Общая характеристика аксиоматики Гильберта
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АКСИОМАТИКИ ГИЛЬБЕРТА
Имеется принципиальная разница в постановке вопроса об аксиоматическом обосновании геометрии у Гильберта от той постановки, которая имела место до него.
Евклид в своих «Началах» наметил идеал строго логического изложения геометрии, хотя и не смог до конца выполнить свой замысел. Согласно этому замыслу необходимо строго отделить минимум того, что должно быть заимствовано и абстрагировано из опыта и геометрической интуиции и с полной ясностью и отчётливостью высказано в аксиомах, от того, что должно быть выведено из аксиом исключительно логическим путём без всяких обращений к очевидности и опыту. Весь длительный путь развития геометрии от Евклида до Гильберта показывает, насколько было трудно осуществить эту задачу. Трудность её таилась в трудности преодоления влияния очевидности, наглядных представлений на логический процесс при выяснении необходимых и достаточных первоначальных предпосылок геометрии.
Наше пространственное воображение, наглядные представления и конкретное понимание геометрических понятий являются весьма ценным и необходимым спутником нашего мышления. Они в логическом процессе играют наводящую роль и служат как бы предварительной ориентировке в изучаемых явлениях. Они дают возможность охватить эти явления в целом и наметить тот путь, по которому следует направить логические рассуждения для окончательного доказательства истины и проверки фактов, добытых при помощи наблюдения и опыта.
Короче говоря, «созерцание намечает, логика проверяет; созерцание предсказывает, логика устанавливает; созерцание открывает, логика доказывает» (В. Ф. Каган).
Одна логика не может нам объяснить, почему мы в качестве аксиом выбираем то или иное предложение, почему мы выбираем .для изучения то или иное понятие. Первостепенную роль при выборе аксиом и геометрических понятий играют опыт, индукция, наглядные представления, чертёж. Они играют большую роль также в нахождении самого пути логического доказательства, в построении той цепи умозаключений и аргументов, которые обосновывают доказываемое предложение. Одна логика не может объяснить, почему при доказательстве избираются эти построения и преобразования, а не другие. Здесь мы имеем широкое поле действия геометрической интуиции, наглядности, догадки*).
Во-первых, если наши геометрические понятия о точке, прямой и т. д. неразрывно связаны с определёнными конкретными наглядными представлениями, то это ведёт к потере общности и к сужению поля применимости геометрических истин и логических рассуждений, ибо создаётся впечатление, что эти истины и рассуждения справедливы только по отношению к тем объектам реального мира, которые отражаются в наших наглядных представлениях, хотя, возможно, они имеют силу и в отношении объектов другой природы. Таким образом, из-за деревьев мы не видим леса.
Во-вторых, при строго логическом построении геометрии в геометрических понятиях и аксиомах должны найти своё выражение лишь те свойства и отношения объектов реального мира, которые являются существенными для логических рассуждений. Только эти существенные признаки и должны быть отмечены в аксиомах и определениях. Все остальные признаки и стороны этих объектов должны быть оставлены в стороне, как не играющие никакой роли в рассуждениях и не имеющие значения для дедукции. Мы должны от них отвлечься. Между тем если наши геометрические понятия срастаются с обычными их наглядными конкретными представлениями, то указанные существенные свойства сливаются в нашем представлении со многими другими несущественными для логических выводов свойствами. Эго чрезвычайно затрудняет выделение существенных для дедукции признаков и установление их логических зависимостей. Вместе с тем чрезвычайно затрудняется выделение минимума исходных предпосылок геометрии и проверка их на непротиворечивость, независимость и полноту.
Поэтому, если мы ставим перед собой задачу составить полный перечень аксиом геометрии, а также разработать принципы проверки их на непротиворечивость и независимость и сохранить общность геометрических истин, мы прежде всего должны позаботиться о максимальном устранении влияния наглядных представлений на наши рассуждения. Мы должны отвлечься от всего несущественного и безразличного для логического построения геометрии, добиваясь наибольшей общности и применимости получаемых выводов к изучению объектов реального мира.
И вот Гильберт установил совершенно новую точку зрения на .основные' понятия и аксиомы геометрии Если до Гильберта под аксиомами геометрии понимались совершенно конкретные познавательные истины, относящиеся к вполне определённым конкретным объектам — точкам, прямым, плоскостям и т. Д., которые связаны с вполне определёнными пространственными представлениями, то для Гильберта основные понятия геометрии (а следовательно, и производные) не связываются ни с какими конкретными объектами, они вводятся без п р я м ы х определений и всё, что о них необходимо знать, излагается в" аксиомах. Аксиомы Гильберта являются в этом смысле косвенными оп ре делениями основных понятий.
Гильберт, начиная изложение своих «Оснований геометрии», предполагает существование трёх различных систем вещей, природа которых безразлична: «вещи первой системы мы называем точками и обозначаем их А, В, С,...; вещи второй системы называем прямыми и обозначаем их а, Ь, с,...; вещи третьей системы мы называем плоскостями и обозначаем их а, р, 7, •••'. точки называются также э л е ментами линейной геометрии, точки и прямые называются элементами плоской геометрии и, наконец, точки, прямые и плоскости называются элементами пространственной геометрии или элементами пространств а».
Далее, предполагается, что «точки, прямые, плоскости находятся в некоторых взаимных отношениях, и обозначаем эти отношения словами «лежат», «между», «параллельный», «конгруэнтный» и «непрерывный)4; точное и для математических целей полное описание этих отношений даётся аксиомами геометрии».
Таким образом, в системе Гильберта основные понятия и аксиомы представляют собой дальнейший процесс абстракции от вещей реального мира, они становятся абстрактными формами с переменным содержанием. Теперь уже слова «точка», «прямая», «плоскость» и т. д. обозначают не обязательно те объекты, которые под этими словами привыкли понимать обычно, а могут обозначать объекты любой другой природы, лишь бы отношения между ними «лежит», «между», «конгруэнтный», также понимаемые определённым образом, удовлетворяли той же системе аксиом. Эго значит, что мы теперь абстрагируемся от качественной природы геометрических объектов, для нас важно лишь, чтобы структура отношений между ними была такова, что для них выполняются все аксиомы Гильберта. Но раз для различных систем объектов будут справедливы эти аксиомы, то и все логические следствия из них, т. е. все теоремы геометрии, остаются справедливыми, независимо от природы рассматриваемых объектов, т. е. отпадает необходимость повторять доказательства теорем для каждой системы объектов.
Это приводит нас к возможности различных истолкований одной и той же геометрии. Удаляя из геометрии всё, что связано с обычными пространственными представлениями, и оставляя лишь её логический скелет, мы получаем возможность заполнять его различным конкретным материалом.
«Пространственное представление играет чрезвычайно большую роль при самом построении аксиоматики. Оно определяет, что должно быть охвачено системой аксиом, и указывает путь, на ко котором могут быть получены новые результаты, новые абстрактные формулировки.
Однако в готовой уже системе ссылки на ту или иную конкретную интерпретацию не должны иметь место. Пространственное представление можно сравнить в этом отношении с лесами, необходимыми при постройке аксиоматического здания, но которые убираются, когда оно закончено» (Р. Б а л ь д у с Неевклидова геометрия, ГТТИ, 1933).
Обычное понимание геометрических элементов и отношений между ними является лишь одним из таких возможных истолкований. Так, например, аксиома «Через всякие две точки проходит одна и только одна прямая» может быть истолкована обычным образом. Но мы можем придать ей другой смысл, понимая под «точками» пары вещественных чисел (х, у), под «прямой» — уравнение ах + + by +£==0, а под термином «прямая проходит через точку» — тот факт, что числа х, у удовлетворяют указанному уравнению. Можно также под «точками» понимать обычные прямые, проходящие через данную точку О, а под «прямой» — плоскость, проходящую через две такие прямые, и опять указанная аксиома в этом новом истолковании остаётся справедливой.
Другим примером может служить выполнение всех аксиом евклидовой планиметрии на орисфере в системе орициклов. Понимая под «плоскостью» орисферу, под «прямой» —• орицикл на орисфере, под «точкой» — точку на орисфере, мы получаем новое истолкование всех аксиом Евклида.
Этот процесс совершенно аналогичен процессу абстрагирования , в алгебре, когда, например, под символом а + Ь сперва понимается лишь обычное сложение двух конкретных чисел, а затем сложение любых чисел, а затем под а, Ь и + понимаются объекты и отношения другой природы, как, например, сложение векторов, матриц, тензоров и т. д.
Однако не нужно думать, что при таком абстрактном понимании геометрия теряет реальную почву. Наоборот, возможность различных реализаций, разнообразных конкретных истолкований геометрии расширяет область её приложений.
Если раньше геометрия развивалась применительно к объектам конкретной области, то теперь, когда в аксиомах не сообщается, о каких объектах идёт речь и каков конкретный смысл отношений, в которых эти объекты выступают, мы в геометрии изучаем свойства количественных отношений и пространственных форм во всей их общности. Оказалось, таким образом, что хотя геометрия была изобретена и развита с той целью, чтобы изучить свойства физического пространства, но её истины имеют, однако, более общее значение и остаются в силе и для многих объектов, которые качественно отличны от объектов, связанных с обычными нашими геометрическими представлениями.
Огромная степень абстракции не уменьшает, а неизмеримо умножает возможности применения геометрии к изучению закономерностей реального мира. «Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отходит,— если оно правильное, от истины, а подходит к ней... Все научные (правильные, серьезные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее» (В. И. Ленин).
Таковы общие замечания по вопросу о понимании сущности основных понятий и аксиом в системе Гильберта, которые читатель должен иметь постоянно в виду.
С указанной точки зрения понятно, что, строго говоря, при построении геометрической абстрактно-логической системы чертежи и обычные пространственные представления являются лишь вспомогательными средствами; они облегчают находить путь логических рассуждений и позволяют проверить правильность логического вывода на конкретном материале.
Изучение аксиоматики Гильберта необходимо связать с двумя важнейшими задачами. Во-первых, читатель должен получить ясное представление о строго научном построении геометрии на точно очерченной аксиоматической базе; во-вторых, будущий педагог должен в результате этого изучения получить отчётливое понимание того, насколько школьный курс геометрии отличается от строго логического изложения геометрии. Он увидит, что целый ряд предложений, которые со всей тщательностью, до тонких деталей доказываются при строго логическом изложении, в школьном преподавании принимаются без доказательства .просто как само собой разумеющиеся. Таковы, к примеру, предложения о том, что точка делит прямую на два луча, что прямая делит плоскость на две полуплоскости, что прямая содержит бесконечное множество точек, что простой многоугольник делит плоскость на внутреннюю и внешнюю области, что внутренний луч, выходящий из вершины треугольника, пересекает противоположную сторону треугольника и т. д. Знать это различие чрезвычайно важно для учителя. Школьный курс геометрии по необходимости приспособляется к возрастным особенностям учащихся, к требованиям практики и психологии, а поэтому не может совпадать со строго логическим курсом. Но знание строго научной трактовки вопросов геометрии предостережёт педагога от ряда ошибок и слепого следования учебнику; учитель будет понимать, где даётся мнимое доказательство," а где действительно дан строгий вывод, где даётся простое описание, а где настоящее определение; он не будет видеть полного доказательства там, где имеется неизбежный пробел, и будет открыто и сознательно, а не слепо допускать в случае необходимости 1акие отступления.
Аксиомы Гильберта Делятся на 5 групп:
Группа I. Аксиомы связи (соединения, сочетания) (8аксиом).
Группа II. Аксиомы порядка или расположения (4 аксиомы).
Группа III. Аксиомы конгруэнтности (5 аксиом).
Группа IV. Аксиома непрерывности (1 аксиома).
Группа V. Аксиома параллельности (1 аксиома).
Всего 19 аксиом. Заметим, что в отношении порядка и содержания аксиом групп IV и V мы допускаем некоторые отступления от изложения у Гильберта *).
§ 3. ГРУППА I. АКСИОМЫ СОЕДИНЕНИЯ
Как уже говорилось, у Гильберта основными элементами геометрии являются неопределяемые понятия «точка», «прямая», «плоскость». Между этими элементами в первой группе аксиом устанавливается некоторое отношение, выражаемое неопределяемым понятием «лежать на», связывающим точку и прямую, а также точку и плоскость. Так, мы говорим: «Точка лежит на прямой или на плоскости». Но то же отношение выражается словами: «прямая проходит через точку» или «плоскость проходит через точку». Для единообразия терминологии вводится единый термин «принадлежности» или «и н ц и д е н т н о с т и». Мы говорим: «Точка и прямая принадлежат друг другу или инцидентны друг другу». При этом никакого конкретного смысла в понятие «принадлежности» или «инцидентности» мы не вкладываем, это может быть любое отношение между элементами геометрии, лишь бы оно удовлетворяло аксиомам первой группы. Аксиомы соединения представляют собой косвенное определение "понятия инцидентности.
Мы всё же наряду с этими терминами будем употреблять привычные выражения, связанные с обычными наглядными представлениями: «точка лежит на прямой», «прямая проходит через точку» и т. д. Будем также говорить: «на прямой а существует точка Л». Если точка А принадлежит прямой а и прямой Ь, то мы также будем говорить: «Прямые а и d имеют общую точку Л» или «Прямые а и d пересекаются в точке A». Если прямая а принадлежит двум точкам А и В, то мы будем говорить: «Прямая проходит через точки А и В или соединяет точки A и В».
Формулируем теперь аксиомы первой группы.
I.1. Д л я любых двух точек А и В с у щ е с т в у е т прямая, принадлежащая каждой из них.
(В обычной терминологии: через любые две точки А и В проходит прямая.)
I.2. С у щ е с т в у е т не более одной прямой, принадлежа щ е и каждой из двух данн ы х
т о ч е к А и В.
Если аксиома I.1 утверждает, что через две точки проходит не менее одной прямой, то аксиома I.2 утверждает, что через две точки проходит не более одной прямой. Отсюда непосредственно следует теорема: «Через любые две точки проходит одна и только одна прямая, т. е. прямая вполне определяется двумя точками». Эту прямую .можно обозначать через АВ или В А.
I.3 . На каждой прямой существуют по крайней мере две точки. Существуют по меньшей мере три точки, не принадлежащие одной прямой.
Аксиомы 11 3 устанавливают связь между понятиями «точка» и «прямая». Следующие аксиомы выражают связи между этими понятиями и понятием «плоскость».
I4. Для любых трёх точек А, В, С, к е принадлежащих одной прямой, существует плоскость, принадлежащая каждой из этих точек; каждой плоскости принадлежит по меньшей мере одна точка.
I5. Каковы бы ни были три точки А, В, С, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, принадлежащей каждой из трёх точек А, В, С.
Из аксиом I4 и I5 непосредственно вытекает предложение:
Теорема. «Через всякие три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость». Эту плоскость можно обозначить через"ABC.
I6. Если две точки A и В прямой а принадлежат п л о с к о с т и а, т о и каждая точка прямой а принадлежит плоскости а.
Определение. Относительно прямой а, каждая точка которой принадлежит плоскости а, будем говорить, что «прямая а принадлежит плоскости а» или что «прямая а лежит на плоскости а» или что «плоскость а проходит через прямую а».
Таким образом, понятие «принадлежности» в отношении прямой и плоскости является определяемым понятием.
I7. Если две плоскости а и (3 имеют общую точку A,то они имеют по меньшей мере ещё одну общую точку В.
I8. Существуют по меньшей мере четыре точки, не принадлежа щ и е одной плоскости.
Аксиомы 11-3 называются плоскостными, аксиомы
I4_8 —пространственными.
Обратим внимание на то, что аксиомы первой группы обеспечивают существование на прямой лишь двух двух точек, существование трёх точек, не лежащих на одной прямой, и существование лишь одной точки, лежащей на плоскости. Таким образом, пока наши прямые и плоскости чрезвычайно бедны точками. Если бы мы исходили из наглядных представлений, то мы неизбежно включили бы в аксиомы требование существования на прямой и плоскости бесконечного всюду плотного множества точек. Теперь же, поскольку это требование отсутствует, существование бесконечного множества точек на прямой должно быть строго доказано.
Заметим ещё, что аксиомы 11—4 соответствуют первому постулату Евклида. Аксиом, соответствующих остальным аксиомам первой группы, у Евклида нет.
Следствия аксиом соединения
Рассмотрим теперь несколько теорем, которые могут быть доказаны с помощью лишь одних аксиом первой группы.
Теорема 3. 1. Две прямые не могут иметь более одной общей точки.
Доказательство:
Предположим, что две различные прямые а и Ь имеют две общие точки А и В. Но по аксиоме I.2 существует не более одной прямой, проходящей через точки A и В. Следовательно, прямые а и Ь совпадают, что противоречит условию. Таким образом, две прямые а и d либо вовсе не имеют общих точек, либо имеют только одну общую точку.
Теорема 3. 2. Две плоскости или не имеют ни одной общей точки, или имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих двух плоскостей.
Доказательство:
Пусть две различные плоскости M и V имеют общую точку A. Тогда у них существует по меньшей мере ещё одна общая точка В (аксиома I7). Точки A и В определяют единственную прямую, проходящую через эти точки (аксиомы I.1—I.2). Эта прямая AВ принадлежит каждой из плоскостей аир (аксиома I6). Никаких других общих точек плоскости M и V не имеют, ибо если предположить противное, т. е. что существует общая точка С плоскостей V и M, не лежащая на прямой AВ, то в силу аксиом I 4_5 существовала бы лишь одна плоскость AВС, проходящая через точки A, В, С, а потому плоскости VиM должны совпасть, что противоречит условию.
Теорема 3.3. Плоскость и не лежащая на ней прямая не могут иметь более одной общей точки.
Доказательств о:
Если предположить, что прямая а, не лежащая в плоскости M, имеет с ней две общие точки A и В, то по аксиоме I6 каждая точка прямой а должна лежать в плоскости M, т. е. прямая а лежит в плоскости M, что противоречит условию.
Теорема 3.4. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит одна и только одна плоскость.
Доказательств о:
Пусть дана прямая a и не лежащая на ней точка А, На прямой a существуют по меньшей мере две точки В и С (аксиома 13). Точки А, В и С не лежат на одной прямой.
В самом деле, если допустить противное, то проходящая через них прямая должна совпасть с прямой а, так как в силу аксиом I.1-I.2 существует лишь единственная прямая а, проходящая через точки В и С. Но в таком случае прямая а, проходит через точку А, что противоречит условию. Итак, точки А, В и С не лежат на одной прямой, а потому через них проходит единственная плоскость а (аксиома 14 и 15). Плоскость а, проходя через точки В и С прямой а, проходит через прямую а (аксиома 16). Итак, плоскость а проходит через прямую а и точку А.
Теорема 3.5. Через две прямые, имеющие общую точку, проходит одна и только одна плоскость.
Доказательство:
Пусть а и Ь — две прямые с общей точкой С. На прямой Ь существует по меньшей мере ещё одна точка В, отличная от С (аксиома Is). Точка В не лежит на прямой а, ибо в противнем случае прямые а и Ь, имея общие точки В и С, совпадали бы в силу аксиом Ii_2. На основании теоремы 3.4 через прямую а и точку В проходит одна и только одна плоскость а. Эта плоскость проходит через точки С и В, а следовательно, и через прямую Ь (аксиома 16/).
По аксиоме I4 на каждой плоскости существует по меньшей мере одна точка; теперь мы можем доказать существование на плоскости трёх точек.
Теорема 3.6. На каждой плоскости существуют по меньшей мере три точки, не лежащие на одной прямой.
Доказательство:
Пусть дана плоскость M. По аксиоме I4 на плоскости существует точка А. По аксиоме I3 существуют три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Если точки В и С лежат на плоскости M, то теорема доказана. Если С не лежит, а В лежит на плоскости M, то найдена вторая точка В, лежащая на плоскости M. Если ни В, ни С не лежат на плоскости M, то три точки A, В и С, не лежащие на одной прямой, принадлежат одной и только одной плоскости V (аксиомы I4_5). Плоскость , имея с плоскостью а общую точку A, имеет с ней ещё одну общую точку D (аксиома 17). Остаётся доказать существование ещё одной точки на плоскости а.
По аксиоме I8 существует точка М, не лежащая в плоскости V.
Точки A, В и М не лежат на одной прямой, ибо прямая AВ лежит в плоскости V (aксиома I6), а точка М не лежит в этой плоскости. Если точка М лежит на плоскости M, то теорема доказана. Если точка М не лежит на плоскости M, то через три точки A, B и М, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость I (аксиомы 14-8), имеющая с плоскостью а одну общую точку А. По аксиоме 17 плоскости к и у имеют ещё одну общую точку F. Три точки А, D и F плоскости M не лежат на одной прямой. Действительно, если бы A, D и F принадлежали бы одной прямой, то, проходя через точки A и D плоскости I.3, эта прямая по аксиоме I6 лежала бы в плоскости V, а проходя через точки A и F, ока принадлежала бы плоскости у, т. е. эта прямая была бы общей прямой плоскостей V и M. Кроме того, точка В, не лежащая на этой прямой (ибо она не лежит в плоскости M), также является общей точкой плоскостей (В и у. По теореме 3.4 плоскости и долyна на совпасть и, следовательно, точка М должна лежать плоскости V. Полученное противоречие и доказывает, что точки A, D и F не лежат на. одной прямой.
Как впоследствии будет доказано , при помощи одних лишь аксиом соединения нельзя доказать существование бесконечного множества точек у прямой или плоскости. Но если мы воспользуемся аксиомами следующей группы, аксиомами порядка, то это окажется возможным.
§ 4. ГРУППА II АКСИОМЫ ПОРЯДКА
В аксиомах второй группы описываются основные свойства неопределяемого понятия «лежать м е ж д у», выражающего некоторое отношение трёх точек, лежащих на одной прямой. Напоминаем ещё раз, что никакого конкретного содержания и наглядного представления мы с термином «лежать между» не связываем.
II1. Если точка В лежит между точкой A и точкой С, то A,В,С — различные точки одной прямой и В лежит также между С и заметим, что в этой аксиоме фигурируют три точки прямой, одна ко их существование не постулируется, а даётся условно («если...»). В следующей аксиоме прямая обогащается ещё одной точкой.
II 2. Если A и В — две точки, то на прямой ЛВ всегда существует по меньшей мере одна такая точка С, что В лежит между A и С.
II 3. Из трёх точек прямой не более одной точки лежит между двумя другими.
Эта аксиома означает, что для трёх точек А, В, С прямой не может быть одновременно, чтобы В лежала между A и С, A лежала между В и С и С лежала между A и В. Может иметь место не более одного из указанных положений. Однако будет ли обязательно иметь место одно из них, об этом в аксиоме не говорится и будет впоследствии доказано.
Заметим, что аксиома II3 означает незамкнутость прямой. Если точки A, В и С лежат, например, на окружности, то каждая из этих точек, будет лежать между двумя другими.
Определение. Система двух точек прямой A и В называется отрезком AB или ВA; точки A и В называются концами отрезка; точки, лежащие между А и В (если такие точки существуют), называются точками отрезка АВ или внутренними точками отрезка АВ; все остальные точки прямой АВ называются в н е ш нимии точками к отрезку АВ.
Заметим, что аксиомы II.1-3 не утверждают существования
внутренних точек отрезка, но из аксиомы П2 вытекает, что для всякого отрезка существует по крайней мере одна внешняя точка.
Аксиомы III.1-3 называются линейными аксиомами порядка;
следующая аксиома является плоскостной.
П4. (Аксиома Паша.) Пусть А, В, С — т р и т о ч к и, не лежащие на одной прямой, и а — прямая в плоскости ABC, н е п р о х о д я щ а я ни через одну из то ч е к А, В, С. Тогда если прямая а проход и через внутреннюю точку отрезка АВ, то она проходит также через внутреннюю точку одного и только одного из двух других отрезков, АС или ВС).
Напомним, что в «Началах» Евклида совершенно отсутствуют аксиомы, соответствующие аксиомам расположения Гильберта. Перейдём теперь к рассмотрению важнейших теорем, которые вытекают из аксиом первой и второй групп. Прежде всего займёмся установлением существования бесконечного множества точек на отрезке. Как известно, в школьном преподавании этот факт принимается без доказательства.
Теорема 4. 2. Из трёх точек прямой одна и только одна лежит "между двумя другими.
Доказательство:
Пусть A, В, С — точки одной прямой, причём А не лежит между В и С и С не лежит между A и В. Докажем, что обязательно В лежит между A и С. По аксиоме I3 существует точка D, не лежащая на прямой АС (черт 102). По аксиоме П2 на прямой BD существует такая точка G, что D лежит между В .и G. По аксиоме Паша П4, применённой к точкам В, С, G и прямой AD, последняя пересекает отрезок GC в точке Е, лежащей мгжду G и С. Аналогично докажем, что прямая "CD пересекает отрезок AG в точке F. Применяя аксиому П4 к точкам Л, G, Е и прямой CF, убедимся, что точка D лежит между А и Е. Наконец, применяя аксиому П4 к А, Е, С и прямой BG, докажем, что В лежит между Л и С. В силу аксиомы П3 теорема 4.2 полностью доказана.
Деление прямой на два луча, плоскости на две полуплоскости, пространства на два полупространства
Перейдём теперь к рассмотрению ряда других предложений, которые в школьном преподавании всегда считаются само собой разумеющимися,— предложений о делении прямой на два луча, плоскости на две полуплоскости и пространства на два полупространства. Введём следующую терминологию.
Определение. Пусть А, В, О — три точки прямой. Если О лежит между A и В, то говорят, что A и В лежат на прямой по разные стороны от О, если О не лежит между A и В, то говорят, что A и В лежат на прямой с одной стороны от точки О.
Теорема 4.6. Каждая точка О прямой а делит все остальные точки этой прямой на два класса так, что любые две точки, принадлежащие одному и тому же классу, лежат с одной стороны от О, а любые две точки, принадлежащие разным классам, лежат по разные стороны от О.
Доказательство этой теоремы является простым, но громоздким. Наметим лишь ход доказательства. Возьмём на данной прямой произвольную точку A, отличную от О, и разобьём все точки прямой на два класса: к первому классу отнесём точку A и все те точки, каждая из которых лежит вместе с A по одну сторону от О, а ко второму классу — все те точки, из которых каждая лежит с точкой A по разные стороны от О. Далее доказываем, что всякая точка данной прямой, кроме О, попадает в один и только один из этих классов. Затем, пользуясь теоремами 4.2, 4.3 и 4.4, доказываем, что если В и С точки одного и того же класса, то точка О не лежит между В и С, если же точки В и С принадлежат разным классам, то О лежит между В и С.
Теорема 4.6 позволяет ввести понятие луча.
Определение. Множество всех точек прямой а, лежащих по одну и ту же сторону от точки О, т. е, принадлежащих к одному классу, называется лучом или полупрямой, исходящей из точки О, называемой началом или вершиной луча.
Таким образом, теорема 4.6 говорит о том, что каждая точка прямой делит её на два луча.
Определение. Пусть в плоскости к дана прямая а и две точки А и В, не лежащие на прямой а. Если отрезок АВ не пересекает а, то говорят, что точки А и В лежат по одну сторону от а; если отрезок АВ пересекает а, то говорят, что точки А и В лежат по разные стороны от а.
Теорема 4. 7. Каждая прямая а в плоскости а делит все точки этой плоскости, не лежащие на прямой а, на два класса так, что любые две точки, принадлежащие одному классу, лежат с одной стороны от а, а всякие две точки, принадлежащие разным классам,, лежат по разные стороны от а.
Доказательство:
Пусть А точка плоскости а, не лежащая на прямой а. Разобьём все точки плоскости а, не принадлежащие прямой а, на два класса. К первому, классу отнесём точку А и все те точки,
которые вместе с А лежат по одну сторону от а. Ко второму классу отнесём все те точки, которые с точкой А лежат по разные стороны от а.
Каждая точка плоскости а, не принадлежащая а, попадает в один и только один из указанных классов, ибо какова бы ни была точка В плоскости а, возможны лишь два случая: либо отрезок АВ пересечёт прямую а, либо не пересечёт.
Покажем, что любые две точки одного класса лежат с одной стороны от а.
Пусть В и В'—две произвольные точки первого класса (черт. 104), т. е. отрезки А В и АВ' не пересекают а. Если точки А, В, В' не лежат на одной прямой, то отрезок ВВ' не пересекает а, ибо если предположить противное, то отсюда следовало бы по аксиоме П4, что прямая а пересекает один из отрезков: АВ или АВ', что противоречит условию.
Если точки А, В, В' лежат на одной прямой /, то возможны лишь два случая: либо / пересекает а, либо не пересекает. Если / пересекает а в некоторой точке S, то точки А и В, а также А и В' лежат с одной стороны от 5, а потому и точки В и В' лежат с одной стороны от S, т. е. отрезок ВВ' не пересекает а, а значит, В и В' лежат с одной стороны от а. Если же / не пересекает а, то и отрезок ВВ' не пересекает а, и снова точки В и В' лежат с одной стороны от а.
Пусть теперь С и С' — точки второго класса. Докажем, что они также лежат с одной стороны от а.
Если A, С, С' не лежат на одной прямой, то прямая а, пересекая отрезки АС и АС', по аксиоме П4 не может пересечь отрезок СС'.
Если А, С, С' лежат на одной прямой /, то эта прямая пересекает а в некоторой точке S, причём S лежит между A и С, а также между А и С', т. е. А и С, а также Л и С' лежат на / по разные стороны от S, а поэтому по теореме 4.6 точки С и С' лежат по одну сторону от S и, следовательно, отрезок СС' не пересекает а.
Пусть, наконец, В — точка первого класса, С — второго класса, Это значит, что отрезок АВ не пересекает а, а отрезок АС пересекает а. Докажем, что В и С лежат по разные стороны от а.
Если А, В, С не лежат на одной прямой, то по аксиоме П4 прямая а пересекает отрезок ВС, ибо она пересекает отрезок АС, но не пересекает отрезка АВ.
Если А, В, С лежат на одной прямой /, пересекающей прямую а в точке 5, то Л и В лежат по одну сторону от S, а точки A и С — по разные. Следовательно, по теореме 4.6 точки В и С лежат по разные стороны от S, т. е. отрезок ВС пересекает а, а это значит, что В и С лежат по разные стороны от а.
, Каждый из двух рассмотренных классов точек называется
п о луплоскостью плоскости а. Таким образом, каждая прямая делит плоскость на две полуплоскости.
Сформулируем ещё аналогичную теорему для пространства.
Определение. Пусть а — некоторая плоскость и точки Л и В не лежат в плоскости а. Если отрезок AВ не пересекает а, то говорят, что точки A и В лежат по одну сторону от плоскости а, если отрезок AВ пересекает а, говорят, что точки A и В лежат по разные стороны от а.
Теорема 4.8. Каждая плоскость а. разделяет все точки пространства, не лежащие на а, на два класса так, что любые две точки А и В одного и того же класса лежат по одну сторону от а, а любые две точки А и В разных классов лежат по разные стороны от а.
Таким образом, каждая плоскость разделяет пространство на две области, называемые полупространствами.
Определение. П a p а л у ч е й h, k, выходящих из точки О и не при надлежащих одной прям о и, называется углом, который обозначается знаком < (h, k) и л и < (k,h). Если A и В — т о ч к и, лежащие соответственно на лучах h и k, то угол обозначается т а к ж е < AОВ и л и < ВОA
Точка О называется вершиной угла, лучи h и k сторонами угла ).
Определение. Пусть дан угол (h, k). Дополним лучи h и k до полных прямых лучами h и k (черт. 105). Все точки плоскости, проходящей через эти прямые (теорема 3.5), отличные от точки О и не лежащие на лучах h и k, делятся углом на две области: все точки, которые лежат с той же стороны от прямой h, h, что и точки луча k, и с той же стороны от прямой k, k, что и точки луча h,
называются внутренними точками угла (h, k}, а их совокупность называется внутренней областью угла; все остальные точки плоскости называются внешними, а их совокупность — внешней областью. Можно показать, что прямые h, k и
h, k плоскость на 4 области, по-
парно не имеющие общих точек, это внутренние области углов (h, k), (k, h),
(h, k), (k, h).
Сформулируем без доказательства следующую теорему. Теорема 4. 9. Если А и В — внутренние точки угла, то отрезок А В не пересекает сторон угла и не проходит через вершину угла; если А — точка луча h, а В — точка луча k, то все точки отрезка АВ — внутренние точки угла, если А — внутренняя, а В — внешняя точка угла, то отрезок АВ пересекает одну сторону угла или проходит через вершину угла О.
Определение. Пусть h, k, L — три луча с общей вершиной О, лежащие в одной плоскости. Будем говорить, что луч L лежит между лучами h и k или что L проходит внутри угла (h, k), если все точки луча L являются внутренними точками этого угла.
Теорема
Теорема 4. 11. Из трёх лучей h, k, I с общей вершиной О, расположенных в общей полуплоскости относительно прямой, проходящей через О, один и только один лежит, между двумя другими.
Рассмотрим ещё понятие ломаной и многоугольника.
Определение. Совокупность конечного числа отрезков АВ, ВС, CD, . . ., KL с общими концами В, С, . . ., К называется л о м а н о й, составляющие отрезки называются звеньями ломаной, начальная точка А и конечная L называются концами
ломаной. Если А и L совпадают, то ломаная называется многоугольником, причём А, В, . . ., L называются вершинами многоугольника, звенья ломаной — сторонами многоугольника. Если все вершины многоугольника лежат в одной плоскости, то многоугольник называется плоским. Плоский многоугольник называется просты м, если: 1) все его вершины различны, 2) ни одна из его вершин не лежит внутри какой-либо стороны, 3) никакие две несмежные его стороны не пересекаются.
Например, многоугольники, изображённые на чертеже 107, не являются простыми.
Укажем на важнейшее свойство простого многоугольника.
Теорема 4. 12. Всякий простой многоугольник делит все точки плоскости, отличные от точек многоугольника, на две области: любые две точки первой области (внутренней) всегда можно соединить ломаной, не пересекающей многоугольник, и не существует прямой, целиком лежащей внутри этой области; любые две точки второй области (внешней) также можно соединить ломаной, не пересекающей многоугольник, и существует пряная, целикои лежащая в этой области; если две точки принадлежат разньм областям, то всякая ломаная, их соединяюш1ая, пересекает многоугольник.
§ 5. ГРУППА Ш. АКСИОМЫ КОНГРУЭНТНОСТИ
В «Началах» Евклида в учении о равенстве фигур основным понятием является понятие движения. Однако это Евклидом явно не формулируется, и свойства движения (неизменяемость формы и размеров фигур) не получают точного описания в аксиомах. По существу движение у Евклида непосредственно связано с представлением о механическом движении твёрдого тела. Такое понимание движения неизбежно связано с введением в геометрию чуждых понятий времени и скорости, а также предполагает рассмотрение всех промежуточных положений фигуры.
В первой главе мы уже говорили о неприменимости такого понимания движения к геометрическим фигурам.
В учении о равенстве фигур время, скорость и путь движения никакой роли не играют, важно лишь начальное и конечное положение фигуры.
Напомним также о той двойственной позиции, которую Евклид занимал, считая движение основным понятием и в то же время стремясь из философских соображений изгнать его из геометрии.
В современном научном изложении учение о равенстве фигур строится двумя способами: либо в качестве основного принимается понятие равенства или конгруэнтности, главные свойства которого описываются в аксиомах, и тогда понятие движения является производным, определяемым; либо за основное принимается понятие движения, главные свойства которого явно формулируются в ряде аксиом, и тогда понятие равенства или конгруэнтности делается производным, определяемым.
Гильберт пошёл по первому пути, приняв в качестве основного понятие конгруэнтности или равенства. Поэтому в системе Гильберта понятие движения является производным и может быть совершенно исключено из геометрии, так каково используется в геометрии только для установления конгруэнтности фигур. При этом, конечно, Гильберт в понятие конгруэнтности не вкладывает никакого конкретного смысла, это может быть любое отношение между отрезками и углами, удовлетворяющее аксиомам третьей группы.
Что касается терминов «равенство» или «конгруэнтность», то предпочтительнее пользоваться вторым термином, ибо рассматриваемое понятие не обладает важнейшим свойством равенства: если к равным прибавить равные, то получатся равные. Так при рассмотрении плоских или пространственных фигур мы не можем утверждать, что в случае конгруэнтности частей фигур будут конгруэнтны и целые фигуры*).
Итак, вводим неопределяемое понятие «конгруэнтный» в применении к отрезкам и углам, свойства которого выражаются в следующих аксиомах:
Ш.1 Если А и В — две точки прямой а и А' — точка на той же или другой прямой а' , то существует на прямой а' по данную сторону от точки A' такая точка В', что отрезок АВ конгруэнтен отрезку А'В', что обозначается знаком АВ=А'В'. Всегда АВ =ВА.
Короче говоря: «Каждый отрезок может быть «отложен» на любой прямой в ту или другую сторону от любой её точки».
Заметим, что в аксиоме П^ утверждается лишь существование точки В', но ничего не говорится о её единственности, что будет доказано ниже.
Ш2. Если АВ = А'В' и АВ^А"В", то А'В' = А"В".
Ш3. Пусть АВ и BC — Два отрезка прямой а без общих внутренних точек и пусть А'В' и В'С' — два отрезка прямой а' (отлично и от а' или с ней совпадающей) также без общих внутренних точек. Если
АВ=А'В', ВС^В'С', то АС = А'С'.
Короче: «суммы» соответственно конгруэнтных отрезков также конгруэнтны.
Ш4. Пусть дан угол (h, k) в плоскости а, а также определённая относительно прямой а' полуплоскость плоскости а', пусть К—луч прямой а', выходящий из точки О'. Тогда на плоскости к' существует один и только один луч k', такой, что <(h, k) конгруэнтен угол (h', k') и при этом все внутреннее точки угол (h', k') лежат в данной полуплоскости а'.
Короче говоря: «Каждый угол может быть однозначно отложен в' данной плоскости по данную сторону при данном луче».
Ш.5. Если для двух треугольников ABC и А'В'С' имеют место конгруэнции: АВ=А'В', AC=A'C', ^ ВАС == ^ В’ А'С', т о ^ ABC = ^ А'В'С',
Теоремы о конгруэнтности отрезков, углов и треугольников
Докажем прежде всего единственность точки В' в аксиоме Ш.1, а также свойства рефлективности и симметричности для конгруэнтности отрезков.
Теорема 5. 1. Точка В', о существовании которой говорится е аксиоме III1—единственная.
Теорема 5. 2. Каждый отрезок конгруэнтен самому себе, т. е. AB=BA (свойство рефлективности). Доказательство:
По аксиоме III.3 AB^ВA и ВA=AВ. Предположим, что AВ^AВ; пусть AВ=AВ', где В'—точка луча ДВ. Тогда по аксиоме Ш2 из AВ=ВA и АВ=АВ' следует, что ВA=AВ'. Но так как ВA=АВ, то по теореме 5.1 точка В' совпадает с точкой В, т. е. AВ=AВ.
Теорема 5.3. Если АВ=А'В', то и А'В'^АВ (свойство симметричности).
Доказательство:
Пусть AВ=A'В'. По теореме 5. 2 АВ=АВ. Следователь-то,
т.о аксиоме III2 A'В'=AВ.
Поэтому можно говорить, что отрезки ДВ и Д'В' конгруэнтны друг другу.
Теорема 5. 4. Если AВ=A'В' и A'В'=A"В", то ДВ=A"В". (свойство транзитивности в другой форме).
Теорема 5. 6. (Первая теорема о конгруэнтности треугольников.) Если у двух треугольников ABC и А'В'С' имеем (черт. 109) AВ=A'В', AС=A'С', угол A=углуA', то AВС=A'В'С'
Теорема 5. 7. (Вторая теорема о конгруэнтности треугольников.) Если у двух треугольников ABC и А'В'С' имеем (черт. 110)
AВ=A'В', ^А=^А', ^В=^В', то AВС= A'В'С'.
Теорема 5. 8. В равнобедренном треугольнике углы при основании конгруэнтны.
Доказательство:
Пусть в треугольнике AВС имеем AС=ВС. Рассматриваем этот треугольник, как два треугольника: AВС и A'В'С', причём вершины последнего соответственно совпадают с вершинами В, A, С данного. Тогда имеем: AС=A'С', ВС=В'С', ^AСВ=^А'С'В'. Следовательно, по теореме 5. 6 AВС=A'В'С', а поэтому ^ВAС=^В'A'С', т. е. ^ВAС=^AВС.
Обратим внимание, что в этих доказательствах мы нигде не пользуемся «наложением» или «вращением», т. е. движением. Везде речь идёт о существовании соответствующих конгруэнтных отрезков или углов. Это полное отсутствие использования понятия движения характерно и для всех прочих доказательств.
Прежде чем получить доказательство третьего признака конгруэнтности треугольников, придётся рассмотреть ряд других теорем.
Определение. Два угла, имеющие общую вершину и общую сторону, не общие стороны которых составляют одну прямую, называются смежными. Два угла с общей вершиной, стороны которых попарно составляют прямые линии, называются вертикальными.
Теорема 5. 9. Если угол ^ (h, k) конгруэнтен углу (h'. k'), то и угол, смежный первому углу, конгруэнтен углу, смежному c вторым углом.
Теорема 5. 10. Вертикальные углы конгруэнтны. Легко доказывается на основе теоремы 5. 9
Теорема 5. 11, Пусть h, k, I и h', k', I' — лучи, исходящие соответственно из точек О и О', и каждая из этих троек лучей расположена в одной плоскости; пусть при этом лучи h, k и h', k' расположены либо те и другие по одну сторону от луча I, соответственно /', либо те и другие — по разные стороны. Тогда из ^(h, l)==^(h', Г) и -4(/, k)=^(t', k) следует ^ (h, k) = = ^.(h', k').
Теорема 5. 12. (Третья теорема о конгруэнтно с-пи треугольников.) Если у треугольников ABC и А'В'С'
АB = А'B', АС = А'С', ВС=В'С', то
треуг.ABC =треуг. A'B'C'
Теорема
mo ^ (h', k') = ^ (h", k").
Теорема 5. 16. Прямой угол существует. Доказательство:
Возьмём произвольный угол (A, k). По аксиоме Ш4 по другую сторону от луча А, нежели луч k, существует такой луч (черт. 116). Взяв на луче k некоторую точку A, мы можем на луче / найти такую точку В, что ОА^=
|
В е Черт. 116. |
= ОВ (аксиома Ш^. По теореме 4. 7 отрезок AВ пересекает прямую, которой принадлежит луч А. При этом возможны 3 случая: либо точка пересечения С принадлежит лучу А, либо совпадает с его вершиной О, либо принадлежит лучу h, дополнительному к А.
Теорема 5. 17.
Теоремы о делении отрезка и угла пополам и другие
Теорема 5. 18. Каждый отрезок можно разделить пополам и притом единственным образом. Доказательство:
Теорема 5. 19. Каждый угол можно разделить пополам и притом единственным образом.
Вводя далее обычные определения биссектрисы угла, а также медианы и высоты треугольника, мы можем доказать следующие теоремы:
Теорема
Теорема
Далее можно доказать теоремы.
Теорема
Теорема
Теорема 5. 24. Если в плоскости а. даны прямая а и не лежащая на ней точка А, то в плоскости а через точку А проходит по меньшей мере одна прямая, не пересекающая прямой а.
Сравнение отрезков и углов
Для отрезков и углов можно ввести соотношения «больше» и «меньше» при помощи следующих определений.
Определение. Пусть даны два отрезка AВ и A'В'. Если существует такая внутренняя точка С отрезка AВ, что AС=A'В', то говорят, что отрезок А' В' меньше отрезка ЛВ или что отрезок AВ больше отрезка A'В', что записывается так: A'В'<AВ, AВ>A'В'.
Теорема 5. 25. а) Для всяких двух отрезков АВ и CD имеет место одно и только одно из трёх соотношений: либо AB=CD, либо AВ>СО, либо AВ<СО; б) Если AВ<A'В' и А'В'<А"В", то AВ<A"В" (свойство транзитивности).
Можно, далее, ввести понятие суммы и разности отрезков и доказать:
в) Если AВ = A'В', CD<C'D', то АВ + CD < А' B' +C'D';
г) Если AВ>СО, то AВ> CD.
Такими же свойствами обладают понятия «большие», «меньше» в применении к углам. Затем вводим понятия «острый» и «тупой» углы.
Теорема о внешнем угле треугольника и другие
Теорема 5. 26. Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла, с ним не смежного.
Теорема 5. 27. Если две стороны одного треугольника соответственно конгруэнтны двум сторонам другого, а углы, заключённые между этими сторонами, не конгруэнтны, то против большего из этих углов лежит и большая сторона (и обратная теорема).
Движение
Выше говорилось, что в системе Гильберта можно определить понятие движения как производное. Дадим теперь это определение.
Определение. Движением называется такое преобразование пространства в самого себя, при котором всякий отрезок преобразуется в конгруэнтный отрезок.
Нетрудно видеть, что определённое таким образом движение существенно отличается от механического движения, ибо время, скорость, промежуточные положения фигуры в этом определении не играют никакой роли, фиксируется лишь положение прообраза и образа. Коль скоро понятие конгруэнтности может иметь различный смысл, то и понятие движения может получить различные конкретные истолкования.
III.1 Каждую т о ч к" у пространства движение преобразует в точку того же пространства,
III.2. Если прямая а и л еж а щ а я на ней точка А движением преобразуются в прямую а и точку A', то точка А' лежит на прямой а'.
Заметим, что последовательное применение двух преобразований называется произведением этих преобразований.
III 3. Совокупность всех движений образует группу, т. е.:
а) Произведение двух движений есть так же движение.
б) Существует движение, при котором каждая точка преобразуется сама в себя. Такое движение называется тождественным и играет роль единицы группы движений.
в) Для каждого движения существует об ратное движение, произведение которого сданным движением даёт тождественное движение.
г) Про из в еден и е движений ассоциативно, т. е. удовлетворяет сочетательному закону.
III4 Если три точки A,_B, С, и з которых В лежит между А и С, п р и движении преобразуются в точки А', В', С', то В' л е ж и т между А' и С.
III.5 Существует одно и только одно движение, преобразующее данную точку A, определённый луч с вершиной в А и определённую полуплоскость относительно этого луча соответственно в другую данную точку у А', в определённый луч с вершиной в А' и в определённую полуплоскость относительно этого луча
Ш.6 С у щ е с т в у е т движение, при котором отрезок АВ переходит в отрезок В А.
III.7 С у щ е с т в у е т движение, при котором (h, k) п е р е х о д и т в (k, К).
III.8. Если точка О и исходящий из неё луч преобразуются движением в самих себя, то каждая точка этого луча преобразуется сама в себя.
При помощи предложений Ш',-8 можно далее доказать целый ряд других_теорем_£_движениях. Сформулируем некоторые из них:
1) Каждое движ е н и е преобразует прямую в прямую, луч в луч, угол в угол, плоскость в плоскость, полуплоскость в полупл- скость, полупространство в полупространство.
2) Любое движение можно свести к после- довательному осуществлению двух част- ных случаев движения: сдвига и вращения около точки, т. е. любое движение можно рассматривать как произведение сдвига и вращения.
3) Задание двух конгруэнтных тетраэд- ров вполне определяет движение, преоб разующее первый тетраэдр во второй, т. е. положение пространственной фигуры вполне определяется четырьмя её точка ми, не лежащими в одной плоскости.
4)Заданием двух конгруэнтных треугольника.
Определение. Две фигуры называются конгруэнтными, если существует такое движение, которое преобразует первую ф и гуру во вторую.
Таким образом, мы можем резюмировать связь между понятиями конгруэнтности и движения следующим образом: при наличии аксиом Гильберта I—II аксиомы к о н груэнтности Гильберта III1-5 и аксиомы движения Ш1-8 являются эквивалентными.
§ 6. ГРУППА IV (ПО ГИЛЬБЕРТУ V). АКСИОМЫ НЕПРЕРЫВНОСТИ
Наше наглядное представление о прямой или окружности неразрывно связано с представлением об их непрерывности, т. е. с представлением об отсутствии у них «просветов.» или зияющих отверстий. Факт непрерывности прямой обладает для нас столь непосредственной и принудительной очевидностью, что в течение всего многовекового развития геометрии вплоть до середины XIX столетия ни у кого не возникало и мысли, что понятие непрерывности нуждается в логическом обосновании. Евклид в вопросах геометрии, связанных с понятием непрерывности, неизменно прибегал к очевидности чертежа, считая соответствующие факты геометрии само собой разумеющимися, о чём уже подробно говорилось в первой главе.
Между тем целый ряд вопросов и проблем геометрии не мог получить строгого обоснования без точной логической формулировки понятия непрерывности. Таковы, например, упоминавшиеся уже нами вопросы о пересечении окружности с прямой и окружностью. Нельзя было также логически обосновать такую важнейшую проблему геометрии, как теорию измерения отрезков, углов, площадей и объёмов. Аналитическая геометрия, исходящая в своём координатном методе из идеи непрерывности прямой и из взаимно однозначного соответствия _, между множеством точек прямой и множеством действительных чисел, также, начиная с Декарта, строилась исключительно на данных наглядного представления, а не на логических основаниях. В связи с последним обстоятельством в математическом анализе имело место такое положение, что при отсутствии строгой теории действительного числа весь анализ фактически держался на шатком фундаменте наглядных представлений о прямой. С одной стороны, при доказательстве многих теорем о пределах и непрерывности ссылались на непрерывность геометрических образов, иллюстрирующих соответ-
ствующие понятия анализа; с другой стороны, непрерывность самих этих геометрических образов сводилась к нашим смутным пред-
ставлениям, не получившим точной математической формулировки
в аксиомах.
Таким образом, вся теория пределов и связанная с ней непрерывность функции была в логическом отношении построена «на песке».
Первый, кто поставил этот вопрос и дал точную формулировку сущности понятия непрерывности, был Дедекинд (1831—1916)*). Он поставил и разрешил две задачи: 1) в своей известной аксиоме он дал точную логическую формулировку понятия непрерывности прямой и этим создал надёжную основу для дальнейших умозаключений геометрии; 2) независимо от геометрии он построил чисто арифметическую теорию иррациональных чисел исключительно на основе свойств системы рациональных чисел и тем самым освободил анализ от необходимости апеллировать к наглядным геометрическим представлениям, ибо теперь свойства системы действительных чисел становились логическими следствиями общего определения действительного числа.
С этого момента были поставлены на строго логическую почву все чисто геометрические построения, связанные с непрерывностью прямой, вся теория измерений в геометрии и все здание аналитической геометрии и математического анализа (теория пределов).
Вскоре после Дедекинда понятие непрерывности получило логическую обработку в других формах в работах Вейерштрасса и Г. Кантора. Гильберт в своих «Основаниях геометрии» выразил непрерывность прямой в виде, отличном от указанных теорий. *//Гильберт в своей системе не пользуется аксиомой Дедекинда, / а вместо неё вводит две.аксиомы — аксиому Архимеда и так называемую аксиому полноты, которые в своей совокупности эквивалентны аксиоме Дедекинда относительно аксиом I—III групп. Мы в своём изложении будем исходить из аксиомы Дедекинда. Аксиома Дедекинда формулируется так:
IV. Если все точки отрез к а АВ, включая и его концы, распределены на два класса так, что:
1) каждая точка отрезка принадлежит одному и только одному из этих классов, точка Л принадлежит первому классу, а точка В — второму классу;
каждая точка первого класса, отличная от А, л е ж и т между A и
л ю б о й т о ч к о и в т о рого класса, т о на отрезке АВ
су щеотвует одна и только одна такая точка С, что в с я- кая точка, лежащая между A и С, п р и я а д л е ж и т первому классу, а всякая точка, лежащая между С и В, принадлежит второму классу. Сама точка С принадлежит либо первому, либо второму класс у. !
(Не исключено, что точка С может совпасть с одной из точек А или В.)
Точка С называется точкой пограничной между двумя классами; говорят также, что точка С определяет дедекиндово сечение отрезка (дедекиндова точка). \
Замечания: 1) Строго говоря, требование единственности точки С является лишним, ибо может быть доказано. Действительно, допустим, что имеется ещё одна точка С1; производящая сечение отрезка ,4В, и для определённости предположим, что С лежит между А и С1 Так как Q лежит между А и В, то по теореме 4.4 точка С лежит также между С и В. Пусть, теперь M — любая точка, лежащая внутри отрезка СС1 По теореме 4-4 эта точка М лежит между А и С х,
т. е. попадает в первый класс; но по той же теореме М лежит между С и В и, значит, относится ко второму классу. Полученное противоречие и доказывает единственность точки С.
2) В условии аксиомы IV говорится, что каждая точка первого класса, отличная от А, лежит между точкой А и любой точкой второго класса Можно доказать, что каждая точка
второго класса, отличная от В, лежит между В и любой точкой первого класса.
В самом деле, пусть Y есть некоторая точка второго класса и X — любая точка первого класса. По условию аксиомы точка X лежит между А и Y, в то же время Y лежит между A и В; следовательно, по теореме 4.4 точка Y лежит между X и В.
3) Далее, можно доказать, что ни одна точка одного из классов не лежит между к а к о й - л ибо парой точек другого класса. Действительно, допустим, что точка Y второго класса лежит между точками Х1 и X2 первого класса. Тогда по условию аксиомы Х1 лежит между A и К, а К по допущению лежит между X1 и .2, отсюда по теореме 4.3 Y лежит между А и Ха, т. е Х2 не лежит между А и Y (теорема 4.2). Но, с другой стороны, точка первого класса Х2 по условию аксиомы лежит между А и У. Полученное противоречие и доказывает требуемое.
4) Заметим, наконец, что аксиому Дедекинда можно высказать для всей прямой, для чего достаточно к первому классу дополнительно отнести все точки прямой, лежащие относительно А по другую сторону, нежели Б, а ко второму классу — все точки прямой, лежащие относительно В по другую сторону, нежели A.
Из аксиомы Дедекинда можно вывести два фундаментальных предложения — постулат Архимеда и принцип Кантора.
IV.1. (Постулат Архимеда.) Пусть АВ и CD — д в а произвольных отрезка и пусть на луче AВ с вершиной в A взяты точки A1,A2, A3,..., р а с п оложенные- так, что A1 лежит между A и A2, т очка A2 лежит между A1иA3 и т. д., причём о т-езки AA1, А1А2, A2A3, ... конгруэнтны отрезу CD. Тогда существует такой номер п , что точка С лежит между A и A1
Если воспользоваться понятиями «меньше» и «больше», то постулат Архимеда можно высказать следующим образом. Каковы бы ни были отрезки A В и CD, в с е г д а м о ж н о на прямой последовательно отловить отрезок CD только раз. чтобы полуденный отрезок был больше отрезка A В. Если мы полученный отрезок AA1 обозначим в виде произведения CD, то постулат Архимеда можно ещё выразить так:
Каковы бы ни были отрезки АВ и CD, существует такое натуральное число п, что nCD>AВ.
IV.2. (Принцип вложенных отрезков Кантора.)
Пусть на произвольной прямой а дана бесконечная последовательность отрезков Av Вг, A2В2, A3В3, ..., и з которых каждый последующий лежит внутри предыдущего, пусть при этом не существует отрезка. лежащего внутри всех отрезков данной последовательности. Тогда на прямой а существует одна я только одна точка Z, лежащая внутри всех отрезков А1В1> A2B2, A3В3,...
Замечание. Если принять принцип Кантора за аксиому, то, строго говоря, в предложении 1V2 достаточно утверждать существование по крайней мере одной точки Z, ибо единственность этой точки может быть доказана
В самом деле, допустим, что существуют две различные точки Zl и Z2, лежащие внутри всех отрезков A,В, (1,2,3,...) В таком случае легко доказать, что все точки отрезка ZlZ.i лежат внутри всех этих отрезков A,В,, или, иначе говоря, отрезок ZXZ, лежит внутри всех этих отрезков, что противоречит условию принципа Кантора
Теорема 6.1. Из аксиом Гильберта I—/// ц аксиомы Дедекинда вытекает постулат Архимеда.
Теорема 6. 2. Из аксиом Гильберта I—/// и аксиомы Дедекинда вытекает принцип Кантора.
Теорема 6. 3. Из аксиом Гильберта I—/// и предложения Архимеда IV.1 и Кантора IV.2 вытекает предложение Дедекинда IV
Теорема 6. 4. Аксиома Дедекинда при наличии аксиом I—/// эквивалентна совокупности двух аксиом, аксиомы Архимеда и аксиомы Кантора
Теорема 6. 5. (Предложение Дедекинда для углов.) Если все внутренние лучи, выходящие из вершины 0^(h, k), а также лучи h k распределены, на два класса так, что:
1) каждый луч принадлежит одному и только одному из классу, луч h принадлежит первому классу, а луч k — второму;
2) каждый луч первого класса, отличный от h, лежит между h и любым лучом второго класса, то существует один и только один такой пограничный луч I, что всякий луч, лежащий между h и I, принадлежит первому классу, а всякий луч, лежащий между I и k, принадлежит второму классу. Сам луч I принадлежит либо первому, либо второму классу.
Все замечания, сделанные в отношении аксиомы Дедекинда для отрезков, сохраняют свою силу и для углов.
Доказательство:
>, Пусть отрезок АВ (черт. 121) соединяет точки Л и В, взятые соответственно на лучах h и k. По теореме 4. 10 лучи, лежащие между h и k, пересекают отрезок АВ во внутренних его точках. Ставя друг другу и соответствие внутренний луч с точкой его пересечения с отрезком АВ, мы приведём во взаимно однозначное соответствие множество всех внутренних лучей ^ (h, k) с множеством всех точек отрезка АВ с сохранением одинакового взаимного расположения тех и других. При этом разбиению лучей на Черт. 121. два класса будет соответствовать разбиение
точек отрезка АВ на два класса, удовлетворяющее условиям аксиомы Дедекинда. Поэтому на отрезке АВ существует единственная точка L, производящая сечение. Луч I проходящий через точку L, и будет пограничным лучом.
Формулировку предложений Архимеда и Кантора для углов предоставляем читателю.
Как уже говорилось в начале настоящего параграфа, аксиомы непрерывности вместе с аксиомами I—III дают возможность решить проблему измерения отрезков и углов, а также установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек прямой и множеством всех вещественных чисел, что позволяет установить несчётность множества точек прямой и обосновать введение координат на прямой, плоскости и в пространстве. Оставляя рассмотрение всех этих вопросов до главы IV, остановимся на доказательстве теоремы о пересечении окружности с прямой .
Теорема 6.6. Прямая, лежащая в одной плоскости с окруж ностью и проходящая через внутреннюю точку k окружности, пе- ресекает эту окружность в двух точках.
Теорема 6. 7. Если две окружности лежат в одной плоскосmu, причём одна из них проходит через внутреннюю и внешнюю точки к другой, то эта окружности пересекаются в двух, точках
Теорема 6. 8. Для каждого отрезка АВ, каково бы ни было натуральное число п, существует такой отрезок AD, что
n*AD=AB или AD*1/n *AB
§ 7. ГРУППА V (ПО ГИЛЬБЕРТУ IV). АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
Совокупность рассмотренных нами аксиом, входящих в группы I — IV, ещё недостаточна для обоснования евклидовой геометрии, необходима ещё аксиома параллельности.
Все те предложения геометрии, которые могут быть доказаны на основе аксиом соединения, порядка, конгруэнтности и непрерывности, составляют абсолютную геометрию.
К абсолютной геометрии относится, как мы видели, теорема о том, что через точку, лежащую вне прямой, в определяемой ими плоскости проходит по меньшей мере одна прямая, не пересекающая данной прямой (теорема 5. 24); гарантируя существование такси прямой, эта теорема, однако, не предрешает, будет ли указанная прямая единственной.
В зависимости от того, примем ли мы в качестве дополнительного требования, чтобы указанная прямая была единственной или нет, мы получим соответственно либо геометрию Евклида, либо геометрию Лобачевского. Абсолютная геометрия, основанная лишь на аксиомах групп I—IV, является общей частью этих геометрий,
Аксиому параллельности евклидовой геометрии можно сформулировать так:
V. Пусть а-произвольная прямая и А — точка, лежащая вне прямой; тогда в плоскости, определяемой ими, через точку А можно провести не более одной прямой, не пересекающей а*).
На основании теоремы 5. 24 и аксиомы V немедленно заключаем, что через точку А проходит одна и только одна прямая, не пересекающая а; эта прямая называется пара л л е л ь н о и к прямой а.
Теперь, опираясь на аксиомы I—V, мы имеем возможность доказать весь ряд теорем собственно евклидовой геометрии. Мы можем доказать 5-й постулат Евклида, теорему, обратную теореме 5. 23, теорему о том, что SA = 2d; что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, с ним на смежных. Можно также доказать, что через всякие три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, что вписанные в окружность углы, опирающиеся на равные хорды, равны; можно, далее, развить всю теорию подобия фигур, теорию измерения площадей, доказать теорему Пифагора. Всё это позволяет затем обосновать декартову аналитическую геометрию и тем самым арифметизировать евклидову геометрию.
Лобачевского, в зависимости от присоединения той или иной аксиомы параллельности. Никакой третьей геометрической системы при наличии аксиом I—IV построить нельзя.
Возможность геометрии Лобачевского одновременно свидетельствует о том, что аксиома V или эквивалентный ей 5-й постулат Евклида не зависят от аксиом I—IV. В связи с этим напомним, что для всех попыток доказательства 5-го постулата было характерно отсутствие правильной постановки этой проблемы; эта постановка носила неопределённый, расплывчатый характер, ибо не было известно полного перечня аксиом абсолютной геометрии, лишь на основе которых и следовало пытаться доказывать 5-й постулат.
Теперь, когда в нашем распоряжении имеется полная система аксиом Гильберта, возможно дать точную формулировку проблемы доказательства 5-го постулата Евклида. Проблема эта заключается в следующем: можно ли на основе аксиом ГруПП I—IV доказать аксиому V (или равносильны и е и 5-й п о с т у л а т) и л и иначе: является ли аксиома V независимой от аксиом соединения, порядка, конгруэнтности и непрерывности или нет?
Построением своей геометрической системы Лобачевский дал уже известный нам отрицательный ответ на этот вопрос:* аксиому V нельзя вывести из аксиом I— IV. Однако этот результат Лобачевского будет обладать несомненной убедительностью лишь в том случае, если мы докажем логическую непротиворечивость его геометрии.
В заключение следует ещё сказать, что если мы в системе аксиом Гильберта отбросим и заменим некоторые другие аксио- мы, то возможны геометрические системы, отличные и от гео- метрии Евклида, и от геометрии Лобачевского. Такой, напри мер, геометрией является эллиптическая геометрия Римана, в которой через точку, лежащую вне прямой, не проходит ни од ной параллельной к данной прямой. Для построения этой гео- метрии следует внести изменения в аксиомы II, III, IV групп. Некоторое представление о двумерной эллиптической геометрии Римана читатель получит, ознакомившись с содержанием § 9 главы V.