Устойчивость систем дифференциальных уравнений
Министерство образования РФ
Филиал СПбГМТУ
Севмашвтуз
Кафедра №2
Курсовая работа
по дисциплине "Специальные разделы математики"
Тема: «Устойчивость систем дифференциальных уравнений»
Студент: Новичков А. А.
Группа: 450
Преподаватель: Панова Е. В.
Содержание
 TOC \o "1-3" \h \z \u Введение. \h 3
1. Свойства систем  дифференциальных уравнений. \h 4
1.1. Основные определения. \h 4
1.2. Траектории автономных систем. \h 5
1.3. Предельные множества траекторий. \h 6
1.4. Траектории линейных систем на плоскости. \h 8
2.1. Устойчивость по Ляпунову. \h 12
2.2. Устойчивость линейных однородных систем. \h 14
2.3. Устойчивость периодических решений. \h 17
2.6. Устойчивость по первому приближению. \h 25
2.7. Ркспоненциальная устойчивость. \h 28
3. Второй метод Ляпунова. \h 29
3.1. Основные определения. \h 29
3.2. Теоремы второго метода Ляпунова. \h 30
3.3. Устойчивость по первому приближению. \h 33
Список литературы. \h 37
Введение.
Решения большинства дифференциальных уравнений и их систем не выражаются через элементарные функции, и в этих случаях при решении конкретных уравнений применяются приближенные методы интегрирования. Вместе тем часто бывает необходимо знать не конкретные численные решения, а особенности решений: поведение отдельных решений при изменении параметров систем, взаимное поведение решений при различных начальных данных, является ли решение периодическим, как меняется общее поведение системы при изменении параметров. Все эти вопросы изучает качественная теория дифференциальных уравнений.
РћРґРЅРёРј РёР· основных РІРѕРїСЂРѕСЃРѕРІ этой теории является РІРѕРїСЂРѕСЃ РѕР± устойчивости решения, или движения системы, если ее трактовать как модель физической системы. Здесь важнейшим является выяснение взаимного поведения отдельных решений, незначительно отличающихся начальными условиями, то есть Р±СѓРґСѓС‚ ли малые изменения начальных условий вызывать малые же изменения решений. Ртот РІРѕРїСЂРѕСЃ был РїРѕРґСЂРѕР±РЅРѕ исследован Рђ. Рњ. Ляпуновым.
Основу теории Ляпунова составляет выяснение поведения решений при асимптотическом стремлении расстояния между решениями к нулю. В данной курсовой работе излагаются основы теории Ляпунова устойчивости непрерывных гладких решений систем дифференциальных уравнений первого порядка, а именно: в главе 1 излагаются основные определения, необходимые для изучения устойчивости; в главе 2 дается понятие устойчивости решений систем в общем виде и по первому приближению; в главе 3 излагаются основы второго метода Ляпунова.
1. Свойства систем дифференциальных уравнений.
1.1. Основные определения.
Пусть  — непрерывные в области G (n+1)-мерного пространства скалярные функции.
Определение. Совокупность уравнений
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В (1)
называется нормальной системой n дифференциальных уравнений первого порядка. Ее можно записать в матричной форме, если положить
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
Определение. Решением системы (1) на интервале (a, b) называется совокупность n функций
1)
2)
Задача Коши для системы (1) ставится следующим образом: найти решение  системы, определенное в окрестности точки  …,  — заданная точка из области G. Решение задачи Коши существует и единственно, если все функции в правых частях уравнений системы (1) непрерывно дифференцируемы по всем  в окрестности точки
Каждому решению системы (1) сопоставляется 2 геометрических объекта: интегральная кривая и траектория.
Определение. Если  — решение системы (1) на промежутке (a, b), то множество точек (x, ), , (n+1)-мерного пространства называется интегральной кривой решения, а множество точек (n-мерного пространства называется траекторией решения. Заметим, что из существования и единственности решения задачи Коши интегральные кривые не могут пересекаться или иметь общих точек, однако траектории могут пересекаться без нарушения единственности, так как начальная точка определяется n+1 координатой. В частности траектория может совпадать с точкой (положение равновесия).
Система (1) называется автономной, если в правые части уравнений не входит явно независимая переменная. Система (1) называется линейной, если она имеет вид:
или в матричной форме                                                                               (1')
РіРґРµ В
Фундаментальной матрицей линейной однородной системы называется матричная функция F(t), определитель которой отличен от нуля и столбцы которой являются решениями системы: F(t) общее решение системы можно записать в виде  — нормированная при  фундаментальная матрица, то частное решение системы записывается в виде  — начальное при  значение решения.
1.2. Траектории автономных систем.
Будем рассматривать автономную систему в векторной форме:                  (2) где функция f(x) определена в
Автономные системы обладают тем свойством, что если  — решение уравнения (2), то  можно записать в виде
Пусть  — положение равновесия, т. е.  была положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы  не является положением равновесия, но имеет кратную точку, т. е. существуют  — не положение равновесия, то  при  и покажем, что  — w-периодическая функция.
Действительно, функция  является решением уравнения (2) при  и  совпадают при всех  определено при  и функции  и  совпадают при этих t. Таким образом, можно продолжить  на все
то есть  — периодическая функция с наименьшим периодом.
Траектория такого решения является замкнутой РєСЂРёРІРѕР№. Р