Устойчивость и стабилизация движений относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях
Реферат
Дипломная работа содержит 59 страниц, 42 использованных источника, 3 рисунка.
УСТОЙЧИВОСТЬ, СТАБИЛИЗАЦИЯ, ЧАСТИЧНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ, ЧАСТИЧНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ, ПОСТОЯННО ДЕЙСТВУЮЩИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ, ЧАСТЬ ПЕРЕМЕННЫХ, ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА, НЕЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА.
Объект исследования – динамическая система.
Предмет исследования – устойчивость и стабилизация движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях.
Цель работы – исследование устойчивости и стабилизации линейных и нелинейных систем относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях; анализ научной и учебной литературы по теме исследования.
Методы исследования – в основу исследования теории устойчивости и стабилизации относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях положены основные задачи частичной устойчивости Ляпунова, Румянцева, Воротникова. При решении полученных математических задач используется метод, основанный на нелинейной замене переменных, метод функций Ляпунова, где рассматривается ряд теорем об устойчивости движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях.
Полученные результаты – проанализирована научная и учебная литература по исследуемой теме, приведены основные определения и теоремы и условия устойчивости движения твердого тела с одной неподвижной точкой при постоянно действующих возмущениях; с помощью метода функций Ляпунова рассмотрен ряд теорем об устойчивости движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях, приводится обобщение теорема Ляпунова – Малкина об устойчивости и (одновременно) экспоненциальной асимптотической устойчивости по части переменных по линейному приближению, рассмотрена оптимальная стабилизация одной нелинейной системы при наличии постоянно действующих возмущений, исследована математическая модель на условие устойчивости и стабилизации движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях.
Область применения – в нелинейной теории управления, механике, биологии, экономике, на стыке физики, химии и теории управления, в системах с распределенными параметрами (в частных производных), в стохастических, дискретных, а также в абстрактных динамических системах в метрическом пространстве.
Содержание
Введение 7
1 Устойчивость линейных систем 13
1.1 Определение и основные теоремы 13
1.2 Устойчивость движения твердого тела с одной неподвижной точкой 19
1.3 Алгебраический критерий асимптотической 23
1.4 Условие устойчивости и асимптотической устойчивости при не
малых постоянных возмущениях 24
1.5 Обобщение теоремы Ляпунова – Малкина 30
2 Устойчивость нелинейных систем 32
2.1 Устойчивость движения относительно части переменных при
постоянно действующих возмущениях для нелинейных систем
(1 случай) 32
2.1.1 Основные определения и теоремы 32
2.1.2 Пример движения голономной механической системы 36
2.1.3 Распространение принципа сравнения с вектор - функцией
Ляпунова на задачу - устойчивости при постоянно
действующих возмущениях 37
2.2 Устойчивость движения относительно части переменных при
постоянно действующих возмущениях для нелинейных систем
(2 случай) 38
2.3 Оптимальная стабилизация одной нелинейной системы при
наличии постоянно действующих возмущений 40
3 Устойчивость и стабилизация движения асимметричного твердого тела 45
3.1 Стабилизация по части переменных перманентного вращения асимметричного твердого тела посредством одного маховика 45
3.2 Устойчивость и стабилизация движения асимметричного твердого
тела 47
3.3 Динамическое уравнение Эйлера, описывающее угловое движение твердого тела под действием управляющих моментов 51
3.4 Динамическое уравнение Эйлера, описывающее угловое движение твердого тела под действием постоянно действующих возмущений 52
Заключение 54
Список использованных источников 56
Введение
Дипломная работа посвящена разделу общей теории устойчивости, в котором, в отличие от традиционных исследований в этой области, рассматриваются задачи устойчивости и стабилизации динамических систем не по всем, а лишь по отношению к заданной части характеризующих их переменных. Такие задачи естественным образом возникают в приложениях, как из требования нормального функционирования, так и при оценке возможностей системы.
Начиная с середины XX столетия эти задачи, а затем и тесно связанные с ней задачи стабилизации по отношению к части переменных стали систематически разрабатываться в научных центрах России и бывшего СССР, а также Европы, США, Индии, Японии и Китая. Благодаря большой математической общности постановки указанные задачи являются междисциплинарными и естественным образом возникают при моделировании многих явлений и управляемых процессов в самых разных разделах науки: механике, физике, экономике, биологии, и других. Они часто называются также задачами частичной устойчивости (стабилизации).
Начиная с основополагающих работ В.В. Румянцева [28 - 31], которые привлекли к задачам устойчивости по отношению к части переменных внимание многих ученых, ведущим методом исследования является метод функций Ляпунова, оказавшийся весьма эффективным при анализе как теоретических, так и прикладных проблем.
Однако хотя во многих важных прикладных задачах метод функций Ляпунова и позволяет получить строгие и легко интерпретируемые условия устойчивости по части переменных, тем не менее, в целом вопросы конструктивного построения функций Ляпунова остаются малоизученными. В такой ситуации значительный интерес представляет как дальнейшее развитие метода в плане ослабления требований к функциям Ляпунова и указания конструктивных путей их построения, так и развитие других подходов к задачам устойчивости по отношению к части переменных.
Исследование устойчивости относительно части переменных позволяет выявить дополнительные свойства модели, которые не «видны» при исследовании «полной» устойчивости. Перечислим некоторые из обнаруженных к настоящему времени таких возможностей, не имеющих места при исследовании устойчивости по отношению ко всем переменным [6].
1 Допустимость устойчивости «в малом» одной группы переменных при больших начальных возмущениях другой их группы ( или при больших
2 Возможность инвариантности свойств устойчивости по части переменных при сколь угодно больших постоянно действующих возмущениях [27], действующих по некоторым каналам системы.
3 Допустимость асимптотического характера устойчивости по части переменных при постоянно действующих возмущениях [4, 5].
Развитие исследований, проведенных к настоящему времени, можно условно разделить на два этапа. Первый этап (конец 50-х – начало 70-х годов XX века) связан почти исключительно с развитием метода функций Ляпунова и подытожен (по работам [12, 21, 24, 28, 29, 31, 36, 38, 40, 41, 42]) в обзорной статье А.С. Озиранера и В.В. Румянцева [26], сыгравшей существенную стимулирующую роль в инициировании дальнейшего исследования проблемы устойчивости (стабилизации) по части переменных.
Начиная с середины 70-х годов прошлого столетия (второй этап исследований) круг вопросов, решаемых в рамках данной проблемы, значительно расширился. В числе их оказались следующие направления исследований.
1 Дальнейшее развитие метода функций Ляпунова применительно к задаче устойчивости и стабилизации по части переменных при постоянно действующих возмущениях (п.д.в.) для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Потребность в этом, в частности, возникла вследствие ряда выявленных на первом этапе исследований существенных трудностей при переносе основных теорем метода функций Ляпунова на случай задачи устойчивости и стабилизации по части переменных при постоянно действующих возмущениях (Озиранер А.С, Румянцев В.В.[26], Гермаидзе В.Е. , Красовский Н.Н. [10]).
2 В работах К. Кордуняну [37], Каримова А.У.[14], Озиранера А.С. [25], Мики К., Масамиси А., Шойси С. [39], Игнатьева А.О.[13] метод функции Ляпунова используется для решения задач устойчивости по части переменным при постоянно действующих возмущениях и сохранения устойчивости. Одной из особенностей задачи устойчивости и стабилизации по части переменных при постоянно действующих возмущениях является ее отличный, в сравнении со случаем устойчивости и стабилизации при постоянно действующих возмущениях по отношению ко всем переменным, характер взаимоотношений с задачей частичной устойчивости при структурных (параметрических) возмущениях. Это видно уже на примере асимптотической устойчивости по отношению к части переменных линейной стационарной системы, которая, будучи устойчива по этим переменным при постоянно действующих возмущениях, может, вообще говоря, терять устойчивость по указанным переменным даже при малых возмущениях своих коэффициентов. Именно задачи частичной устойчивости (стабилизации), в отличии от задач устойчивости (стабилизации) по всем переменным, становятся строгой математической базой для многих важных современных исследований.
Объект исследования – динамическая система.
Предмет исследования – устойчивость и стабилизация движений относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях.
Цель исследования – анализ устойчивости и стабилизации динамических систем по отношению к части переменных.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1) проанализировать научную литературу, посвящённую проблеме устойчивости и стабилизации движения при постоянно действующих возмущениях и применить эти исследования для решения практической задачи;
2) рассмотреть устойчивость и стабилизацию движений относительно частим переменных при постоянно действующих возмущениях для линейных систем;
3) раскрыть определение устойчивости и стабилизации движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях;
4) рассмотреть основные теоремы, исследующие условия ;
5) рассмотреть устойчивость и стабилизацию движений относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях для нелинейных систем;
6) с помощью метода функций Ляпунова рассмотреть ряд теорем об устойчивости движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях;
7) рассмотреть оптимальную стабилизацию нелинейных систем при наличии постоянно действующих возмущений выявить
8) провести анализ устойчивости и стабилизации движений относительно части переменных для конкретной математической модели с использованием современных методов.
Дипломная работа состоит из 3 разделов.
Первый раздел посвящен задаче об устойчивости и асимптотической устойчивости движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях, когда некоторые из них могут не быть достаточно малыми. Единообразным приемом, основанным на нелинейной замене переменных и дифференциальных неравенствах, приводятся условия устойчивости движения твердого тела с одной неподвижной точкой при постоянно действующих возмущениях.
Далее показывается, что задача об устойчивости движения относительно части переменных (ряд известных результатов, исходным пунктом в которых является теорема Ляпунова – Малкина об устойчивости и (одновременно) экспоненциальной асимптотической устойчивости по части переменных по линейному приближению [1].
Во 2 разделе дается исследование нелинейных систем. С помощью метода функций Ляпунова рассматривается ряд теорем об устойчивости движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях. Опираясь на широко известную теорему Н.Н. Красовского об оптимальной стабилизации [16, 285] и метод оптимальной стабилизации линейных неоднородных управляемых систем [15, 73-83] приводиться построение управления оптимально стабилизирующего множество относительно решений уравнения.
В третьем разделе рассмотрена стабилизация по части переменных перманентного вращения асимметричного твердого тела с помощью одного маховика. Показано, что пока гиростат совершает заданное движение, маховик находится в состоянии покоя (управляющий двигатель включен). При появлении малых постоянных возмущений специальные устройства формируют и прикладывают к маховику управляющий момент, в результате основное тело гиростата с течением времени возвращается в исходный режим стационарного вращения, а сам маховик – в состояние покоя. Также рассмотрен пример устойчивости (стабилизации) и управления по части переменных угловым движением асимметричного твердого тела. Рассмотрен этот же случай при постоянно действующих возмущениях.
1 Устойчивость линейных систем
1.1 Определение и основные теоремы
Пусть имеем линейную стационарную систему обыкновенных дифференциальных уравнений возмущенного движения
или в переменных
(1.1.1)
где
Наряду с системой (1.1) рассмотрим «возмущенную» систему
(1.1.2)
разобьем на две группы и представим и в виде .
Определение 1.1.1 (Воротников В.И. [4]). Движение системы (1.1.1) называется могут быть указаны положительные числа
(1.1.3)
выполняется на всех движениях системы (1.2), начинающихся в области
(1.1.4)
при любых значениях
(1.1.5)
в области (1.1.3).
Если, кроме того, при , то движение системы (1.1.1) называется асимптотически
Замечание 1.1.1 Если вектор в (1.1.5) удовлетворяют соответственно условиям и системы (1.1.1) определение - в определение
Замечание 1.1.2 Определение
Замечание 1.1.3 Определение асимптотической согласно [19].
Рассмотрим матрицы
(1.1.6)
(1.1.7)
где - линейно-независимые векторы-столбцы матрицы невырожденная,
Теорема 1.1.1 (Воротников В.И. [4]). Пусть движение системы (1.1) асимптотически строки с номерами нулевые, то движение и вектор – функцию входят соответственно переменные и функции с номерами
Доказательство. Сделаем в системе (1.1) замену переменных имеет вид (1.1.7). В новых переменных уравнения системы (1.1.1), согласно [2, 7] распадаются на две группы:
причем - мерный вектор
(1.1.8)
полностью определяет поведение переменных системы (1.1.1).
Рассмотрим наряду с (1.1.8) систему
Движение не содержит возмущений системы (1.1) и вектор – функцию входят соответственно переменные и с номерами
Следствие. Если движение системы (1.1) асимптотически
Пример 1.1.1 Пусть уравнения возмущенного движения (1.1) имеют вид
(1.1.9)
Систему (1.1.8) в данном случае составят уравнения
Собственные числа матрицы имеют отрицательные части нулевая, поэтому, согласно теореме 1.1.1, движение системы (1.1.9) . Таким образом, невозмущенное движение системы (1.1.9)
Пример 1.1.2 Рассмотрим уравнения возмущенного движения регулируемой системы в критическом случае двух нулевых корней
(1.1.10)
где - постоянные числа,
Введем новую переменную [3] , где
(1.1.11)
Известные условия устойчивости в целом невозмущенного движения системы (1.1.11) [17] будут, согласно [3], достаточными условиями любом конечном числе можно сделать достаточно малой за счет подходящего выбора величины
Пусть вектор – функции и в системе (1.1.2) имеют вид
где и - постоянные векторы соответствующих размеров.
Допустим, что линейно – независимые векторы – столбцы матрицы линейно независимы. Рассмотрим систему алгебраических уравнений для определения
Предположим, что
(1.1.12)
(1.1.13)
где - достаточно малые положительные постоянные.
Теорема 1.1.2 (Воротников В.И. [4]). Если движение системы (1.1.1) асимптотически и любых удовлетворяющих условиям (1.1.13) возмущениях строки с номерами нулевые, то это движение асимптотически - устойчиво, причем в вектор и вектор – функцию входят соответственно переменные и функции с номерами .
Пример 1.1.3 Пусть уравнения возмущенного движения (1.1) имеют вид
(1.1.14)
Поскольку
(1.1.15)
После введения новой переменной система
приводиться к виду
Поэтому при выполнении условий (1.1.13) невозмущенное движение системы (1.1.14) асимптотически
Дальнейшим развитием проблемы устойчивости на класс управляемых систем является задача стабилизации движения. Эта задача имеет большое значение в связи с бурным развитием теории управления и ее обширными практическими применениями.
Рассмотрим систему уравнений возмущенного движения управляемого объекта
или, в переменных
(1.1.16)
правые части определены и непрерывны в области
(1.1.17)
Вектор управляющих воздействий ищем в виде
(1.1.18)
а система (1.1.16) при удовлетворяет ограничениям, наложенным на систему (1.1.18). Пусть
в котором
Задача оптимальной стабилизации. Найти вектор-функцию системы (1.1.16) асимптотически устойчиво относительно
1.2 Устойчивость движения твердого тела с одной неподвижной точкой
Рассмотрим движение тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой, вызванное начальными и постоянно действующими возмущениями. Уравнения возмущенного движения имеют вид
(1.2.1)
где .
Будем изучать устойчивость невозмущенного движения системы (1.2.1) при ряде предположений относительно вида функций
10.
т.е. система (3.1) имеет вид
(1.2.2)
Введем новую переменную или имеем следующие оценки для системы (3.2):
а)
в области
(1.2.3)
б)
в области
(1.2.4)
Из оценок а), б) следует, что переменная системы (3.2) будет описываться уравнением
поэтому при условии движение системы (1.2.2) асимптотически
Если или
Теорема 1.2.1 (Воротников В.И. [4]). Пусть выполняется одно из трех условий
(1.2.5)
Если то движение системы (1.2.2) асимптотически или то это движение
20. - кусочно-непрерывные функции . Система (1.2.1) имеет вид
(1.2.6)
При условии или имеем оценки для системы (3.6)
в области (3.3), (3.4) соответственно.
Поэтому переменная системы (1.2.6) описывается уравнением
и, следовательно, выполняется неравенство
(1.2.7)
Теорема 1.2.2 [4]. Пусть выполняется одно из трех условий (1.2.5).
Если
то движение системы (1.2.6) асимптотически
30. , где - непрерывная функция в области Система (1.2.1) примет вид
(1.2.8)
При условии или имеем оценки для системы (1.2.8)
(1.2.9)
в области (1.2.3), (1.2.4) соответственно.
Рассмотрим систему
, (1.2.10)
являющуюся системой сравнения для (1.2.9).
Теорема 1.2.3 (Воротников В.И. [4]). Пусть выполняется одно из двух условий: или
то движение системы (1.2.8) асимптотически
40. непрерывные по совокупности переменных функции в области имеет вид
(1.2.11)
При условии или имеем оценки для системы (1.2.11)
(1.2.12)
в области (1.2.3), (1.2.4) соответственно.
Допустим, что
, (1.2.13)
где
Теорема 1.2.3 (Воротников В.И. [4]). Если движение системы
асимптотически устойчиво по Ляпунову в целом, то движение системы (1.2.11) асимптотически
50. , .
Теорема 1.2.4 (Воротников В.И. [4]). При выполнении условий , движение системы (1.2.1)
В п.п. 10-50 найдется положительное число
(1.2.14)
следует при всех или при , где
1.3 Алгебраический критерий асимптотической
Сформулируем алгебраический критерий асимптотической системы (1.1.1). Допустим, что следующего вида:
а) строки матрицы размера
б) столбцы матрицы размера (пусть эти столбцы матрицы имеют номера );
в) строка с номером размера является строкой
с номером матрицы нулевые;
г)
единичная матрица размера
Теорема 1.3.1 (Воротников В.И. [4]). Для асимптотической системы (1.1) необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения
(1.3.1)
имели отрицательные вещественные части.
Замечание. Уравнение (1.3.1) является характеристическим уравнением введенной в [7] системы уравнений
Пример 1.3.1 Пусть система (1.1.1) имеет вид (1.1.14). В данном случае и
Составим матрицы
Уравнение (1.3.1) имеет вид
(1.3.2)
Корни уравнения (1.3.2) отрицательны, поэтому движение системы (1.1.14) асимптотически
1.4 Условие устойчивости и асимптотической устойчивости при не малых постоянных возмущениях
Если движение системы
(1.4.1)
асимптотически устойчиво по Ляпунову, то это движение устойчиво при п.д.в., малых по величине (интегрально), а малое изменение коэффициентов в системе (1.4.1) сохраняет асимптотическую устойчивость [15, 19]. Если же движение системы (1) асимптотически устойчиво относительно
1 это движение устойчиво относительно при п.д.в., причем часть функций
2 сколь угодно малое изменение коэффициентов системы (1.4.1) может приводить к неустойчивости по
Наряду с системой (1.4.1) рассмотрим «возмущенную» систему
(1.4.2)
где вектор – функции - постоянно действующие возмущения. (Вообще говоря
Компоненты, составляющие вектор и вектор – функцию и в виде и вектор – функции
Определение 1.4.1 (Воротников В.И [5]) . Движение системы (1.1.1) называется
1) , если для любого числа могут быть указаны положительные числа
, (1.4.3)
выполняются на всех движениях системы (2), начинающихся в области
(1.4.4)
при любых значениях
(1.4.5)
в области (1.4.3).
2) асимптотически устойчивым относительно при постоянно действующих возмущениях (в целом по ), если это движение устойчиво в смысле определения 1.4.1, в котором
(
и, кроме того,
при .
Замечание 1.4.1 В отличие от ранее введенных определений устойчивости при п.д.в. (как по всем, так и по части переменных), в определении 1.4.1 допускаются сколь угодно большие значения не только части компонент вектора
Замечание 1.4.2 Асимптотическая устойчивость по всем переменным невозмущенного движения системы (1.4.1) при п.д.в. невозможна даже в случае малых Поэтому введенное определение асимптотической устойчивости при п.д.в. имеет лишь по отношению к части компонент фазового вектора динамических систем.
Рассмотрим матрицы
(1.4.6)
вида:
а) строки матрицы размера где
б) столбцы матрицы размера (пусть эти столбцы имеют номер в матрице
в) строка с номером матрицы размера матрицы а остальные строки матрицы
г)
где
(1.4.7)
где невырожденная,
Для рассматриваемого класса вектор – функции в системе (1.4.2) всегда можно представить в идее
где - постоянные векторы соответствующих размеров.
Теорема 1.4.1 (Воротников В.И. [5]). Пусть все корни уравнения
(1.4.8)
имеют отрицательные вещественные части.
1 Если у матрицы столбцы с номерами - нулевые, то движение системы (1.4.1) устойчиво относительно при п.д.в. в целом по и вектор – функцию входят соответственно переменные и функции с номерами
2 Пусть столбцы матрицы линейно независимы, причем в области
выполняются условия
(1.4.9)
(1.4.10)
в которых - элементы матрицы - достаточно малая положительная постоянная. Тогда движение системы (1) асимптотически устойчиво относительно при малых п.д.в, удовлетворяющих условиям (1.4.9), (1.4.10). Если, кроме того, у матрицы столбцы с номерами и
Следствие 1.4.1 (Воротников В.И. [5]). Пусть все корни уравнения (1.4.7) имеют отрицательные вещественные части. Тогда движение системы (1.4.1) устойчиво относительно при п.д.в., малых в каждый момент времени.
Следствие 1.4.2 (Воротников В.И. [5]). Если все корни уравнения (1.4.7) имеют отрицательные вещественные части, столбцы матрицы линейно независимы и выполняется тождество движения системы (1) при малых п.д.в. необходимо и достаточно выполнения условия (1.4.9).
Условие теоремы 1.4.1 о существовании нулевых столбцов в можно ослабить при предположениях теории инвариантности [27]
(1.4.11)
Однако в этом случае ни одно из значений вектора не может быть, вообще говоря, произвольным по величине.
Следствие 1.4.3 (Воротников В.И. [5]) . Пусть все корни уравнения (1.4.7) имеют отрицательные вещественные части, а вектор – функции в системе (2) удовлетворяют соотношениям (1.4.11). Если, кроме того, выполняются равенства
(1.4.12)
то движение системы (1.4.1) асимптотически устойчиво относительно при п.д.в. в целом по
Замечание 1.4.3
1 В системе (1.4.9) постоянных величин, входящих в векторы уравнениями. Поскольку столбцы с номерами в матрице являются линейно независимыми, то считая заданными компоненты вектора и те компоненты из компонент из
2 Предположение о линейной независимости столбцов матрицы во второй части теоремы 1.4.1 и следствии 1.4.2 не имеет принципиального значения и сделано лишь для упрощения условий и доказательства.
3 Для асимптотической системы (1.4.1) будет системы справедливо соотношение при .
Пример 1.4.1 Пусть уравнения возмущенного движения (1) имеют вид
(1.4.13)
В данном случае
и все корни уравнения (2) имеют отрицательные вещественные части. Поскольку вторая строка матрицы системы (1.4.13) устойчиво относительно при п.д.в. в целом по
(1.4.14)
и, следовательно, нулевое решение системы (1.4.13) асимптотически устойчиво относительно в целом по при п.д.в., удовлетворяющих условиям (1.4.10) сводиться к тому, что малые постоянные возмущения
1.5 Обобщение теоремы Ляпунова – Малкина
Рассмотрим систему в виде двух групп уравнений
(2.3.1)
Здесь соответствующих размеров, элементы которых являются непрерывными при функциями. Нелинейные возмущения в области непрерывны и удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решений.
Обозначим решение системы (1), удовлетворяющее начальному условию
Определение 2.3.1 [32, 36]. Невозмущенное движение системы (2.3.1) равномерно устойчиво по Ляпунову и (одновременно) экспоненциально асимптотически если для любых значений найдутся числа
Предположим, что выполнены условия [32]
, (2.3.2)
при
Теорема 2.3.1 Пусть нулевое решение линейной системы
(2.3.3)
равномерно устойчиво по Ляпунову и (одновременно) экспоненциально асимптотически устойчиво. Тогда при выполнении условий (2.3.2), этим же свойствам устойчивости обладает невозмущенное движение нелинейной системы (2.3.1).
2 Устойчивость нелинейных систем
2.1 Устойчивость движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях для нелинейных систем (1 случай)
2.1.1 Основные определения и теоремы
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений возмущенного движения
(2.1.1.1)
в которой [26] .Предположим, что:
а) правые части системы (2.1.1) в области
(2.1.1.2)
непрерывны и удовлетворяют условиям единственности решения;
б) решения системы (2.1.1.1) - продолжимы.
Наряду с системой (2.1.1.1) рассмотрим «возмущенную» систему
(2.1.1.3) относительно которой предполагается выполнение условий а) и б), причем, вообще говоря, решение системы (2.1.1.3), определенное начальными условиями
Обобщая введенные в работах [9], [10], [15], [19], [20] понятия на задачу устойчивости относительно части переменных, приведем следующие определения.
Определение 2.1.1.1 (Озиранер А.С.[25]). Движение системы (2.1.1.1) называется (соответственно или ) существуют (соответственно или ), такие, что всякое решение с любой системы (2.1.3), для которой в области (2.1.1.4) выполняется условие (2.1.5)
(2.1.1.4)
(2.1.1.5)
(соответственно (2.1.1.6) и (2.1.1.7))
(2.1.1.6)
(2.1.1.7)
при всех удовлетворяет неравенству
Определение 2.1.1.2 (Озиранер А.С.[25]). Если в определении 2.1.1.1 для любого или для любого (соответственно или ) не зависящими от устойчивость при п.д.в., малых в каждый момент времени (малых в среднем или малых интегрально) называется равномерной.
Если в определении 2.1.1.1 заменить неравенство условием (
(2.1.1.8)
в предположении, что оно инвариантно в силу системы (2.1.1.1). Ясно, что из устойчивости при п.д.в. инвариантного множества (2.1.1.8) следует у–устойчивость при п.д.в. движения системы (2.1.1.1).
Очевидно также, что из устойчивости (равномерной устойчивости) при п.д.в., малых в среднем, вытекает устойчивость (равномерная устойчивость) при п.д.в., малых в каждый момент времени. А это, в свою очередь, влечет за собой устойчивость (равномерную устойчивость) при п.д.в., малых интегрально.
Рассмотрим теоремы, которые доказал Озиранер А.С. [25], с помощью метода функций Ляпунова.
Теорема 2.1.1.1 (Озиранер А.С.[25]). Предположим, что существует функция
(2.1.1.9) удовлетворяющая неравенствам
(2.1.1.10)
(2.1.1.11) производная по времени, от которой в силу системы (1.1.1)
(2.1.1.12)
Здесь - непрерывные монотонно возрастающие функции, обращающиеся в нуль при системы (1.1.1) равномерно устойчиво при п.д.в.,малых в каждый момент времени.
Теорема 2.1.2 (Озиранер А.С.[25]). Предположим, что существует функция
(2.1.1.13)
(2.1.1.14)
Тогда инвариантное [24], [26] в силу системы (2.1.1.1) множество (2.1.1.8) равномерно устойчиво при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем.
Замечание 2.1.1.1 Теоремы 2.1.1.1 и 2.1.1.2 обобщают на задачу устойчивости относительно части переменных результаты, полученные в [10], [15], [19]; кроме того, теорема 2.1.1.2 усиливает теорему А.У. Каримова[14].
Следствие 2.1.1.1 Если в области (2.1.1.2) функции и непрерывны и ограничены, а инвариантное множество (2.1.1.8) равномерно асимптотически устойчиво, то оно равномерно устойчиво при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем.
Действительно, при сделанных предположениях, как показано в [24], существует функция
Теорема 2.1.1.3 (Озиранер А.С. [25]). Предположим, что для любого выполняется условие и
(2.1.1.15) причем для любых таких, что
при ,
то движение системы (2.1.1.1) равномерно устойчиво при п.д.в., малых в каждый момент времени.
Теорема 2.1.1.4 (Озиранер А.С.[25]). Предположим, что существует функция
(2.1.1.16)
Тогда движение равномерно
Если, кроме того, удовлетворяет неравенству (2.1.1.13), то инвариантное множество (2.1.1.8) равномерно устойчиво при п.д.в., малых интегрально.
Замечание 2.1.1.2 Первое утверждение теоремы 2.1.1.4 обобщает на задачу устойчивости относительно части переменных результат, полученный в [9].
Замечание 2.1.1.3 В теоремах 2.1.1.1-2.1.1.4 можно отказаться от гладкости функции следует понимать обобщенную производную[11, 32].
2.1.2 Пример движения голономной механической системы
Пример 2.1.2 Рассмотрим уравнения движения голономной механической системы в лагранжевых координатах
(2.1.2.1)
Здесь - кинетическая энергия ( - форма степени относительно
Предположим, что система (3.1) имеет частное решение (положение равновесия)
(2.1.2.2)
Если не зависит явно от времени, то уравнения (2.1.17) допускают (обобщенный) интеграл энергии
(2.1.2.3)
Производная
(2.1.2.4)
(2.1.2.5)
Если определенно положительна по при п.д.в.
Если же, кроме того, наложенные на систему связи не зависят от времени ( допускает бесконечно малый высший предел по ограничены, то инвариантное в силу системы (2.1.2.1) множество
2.1.3 Распространение принципа сравнения с вектор - функцией Ляпунова на задачу
На задачу у–устойчивости при п.д.в. может быть распространен принцип сравнения с вектор - функцией Ляпунова [20, 22] в форме Л. Хатвани [34].
Теорема 2.1.3.1 ( Озиранер А.С.[25]). Предположим, что:
I Существует вектор – функция 1) и
2) для некоторого
(2.1.3.1)
3)
4) удовлетворяет системе дифференциальных неравенств
(2.1.3.2)
II 1) Вектор – функция определена и непрерывна в области
где
2) каждая из функций
3)
Обозначим и рассмотрим вспомогательную систему
(2.1.3.3)
если при условии решение ( системы (2.1.1.1) у- устойчиво (равномерно у-устойчиво) при п.д.в., малых (соответственно) в каждый момент времени, в среднем или интегрально.
2.2 Устойчивость движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях для нелинейных систем (2 случай)
Рассмотрим уравнения
(2.2.1)
где
- вектор - функции, характеризующие постоянно действующие возмущения, которые не обращаются в нуль при . Функции непрерывные в области
(2.2.2)
и удовлетворяющие условию, что уравнения (2.2.1) имеют при заданных начальных условиях единственное решение. Здесь обозначает евклидову норму вектора. Наряду с евклидовой нормой рассмотрим эквивалентную ей норму: если будем обозначать буквой решение системы (2.2.1), удовлетворяющее начальному условию - его
Определение 2.2.1 (Игнатьев А.О.[13]). Невозмущенное движение (тривиальное решение уравнений (1)) назовем устойчивым при п.д.в. по отношению к (как бы мало оно ни было) существуют два других положительных числа и для которых при произвольных в области неравенству
В этом определении предполагается, что постоянно действующие возмущения и соответствующие им функции и малы при всех значениях
Определение 2.2.2 (Игнатьев А.О.[13]). Тривиальное решение уравнений (2.2.1)(невозмущенное движение) назовем устойчивым при п.д.в., ограниченных в среднем, по отношению к Т можно указать два таких числа и
(2.2.3) где - какая-либо непрерывная функция, удовлетворяющая условиям
при (2.2.4) каждое решение с начальными данными удовлетворяет неравенству при всех
Замечание 2.2.1 Из определений 2.2.1, 2.2.2 следует, что решение, устойчивое при п.д.в., ограниченных в среднем, относительно из определения 2.2.2 связано с числом из определения 2.2.1 соотношением
Определение 2.2.3 [13]. Будем говорить, что решения системы (2.2.1) обладают свойством (R), если при некотором достаточно малом числе для любого найдется такое, что из следует для всех
выполняется равномерно по из области .
Теорема 2.2.1 [13]. Пусть в области (2.2.2) частные производные существуют, непрерывны и ограничены.
Кроме того, решения системы (2.2.3) обладают свойством (R), и выполняется тождество
Замечание 2.2.2 Устойчивость при п.д.в., ограниченных в среднем по отношению к в теореме 2.2.1, доказана при произвольном значении
Теорема 2.2.2 [13]. Пусть при условиях теоремы 1 выполнено равенство
(2.2.5)
Тогда наряду с устойчивостью при п.д.в., ограниченных в среднем относительно
(2.2.6)
Если предельное соотношение (2.2.5) выполнено равномерно относительно из области
.
2.3 Оптимальная стабилизация одной нелинейной системы при наличии постоянно действующих возмущений
Рассмотрим нелинейное управляемое уравнение при неличиии постоянно действующего возмущения
(2.3.1)
где
В качестве критерия качества выберем функционал вида
(2.3.2)
Здесь и
Построение управления оптимально стабилизирующего множество относительно решений уравнения (2.3.1) проведем, опираясь на широко известную теорему IV Н.Н. Красовского об оптимальной стабилизации [16, 285] и метод оптимальной стабилизации линейных неоднородных управляемых систем [15, 73-83].
Функцию Ляпунова выберем в виде
(2.3.3)
Здесь есть положительная вещественная постоянная,
Будем считать, что выполняется неравенство
(2.3.4)
Составим выражение [19]
.
Из определения подынтегрального выражения функционала (2.3.2) следует, что при выражение определяется в виде
С учетом выражения (2.3.3)
Следовательно, оптимальная функция Ляпунова удовлетворяет уравнению
(2.3.5)
Для определения коэффициентов и функций приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в уравнении (2.3.5). в результате получим систему алгебро-дифференциальных уравнений
,
(2.3.6)
Решая систему, получим
Проанализируем решение системы (2.4.6).
а) Первое уравнение системы (2.4.6) является тем же уравнением, которое получается при решении задачи оптимальной стабилизации для уравнения
и критерия качества
Решение этой задачи существует при
Отметим, что предпоследнее уравнение системы (2.3.6) получается из уравнения
(2.3.7)
где является функцией Ляпунова асимптотически устойчивого уравнения
(2.3.8)
а, следовательно, уравнение (2.3.7) имеет решение.
Решение уравнения (2.3.7) находим путем интегрирования по переменной в пределах от до на решениях при начальном условии уравнения (2.3.8), т.е.
(2.3.9)
Данный интеграл в силу ограничений на функцию и степенной устойчивости уравнения (2.1.7) равномерно абсолютно сходится относительно величин из произвольного отрезка начальных возмущений. С учетом равенства (2.3.9) определим
Тогда
Этот интеграл также абсолютно сходится, исходя из ограничения на и
б) Следует особо отметить, что система (2.3.6) отличается от системы подобного типа в случае линейных управляемых систем тем, что и отсутствуют. В данном случае они определяются из системы (2.3.6).
Помимо того, что функции и определяются из системы (2.3.6), они дополнительно должны удовлетворять неравенству (2.3.4).
Необходимость этого следует из того, что должна быть в соответствии с теоремой IV определенно-положительной функцией.
Примечание. Неравенство (2.3.4) моделируется.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 2.3.1 Пусть функция Ляпунова имеет вид (2.3.3) и выполнены условия:
а)
б) справедливо неравенство (2.3.4), где и определяются из системы (2.3.6), тогда задача (1)-(2) имеет единственное решение.
3 Устойчивость и стабилизация движения асимметричного твердого тела
3.1 Некоторые сведения об
Для исследования устойчивости и стабилизации движения асимметричного твердого тела необходимо ввести некоторые сведения об
Введем два класса вспомогательных функций:
1 однозначные, непрерывные, удовлетворяющие условию функции
(3.1.1)
непрерывными частными производными по
взятые в силу системы (2.1.1);
2 Непрерывные, монотонно возрастающие при функции такие, что
Определение 3.1.1 Функция называется функция
(3.1.2)
Приведем некоторые теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости относительно части переменных.
Теорема 3.1.1 [25] Если для системы возможно указать функцию удовлетворяющую в области условию
Систему (2.1.1) представим в виде и для любых чисел рассмотрим множество
Теорема 3.1.2 ([39]) Если и, кроме того, для каждого найдутся числа и такие, что при асимптотически
Теорема 3.1.3 ([41], [40]) Если удовлетворяет условию
(3.1.3)
где асимптотически
Теорема 3.1.4 ([40]) Если множество инвариантно, а удовлетворяет условию (3.2.1.2), причем множество не содержит целых траекторий, то движение асимптотически
Теорема 3.1.5 ([25]) Если , а удовлетворяет условию (3.1.3), причем множество не содержит целых траекторий, кроме асимптотически
Теорема 3.1.6 ([31], [30]) Если для системы (1.1.1) возможно указать функцию условиям
то движение асимптотически
Теорема 3.1.7 ([36], [6]) Для экспоненциальной асимптотической
где и
3.2 Стабилизация по части переменных перманентного вращения асимметричного твердого тела посредством одного маховика
Стабилизация стационарных движений твердого тела (космического аппарата) часто осуществляется посредством связанных с телом вращающихся масс: маховиков и (или) силовых гироскопов.
В процессе стабилизации указанные массы «принимают на себя» возмущения, появляющиеся в результате отклонения тела от заданного состояния [5].
При проведении частичной (по части переменных) стабилизации стационарных движений основного тела, достаточно во многих практически важных случаях, связанные с телом массы могут только «переводить» (не «принимая на себя») возмущения на неконтролируемую при стабилизации часть переменных.
Указанная ситуация не противоречит неизменности полного кинетического момента системы относительно центра масс в отсутствии внешних сил [6].
Пусть имеем асимметричное твердое тело, вдоль одной из главных центральных осей инерции которого закреплена ось вращения однородного симметричного маховика.
Угловое движение этой системы (гиростата) вокруг центра масс описывается уравнениями
(3.2.1)
в которых
инерции гиростата;
к маховику.
Рис. 3.2.1 Вращение гиростата с постоянной угловой скоростью вокруг оси
Уравнения (3.2.1) допускают решение
(3.2.2)
соответствующее перманентному вращению (закрутке) основного тела гиростата с постоянной угловой скоростью вокруг оси кинетического момента гиростата совпадает с направлением оси
Вводя новые переменные
(3.2.3)
Найдем позиционное управление системы (3.2.3). отметим, что стабилизация по означает гашение малых прецессионных и нутационных колебаний вектора кинетического момента гиростата по отношению к связанным с телом осям означает, что в процессе стабилизации по маховик лишь «переводит» малые возмущения в «дополнительное вращение» гиростата вокруг оси вращения
Покажем, что при решение этой задачи дает линейный закон управления
(3.2.4)
где
Для доказательства рассмотрим линейную подсистему, описываемую поведение эта подсистема полностью управляема. Поэтому коэффициенты в можно выбрать так, что положение равновесия линейной части системы (3.2.3) равномерно устойчиво по Ляпунову. Поскольку нелинейные члены в системе (3.2.3) обращаются в нуль при самой нелинейной системы (3.2.3).
Рис. 3.2.2 График изменения переменной
Рис. 3.2.3 График изменения переменной при гашении возмущений
Техническая реализация закона управления (3.2.4) сводиться к следующему. Пока гиростат совершает заданное движение (3.2.2), маховик находится в состоянии покоя (управляющий двигатель включен). При появлении малых постоянных возмущений специальные устройства формируют и прикладывают к маховику управляющий момент (3.2.4). В результате основное тело гиростата с течением времени возвращается в исходный режим стационарного вращения, а сам маховик – в состояние покоя.
Приведем результаты моделирования замкнутой системы (3.2.3), (3.2.4) при значениях параметров и начальных данных подчинено ограничению
Расчет показывает, что коэффициенты можно выбрать в виде (графики примерно такие же, как по харатеру, так и по скорости сходимости) и управления
3.3 Динамическое уравнение Эйлера, описывающее угловое движение твердого тела под действием управляющих моментов
Рассмотрим динамические уравнения Эйлера
(3.3.1)
описывающие вызванное начальными возмущениями угловое движение твердого тела относительно центра масс под действием управляющих моментов
Предположим, что
В качестве функции Ляпунова возьмем кинетическую энергию тела
Поскольку
то положение равновесия тела устойчиво (неасимптотически) по Ляпунову. Значит, для каждого найдутся числа и такие, что
Поэтому при любых функция удовлетворяет всем условиям теоремы 3.1.2.
Следовательно, положение равновесия тела асимптотически устойчиво по отношению к
Можно отметить, что для функции множество является гиперплоскостью пусто и, следовательно, не содержит целых траекторий системы (3.1.3). вместе с тем в множествах и есть целые траектории системы (3.1.3) вида удовлетворяет всем условиям теоремы 3.1.4, но не удовлетворяет всем условиям теорем 3.1.3, 3.1.5.
В случае (или положения равновесия тела может быть доказана с помощью функции
В этом случае выполняются условия теоремы 3.1.6
И значит, в этом случае имеем асимптотическую устойчивость по при любом значении
Это свойство сохраняется и при постоянно действующих возмущениях вида в области выполняются условия существования, единственности и
Таким образом, имеет место инвариантность свойства асимптотической устойчивости при постоянно действующих возмущениях указанного типа.
3.4 Динамическое уравнение Эйлера, описывающее угловое движение твердого тела под действием постоянно действующих возмущений
Рассмотрим систему (3.3.1), замкнутую управлением
(3.4.1)
Если предположить, что на систему (3.4.1) действуют возмущения
(3.4.2)
где
Вектор – функции такие, что система (3.3.1) имеет решение, отвечающее каждому набору начальных данных и
В случае (или положения равновесия тела может быть доказана с помощью функции
Выбор
Это гарантирует выполнения требований теорем 2.3.1 и 3.1.7.
Значит система (3.4.2) при постоянно действующих возмущениях будет
Заключение
За последнее десятилетие развитие теории частичной устойчивости (стабилизации) было существенным. Более того, именно в этот период появились дополнительные стимулы к дальнейшей разработке такой теории. Помимо традиционных и не теряющих актуальности задач механики, частичная устойчивость оказалась подходящим понятием в бурно развивающихся на стыке физики и теории управления методах управления хаосом, частичное управление стало систематически исследоваться на стыке химии и теории управления. Получили развитие и ряд других теоретических и прикладных разделов современной нелинейной теории управления, посвященных различным аспектам инвариантности нетривиальных множеств и аттрактивности многомерных геометрических объектов, также тесно связанных с концепцией частичной устойчивости.
Направления исследования позволяют в значительной степени по-новому смотреть как на саму проблематику задач частичной устойчивости (стабилизации) и место этих задач в общей теории динамических систем, так и на перспективы их развития, ведь термины «частичная устойчивость», «частичная стабилизация», помимо технической сферы, используются при анализе химических процессов, в экономике и политике. Несмотря на появление и развитие новых более общих задач той же направленности, задачи частичной устойчивости (стабилизации) для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с интересной и поучительной историей их развития будут оставаться важным звеном дальнейших исследований.
Для достижения поставленной цели исследования были решены следующие задачи:
1) проанализирована научная литература, посвящённая проблеме устойчивости и стабилизации движения при постоянно действующих возмущениях и применены эти исследования для решения практической задачи;
2) рассмотрена устойчивость и стабилизацию движений относительно частим переменных при постоянно действующих возмущениях для линейных систем;
3) раскрыты определения устойчивости и стабилизации движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях;
4) рассмотрены основные теоремы, исследующие условия ;
5) рассмотрена устойчивость и стабилизацию движений относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях для нелинейных систем;
6) с помощью метода функций Ляпунова рассмотрен ряд теорем об устойчивости движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях;
7) рассмотрена оптимальная стабилизация нелинейных систем при наличии постоянно действующих возмущений;
8) проведен анализ устойчивости и стабилизации движений относительно части переменных для конкретной математической модели с использованием современных методов.
В процессе теоретического исследования в соответствии с его целью и задачами получены достаточные условия