Динамическое представление данных

Р  Е  Ф  Е  Р  А  Т

на   тему  :

“ Динамическое  представление   сигналов “

Выполнил: Зазимко С.А.

Принял :   Котоусов А.С.

МОСКВА

Динамическое представление сигналов.

          Многие задачи радиотехники требуют специфической формы представления сигналов. Для решения этих задач необходимо располагать не только мгновенным значением сигнала, но и знать как он ведет себя во времени, знать его поведение в “прошлом” и “будущем”.

ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.

          Данный способ получения моделей сигналов заключается в следующем:

         Реальный сигнал представляется суммой          некоторых элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Теперь, если мы устремим к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в пределе получим точное представление исходного сигнала. Такой способ описания сигналов называется динамическим представлением , подчеркивая тем самым развивающийся во времени характер процесса.

          На практике широкое применение нашли два способа динамического представления.

          Первый способ в качестве элементарных сигналов использует ступенчатые функции, которые возникают через равные промежутки времени  D . Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени D.  В результате сигнал может быть представлен как на рисунке 1.

                                                                       рис.  1

          При втором способе элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее .  В этом случае исходный сигнал имеет вид как на рисунке 2.

                             рис. 2

          Теперь рассмотрим свойства элементарных сигналов. Для начала : используемого для динамического представления по первому способу.

ФУНКЦИЯ   ВКЛЮЧЕНИЯ.

          Допустим имеется сигнал, математическая модель которого выражается системой :

        ì   0,             t < -x,

  u(t) = í 0.5(t/x+1), -x £ t £ x,       (1)

        î   1,            t > x.

          Такая  функция  описывает  процесс  перехода  некоторого  физического объекта из “нулевого” в “единичное” состояние.

Переход  совершается по линейному закону за время 2x.  Теперь если параметр x устремить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое  будет происходить мгновенно. Такая математическая модель предельного сигнала получила название функции включения  или  функции Хевисайда :

                                   ì      0,           t < 0,

                   s(t)  =  í    0.5,                   t = 0,                           (2)

                                 î     1,            t > 0.

          В общем случае функция включения может быть смещена относительно начала отсчета времени на величину  t0.  Запись смещенной функции такова :

                                    ì      0,                   t < t0,

               s(t - t0) =  í    0.5,                   t = t0,                           (3)

                                  î     1,           t > t0.

ДИНАМИЧЕСКОЕ     ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО   СИГНАЛА   ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ   ВКЛЮЧЕНИЯ.

          Рассмотрим некоторый сигнал  S(t),  причем для определенности скажем, что  S(t)=0  при  t<0. Пусть {D,2D,3D,...} - последовательность моментов времени и {S1,S2,S3,...} - отвечающая им последовательность значений сигнала. Если начальное значение сигнала есть S0=S(0), то текущее значение сигнала при любом t можно приближенно представить в виде  суммы  ступенчатых  функций :

                                    ¥

s(t)»s0s(t)+(s1-s0)s(t-D)+...=s0s(t)+å(sk-sk-1)s(t-kD).

                                    k=1

·     Если теперь шаг  D  устремить к нулю. то дискретную переменную  kD  можно заменить непрерывной переменной  t. При этом малые приращения значения сигнала превращаются  в  дифференциалы   ds=(ds/dt)dt ,  и мы получаем формулу динамического представления произвольного сигнала посредством функций Хевисайда

                   ¥

                   ó ds

    S(t)=s0 s(t) + ô     s(t-t) dt      (4)

                   õ dt

                   0

          Переходя ко второму способу динамического представления сигнала , когда элементами разложения служат короткие импульсы, следует ввести новое важное понятие  -  понятие дельта-функции.

ДЕЛЬТА - ФУНКЦИЯ .

          Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы,  заданный следующим образом :

                         1    é              x                     x      ù               

        u(t;x) =  ----- ê s (t +  ---- )  - s (t -  ---- )  ÷               (5)  

                          x    ë              2                     2      û

          При любом выборе параметра  x  площадь этого импульса

равна единице :

                                    ¥

                   П  =  ò   u  dt  =  1

                            - ¥

          Например, если  u -  напряжение, то  П =  1  В*с.

          Теперь устремим величину  x  к нулю.  Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при  x ® 0  носит название  дельта-функции , или функции Дирака[1] :

                        d(t)  =  lim  u (t;x)

                                                     x®0

          Дельта функция  -  интересный математический объект. Будучи равной нулю всюдю, кроме как в точке   t = 0  [2] дельта-функция тем не менее обладает единичным интегралом.  А вот так выглядит символическое изображение дельта-функции :

ДИНАМИЧЕСКОЕ  ПРЕДСТАВЛЕНИЕ  СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ  ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ.      

          Теперь вернемся  к  задаче описания аналогового сигнала суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов      (рис. 2) . С помощью дельта-функции u (t) представимо в виде совокупности примыкающих импульсов.  Если  Sk -  значение сигнала на  k - ом  отсчете, то элементарный импульс с номером  k  представляется как :                  

          hk(t) =  Sk  [ s(t - tk) -   s(t - tk - D) ]                        (6)

          В соответствии с принципом динамического представления исходный сигнал  S (t) должен рассматриваться как сумма таких элементарных слагаемых :

                                                              ¥

                      S(t)  =   å    h (t)                                             (7)

                                           k= - ¥    k

          В этой сумме отличным от нуля будет только один член, а именно тот, что удовлетворяет условию для  t :

                                 tk <  t < tk+1

          Теперь,  если произвести подстановку  формулы  (6)  в  (7)  предварительно разделив и умножив на величину шага  D, то

                                          ¥           1              

                   S(t)  =  å Sk  --- [ s(t - tk) -  s(t - tk - D) ] D

                                          k=- ¥       D       

          Переходя к пределу при  D ® 0  ,  необходимо суммирование заменить интегрированием по формальной переменной t, дифференциал которой  dt ,будет отвечать величине D .

  Поскольку

                                                                                                                      1    

                              lim [ s(t - tk) -  s(t - tk - D) ] ---

                                    D®0                                                      D

 получим искомую   формулу  динамического представления сигнала

                                                   ¥

                             S (t) = ò  s (t) d(t - t) dt

                                               - ¥

          Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и произведение проинтегрировать по времени,  то результат будет равен значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен   d - импульс. Принято говорить, что в  этом состоит фильтрующее свойство  дельта-функции.[3]

          Из определения дельта-функции следует  (3) .  Следовательно,  интеграл  дельта-функции  от  - ¥  до  t   есть  единичный скачок  , и дельта-функцию можно рассматривать как производную единичного скачка :

                                                d(t) = 1’ (t) ;

                             d(t-t0) =  1’ (t-t0) .

                   Обобщенные функции как математические модели сигналов.

          В классической математике полагают,  что функция  S(t)  должна  принемать какие-то значения в каждой точке оси  t .  Однако рассмотренная функция  d(t)  не вписывается в эти рамки - ее значение при   t = 0   не определено вообще,  хотя эта функция и имеет единичный интеграл.  Возникает необходимость расширить понятие функции как математической модели сигнала. Для этого в математике была введено принципиально новое понятие  обобщенной функции.

          В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь предмет , то стараемся изучить его со всех сторон, как бы получить проекции этого предмета на всевозможные плоскости.  Аналогом проекции исследуемой функции  ¦(t)  может служить, например, значение интеграла

                                              ¥

                          ò   ¦(t) j(t)  dt                                            (8)

                                   - ¥

при известной функции  j(t) , которую называют пробной функцией.

          Каждой функции  j(t) отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное числовое значение. Поэтому говорят, что формула  (8)   задает некоторый  функционал на множестве пробных функций j(t). Непосредственно видно, что данный функционал линеен, то есть

                                (¦, aj1 + bj2) = a(¦,j1) + b(¦,j2).

          Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множестве пробных функций  j(t) задана обобщенная функция   ¦(t) [4]. Следует сказать, что данную функцию надо понимать формально-аксиоматически, а не как предел соответствующих интегральных сумм.

          Обобщенные фнкции , даже не заданные явными выражениями, обладают многими свойствами классических функкций. Так, обобщенные функции можно дифференцировать.

          И в заключение следует сказать, что в настоящее время теория обобщенных функций получила широкое развитие и многочисленные применения.  На ее основе созданы математические методы изучения процессов, для которых средства классического анализа оказываются недостаточными.

Литература :

1.   А. Л. Зиновьев,   Л. И. Филипов     ВВЕДЕНИЕ   В

                             ТЕОРИЮ   СИГНАЛОВ   И   ЦЕПЕЙ.

2.   С. И. Баскаков      РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ   ЦЕПИ

                                       И    СИГНАЛЫ.