Перейти к содержимому
Дифференциальные уравнения гиперболического типа
<div class="Section1">
<p class="MsoTitle"><span style="font-size: 12pt;">МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ</span></p>
<p class="MsoSubtitle"><span>РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН</span></p>
<p class="MsoSubtitle"><span>Инновационный евразийский университет</span></p>
<p class="MsoSubtitle"><span>ФАкультет энергетики и информационных технологий</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;">КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА»</p>
<p class="MsoNormal"><span> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><strong><span style="font-size: 20pt;">Курсовая работа.</span></strong></p>
<p class="MsoNormal"><span> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span style="font-size: 14pt;">Тема: Дифференциальные уравнения гиперболического типа<strong>.</strong></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: 14pt;"> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: 14pt;"> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: 14pt;"> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: 14pt;"> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: 14pt;"> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: 14pt;"> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: 14pt;"> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: 14pt;"> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: 14pt;"> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: 14pt;"> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: 14pt;"> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: 14pt;"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;">Курсовая работа студента гр. МТ-31</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;">Нургалиев А.</p>
<p class="MsoNormal"><span> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;">Научный руководитель<span> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;">Шарая С. Н.</p>
<p class="MsoNormal"> </p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;">Дата сдачи курсовой работы _________</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;">Дата защиты _________</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span> </span>Оценка _________</p>
<p class="MsoNormal"> </p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: 14pt;"> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: 14pt;"> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: 14pt;"> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: 14pt;"> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: 14pt;"> </span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: 14pt;"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;">Павлодар 2007 год.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><strong>Содержание.</strong></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-indent: -18pt;"><strong><span>1.<span> </span></span></strong><strong>Введение.</strong></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-indent: -18pt;"><strong><span>2.<span> </span></span></strong><strong>Метод распространяющихся волн.</strong></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 39.6pt; text-indent: -21.6pt;"><strong><span>2.1.<span> </span></span></strong><strong>Вывод уравнения колебаний струны.</strong></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 39.6pt; text-indent: -21.6pt;"><strong><span>2.2.<span> </span></span></strong><strong>Формула Даламбера.</strong></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 61.2pt; text-indent: -25.2pt;"><strong><span>2.2.1.<span> </span></span></strong><strong>Вывод формулы Даламбера.</strong></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 61.2pt; text-indent: -25.2pt;"><strong><span>2.2.2.<span> </span></span></strong><strong>Физическая интерпретация.</strong></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 61.2pt; text-indent: -25.2pt;"><strong><span>2.2.3.<span> </span></span></strong><strong>Пример.</strong></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-indent: -18pt;"><strong><span>3.<span> </span></span></strong><strong>О колебании стержней.</strong></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 39.6pt; text-indent: -21.6pt;"><strong><span>3.1.<span> </span></span></strong><strong>Уравнение поперечных колебаний стержней.</strong></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 39.6pt; text-indent: -21.6pt;"><strong><span>3.2.<span> </span></span></strong><strong>Задача о собственных значениях.</strong></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 39.6pt; text-indent: -21.6pt;"><strong><span>3.3.<span> </span></span></strong><strong>Частоты собственных колебаний камертона. </strong></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-indent: -18pt;"><strong><span>4.<span> </span></span></strong><strong>Заключение.</strong></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-indent: -18pt;"><strong><span>5.<span> </span></span></strong><strong>Литература.</strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong>1. Введение.</strong></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-indent: 27pt;">Многие задачи математической физике приводят к дифференциальным уравнениям с частными производными. В настоящей курсовой работе рассмотрены одни из основных уравнений гиперболического типа: 4-го и наиболее часто встречающегося 2-го порядка.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-indent: 27pt;">Рассмотрено простейшее уравнение гиперболического типа – волновое уравнение. К исследованию этого уравнения приводят рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т. д. Приведена формула Даламбера для решения краевых задач, а также её физическая интерпретация.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-indent: 27pt;">Большое число задач о колебаниях стержней, пластин и т.д. приводит к уравнениям более высокого порядка. В качестве примера на уравнения 4-го порядка рассмотрена задача о собственных колебаниях камертона.</p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong>2. Метод распространяющихся волн.</strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong>2.1. Вывод уравнения колебаний струны.</strong></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><strong><span> </span></strong>В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длины <em><span lang="EN-US">l</span><span lang="EN-US"> </span></em>в начальный момент направлена по отрезку оси <em>0</em><em><span lang="EN-US">x</span></em><span lang="EN-US"> </span>от 0 до <em><span lang="EN-US">l</span></em>. Предположим, что концы струны закреплены в точках <em><span lang="EN-US">x</span>=0</em> и <em><span lang="EN-US">x</span>=</em><em><span lang="EN-US">l</span></em>. Если струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, придать в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения – говорят, струна начнет колебаться. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-indent: 35.4pt;">Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси <em>0</em><em><span lang="EN-US">x</span></em> и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией <em><span lang="EN-US">u</span>(</em><em><span lang="EN-US">x</span>,</em><em><span lang="EN-US">t</span>)</em> которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой <em><span lang="EN-US">x</span><span lang="EN-US"> </span></em>в момент <em><span lang="EN-US">t</span>.</em></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-indent: 35.4pt;"><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image001.gif" alt="" width="576" height="216" /></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-indent: 35.4pt;">Так как мы рассматриваем малые отклонения точек струны в плоскости <em>(</em><em><span lang="EN-US">x</span>,</em><em><span lang="EN-US">u</span>),</em> то будем предполагать, что длина элемента струны <em><span lang="EN-US">M</span><sub>1</sub></em><em><span lang="EN-US">M</span><sub>2</sub></em> равняется ее проекции на ось <em>0</em><em><span lang="EN-US">x</span>,</em> т.е. <em><span lang="EN-US">M</span><sub>1</sub></em><em><span lang="EN-US">M</span><sub>2</sub>=</em><em><span lang="EN-US">x</span><sub>2</sub>-</em><em><span lang="EN-US">x</span><sub>1</sub>.</em> Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его через <em><span lang="EN-US">T</span></em>.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-indent: 35.4pt;">Рассмотрим элемент струны <em><span lang="EN-US">MM’</span></em>.<span> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-indent: 35.4pt;"><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image003.gif" alt="" width="576" height="216" /></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы <em><span lang="EN-US">T</span></em>. Пусть касательные образуют осью <em>0</em><em><span lang="EN-US">x</span></em><span lang="EN-US"> </span>углы <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image005.gif" alt="" width="13" height="21" /></sub><span> </span>и <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image007.gif" alt="" width="48" height="21" /></sub>. Тогда проекция на ось <em>0</em><em><span lang="EN-US">u</span></em><span lang="EN-US"> </span>сил, действующих на элемент <em><span lang="EN-US">MM</span>’</em>, будет равна <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image009.gif" alt="" width="147" height="21" /></sub>. Так как угол <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image005.gif" alt="" width="13" height="21" /></sub><span> </span>мал, то можно положить <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image011.gif" alt="" width="73" height="21" /></sub>, и мы будем иметь:</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image013.gif" alt="" width="504" height="112" /></sub></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящему в квадратных скобках).</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span> </span>Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть масса элемента струны будет <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image015.gif" alt="" width="32" height="21" /></sub>. Ускорение элемента равно <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image017.gif" alt="" width="31" height="44" /></sub>. Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image019.gif" alt="" width="137" height="44" /></sub></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">Сокращая на <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image021.gif" alt="" width="23" height="19" /></sub><span> </span>и обозначая <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image023.gif" alt="" width="49" height="44" /></sub>, получаем уравнение движения</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image025.gif" alt="" width="97" height="44" /></sub><span> </span><span> </span><span> </span>(1)</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">Это и есть <em>волновое уравнение</em> – уравнение колебания струны. Для полного определения движения струны одного уравнения (1) недостаточно. Искомая функция <em><span lang="EN-US">u</span>(</em><em><span lang="EN-US">x</span>,</em><em><span lang="EN-US">t</span>)</em> должна удовлетворять еще <em>граничным условия</em>, указывающим, что делается на концах струны (<em><span lang="EN-US">x</span>=0</em> и <em><span lang="EN-US">x</span>=</em><em><span lang="EN-US">l</span></em>), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (<em><span lang="EN-US">t</span>=0</em>). Совокупность граничных и начальных условий называется <em>краевыми условиями:</em></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image027.gif" alt="" width="95" height="117" /></sub></p>
<p class="MsoNormal"><strong>2.2. Формула Даламбера. </strong></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><strong><span> </span></strong>Изучение методов построения решений краевых задач для уравнений гиперболического типа начнем с задачи с начальными условиями для неограниченной струны:</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image029.gif" alt="" width="100" height="25" /></sub><span> </span><span> </span><span> </span>(2)</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image031.gif" alt="" width="109" height="51" /></sub><span> </span><span> </span><span> </span>(3)</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">Преобразуем это уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image033.gif" alt="" width="105" height="21" /></sub></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">распадается на два уравнения:</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image035.gif" alt="" width="81" height="19" /></sub>, <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image037.gif" alt="" width="81" height="19" /></sub>,</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">интегралами которых являются прямые</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image039.gif" alt="" width="73" height="23" /></sub>, <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image041.gif" alt="" width="75" height="23" /></sub>.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">Вводя новые переменные</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image043.gif" alt="" width="68" height="21" /></sub>, <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image045.gif" alt="" width="68" height="19" /></sub>,</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">уравнение колебания струны преобразуем к виду:</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image047.gif" alt="" width="51" height="25" /></sub>.<span> </span>(4)</p>
<p class="MsoNormal">Найдем общий интеграл последнего уравнения. Очевидно, для всякого решения уравнения (4)</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image049.gif" alt="" width="116" height="25" /></sub>,</p>
<p class="MsoNormal">где <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image051.gif" alt="" width="48" height="21" /></sub><span> </span>- некоторая функция только переменного <span> </span><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image053.gif" alt="" width="13" height="17" /></sub>. Интегрируя это равенство по<span> </span><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image053.gif" alt="" width="13" height="17" /></sub><span> </span>при фиксированном <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image055.gif" alt="" width="13" height="21" /></sub>, получим</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image057.gif" alt="" width="280" height="29" /></sub>,<span> </span>(5)</p>
<p class="MsoNormal">где <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image059.gif" alt="" width="17" height="23" /></sub><span> </span>и <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image061.gif" alt="" width="19" height="23" /></sub><span> </span>являются функциями только переменных <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image055.gif" alt="" width="13" height="21" /></sub><span> </span>и <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image053.gif" alt="" width="13" height="17" /></sub>.Обратно, каковы бы ни были дважды дифференцируемые функции <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image059.gif" alt="" width="17" height="23" /></sub><span> </span>и <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image061.gif" alt="" width="19" height="23" /></sub>, функция <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image063.gif" alt="" width="48" height="21" /></sub>, определяемая формулой (5), представляет собой решение уравнения (4). Так как всякое решение уравнения (4)может быть представлено в виде (5) при соответствующем выборе <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image059.gif" alt="" width="17" height="23" /></sub><span> </span>и <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image061.gif" alt="" width="19" height="23" /></sub>, то формула (5) является общим интегралом этого уравнения. Следовательно, функция</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image065.gif" alt="" width="203" height="23" /></sub><span> </span>(6)</p>
<p class="MsoNormal">является общим интегралом уравнения (2).</p>
<p class="MsoNormal"><span> </span>Допустим, что решение рассматриваемой задачи существует; тогда оно дается формулой (6). Определим функции <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image059.gif" alt="" width="17" height="23" /></sub><span> </span>и <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image061.gif" alt="" width="19" height="23" /></sub><span> </span>таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия:</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span> </span><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image067.gif" alt="" width="196" height="23" /></sub><span> </span>(7)</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image069.gif" alt="" width="224" height="24" /></sub>.<span> </span>(8)</p>
<p class="MsoNormal">Интегрируя второе равенство, получим:</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image071.gif" alt="" width="209" height="52" /></sub></p>
<p class="MsoNormal">где <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image073.gif" alt="" width="19" height="24" /></sub><span> </span>и <em><span lang="EN-US">C</span></em> – постоянные. Из равенства</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image075.gif" alt="" width="139" height="23" /></sub></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image071.gif" alt="" width="209" height="52" /></sub></p>
<p class="MsoNormal">находим:</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image078.gif" alt="" width="221" height="107" /></sub><span> </span>(9)</p>
<p class="MsoNormal"><span> </span>Таким образом, мы определили функции <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image059.gif" alt="" width="17" height="23" /></sub><span> </span>и <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image061.gif" alt="" width="19" height="23" /></sub><span> </span>через заданные функции <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image080.gif" alt="" width="15" height="17" /></sub><span> </span>и <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image082.gif" alt="" width="16" height="17" /></sub>, причем равенства (9) должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (6) найденные значения <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image059.gif" alt="" width="17" height="23" /></sub><span> </span>и <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image061.gif" alt="" width="19" height="23" /></sub>, получим:</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image084.gif" alt="" width="400" height="56" /></sub></p>
<p class="MsoNormal">или</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"> </p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image086.gif" alt="" width="300" height="51" /></sub>,<span> </span>(10)</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span> </span>Формулу (10), называемую формулой Даламбера, мы получили, предполагая существование решения поставленной задачи. Эта формула доказывает единственность решения. В самом деле, если бы существовало второе решение задачи (2) – (3), то оно представлялось бы формулой (10) и совпадало бы с первым решением.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span> </span>Нетрудно проверить, что формула (10) удовлетворяет (в предположении двукратной дифференцируемости функции <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image080.gif" alt="" width="15" height="17" /></sub><span> </span>и однократной дифференцируемости функции <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image082.gif" alt="" width="16" height="17" /></sub>) уравнению и начальным условиям. Таким образом, изложенный метод доказывает как единственность, так и существование решения поставленной задачи.</p>
<p class="MsoNormal"><strong>2.2.2.Физический интерпретация.</strong></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-indent: 35.4pt;">Функция <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image090.gif" alt="" width="44" height="21" /></sub>, определяемая формулой (10), представляет собой процесс распространения начального отклонения и начальной скорости. Если фиксировать <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image092.gif" alt="" width="37" height="24" /></sub>, то функция <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image094.gif" alt="" width="51" height="24" /></sub><span> </span>дает профиль струны в момент <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image096.gif" alt="" width="15" height="24" /></sub>, фиксируя <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image098.gif" alt="" width="44" height="24" /></sub>, получим функцию <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image100.gif" alt="" width="51" height="24" /></sub>, дающую процесс движения точки <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image073.gif" alt="" width="19" height="24" /></sub>. Предположим, что наблюдатель, находившийся в точке <em><span lang="EN-US">x</span>=0</em> в момент <em><span lang="EN-US">t</span>=0</em>, движется со скоростью <em><span lang="EN-US">a</span></em> в положительном направлении. Введем систему координат, связанную с наблюдателем, полагая <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image102.gif" alt="" width="68" height="19" /></sub>, <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image104.gif" alt="" width="32" height="19" /></sub>. В этой подвижной системе координат функция <a name="OLE_LINK1"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image106.gif" alt="" width="120" height="21" /></sub></a><span> </span>будет определятся формулой <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image108.gif" alt="" width="65" height="21" /></sub><span> </span>и наблюдатель все время будет видеть тот же профиль, что и в начальный момент. Следовательно, функция <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image106.gif" alt="" width="120" height="21" /></sub><span> </span>представляет неизменный профиль <em><span lang="EN-US">f</span>(</em><em><span lang="EN-US">x</span>),</em> перемещающийся вправо (в положительном направлении оси <em><span lang="EN-US">x</span></em>) со скоростью <em><span lang="EN-US">a</span><span lang="EN-US"> </span></em>(распространяющуюся или бегущую волну). Функция <em><span lang="EN-US">f</span>(</em><em><span lang="EN-US">x</span>+</em><em><span lang="EN-US">at</span>)</em> представляет, очевидно, волну, распространяющуюся налево (в отрицательном направлении оси <em><span lang="EN-US">x</span></em>) со скоростью <em><span lang="EN-US">a</span></em>. Таким образом, общее решение (10) задачи Коши для бесконечной струны есть суперпозиция двух волн <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image110.gif" alt="" width="147" height="23" /></sub>, одна из которых распространяется направо со скоростью <em><span lang="EN-US">a</span></em>, а вторая – налево с той же скоростью. При этом</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image112.gif" alt="" width="465" height="41" /></sub>,</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">где <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image114.gif" alt="" width="140" height="52" /></sub>.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span> </span>Для выяснения характера решения (10) удобно пользоваться плоскостью состояний <em>(</em><em><span lang="EN-US">x</span>,</em><em><span lang="EN-US">t</span>)</em> или «фазовой плоскостью». Прямые <em><span lang="EN-US">x</span>-</em><em><span lang="EN-US">at</span>=</em><em><span lang="EN-US">const</span><span lang="EN-US"> </span></em>и <em><span lang="EN-US">x</span>+</em><em><span lang="EN-US">at</span>=</em><em><span lang="EN-US">const</span></em><span lang="EN-US"> </span>являются характеристиками уравнения (2). Функция <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image116.gif" alt="" width="89" height="21" /></sub><span> </span>вдоль характеристики <em><span lang="EN-US">x</span>-</em><em><span lang="EN-US">at</span>=</em><em><span lang="EN-US">const</span></em> сохраняет постоянное значение, функция <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image118.gif" alt="" width="89" height="21" /></sub><span> </span>постоянна вдоль характеристики <em><span lang="EN-US">x</span>+</em><em><span lang="EN-US">at</span>=</em><em><span lang="EN-US">const</span></em>.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span> </span>Предположим, что <em><span lang="EN-US">f</span>(</em><em><span lang="EN-US">x</span>)</em> отлична от нуля только в интервале <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image120.gif" alt="" width="51" height="23" /></sub><span> </span>и равна нулю вне этого интервала. Проведем характеристики <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image122.gif" alt="" width="71" height="23" /></sub><span> </span>и <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image124.gif" alt="" width="72" height="23" /></sub><span> </span>через точки <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image126.gif" alt="" width="41" height="23" /></sub><span> </span>и <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image128.gif" alt="" width="43" height="23" /></sub>; они разбивают полуплоскость <em>(</em><em><span lang="EN-US">x</span>,</em><em><span lang="EN-US">t</span>>0)</em> на три области <span lang="EN-US">I</span>, <span lang="EN-US">II</span>, и <span lang="EN-US">III</span> (рис. 3, <em>а</em>).</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image129.gif" alt="" width="614" height="244" /></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">Функция <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image116.gif" alt="" width="89" height="21" /></sub><span> </span>отлична от нуля только в области <em><span lang="EN-US">II</span></em>, где <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image131.gif" alt="" width="103" height="23" /></sub><span> </span>и характеристики <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image122.gif" alt="" width="71" height="23" /></sub><span> </span>и <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image124.gif" alt="" width="72" height="23" /></sub><span> </span>представляют передний и задний фронты распространяющейся направо волны.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span> </span>Рассмотрим теперь некоторую фиксированную точку <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image133.gif" alt="" width="49" height="24" /></sub><span> </span>и приведем из нее обе характеристики <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image135.gif" alt="" width="107" height="24" /></sub><span> </span>и <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image137.gif" alt="" width="108" height="24" /></sub>, которые пересекут ось <em><span lang="EN-US">x</span></em> в точках <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image139.gif" alt="" width="84" height="24" /></sub>, <em><span lang="EN-US">t</span>=0</em> и <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image141.gif" alt="" width="87" height="24" /></sub>, <em><span lang="EN-US">t</span>=0.</em> Значение функции <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image143.gif" alt="" width="172" height="23" /></sub><span> </span>в точке <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image133.gif" alt="" width="49" height="24" /></sub><span> </span>равно <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image145.gif" alt="" width="171" height="24" /></sub>, т. е. определяется значениями функций <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image147.gif" alt="" width="39" height="23" /></sub><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image149.gif" alt="" width="12" height="23" /></sub>и <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image151.gif" alt="" width="40" height="23" /></sub><span> </span>в точках <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image126.gif" alt="" width="41" height="23" /></sub><span> </span>и <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image128.gif" alt="" width="43" height="23" /></sub>, являющихся вершинами треугольника<em> </em><em><span lang="EN-US">MPQ</span></em><span lang="EN-US"> </span>(рис. 3, <em>б</em>), образованного двумя характеристиками и осью <em><span lang="EN-US">x</span></em>. Этот треугольник называется характеристическим треугольником точки <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image133.gif" alt="" width="49" height="24" /></sub>. Из формулы (10) видно, что отклонение <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image155.gif" alt="" width="57" height="24" /></sub><span> </span>точки струны в момент <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image096.gif" alt="" width="15" height="24" /></sub><span> </span>зависит только от значений начального отклонения в вершинах <em><span lang="EN-US">P</span>(</em><em><span lang="EN-US">x</span><sub>0</sub>-</em><em><span lang="EN-US">at</span><sub>0</sub>,0) </em>и <em><span lang="EN-US">Q</span>(</em><em><span lang="EN-US">x</span><sub>0</sub>+</em><em><span lang="EN-US">at</span><sub>0</sub>,0)</em> характеристического треугольника <em><span lang="EN-US">MPQ</span><span lang="EN-US"> </span></em>и от значений начальной скорости на стороне <em><span lang="EN-US">PQ</span></em>. Это становится особенно ясным, если формулу (10) записать в виде</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image157.gif" alt="" width="245" height="51" /></sub><span> </span><span> </span><span> </span>(11)</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span> </span>Начальные данные, заданные вне <em><span lang="EN-US">PQ</span></em>, не оказывают влияния на значения <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image090.gif" alt="" width="44" height="21" /></sub><span> </span>в точке <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image160.gif" alt="" width="65" height="24" /></sub>. Если начальные условия заданы не на всей бесконечной прямой, а на отрезке <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image162.gif" alt="" width="32" height="23" /></sub>, то они однозначно определяют решение внутри характеристического треугольника, основанием которого является отрезок <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image162.gif" alt="" width="32" height="23" /></sub>.</p>
<p class="MsoNormal"><strong>2.2.3. Пример.</strong></p>
<p class="MsoNormal" style="text-indent: 35.4pt;">Решение (10) можно представить в виде суммы <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image164.gif" alt="" width="135" height="23" /></sub>, где</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right; text-indent: 35.4pt;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image166.gif" alt="" width="217" height="41" /></sub><span> </span><span> </span><span> </span>(12)</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right; text-indent: 35.4pt;"><strong><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image168.gif" alt="" width="313" height="51" /></sub>. <span> </span><span> </span><span> </span></strong>(13)</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">Если начальная скорость равна нулю (<sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image170.gif" alt="" width="61" height="21" /></sub>), то отклонение <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image172.gif" alt="" width="75" height="23" /></sub><span> </span>есть сумма левой и правой бегущих волн, причем начальная форма обеих волн определяется функцией <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image174.gif" alt="" width="53" height="21" /></sub>, равной половине начального отклонения. Если же <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image176.gif" alt="" width="59" height="21" /></sub>, то <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image178.gif" alt="" width="76" height="23" /></sub><span> </span>представляет возмущение струны, создаваемое начальной скоростью.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span> </span>Рассмотрим распространение начального отклонения, заданного в виде равнобедренного треугольника. Такой начальный профиль можно получить, если оттянуть струну в середине отрезка <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image180.gif" alt="" width="48" height="23" /></sub><span> </span>. На рис. 4 даны последовательные положения струны через промежутки времени <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image182.gif" alt="" width="117" height="23" /></sub>.</p>
<p class="MsoNormal"><strong><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image184.gif" alt="" width="612" height="506" /></strong></p>
<p class="MsoNormal">Наглядное представление о характере процесса распространения можно получить с помощью фазовой плоскости <em>(</em><em><span lang="EN-US">x</span>, </em><em><span lang="EN-US">t</span>).</em> Проведем характеристики через точки <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image186.gif" alt="" width="52" height="23" /></sub><span> </span>и <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image188.gif" alt="" width="55" height="23" /></sub>; они разобьют полуплоскость <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image190.gif" alt="" width="125" height="21" /></sub><span> </span>на шесть областей (рис. 5).</p>
<p class="MsoNormal"><strong><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image193.gif" alt="" width="588" height="230" /></strong></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">Отклонение <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image195.gif" alt="" width="49" height="23" /></sub><span> </span>в любой точке <em>(</em><em><span lang="EN-US">x</span>,</em><em><span lang="EN-US">t</span>)</em> дается формулой (12). Поэтому в областях <em><span lang="EN-US">I</span>, </em><em><span lang="EN-US">III</span>, </em><em><span lang="EN-US">V</span></em><span lang="EN-US"> </span>отклонение равно нулю, так как характеристический треугольник любой точки из этих областей не имеет общих точек с отрезком <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image180.gif" alt="" width="48" height="23" /></sub>, на котором заданы начальные условия. В области <em><span lang="EN-US">II</span></em> решением является «правая волна» <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image197.gif" alt="" width="107" height="21" /></sub>, в области <em><span lang="EN-US">IV</span></em><span lang="EN-US"> </span>– «левая волна» <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image199.gif" alt="" width="108" height="21" /></sub>, а в области <span lang="EN-US">VI</span><span lang="EN-US"> </span>решение есть сумма «левой» и «правой» волн.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><strong>3. О колебании стержней.</strong></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><strong><span> </span></strong>В курсах методов математической физики основное место отводится уравнениям второго порядка. Однако большое число задач о колебаниях стержней, пластин и т.д. приводит к уравнениям более высокого порядка.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-indent: 35.4pt;">В качестве примера на уравнения 4-го порядка рассмотрим задачу о собственных колебаниях камертона, эквивалентную задаче о колебаниях тонкого прямоугольного стержня, зажатого одним концом в массивные тиски. Определение формы колебаний камертона и его частоты сводится к решению «уравнения поперечных колебаний стержня»</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right; text-indent: 35.4pt;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image201.gif" alt="" width="119" height="44" /></sub><span> </span><span> </span><span> </span>(1)</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">К этому уравнению приходят во многих задачах о колебании стержней, при расчете устойчивости вращающихся валов, а также при изучении вибрации кораблей.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span> </span>Приведем элементарный вывод уравнения (1). Рассмотрим прямоуголный стержень длиной <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image203.gif" alt="" width="75" height="23" /></sub>, высотой <em><span lang="EN-US">h</span></em><span lang="EN-US"> </span>и шириной <em><span lang="EN-US">b</span></em>. Выделим элемент длины <em><span lang="EN-US">dx</span></em>. После изгиба торцевые сечения выделенного элемента стержня, предполагаемые плоскими, образуют угол <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image205.gif" alt="" width="24" height="21" /></sub>, Если деформации малы, а длина оси стержня при изгибе не меняется <em>(</em><em><span lang="EN-US">dl</span>=</em><em><span lang="EN-US">dx</span>)</em>, то</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image207.gif" alt="" width="201" height="48" /></sub>.</p>
<p class="MsoNormal">Слой материала, отстоящий от оси стержня <em><span lang="EN-US">y</span>=0</em> на расстоянии <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image053.gif" alt="" width="13" height="17" /></sub>, изменяет свою длину на величину <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image210.gif" alt="" width="32" height="21" /></sub>. По закону Гука сила натяжения, действующая вдоль слоя, равна</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image212.gif" alt="" width="239" height="44" /></sub>,</p>
<p class="MsoNormal">где <em><span lang="EN-US">E</span><span lang="EN-US"> </span></em>– модуль упругости материала стержня. Полный изгибающий момент сил, действующих на сечение <em><span lang="EN-US">x</span></em>, равен</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image214.gif" alt="" width="225" height="75" /></sub>,<span> </span><span> </span><span> </span><span> </span>(2)</p>
<p class="MsoNormal">где</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image216.gif" alt="" width="128" height="75" /></sub></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span> </span>- момент инерции прямоугольного сечения относительно своей горизонтальной оси. Обозначим через <em><span lang="EN-US">M</span>(</em><em><span lang="EN-US">x</span>)</em> момент, действующих на правую часть стержня в каждом сечении. В сечении <em><span lang="EN-US">x</span>+</em><em><span lang="EN-US">dx</span></em>, очевидно, действует момент сил, равный <em>–(</em><em><span lang="EN-US">M</span>+</em><em><span lang="EN-US">dM</span>)</em>.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span> </span>Избыточный момент <em>–</em><em><span lang="EN-US">dM</span></em> уравновешивается моментом тангенциальных сил</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image218.gif" alt="" width="72" height="19" /></sub>.</p>
<p class="MsoNormal">Отсюда в силу равенства (2) получаем величину тангенциальной силы</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image220.gif" alt="" width="165" height="44" /></sub>.<span> </span><span> </span><span> </span><span> </span>(3)</p>
<p class="MsoNormal"><span> </span>Приравняв действующую на элемент результирующую силу</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image222.gif" alt="" width="173" height="44" /></sub></p>
<p class="MsoNormal">произведению массы элемента на ускорение</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image224.gif" alt="" width="71" height="44" /></sub>,</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">где <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image226.gif" alt="" width="16" height="17" /></sub><span> </span>- плотность стержня, <em><span lang="EN-US">S</span></em> – площадь поперечного сечения (при этом мы пренебрегаем вращательным движением при изгибе), получаем уравнение поперечных колебаний стержня</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right; text-indent: 35.4pt;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image228.gif" alt="" width="117" height="44" /></sub><span> </span>(<sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image230.gif" alt="" width="61" height="44" /></sub>).<span> </span><span> </span><span> </span>(1)</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-indent: 35.4pt;">Граничными условиями для заделанного конца <em><span lang="EN-US">x</span>=0</em> являются неподвижность стержня и горизонтальность касательной</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right; text-indent: 35.4pt;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image232.gif" alt="" width="60" height="27" /></sub>,<span> </span><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image234.gif" alt="" width="69" height="47" /></sub>.<span> </span><span> </span><span> </span>(4)</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">На свободном конце должны равняться нулю изгибающий момент (2) и тангенциальная сила (3), откуда следует, что</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image236.gif" alt="" width="79" height="51" /></sub>,<span> </span><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image238.gif" alt="" width="77" height="51" /></sub>.<span> </span><span> </span><span> </span>(5)</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span> </span>Для того чтобы полностью определить движения стержня, нужно еще задать начальные условия – начальное отклонение и начальную скорость</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image240.gif" alt="" width="81" height="27" /></sub>,<span> </span><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image242.gif" alt="" width="88" height="47" /></sub><span> </span>(<sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image244.gif" alt="" width="60" height="19" /></sub>).<span> </span><span> </span><span> </span>(6)</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">Таким образом, задача сводится к решению уравнения (1) с граничными условиями (4), (5) и с начальными условиями (6).</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span> </span>Будем решать задачу методом разделения переменных, полагая</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;"><em><span lang="EN-US">y</span>=</em><em><span lang="EN-US">Y</span>(</em><em><span lang="EN-US">x</span>)</em><em><span lang="EN-US">T</span>(</em><em><span lang="EN-US">t</span>)</em>.<span> </span><span> </span><span> </span>(7)</p>
<p class="MsoNormal">Подставляя предлагаемую форму решения в (1), имеем:</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image246.gif" alt="" width="161" height="48" /></sub>.</p>
<p class="MsoNormal">Для функции <span lang="EN-US">Y</span>(<span lang="EN-US">x</span>) получаем задачу о собственных значениях</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image248.gif" alt="" width="89" height="21" /></sub>,<span> </span><span> </span><span> </span>(8)</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image250.gif" alt="" width="61" height="27" /></sub>,<span> </span><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image252.gif" alt="" width="72" height="47" /></sub>,<span> </span><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image254.gif" alt="" width="79" height="51" /></sub>,<span> </span><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image256.gif" alt="" width="79" height="51" /></sub>.<span> </span><span> </span><span> </span>(9)</p>
<p class="MsoNormal">Общее решение уравнения (8) представляется в виде</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image258.gif" alt="" width="337" height="25" /></sub>.</p>
<p class="MsoNormal">Из условий <em><span lang="EN-US">Y</span>(0)=0, </em><em><span lang="EN-US">Y</span>’(0)=0</em> находим <em><span lang="EN-US">C</span>=-</em><em><span lang="EN-US">A</span>, </em><em><span lang="EN-US">D</span>=-</em><em><span lang="EN-US">B</span>.</em> Отсюда следует, что</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image260.gif" alt="" width="325" height="25" /></sub>.</p>
<p class="MsoNormal">Условия <em><span lang="EN-US">Y</span>’’(</em><em><span lang="EN-US">l</span>)=0 </em>и<em> </em><em><span lang="EN-US">Y</span>’’’(</em><em><span lang="EN-US">l</span>)=0</em> дают:</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image262.gif" alt="" width="295" height="53" /></sub></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">Эта однородная система имеет нетривиальные решения <em><span lang="EN-US">A</span></em><span lang="EN-US"> </span>и <em><span lang="EN-US">B</span></em>, если определитель системы равен нулю. Приравнивая этот определитель нулю, получаем трансцендентное уравнение для вычисления собственных значений</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image264.gif" alt="" width="379" height="24" /></sub>.</p>
<p class="MsoNormal">Так как <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image266.gif" alt="" width="95" height="21" /></sub>, то это уравнение можно записать в идее</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: right;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image268.gif" alt="" width="105" height="21" /></sub><span> </span>(<sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image270.gif" alt="" width="59" height="25" /></sub>).<span> </span><span> </span><span> </span>(10)</p>
<p class="MsoNormal"><span> </span>Корни уравнения (10) без труда вычисляются, например, графически</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image272.gif" alt="" width="183" height="139" /></sub></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">Последняя формула дает значение <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image274.gif" alt="" width="20" height="24" /></sub><span> </span>с точностью до трех десятичных знаков, начиная с <em><span lang="EN-US">n</span></em>=3, и с точностью до шестого знака для <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image276.gif" alt="" width="37" height="19" /></sub>.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span> </span>Рассмотрим теперь частоты колебаний камертона. Уравнению</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image278.gif" alt="" width="97" height="25" /></sub></p>
<p class="MsoNormal">Удовлетворяют тригонометрические функции</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image280.gif" alt="" width="223" height="24" /></sub></p>
<p class="MsoNormal">с частотой</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image282.gif" alt="" width="247" height="51" /></sub>,</p>
<p class="MsoNormal"><span> </span>Частоты <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image284.gif" alt="" width="17" height="24" /></sub><span> </span>собственных колебаний относятся как квадраты <sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image286.gif" alt="" width="21" height="24" /></sub>. Так как</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><sub><img src="http://new.referat.ru/bank-znanii/adm/scripts/getReferatImage/41276/image288.gif" alt="" width="165" height="48" /></sub>,</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">То второй собственный тон выше основного тона более чем на две с половиной октавы, т.е. выше шестой гармоники струны при равном основном тоне, третье же собственное колебание выше основного тона более чем на четыре октавы. Например, если камертон имеет основную частоту в 440 колебаний в секунду (принятый стандарт <em><span lang="EN-US">a</span>’</em> – ноты <em>ля</em> первой октавы), то следующая собственная частота камертона будет 2757,5 колебания в секунду (между <em><span lang="EN-US">c</span>’’’’ </em>=2637,3 и<em> </em><em><span lang="EN-US">f</span>’’’’=</em>2794,0 – между нотами <em>ми </em>и <em>фа</em> четвертой октавы равномерно-темперированной гаммы), третья же собственная частота в 7721,1 колебания в секунду уже выходит за пределы шкалы собственно музыкальных звуков.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span> </span>При возбуждении колебаний камертона ударом присутствует не только первая, но и высшие гармоники, чем и объясняется металлический звук в начальный момент. Однако с течением времени высшие гармоники быстро затухают и камертон издает чистый звук основного тона.</p>
<p class="MsoNormal"> </p>
<p class="MsoNormal"> </p>
<p class="MsoNormal"> </p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong>4. Заключение.</strong></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span> </span>Дифференциальные уравнения с частными производными широко применяются в математической физике. В качестве примера в данной работе рассмотрены два уравнения.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span> </span>Волновое уравнение с краевыми условиями можно свести к решению формулы Даламбера, задающуюся начальными условиями. И с помощью фазовой плоскости можно отследить характер его решения.</p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span> </span>В процессе решения «уравнения поперечных колебаний стержня» получаем задачу о собственных значениях и задачу о нахождение частот собственных колебаний. Причем<span> </span>частоты собственных колебаний относятся как квадраты собственных значений.</p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong> </strong></p>
<p class="MsoNormal"><strong>5. Литература.</strong></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-indent: -18pt;"><span>1.<span> </span></span>А. Н. Тихонов, А. А. Самарский «Уравнения математической физики», Москва, 1966 г.</p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-indent: -18pt;"><span>2.<span style="font: 7pt "Times New Roman";"> </span></span>Н. С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисление», Москва, 1970 г.</p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-indent: -18pt;"><span>3.<span style="font: 7pt "Times New Roman";"> </span></span>Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов<span> </span>«Уравнения в честных производных математической физики», Москва, 1970 г.</p>
</div>