Рис.1. Схема окреслення чотирикутника

обертанням трикутника Рьоло

         Побудувати трикутник Рьоло досить просто. З кожної вершини рівностороннього трикутника слід провести дугу кола, що з'єднує дві інші вершини. Отриманий криволінійний трикутник відноситься (поряд з колом) до так званих кривих постійної ширини: коли він котиться, верхні і нижні точки контуру переміщуються вздовж паралельних прямих.

1.1.   Окреслення чотирикутника складеним

обертанням трикутника Рьоло

         Але найбільш відома кінематична властивість трикутника Рьоло. Якщо обертати трикутник А₁В₁С₁ навколо центра О₁ описаного навколо нього кола з радіусом О₁А₁, а центр трикутника О₁ обертати в протилежну сторону в три рази швидше по колу з центром N, то трикутник окреслить фігуру, що незначно відрізняється за формою від чотирикутника (рис.1). Зокрема, за один оберт центра О₁ направо по колу з радіусом О₁N два кути чотирикутника будуть оформлені вершиною А трикутника Рьоло і по одному – вершинами В і С, тобто через кожну чверть оберту навколо центру N трикутник Рьоло буде знаходитися в положеннях А₂В₂С₂, А₃В₃С₃ і А₄В₄С₄.

         Однак виконані на рис.1 побудови показують невелику кривину сторін чотирикутника, про яку також вказують інженери-експери-ментатори [4, 5]. За їхніми даними, найбільше відхилення сторони чотирикутника А₁А₄ від ідеальної прямої має місце в точці D, для якої справедлива рівність А₁D = А₄D. Трикутник Рьоло при обертанні контак-тує з точкою D серединою своєї сторони.    

З’ясуємо, як обчислити це відхилення. Позначимо: R – радіус описаного біля трикутника Рьоло кола; r = O₁N. Тоді  

    А₁В₁=А₂В₂=А₃В₃=А₄В₄= R,

                                            ND= r – R + R                                  (1)

З трикутника А₁NA₄ одержуємо

                                              А₁N = r + R                                               

                                        NE =  (r + R) / 2                                     (2)

З урахуванням, що DE = ND = NE, з  рівнянь (1) і (2) визначимо

                             DE = r + R(  - 1) – (r + R) /,                              

або

          DE = R( – 1 – ()/2) + r(1 – ()/2) ~ 0,025R + 0,293r        (3)

         Таким чином, відхилення DE сторони квадрата від ідеальної прямої залежить, у першу чергу від радіуса r і не може бути усуненим, тому що R і r не можуть дорівнюватися нулю.

1.2.   Окреслення n-кутника складеним

обертанням m-кутника Рьоло

         Ґрунтуючись на отриманих Францем Рьоло результатах, розглянемо більш загальну задачу обертання  m-кутника Рьоло з різними швидкостями навколо центрів обертання для окреслення замкнутої фігури у формі  n-кутника (n>m).

         Розглянемо кінематику утворення трикутником Рьоло кутів А₁В₂С₃ і А₄А₁В₂. Для того, щоб кут А₁В₂С₃  був утворений вершиною В трикутника Рьоло, необхідно за час t перемістити  трикутник по годинниковій стрілці на кут 2π/n навколо центра N, але при цьому прокрутити його проти годинникової стрілки на кут (2π/n) – (2π/m). Визначимо кутові швидкості обертання трикутника Рьоло:

α = (2π/nt) – (2π/mt) = 2π(m – n) / (tmn),

β = 2π/nt,

де      α – кутова швидкість обертання трикутника Рьоло навколо центра О₁ описаного біля нього кола;

β – кутова  швидкість  обертання  центра  О₁  навколо центра N.

         Установимо, чому дорівнює співвідношення швидкостей:

                                      α / β = 1 – (n / m).                                     (4)

          Таким чином, у результаті аналізу утворення чотирикутника за допомогою трикутника Рьоло встановлено, що цей процес є окремим випадком утворення n-кутника в результаті складеного обертання m-кутника. Співвідношення (4) показує, що n-кутник може бути окресленим, якщо на процес обертання центра О₁ m-кутника навколо центра N накласти обертання в протилежну сторону m-кутника навколо його центра О₁ з кутовою швидкістю α, що відрізняється в n/m раз від кутової швидкості β.

Формула (4) також показує:

1) оскільки n > m, то кутові швидкості α і β завжди будуть протилежні за знаком;

2) трикутник Рьоло при обертанні з різними швидкостями α і β може окреслювати будь-який правильний n-кутник (n > m), наприклад, шестикутник, якщо α = - β, дев’ятикутник, якщо α = -2 β   і т.д.;

3) можна замість трикутника Рьоло використовувати інші фігури з m-ним числом кутів;

4) з практичною метою, на наш погляд, замість трикутника Рьоло можна застосовувати сочевицеподібний контур (m=2); інструменти і деталі, що мають цей контур, простіші у виготовленні, менші за габаритами,  і, як наслідок,  дешевші.

1.3.   Розрахунок контурів n-кутників,

що окреслені трикутником Рьоло

Науковий і практичний інтерес викликає не тільки необхідність обчислювання відхилення DE, але й встановлення координат контурів n-кутників, що окреслені m-кутниками на зразок трикутника Рьоло.

Спочатку визначимо координати будь-якої точки контуру трикутника Рьоло при сталих α і β.

Рис.2. Схема для визначення координат

контуру трикутника Рьоло.

Задамо кутом γ точку G на контурі трикутника Рьоло (при подальшому оберті трикутника Рьоло точка G переходить у точку Е контуру чотирикутника). Позначимо центральний ∟ACG=φ. Тоді ∟ABG=φ/2.   Хай OG=Rγ. Визначимо Rγ. З трикутників АСЕ’ та АОЕ’:  

АЕ’²=6R²-6R²cosφ,

АЕ’²=R²+ Rγ²-2Rrγcosγ,

звідки

cosφ=(5R²+2RRγcosγ- Rγ²)/6R²

З трикутника Е’СВ за теоремою косинусів:

За теоремою синусів з трикутника ОВЕ’ маємо:

Rγ=(BE’ sin(30^o+φ/2))/ sin(120^o-γ),

звідки

Нехай трикутник АВС обертається навколо центру О з кутовою швидкістю α. У системі координат, що зв’язана з центром О, визначимо координати точки G:

X_G=Rγsin(γ-α)

Y_G=Rγcos(γ-α)

Якщо центр О обертається навколо центру N з кутовою швидкістю β, то точка G переміщується у точку Е’ і у системі координат, що зв’язана з центром N, набуває координати, які можна обчислити за формулами:

X_G=rcosβ+ Rγsin(γ-α)                               (5)

Y_G=rsinβ+ Rγcos(γ-α).                               (6)

         Визначимо в загальному вигляді відхилення D’E’ (див рис.3).

Рис.3 Схема для визначення відхилення D’E’.

Рівняння прямої v, тобто сторони AB₁ n-кутника, до якої належить точка D’, має вигляд:

Y=kX+(R+r).                                               (7)

Як відомо, коефіцієнт k=tg(ω), де ω – кут між прямою v та віссю х. В нашому випадку для окреслення чотирикутника ω=45^о, а для n-кутника – ω=180^о/n.

 Визначимо рівняння прямої u, часткою якої є відхилення D’E’:

Y=k₁X+b₁,                                                  (8)

    k₁=tg(ψ)=tg(ω+90^o)=-ctg(ω)=-1/k.

         Координати точки Е’ дозволяють обчислити b_1:

     b₁=Y_E’-kX_E’.

Рівняння (7) та (8) утворюють систему, рішенням якої є координати точки D’:

X_D=(kY_E’+ X_E’+k(R+r))/(k²+1),

Y_D=(k²Y_E’+kX_E’+k(R+r))/(k²+1).

         Таким чином за відомими координатами точок  D’ і E’ можемо обчислити відхилення D’E’ за формулою:

1.4.   Окреслення правильного чотирикутника

складеним обертанням трикутника Рьоло

Францем Рьоло вказувалося, що при окресленні трикутником Рьоло чотирикутника утвориться невелика неперекрита трикутником площа чотирикутника. У даній роботі цей висновок був сформульований у вигляді формули (3). Я взяв собі за мету: що потрібно зробити для усунення кривини сторін чотирикутника. Один з варіантів передбачає (рис.4) утворення чотирикутника таким трикутником Рьоло, що має радіус кривини ρ ≠ R. Оскільки на рис.1 чотирикутник має опуклі сторони, вважаємо, що радіус кривини сторін трикутника Рьоло, що дорівнює,  недостатній для забезпечення паралельності сторін чотирикутника. З цього випливає   ρ > .

Рис.4. Схема окреслення правильного чотирикутника обертанням трикутника Рьоло  із зміненим радіусом кривини сторін

Для  сегмента А₂LB₂M запишемо:

                                     ρ = [(LA₂)² + LM²] / 2LM.                             (9)

З трикутника O₂B₂L визначимо LA₂:

                                          LA₂ = () / 2                                      (10)

Висота сегмента LM є частиною катета прямокутного трикутника A₁NM:

                                           LM = NM – NL,

для якого

                       NM = A₁N·cos45º, тобто NM =  (r + R) / 2                 (11)

і

                                            NL = NO₂ + O₂L

         Враховуючи, що NO₂ = r, а з трикутника O₂B₂L   O₂L = R / 2, одержимо:

                                             NL = r + R/2                                          (12)

         Таким чином, з урахуванням формул (11), (12)

                             LM = r[()/2 – 1] + R(  - 1)/2                              (13)

         Підставляючи вирази (10) і (11) у формулу (9), визначимо необхідний радіус кривини:

ρ=[3R²+(R²+2Rr+2r²)(3-2) + 2Rr(1-)] / {4[R(–1) + r(–2)]}           (14)

         Знаменник формули (14) буде позитивною величиною при виконанні нерівності:

R > [r(2 - )] / ( – 1)

1.5.   Окреслення правильного чотирикутника складеним обертанням сочевицеподібного контуру

         Для визначення оптимальних співвідношень параметрів, що забезпечують точну геометричну форму чотирикутника, окресленого обертанням сочевицеподібного контуру, звернемося до рис.5.

Рис.5. Схема окреслення чотирикутника обертанням сочевицеподібного контура

З прямокутного трикутника NCB з урахуванням позначення      NO₂ = r співвідношення між висотою O₂C і шириною a сочевиці дорівнює:

                                (r + a/2)cos π/n = r + O₂C                      (15)

Для сочевиці АВ справедливі рівності:

a/2ρ = sin φ,

O₂C = ρ (1 – cos φ),

звідки

a² / 4ρ² = 1 – cos² φ,

підставляючи значення О₂С в формулу (15), одержимо:

   ρ={a·cos(π/n)–2r[1–cos(π/n)]}/4 + a²/ {4a·cos(π/n) – 8r[1 -cos(π/n)]},

де     a – ширина сочевиці, при цьому a ≤ 2ρ cos (π/n).