Вычислительные методы алгебры (лекции)

§1

§1. Учет погрешностей вычислений.

При решении математических задач могут возникнуть погрешности по различным причинам:

  1. При составлении математической модели физического процесса или явления приходится принимать условия, упрощающие постановку задачи. Поэтому математическая модель не отражает реальный процесс, а дает его идеализированную картину. Погрешность, возникающая при этом, называется погрешностью постановки задачи.

  2. Часто приходится для решения задачи применять приближенный метод (интеграл заменяют квадратурной суммой, производную заменяют разностью, функцию - многочленом). Погрешность, возникающая при этом, называется погрешностью метода.

  3. Часто исходные данные заданы не точно, а приближенно. При выполнении вычислений погрешность исходных данных в некоторой степени переходит в погрешность результата. Такая погрешность называется погрешностью действий.

  4. Погрешность, возникающая при округлении бесконечных и конечных десятичных чисел, имеющих большее число десятичных знаков, чем надо в округлении, называется погрешностью округления.

Определение. Пусть х - некоторое число, число а называется его приближенным значением, если а в определенном смысле мало отличается от х и заменяет х в вычислениях, <.>

Определение. Погрешностью < приближенного значения а числа х называется разность , а модуль этой погрешностью называется абсолютной погрешностью.>

Если <, то а взято с недостатком.>

Если <, то а взято с избытком.>

Определение. Границей погрешности приближенного значения а числа х называется всякое неотрицательное число <, которое не меньше модуля погрешности: .>

Говорят, что приближение а приближает число х с точностью до <, если , , .>

Пример. Пусть а=0,273 - приближенное значение х с точность до 0,001. Указать границы, в которых заключается х.

<>

При округлении чисел считают, что границы погрешности округления равна половине единицы округляемого разряда:

<,