Дзета-функция Римана
Министерство образования Российской Федерации
Ставропольский Государственный университет
Кафедра математического анализа
Курсовая работа на тему :
«Дзета-функция Римана»
Выполнил: студент 2го курса ФМФ группы «Б» Симонян Сергей Олегович
Ставрополь,
Введение.
Функция – одно из основных понятий во всех естественнонаучных дисциплинах. Не случайно ещё в средней школе дети получают интуитивное представление об этом понятии. Со школьной скамьи наш багаж знаний пополняется сведениями о таких функциях как линейная, квадратичная, степенная, показательная, тригонометрические и других. В курсе высшей математики круг известных функций значительно расширяется. Сюда добавляются интегральные и гиперболические функции, эйлеровы интегралы (гамма- и бета-функции), тета-функции, функции Якоби и многие другие.
Что же такое функция? Строгого определения для неё не существует. Это понятие является в математике первичным, аксиоматизируется. Однако, под функцией понимают закон, правило, по которому каждому элементу какого-то множества X ставится в соответствие один или несколько элементов множества Y. Элементы множества X называются аргументами, а множества Y – значениями функции. Если каждому аргументу соответствует одно значение, функция называется однозначной, если более одного – то многозначной. Синонимом функции является термин «отображение». В простейшем случае множество X может быть подмножеством поля действительных R или комплексных C чисел. Тогда функция называется числовой. Нам будут встречаться только такие отображения.
Функции могут быть заданы многими различными способами: словесным, графическим, с помощью формулы. Функция, которую мы будем рассматривать в этой работе, задаётся через бесконечный ряд. Но, несмотря на такое нестандартное определение, по своему представлению в виде ряда она может быть хорошо изучена методами теории рядов и плодотворно применена к различным теоретическим и прикладным вопросам математики и смежных с ней наук.
Конечно же, речь идёт о знаменитой дзета-функции Римана, имеющей широчайшие применения в теории чисел. Впервые ввёл её в науку великий швейцарский математик и механик Леонард Эйлер и получил многие её свойства. Далее активно занимался изучением дзета-функции немецкий математик Бернгард Риман. В честь него она получила своё название, так как он опубликовал несколько исключительно выдающихся работ, посвящённых этой функции. В них он распространил дзета-функцию на область комплексных чисел, нашёл её аналитическое продолжение, исследовал количество простых чисел, меньших заданного числа, дал точную формулу для нахождения этого числа с участием функции и высказал свою гипотезу о нулях дзета-функции, над доказательством или опровержением которой безрезультатно бьются лучшие умы человечества уже почти 150 лет.
Научная общественность считала и считает решение этой проблемы одной из приоритетных задач. Так Давид Гильберт, выступавший на Международной Парижской математической конференции 1900 году с подведением итогов развития науки и рассмотрением планов на будущее, включил гипотезу Римана в список 23 проблем, подлежащих решению в новом столетии и способных продвинуть науку далеко вперёд. А на рубеже веков, в 2000 году американский The Clay Mathematics Institute назвал семь задач, за решение каждой из которых будет выплачен 1 миллион долларов. В их число также попала гипотеза Римана.
Таким образом, даже бы поверхностное знакомство с дзета-функцией будет и интересным, и полезным.
Глава 1.
Итак, приступим к изучению этой важной и интересной дзета-функции Римана. В данной главе мы получим некоторые свойства функции в вещественной области, исходя из её определения с помощью ряда.
Определение. Дзета-функцией Римана ζ(s) называют функцию, которая любому действительному числу s ставит в соответствие сумму ряда
(1)
если она существует.
Основной характеристикой любой функции является область определения. Найдём её для нашей функции.
Пусть сначала s≤0, тогда s=−t, где t принадлежит множеству неотрицательных действительных чисел R+ и ряд (1) обращается в ряд t>0, так и при t=0. То есть значения s≤0 не входят в область определения функции.
Теперь пусть s>0. Для исследования сходимости ряда (1) воспользуемся интегральным признаком Коши. При каждом s рассмотрим функцию , которая является на промежутке непрерывной, положительной и монотонно убывающей. Возникает три различных возможности:
1) 0<s<1. Тогда
2) s=1. Получаем s=1 дзета-функция Римана также не определена;
3) s>1. В этом случае
Обобщив результаты, находим, что область определения дзета-функции есть промежуток
Докажем непрерывность функции ζ(s) на области определения. Возьмём произвольное число s0>1. Перепишем ряд (1) в виде сходится, а функции при s>s0 монотонно убывают и все вместе ограничены единицей. Значит, по признаку Абеля для s>s0 ряд (1) сходится равномерно. Используя теорему о непрерывности суммы функционального ряда, получаем, что в любой точке s>s0 дзета-функция непрерывна. Ввиду произвольности s0 ζ(s) непрерывна на всей области определения.
Теперь почленным дифференцированием ряда (1), пока формально, найдём производную дзета-функции Римана:
(2).
Чтобы оправдать этот результат, достаточно удостовериться в том, что ряд (2) равномерно сходится на промежутке и воспользоваться теоремой о дифференцировании рядов. Используем тот же приём. Зафиксируем любое s0>1 и представим ряд (2) в виде для s>s0. Множители n=2, монотонно убывают, оставаясь ограниченными числом ln 2. Поэтому по признаку Абеля ряд (2) сходится равномерно при s>s0, а значит и при любом s>1. Какое бы значение s>1 ни взять его можно заключить между и применима вышеуказанная теорема.
Таким же путём можно убедиться в существовании для дзета-функции производных всех порядков и получить их выражения в виде рядов:
Попытаемся построить наглядное изображение функции в виде графика. Для этого изучим сначала её поведение на бесконечности и в окрестности точки s=1.
В первом случае, ввиду равномерной сходимости ряда (1), по теореме о почленном переходе к пределу, имеем n=1 предел равен единице, остальные пределы равны нулю. Поэтому
Чтобы исследовать случай
Во-первых, известно, что если для ряда существует непрерывная, положительная, монотонно убывающая функция оценивается так: Применяя вышесказанное к ряду (1), найдём, что необходимая функция
и
(3). В левом неравенстве положим n=0, тогда n=1 и получим и, наконец, к пределу при
Отсюда, в частности, следует, что
Можно, однако, получить ещё более точный результат для оценки поведения дзета-функции в окрестности единицы, чем приведённые выше, принадлежащий Дирихле. Будем отталкиваться от очевидного при произвольном n равенства и вычтем s стремится к единице. По правилу Лопиталя легко вычислить и при
n возьмём C (C0,577). Значит
Найденные выше пределы позволяют получить лишь приблизительное представление о виде графика дзета-функции. Сейчас мы выведем формулу, которая даст возможность нанести на координатную плоскость конкретные точки, а именно, определим значения k – натуральное число.
Возьмём известное разложение - знаменитые числа Бернулли (по сути, через него эти числа и определяются). Перенесём слагаемое в левую часть равенства. Слева получаем cth, а в правой части - cth. Заменяем на , получаем cth.
С другой стороны, существует равенство cth, из которого cth. Подстановкой вместо находим cth . Если N и по теореме о сложении бесконечного множества степенных рядов cth
Приравняем полученные разложения:
(4), где - k-е число Бернулли. Она удобна тем, что эти числа хорошо изучены и для них составлены обширные таблицы.
Теперь, исходя из полученных результатов, можно построить эскиз графика дзета-функции Римана, достаточно хорошо отражающий её поведение на всей области определения.
Леонард Эйлер, впервые рассмотревший дзета-функцию, получил замечательное разложение её в бесконечное произведение, которое иногда тоже принимают за определение:
pi – i-е простое число (4).
Докажем тождественность ряда (1) и произведения (4). Вспомнив формулу суммы геометрической прогрессии, получаем равенство
Если перемножить конечное число таких рядов, отвечающих всем простым числам, не превосходящим заданного натурального числа N, то получившееся частичное произведение окажется равным символ * означает, что суммирование распространяется не на все натуральные числа, а лишь на те из них (не считая единицы), которые в своём разложении содержат только простые числа меньшие N. Так как первые N натуральных чисел этим свойством обладают, то
(5).
Сумма содержит не все числа, большие N+1, поэтому, очевидно,
(6).
Ввиду сходимости ряда (1), выражение справа, представляющее его остаток после N-го члена, стремится к нулю при N стремящимся к бесконечности, а есть произведение (4). Значит из неравенства при , что и требовалось доказать.
Формула (4) важна потому, что она связывает натуральный ряд, представленный множеством значений аргумента дзета-функции, со множеством простых чисел. Ещё один шаг в этом направлении мы сделаем, оценив остаётся ограниченным при
Из (4) следует, что N, а при . Возьмём логарифм от обеих частей равенства, тогда N к бесконечности, имеем так как
На этом закончим изложение свойств дзета-функции Римана для действительного аргумента, так как наибольший теоретический и прикладной интерес представляет случай изложенный во второй главе.
Глава 2.
Все результаты первой главы, касающиеся дзета-функции Римана, были получены в предположении, что её аргумент s – действительное число. Однако, самые выдающиеся исследования и многочисленные важные приложения стали возможны лишь после включения в область определения функции комплексных чисел. Впервые рассмотрел дзета-функцию как функцию мнимого аргумента немецкий математик Бернгард Риман, глубоко изучивший её свойства и широко применявший её в теории чисел. В честь него функция получила своё название.
Для комплексной дзета-функции остаётся в силе определение, данное в главе 1, с тем лишь изменением, что теперь там будет C. Возникает необходимость найти новую область определения. С этой целью докажем следующее утверждение: в полуплоскости ( действительная часть числа x) ряд
(1) сходится абсолютно.
Пусть при α>1, имеем абсолютную сходимость ряда (1).
На своей области определения дзета-функция аналитична. Действительно, при всяком q>0 и фиксированном α>1+q, числовой ряд мажорирует ряд из абсолютных величин в полуплоскости
Нетрудно показать, что все полученные для дзета-функции формулы без изменений переносятся на случай комплексного аргумента. Доказательства претерпевают незначительные преобразования, связанные с переходом к абсолютным величинам.
В связи с этим замечанием становится возможным использовать разложение дзета-функции в произведение s теперь любое комплексное число, такое, что корней.
Оценим величину
Вопрос о нулях дзета-функции, а также другие прикладные вопросы получают новые широкие возможности для исследования, если распространить её на всю комплексную плоскость. Поэтому, сейчас мы одним из многих возможных способов найдём аналитическое продолжение дзета-функции и выведем её функциональное уравнение, характеризующее и однозначно определяющее
Для этого нам понадобится формула
(2), которая выводится следующим образом. Используя свойства интегралов можно записать d при значит и можно найти интегрированием по частям, принимая
Теперь положим в (2) a и b – целые положительные числа. Тогда a=1, а b устремим к бесконечности. Получим
(3).
Выражение является ограниченным, так как абсолютно интегрируема на промежутке при абсолютно сходится при s, регулярную при и имеет там лишь один простой полюс в точке с вычетом, равным единице.
Для можно преобразовать выражение (3) дзета-функции. При имеем и (3) может быть записано в виде
Немного более сложными рассуждениями можно установить, что в действительности (3) даёт аналитическое продолжение дзета-функции на полуплоскость первообразная для ограничена, так как и ограничен из-за того, что при x1>x2 и потому что является ограниченной функцией. Значит,
(4).
Пользуясь абсолютной сходимостью интеграла
Нетрудно установить, что для отрицательных
(5) при
Из теории рядов Фурье известно, что для нецелых значений x справедливо разложение в ряд
(6).
Подставим его в равенство (5) и проинтегрируем ряд почленно:
Итак, мы получили функциональное уравнение дзета-функции Римана
(7),
которое само по себе может служить средством изучения этой функции, так как вполне характеризует её, в том смысле, что любая другая функция
Пока, правда, как следует из рассуждений, мы доказали формулу (7) для s и при
Чтобы доказательство было строгим, мы должны ещё обосновать почленное интегрирование. Поскольку ряд (6) сходится почти всюду и его частичные суммы остаются ограниченными, почленное интегрирование на любом конечном отрезке допустимо. Ввиду для любого при имеем
Функциональное уравнение дзета-функции (7) может быть записано многими способами. Например, заменим s на 1-s, получаем равносильное равенство
(8). Из него можно получить два небольших следствия.
Подставим в (8) вместо s число 2m, где m – натуральное число. Имеем и произведя в правой части все сокращения, учитывая, что
Покажем ещё, что и результат продифференцируем s=1 , С – постоянная Эйлера, а k – произвольная постоянная. Следовательно, устремляя s к единице, получим k=0
Глава 3.
Как уже было сказано, дзета-функция Римана широко применяется в математическом анализе. Однако наиболее полно важность её выявляется в теории чисел, где она оказывает неоценимую помощь в изучении распределения простых чисел в натуральном ряду. К сожалению, рассказ о серьезных и нетривиальных применениях дзета-функции Римана выходит за рамки этой работы. Но чтобы хотя бы немного представить мощь этой функции, докажем с её помощью несколько интересных утверждений.
Например, известно, что простых чисел бесконечно много. Самое знаменитое элементарное доказательство принадлежит Евклиду. Оно состоит в следующем. Предположим, что существует конечное число простых чисел, обозначим их p1, p2, … , pn. Рассмотрим число p1p2…pn+1, оно не делится ни на одно из простых и не совпадает ни с одним из них, то есть является простым числом, отличным от вышеуказанных, что противоречит предположению. Значит, количество простых чисел не может быть конечным.
Другое доказательство этого факта, использующее дзета-функцию, было дано Эйлером. Рассмотрим данное в первой главе равенство (5) при s=1, получим и ввиду расходимости гармонического ряда, имеем при
(1). Если бы количество простых чисел было конечным, то и это произведение имело конечное значение. Однако, полученный результат свидетельствует об обратном. Доказательство завершено.
Теперь перепишем (1) в виде расходится. Это предложение даёт некоторую характеристику роста простых чисел. Подчеркнём, что оно гораздо сильнее утверждения о расходимости гармонического ряда, так как здесь речь идёт лишь о части его членов, тем более что в натуральном ряде имеются сколь угодно длинные промежутки без простых чисел, например:
Несмотря на свою простоту приведённые выше предложения важны в концептуальном плане, так как они начинают череду исследований всё более и более глубоких свойств ряда простых чисел, которая продолжается по сей день. Первоначально, основной целью изучения дзета-функции как раз и было исследование функции x. В качестве примера формулы, связывающей и
(2).
Сначала воспользуемся разложением дзета-функции в произведение:
Теперь вычислим интеграл в правой части (2). Так как при и и
Используем формулу (2) для доказательства одной очень серьёзной и важной теоремы, а именно получим асимптотический закон распределения простых чисел, то есть покажем, что
В качестве исторической справки отмечу, что великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс эмпирически установил эту закономерность ещё в пятнадцатилетнем возрасте, когда ему подарили сборник математических таблиц, содержащий таблицу простых чисел и таблицу натуральных логарифмов.
Для доказательства возьмём формулу (2) и попытаемся разрешить это уравнение относительно
(3). Этот интеграл имеет нужную форму, а не повлияет на асимптотику сходится равномерно в полуплоскости регулярна и ограничена в полуплоскости
Мы могли бы уже применить формулу Меллина, но тогда было бы весьма затруднительно выполнить интегрирование. Поэтому прежде преобразуем равенство (3) следующим образом. Дифференцируя по s, получаем и положим и полагаем равными нулю при при
Но непрерывна и имеет ограниченную вариацию на любом конечном интервале, а так как ( ( абсолютно интегрируема на при при при ограниченна при и можно положить ограниченна при и имеет логарифмический порядок при имеет при лишь логарифмическую особенность. Следовательно,
(4).
Чтобы перейти обратно к
Пусть положительна и не убывает и пусть при
Действительно, если - данное положительное число, то ( не убывает, то
Аналогично, рассматривая
Применяя лемму, из (4) имеем, что и теорема доказана.
Для ознакомления с более глубокими результатами теории дзета-функции Римана могу отослать заинтересованного читателя к прилагаемому списку использованной литературы.
Список использованной литературы.
1. Титчмарш Е.К. Теория
дзета-функции Римана. Череповец,
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том II. М.,1970 г.
3. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.,1999 г.
4. Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.,1987 г.
5. Шафаревич З.А. Теория чисел. М.,1986г.