Высшая математика, интегралы (шпаргалка)
Равномерная непрерывность
Определение 28.7: Функция равномерно непрерывной на множестве Пояснение: Пусть: Т.е. функция не является равномерно непрерывной на множестве
Теорема 28.3: Непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывна на нём.
Классы интегрируемых функций
Теорема 28.4: Непрерывная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Если функция , и если Причём общая длина этих интервалов меньше . Замечание: Очевидно, что если и
Существование первообразной
Определение 28.9: Пусть переменным верхним пределом, аналогично функция переменным нижним пределом.
Теорема 28.6: Если функция Замечание 1: Из дифференцируемости функции Замечание 2: Поскольку
Интегрирование подстановкой
Пусть для вычисления интеграла
Теорема. Если 1. Функция
2. множеством значений функции при a;b]
3.
Док-во: Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [a;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница
Формула замены переменной в определенном интеграле.
1. при вычислении опред. интег-ла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;
2. часто вместо подстановки t=g(x)
3. не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.
Интегрирование заменой переменной.
а). Метод подведения под знак дифференциала
Пусть требуется вычислить интеграл
Тогда:
Пример: Вычислить
Подстановка:
б). Метод подстановки
Пусть требуется вычислить интеграл
Пример: Вычислить
Интегрирование по частям. Пусть
Пример: Вычислить
Положим Замечание 26.5: Иногда при вычислении интеграла
Интегрирование рациональных функций
Постановка задачи:
|
1). |
2). |
|
3). |
т.е. все задачи сводятся к задаче B.2).
Теорема 1: Пусть
|
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
|
6. |
7. |
8. |
9. |
10. |
Интегрирования дробно-линейных и квадратичных иррациональностей
Сделав подстановку:
тогда
a). Подстановки Эйлера.
1). Корни многочлена
2). Корни многочлена
b). Подстановка:
|
1). |
2). |
|
3). |
c).
Если
Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических
Универсальная подстановка:
Интегрируется по частям
Неопределенный интеграл
Определение 26.1: Функция первообразной для функции
Пусть
Определение 26.2: Неопределённым интегралом от функции Замечание 26.1: Если Замечание 26.2: Подынтегральное выражение в определении представляет из себя полный дифференциал первообразной Замечание 26.3: Два неопределённых интеграла равны “с точностью до постоянной”.
Св-ва неопределенного интеграла:
1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопред. интегр. равна подынтегр. функции. Благодаря этому св-ву правильность интегрирования проверяется дифференцированием.
2. Неопред. интегр. от дифференциала нек-рой функции равен сумме этой функции и производной постоянной:
3. Постоянный множитель м. выносить за знак интеграла:
a0-постоянная.
4. Неопред. интегр. от алгебраич. суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраич. сумме интегралов от слагаемых функций:
5. (Инвариантность формулы интегрирования). Еслиu=
Табличные интегралы
Определённый интеграл.
Интегрируемость
Определение 28.1: Множество точек отрезка разбиением отрезка Длины частичных отрезков разбиения обозначим: Мелкостью разбиения
Определение 28.2: Пусть в определении 28.1 для всех Интегральной суммой функции с разбиением
Определение 28.3: Пределом интегральных сумм функции назовём такое число
Определение 28.4: Функция интегрируемой на отрезке , если существует конечный предел её интегнральных сумм на . Обозначается:
Теорема 28.1: Если , то она ограничена на нём.
Замечание 1: Эта теорема является необходимым, но недостаточным условием интегрируемости функции. Пример – функция Дирихле (ограничена, но неинтегрируема).
Критерий интегрируемости функций
Теорема 28.2: Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция, была интегрируема на нём, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:
Следствие 1: Условие Т.2 эквивалентно условию:
Следствие 2: Если функция интегрируема на , то:
Определение 28.8: Определённым интегралом функции называется число . Условие интегрируемости эквивалентно существованию определённого интеграла.
Свойства определённого интеграла
1. Если с – постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то с можно выносить за знак определенного интег-ла.
2. Если функции f(x), g(x) интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на [a;b] их сумма и разность
3. Если
4. Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a<c<b, то
аддивностью определенного интеграла.
Сравнение определённых интегралов
Если
Если
Неравенство му непрерывными функциями на отрезке [a;b], можно интегрировать. Если
Модуль определенного интег-ла не превосходит интег-ла от модуля подынтегральной функции. Если
Оценка интеграла. Если m и M-соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b]. Если
Теорема о среднем значении
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка такая, что
Док-во: По формуле Ньютона-Лейбница имеем
F’(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F’(c)*(b-a)=f(c)*(b-a).
Эта теорема при f(x)f(с) и основанием b-a.
Число наз-ся средним значением функции f(x) на отрезке [a;b].
Формула Ньютона-Лейбница
Если
Док-во: Рассмотрим тождество
Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа
y=f(x) непрерывна на [a;b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от f(x) на [a;b].
Переходя к пределу при F(b)-F(a)=
=, т.е.
интеграл с переменным верхним пределом
Если изменять, например, верхний предел так, чтобы не выйти за пределы отрезка [a;b], то величина интеграла будет изменяться. Другими словами, интеграл с переменным верхним пределом представляет собой функцию своего верхнего предела. Производная определенного интег-ла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в к-рой переменная интегрирования заменена этим пределом, т.е.
Док-во: По формуле Ньютона-Лейбница имеем:
Следовательно,
=
Это значит, что определенный интег-л с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.