(1.2)

    (1.3)

Следовательно, для плоской волны уравнения Максвелла принимают вид

                                          (1.4)

Последние два уравнения означают независимость проекций  и  на направление распространения от координаты x, т. е. E_x =const и H_x=const в данный момент времени. Исследуем их по­ведение во времени. Для этого второе уравнение  (1.4)    умножим скалярно на :

Так как

то

и

или , т.е.  dH_x = 0, H_x = const.   Для  исследования поведения E_x умножим скалярно  первое  из уравнений  (1.4)   на :

Так  как , получаем

Прибавим к этому равенству

Следовательно, при конечной s компонента E_x экспоненциально убывает со временем, т. е. статическое электрическое поле не может поддерживаться внутри проводника.

Найдем уравнения для  и t первое из уравнений (1.4)

Найдем  из второго   из   уравнений   (1.4),   продифференцировав его по x:

Получаем

откуда

Отсюда следует

                                   (1.6)

Аналогично

                                           (1.7)

Эти уравнения   можно   решить   методом   разделения   переменных, идем решение для комплексной амплитуды Е поля

E=f₁(x)f₂(x)

Получаем

               (1.8)

Общее решение для f₁ будет

Частное решение для f₂ возьмем в виде

Таким образом, решением  для  будет выражение

Решая уравнение (1.7), получим аналогичное решение для

Подставив эти значения во второе из уравнений (1.4), получим

откуда

Так как x в этом равенстве может принимать   любые   значения,    коэффициенты при экспонентах должны равняться нулю:

Поэтому

                                (1.9)

Отсюда следует  ()=0 (так как ([])=0), т. е. векторы  и ортогональны  к  направлению  и друг к другу.

2. Связь характеристик распространения с параметрами среды

Установим связь между р и k. Из (1.8) получим

                                      (2.1)

Если задана периодичность в пространстве, т. е. k,   то р   можно найти из уравнения (2.1)

Тогда

где

Распространение возможно, если q действительно. Волновой про­цесс, в котором поверхности равных амплитуд и поверхности рав­ных фаз являются плоскостями, называется плоской волной. Про­стейшим случаем плоской волны является плоская однородная волна. В плоской однородной волне плоскости равных амплитуд совпадают с плоскостями равных фаз. Фазовая скорость такой волны будет равна

Если q — мнимое, и распространения нет: существует

пространственная периодичность по x и монотонное затухание. На­чальная форма волны не смещается вдоль оси x, волновое явление вырождается в диффузию.

Частный случай временной зависимости р = iw. Тогда

                                      (2.2)

Таким образом, при  волновое число k комплексно. Обозначим k=a+ib, где a — фазовая константа, b — коэффициент затухания. Тогда

                                       (2.3)

Следовательно, при р=iw имеет место волновой процесс с зату­ханием, если

Исследуем фазовую скорость волны в среде с конечными e и s. Поскольку волновое число комплексно: k=a+ib, имеем

(₂ считаем равным нулю).

В общем случае ₁ также комплексно:

где a, b, q — действительные числа. Отсюда получаем  выражение фазовой скорости

Действительно,   так как  представляет   скорость,   с   которой движется плоскость постоянной фазы

=const

то

откуда

Для определения   степени затухания  и  фазовой скорости  нужно вычислить a и b. Из уравнений (2.3) получаем

Введем обозначение

 тогда

или

Здесь   нужно   оставить знак   +,  так как a — действительное число

      (2.4)

Аналогично получим для b

                              (2.5)

Отсюда находим фазовую скорость

                      (2.6)

Зависимость фазовой скорости от частоты сложная: если e, m, s не зависят от частоты, то с увеличением w фазовая скорость увеличи­вается, т. е. в сложной волне гармоники убегают вперед.

Рассмотрим зависимость  поглощения b, определяемого равенством (2.5), от электрических характеристик среды. Член  представ­ляет отношение

Но tgd<<1

Ограничившись двумя членами разложения, получим

                                              (2.7)

Следовательно, по поглощению волны можно определить tgd:

при

Измеряется b в неперах

или в децибелах

где P — мощность.

В случае малых   tgd   зависимость  b  от   частоты   пренебрежимо мала, так как

В случае tgd>> 1 формулы (2.4), (2.5) можно упростить и привес­ти к виду

Фазовая скорость

3. Вычисление затухания в данной среде

Электромагнитная волна l=10м проникает в воду пресного водоема (e=80, s=10^-3См/м) на глубину 0,5м.

,      tgd<<1

 1/м

, на глубине 0,5 м