Обучение решению младших школьников нестандартным олимпиадным задачам

Введение

Особенности текстовых задач и их решения во многом опре­деляют их роль и место в процессе обучения.

Так, в частности, если бы целью обучения математике мож­но было считать лишь ознакомление детей с числами, арифмети­ческими действиями, их свойствами, существующими между ни­ми связями и отношениями, т. е. только с математической сторо­ной дела в чистом виде, то, вообще говоря, можно было бы и вовсе отказаться от рассмотрения сюжетных задач и ограничить­ся изучением этих зависимостей и отношений в общем плане, с использованием абстрактной математической формы их выраже­ния. Текстовые задачи сами по себе ничего нового в раскрытие этих общих математических фактов не вносят и внести не могут.

Однако, учитывая, что речь идет о начальных ступенях в обу­чении математике, формирование отвлеченных теоретических знаний естественно вести па основе обобщения накопленного детьми опыта жизненных наблюдений и практических действий, систематизируемого и обогащаемого под руководством учителя. Текстовые сюжетные задачи, отражающие конкретные, хорошо понятные детям жизненные ситуации, могут в этих условиях оказаться полезным средством ознакомления учащихся с теми понятиями, отношениями, закономерностями, которые составля­ют предмет начального курса математики.

В этом смысле текстовые задачи играют как бы подсобную роль в курсе математики наряду с такими средствами, как ис­пользование различных наглядных пособий, проведение практиче­ских работ и пр.

1. Структура решения задачи.

Роль задач в обучении математике невозможно переоценить. Через задачу естественно  ввести  проблемную  ситуацию.   Разрешив   систему   специально подобранных  задач,  ученик  знакомится  с  существенными  элементами  новых алгоритмов,   овладевает   новыми   техническими    элементами. Применять математические   знания   в   жизненных   ситуациях   учат   соответствующие практические задачи. Очевидно, что, получив задачу, первое, что нужно сделать,— это разобраться в том, что это за задача, каковы ее условия, в чем состоят ее требования, т. е. провести тот анализ задачи, о котором говорилось в первой главе. Этот анализ и составляет первый этап процесса решения задачи.

В ряде случаев этот анализ надо как-то оформить, записать. Для этого, как вы знаете, используются разного рода схемати­ческие записи задач, построение которых составляет второй этап процесса решения.

Анализ задачи и построение ее схематической записи необхо­димо главным образом для того, чтобы найти способ решения данной задачи. Поиск этого способа составляет третий этап процесса решения.

Когда способ решения задачи найден, его нужно осущест­вить,— это будет уже четвертый этап процесса решения — этап осуществления (изложения) решения.

После того как решение осуществлено и изложено (письменно или устно), необходимо убедиться, что это решение правильное, что оно удовлетворяет всем требованиям задачи. Для этого про­изводят проверку решения, что составляет пятый этап процесса решения.

При решении многих задач, кроме проверки, необходимо еще произвести исследование задачи, а именно установить, при каких условиях задача имеет решение и притом сколько различных решений в каждом отдельном случае; при каких условиях задача вообще не имеет решения и т. д. Все это составляет шестой этап процесса решения.

Убедившись в правильности решения и, если нужно, произ­ведя исследование задачи, необходимо четко сформулировать ответ задачи,— это будет седьмой этап процесса решения.

Наконец, в учебных и познавательных целях полезно также произвести анализ выполненного решения, в частности установить, нет ли другого, более рационального способа решения, нельзя ли задачу обобщить, какие выводы можно сделать из этого решения и т. д. Все это составляет последний, конечно не обязательный, восьмой этап решения.

Итак, весь процесс решения задачи можно разделить на во­семь этапов:

1-й этап — анализ задачи;

2-й этап — схематическая запись задачи;

3-й этап — поиск способа решения задачи;

4-й этап — осуществление решения задачи;

5-й этап — проверка решения задачи;

6-й этап — исследование задачи;

7-й этап — формулирование ответа задачи;

8-й этап — анализ решения задачи.

Приведенная схема дает лишь общее представление о про­цессе решения задач как о сложном и многоплановом процессе.

Исторически  сложилось,  что  на  ранних  этапах  развития  математики решение задач было целью обучения.  Ученик  должен  был  заучить  образцы  и затем подводить под эти образцы решения задач. В основном решались  типовые, стандартные задачи, принадлежащие классам алгоритмически  разрешимых  задач, т.е. таких, для которых существует общий метод (алгоритм) решения.

      Многообразные ситуации, возникающие  на математическом    и нематематическом материале, приводят как к стандартным, так и  нестандартным задачам.

2. Нестандартные задачи.

Наибольшие затруднения у школь­ников, как правило, вызывают реше­ния нестандартных задач, т.е. задач, алгоритм решения которых им неизве­стен. Задачи этого типа требуют от  ученика  мобилизации  практически  всего набора знаний, умения анализировать условие, строить  математическую  модель решения, находить данные к задаче "между строк" условия. Практически,  одной специально подобранной задачей этого типа можно проверить знания ученика  по целой теме.

Однако одна и та же задача мо­жет быть стандартной или нестан­дартной в зависимости от того, обучал ли учитель решению аналогичных за­дач учащихся, или нет. Так, задачи на нахождение суммы конечного числа членов арифметической прогрессии для школьников начальных классов - нестандартные, а для старшеклассни­ков - стандартные. Любая задача, взя­тая изолированно, сама по себе явля­ется нестандартной, но если с ней рядом поместить несколько подобных задач, то она становится стандартной. В основе решений многих из них лежат: принцип Дирихле, понятие ин­варианта, запись чисел в различных системах счисления, теория графов, свойства геометрических и магичес­ких фигур, правила построения уникурсальных кривых, признаки дели­мости чисел, законы математической логики и арифметических операций, правила комбинаторики и т.п.

ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ. Это чрезвы­чайно простое положение применяет­ся при доказательстве многих важных теорем теории чисел. В самой простой и шутливой форме принцип Дирихле выглядит так: «Если в п клетках сидит не менее т + 1 кроликов, то в какой-то из клеток сидит не менее двух кроли­ков». Более строго он формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема 1 (принцип Дирихле). Пусть дано п классов и т предметов. Если т > n, то при отнесении каждого из m предметов к одному из п классов хотя бы в один класс попадет не менее двух предметов.

Доказательство проведем методом от противного. Если бы в каждый класс попадало не более одного предмета, то всего в рассматриваемых классах бы­ло бы не более п предметов, что проти­воречило бы условию (т > п). Теорема доказана.

Пример 1. В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них оказались два шари­ка одного цвета?

Решение. Достанем из мешка три ша­рика. Если бы среди этих шариков было не более одного шарика каждого из двух цветов, то всего было бы не более двух шаров - это очевидно и противоречит тому,  что  мы  достали три шарика.

С другой стороны, ясно, что двух шариков может и не хватить.

В этой задаче «кроликами» являют­ся шарики, а «клетками» - цвета: белый и черный.

Ответ: 3 шарика.

Пример 2. Докажите, что в любой компании из 7 человек есть двое, име­ющих одинаковое число знакомых в этой компании.

Доказательство. Вариантов числа знакомых всего 7: от 0 до 6. При этом если у кого-то 6 знакомых, то ни у кого не может быть 0 знакомых. Так что есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании.

Пример 3. Докажите, что равносто­ронний треугольник нельзя накрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.

Доказательство. Каждый из мень­ших треугольников не может накры­вать более одной вершины большого треугольника, поэтому в силу принци­па Дирихле равносторонний треуголь­ник нельзя накрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.

Теорема 2 (обобщенный принцип Дирихле). Если в n классах находится не менее к * n + 1 предметов, то в ка­ком-то из данных классов есть по крайней мере к + 1 предмет.

Доказательство проведем методом от противного. Если бы в каждом клас­се было не более к + 1 предмета, то во всех классах было бы не более кп предметов, что противоречило бы ус­ловию. Теорема доказана.

Пример 4. В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яб­лок (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с ябло­ками одного и того же сорта.

Решение. 25 ящиков-«кроликов» рас­садим по трем «клеткам»-сортам. Так как 25 = 3-8 + 1, то в силу теоремы 2 для п - 3, к = 8 и получим, что в какой-то «клетке»-сорте не менее 9 ящиков.

Пример 5. В квадрат со стороной 1 метр бросили 51 точку. Докажите, что какие-то три из них можно на­крыть квадратом со стороной 20 см.

Доказательство. Разобьем данный квадрат на 25 квадратов со стороной25 см. По обобщенному принципу Дирихле в какой-то из них попадет по крайней мере три точки из 51 бро­шенной.

Теорема 3. Если сумма n чисел равна S, то среди них есть как число, не боль­шее S/n, так и число, не меньшее S/n.

Доказательство следует из обоб­щенного принципа Дирихле.

Пример 6. Пятеро друзей получили за работу 1 550 рублей. Каждый из них хочет купить себе фотоаппарат ценой 320 рублей. Докажите, что кому-то из них не удастся это сделать.

Решение. Если бы каждый из друзей мог купить фотоаппарат, то у них в сумме было бы не менее 5320 = 1600 рублей. Друзья получили 1 550 рублей, следовательно, по крайней мере один из них не сможет купить фотоаппарат.

ИНВАРИАНТ. Главная идея приме­нения инварианта заключается в сле­дующем. Берутся некие объекты, над которыми разрешено выполнять опре­деленные операции, и задается вопрос: «Можно ли из одного объекта получить другой при помощи этих операций?». Чтобы ответить на него, строят некото­рую величину, которая не меняется при указанных операциях. Если значе­ния этой величины для двух указан­ных объектов не равны, то ответ на за­данный вопрос отрицателен.

Пример 7. На доске написано 11 чи­сел - 6 нулей и 5 единиц. Предлагает­ся 10 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркнуть любые два чис­ла и, если они были одинаковы, допи­сать к оставшимся числам один ноль, а если разные - единицу. Какое число останется на доске?

Решение. Нетрудно заметить, что после каждой операции сумма всех чисел на доске остается не четной, ка­кой она и была вначале. Действитель­но, сумма каждый раз меняется на 0 или 2. Значит, и после 10 операций ос­тавшееся число должно быть нечет­ным, т.е. равным 1.

Ответ: 1.

В этом примере инвариант — это четность суммы написанных чисел.

Главное в решении задач на инва­риант - придумать сам инвариант. Это настоящее искусство, которым можно овладеть лишь при наличии известного опыта в решении подоб­ных задач. Здесь важно не ограничи­вать фантазию. При этом следует помнить, что: а) придумываемые величины должны быть инвариантны; б) эти инварианты должны давать разные значения для двух данных в условии задачи объектов; в) необхо­димо сразу определить класс объек­тов, для которых будет определяться наша величина.

Пример 8. На плоскости располо­жено 11 шестеренок (рис. 1), соединен­ных по цепочке. Могут ли все шесте­ренки вращаться одновременно?

Решение. Предположим, что первая шестеренка вращается по часовой стрелке. Тогда вторая шестеренка должна вращаться против часовой стрелки. Третья - снова по часовой, четвертая - против и т.д. Ясно, что «нечетные» шестеренки должны вращаться по часовой стрелке, а «чет­ные» — против. Но тогда 1-я и 11-я шестеренки одновременно вращаются по часовой стрелке. Противоречие. Значит, шестеренки одновременно вращаться не могут. и др.

МАГИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ. Этот вид головоломок мы можем встретить на страницах многих учебников матема­тики для начальных классов.

Магические фигуры делятся на пло­ские и пространственные, так как су­ществуют магические квадраты, тре­угольники, прямоугольники, много­угольники и круги, а также и магиче­ские кубы.

Магические (волшебные) квадраты -квадратные таблицы натуральных чи­сел (с одинаковым количеством строк и столбцов), имеющие одну и ту же сум­му чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям. Существуют различные классификации магических квадратов. Квадраты делятся - в зависимости от прогрессии, которую образуют числа, -на арифметические и геометрические; в зависимости от числа клеток вдоль противоположных его сторон - на не­четные (3, 5, 7, 9 и т.д.), нечетно-четные (6, 10, 14, 18 и т.д.) и четно-четные (4, 8, 12, 16 и т.д.); в зависимости от расста­новки чисел в квадрате - на магические обычные, магические с особыми свойст­вами и сверхмагические (супермагиче­ские). Легко показать, что магических квадратов 2x2 нет. Существует только один магический квадрат 3x3 (осталь­ные такие квадраты получаются из не­го поворотами и симметриями), магиче­ских квадратов 4x4- 800, 5x5-почти 250 тысяч. Однако до сих пор не найдена формула, по которой можно было бы найти количество магических квадратов данного размера.

Отметим основные свойства магиче­ских квадратов.

Свойство 1. Магический квадрат останется магическим, если все числа, входящие в его состав, увеличить или уменьшить на одно и то же число.

Свойство 2. Магический квадрат останется магическим, если умножить или разделить все его числа на одно и то же число.

Пример 9. В квадрате на рис. 2,а магическая сумма равна 15; квадрат на рис. 2,б получается из него прибавле­нием 17 к каждому числу, его волшеб­ная сумма равна 15 + 3*17 = 66; умно­жив все числа в новом квадрате на 2, получим еще один квадрат (рис. 2,в), магическая сумма которого      равна 2*66 = 132.

рис.2

Свойство 3. Если квадрат является магическим для какой-нибудь арифметической прогрес­сии, то он будет магическим для так же расположенной арифметической прогрессии с другим первым членом и с другой разностью.

Правило. Составляя какой-либо магический квадрат, достаточно сна­чала составить его из простейших чи­сел, т.е. из чисел натурального ряда: 1, 2, 3, 4, 5,..., а затем путем умножения, деления, увеличения или же умень­шения этих чисел можно получить бесконечное число магических квадра­тов с самыми разнообразными магиче­скими суммами.

Свойство 4. Из двух магических квадратов можно получить третий, складывая числа, расположенные в соответствующих полях. Магическая сумма такого квадрата равна сумме магических сумм обоих слагаемых: 81 = 15+66 (см. рис. 3).

рис.3