению х ( t ) , найдется хотя бы одно, которое в некоторый момент t₁ ( свой для каждого такого решения) выйдет за пределы  e   - трубки (рис.3).

Приведем примеры из механики, иллюстрирующие определения различных типов устойчивости для одномерного случая, т.е. n = 1.

Рассмотрим маятник, состоящий из точечной массы m, укрепленной на невесомом стержне длиной l (рис.4). Выведем маятник из состояния I, отклонив стержень на угол a   ; тогда, как известно из опыта, он будет стремиться занять вновь положение I. Если пренебречь сопротивлением окружающей среды, то маятник будет колебаться возле положения I сколь угодно долго с амплитудой, равной начальному отклонению, - это модель устойчивого положения равновесия. Если же учитывать сопротивление окружающей среды, то амплитуда колебаний маятника будет уменьшаться и в итоге он снова займет положение I - это модель асимптотически устойчивого положения равновесия. Если маятник находится в положении II, то малейшее его смещение приведет к удалению маятника от состояния II - это модель не устойчивого положения равновесия.

          x

        0                                                     t

                               Рис.3                                                                Рис.4

Исследование устойчивости произвольного решения x ( t ) системы (1) всегда можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения некоторой преобразованной системы. Действительно, в системе  (1) произведем подстановку y ( t ) = x - x (t). Тогда получим систему

                                               y’  = F ( t, y ).                                         (4)

где  F ( t , y ) = f ( t , y ( t ) + x ( t ) ) - f ( t , x ( t ) ) ,  F (t, 0)  º   0      "   t ³   t₀.

Решению x ( t ) системы (1) соответствует нулевое решение y (t) º   0 системы (4).

В дальнейшем будем предполагать, что система (1) имеет нулевое решение, т.е. f ( t , 0 ) = 0     "   t ³   t₀, и ограгничимся исследованием устойчивости нулевого решения. Переформулируем определения различных типов устойчивости для нулевого решения    x ( t )  º   0  системы (1).

Определение 3.   Нулевое решение x ( t ) º   0  системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если "   e   > 0   $   d   = d   (  e  )  > 0 такое, что  "   x₀

         |  D  x₀ |  £    d   Þ     | x ( t ; t₀ , x₀  ) |   £   e        "   t ³   t₀.

Если кроме того,

$    D   > 0        "   x₀        |  D  x₀ |  £   D     Þ     | x ( t ; t₀ , x₀  )  |   ®    0 , t ®     +  ¥    ,

то решение  x ( t )  º   0  системы (1)  называется асимптотически устойчивым в положительном направлении ( или асимптотически устойчивым ) .

Определение 4.     Нулевое решение   x ( t )  º   0  системы  (1)  называется неустойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчиво), если оно не является устойчивым в положительном направлении, т.е.

$    e   > 0     $   t₁ > t₀    "   d  > 0    x₀  ¹   0     |  x₀ |  £    d   Þ     | x ( t ; t₀ , x₀  ) |   >   e  .

Геометрическая интерпритация устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения  x ( t )  º   0 системы (1)  дана соответственно на рис.5-7.

2.  Устойчивость решения автономной системы. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной (или стационарной, или консервативной, или динамической), если независимая переменная не входит явно в систему уравнений.

Нормальную автономную систему n - го порядка можно записать в векторной форме :

                            dx / dt = f ( x ).                                                      (5)

Рассмотрим задачу Коши для системы (5) с начальными условиями (2). В дальнейшем предполагаем, что задача Коши (5), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.

Пусть x = x ( t ) - есть решение системы (5). Направленная кривая  g   , которую можно параметрически задать в виде x_i = x_i ( t )      ( i = 1, ... , n ), называется траекторией (фазовым графиком) системы (5) или траекторией решения x = x ( t ). Пространство Rⁿ с координатами ( x₁ , ... , x_n ), в котором расположены траектории системы (5), называется фазовым пространством автономной системы (5). Известно, что интегральные кривые системы (5) можно параметрически задать в виде  t = t , x₁ = x₁ ( t ), ... , x_n = x_n ( t ). Следовательно, интегральная кривая принадлежит пространству Rⁿ⁺¹ с координатами ( t , x₁ , x₂ , ... , x_n ) , а траектория является проекцией интегральной кривой на пространство Rⁿ параллельно оси t. Проиллюстрируем это для случая n  = 2 , т.е. когда Rⁿ⁺¹  - трехмерное пространство, а фазовое пространство Rⁿ  - двумерная плоскость. На рис.8,а изображена интегральная кривая, заданная параметрическими уравнениями t = t, x₁ = x₁ ( t ) , x₂ = x₂ ( t ), на рис.8,б -  ее проекция на плоскость, т.е. траектория, заданная параметрическими уравнениями x₁ = x₁ ( t ) , x₂ = x₂ ( t ). Стрелкой указано направление возрастания параметра t.

Определение 5.  Точка ( a₁, a₂ , ... , a_n ) называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы (5), если правые части f₁ , f₂ , ... , f_n  системы (5) обращаются в этой точке в нуль, т.е. f (a) = 0, где  a = ( a₁ , a₂ , ... , a_n ) , 0 = ( 0 , 0 , ... , 0 ) .

Если ( a₁ , ... , a_n ) - точка покоя, то система (5) имеет постоянное решение x ( t ) = a. Как известно, исследование устойчивости любого, а значит, и постоянного решения a можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения. Поэтому далее будем считать, что система (5) имеет нулевое решение x ( t )  º   0 , т.е. f ( 0 )  = 0, и точка покоя совпадает с началом координат фазового пространства Rⁿ. В пространстве Rⁿ⁺¹ точке покоя соответствует нулевое решение. Это изображено на рис.8 для случая n = 2.

Таким образом, устойчивость нулевого решения системы (5) означает устойчивость начала координат фазового пространства системы (5), и наоборот.

Дадим геометрическую интерпретацию устойчивого, асимптотически устойчивого и неустойчивого начала плоскости, т.е. когда n = 2. Для этого следует спроектировать аналоги рис.5-7 в двумерном случае на фазовую плоскость R², причем проекциями e   - трубки и  d   -  трубки являются окружности с радиусами  e   и  d  . Начало x = 0 устойчиво, если все траектории, начинающиеся в пределах   d   - окружности, не покидают   e   - окружность    "   t ³   t₀ (рис.9) ; асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и все траектории, начинающиеся в области притяжения  D   , стремятся к началу (рис.10) ; неустойчиво, если для любой   e   - окружности и всех  d   > 0  существует хотя бы одна траектория, покидающая ее (рис.11).

Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющая вид

                                      dx / dt =  A x,                                               (6)

где  A - постоянная матрица размера n  ´  n , является частным случаем системы (5). Следовательно, для этой системы справедливы все сделанные выше утверждения об автономных системах.

3. Простейшие типы точек покоя.

 Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

   æ  dx / dt = P ( x , y ),

   í                                                                                                   (A)

   î  dy / dt = Q ( x , y ).

Точка ( x₀ , y₀ ) называется точкой покоя или особой точкой системы (A), если P ( x₀ , y₀ ) = 0 , Q ( x₀ , y₀ ) = 0.

Рассмотрим систему

   æ  dx / dt = a₁₁ x + a₁₂ y,

   í                                                                                                   (7)

   î  dy / dt = a₂₁ x + a₂₂ y.

где  a_ij ( i , j = 1 , 2 ) - постоянные. Точка ( 0 , 0 ) является точкой покоя системы (7). Исследуем расположение траектории системы (7) в окрестности этой точки. Ищем решение в виде

                             x =  a  ₁  e ^{k t}   ,    y =   a  ₂ e ^{k t}  .                                              (8)

Для определения k получаем характеристическое уравнение

                                      a₁₁ - k          a₁₂

                                                                           =   0.                             (9)

                                      a₂₁               a₂₂ - k

Рассмотрим возможные случаи.

I. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Подслучаи :

1) k₁ < 0, k₂ < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k₁  >  0, k₂  > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k₁  > 0, k₂  <  0. Точка покоя неустойчива (седло).

4) k₁  = 0,  k₂  >  0. Точка покоя неустойчива.

5) k₁  = 0,  k₂ < 0. Точка покоя устойчива, но не асимптотически.

II. Корни характеристического уравнения комплексные :           k₁ = p + q i, k₂ = p - q i. Подслучаи :

1) p < 0 , q  ¹   0.  Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус).

2) p > 0 , q  ¹   0.  Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус).

3) p = 0, q  ¹   0.  Точка покоя устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет.

III. Корни кратные: k₁  = k₂ . Подслучаи :

1) k₁ = k₂ < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k₁ = k₂ > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k₁ = k₂ = 0. Точка покоя неустойчива. Возможен исключительный случай, когда все точки плоскости являются устойчивыми точками покоя.

Для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами

                   dx_{i                   n}

                            =       å     a_{i j} x_j                      ( i = 1 , 2 , ... , n )                   (10)

                   dt                ⁱ⁼¹

характеристическим уравнением будет

                   a₁₁ - k          a₁₂               a₁₃         ...      a_1n

                   a₂₁               a₂₂ - k          a₂₃     ...      a_2n               =  0.            (11)

                   .        .        .        .        .        .        .        .                          

                   a_n1               a_n2               a_n3     ...      a_nn - k

1) Если действительные части всех корней характеристического уравнения (11) системы (10) отрицательны, то точка покоя x_i ( t )  º   0   ( i = 1 , 2 , ... , n ) асимптотически устойчива.

2) Если действительная часть хотя бы одного корня характеристического уравнения (11) положительна, Re k _i = p _i > 0, то точка покоя x_i ( t )  º   0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) неустойчива.

3) Если характеристическое уравнение (11) имеет простые корни с нулевой действительной частью (т.е. нулевые или чисто мнимые корни ), то точка покоя x_i ( t )  º   0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) устойчива, но не асимптотически.

Для системы двух линейных линейных уравнений с постоянными действительными коэфициентами  

      .

   æ  x  = a₁₁ x + a₁₂ y,

   í   .                                                                                               (12)

   î  y  = a₂₁ x + a₂₂ y

характеристическое уравнение (9) приводится к виду

k² + a₁ k + a₂  = 0.

1) Если a₁ > 0 , a₂ > 0, то нулевое решение системы (12) асимптотически устойчиво.

2) Если а₁ > 0 , a₂ = 0, или a₁ = 0 , a₂  > 0 , то нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.

3) Во всех остальных случаях нулевое решение неустойчиво; однако при a₁ = a₂ = 0 возможен исключительный случай, когда нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.