Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка)

 

Формулы сокращенного умножения

(а ± в)2 = а2 ± 2ав + в2

(а ± в)3 = а3 ± 3а2в + 3ав2 ± в3

а2 - в2 = (а + в) (а - в)

а3 + в3 =  (а + в) (а2 - ав + в2)

а3 - в3 =  (а - в) (а2 + ав + в2)

(а + в + с)2 = а2 + в2 + с2 +2ав +2ас +2вс

Степени.

ам ан = ам + н

ам : ан = ам - н

(ав)м = ам вм

м)н = амн

(а : в)м = ам : вм

а- м = 1 : ам

ам : н = нÖ ам

Корни.

нÖав =нÖа нÖв

нÖа мÖв = н мÖам вн

нÖа : в = нÖа : нÖв

(нÖам)х = нÖам х

нÖам = ам/н

мÖнÖа = мнÖа

(нÖа)м = нÖам

Арифметическая прогрессия.                                   

а1, а2, а3, …, а n-1, аn                                                                                       

а n-1  - аn = d                                                                                                      

d – разность прогрессии                                             

а2 = а1+ d                                                                        

а3 = а2 + d = а1 + 2d                                                        

аn = а1 + d(n-1)                                                              

Sn = (а1 + аn) n  = (2а1 + ( n-1) d) n

                2                      2                     

Sn – сумма членов арифметической                          

  прогрессии.                                                          

d – разность прогрессии.                                           

d > 0 – прогрессия возрастающая                               

d < 0 – прогрессия убывающая.                                  

                                                                                                                                                            Геометрическая прогрессия.

а1, а2, а3, …, а n-1, аn                                                                                         

а n+1 / аn  = q                                                                                                 

а2 = а1 q

q  - знаменатель прогрессии.

а3 = а2 q = а1 q2

аn = а1 q  n-1

Сумма членов для возрастающей

прогрессии (q > 1)

Sn = аn q - а1  = а1 (qn  -1 : q – 1) 

         q – 1

Сумма членов для убывающей прогрессии (q  <  1)

Sn = а1 (1 - qn)

            1 - q                                                                    

Сумма членов бесконечно убывающей

 Прогрессии

 Sn =   а1

         1 - q                                                                                                 

Вектора.

а = М1М2 ={х2 – х1, у2 – у1, z2 –z1}

Длина вектора

çа ç=Ö(х2 - х1)2 +(у2 - у1)2 + (z2 - z1)

Умножение вектора на число

a а = d

Скалярное произведение векторов

а в = çа ççв çcos j

cos j =         х1х2 + у1у2 + z1z2

             Öх12 + у12 +z12 Öх2222 + z22

а2 = çа ç2

а в = х1х2 + у1у2 + z1z2

Параллельность векторов

а ççв, то  х1 = у1 = z1

                х2   у2     z2

 Перпендикулярность векторов

а ^ в, то  х1х2 + у1у2 + z1z2

Производная.

 (c u)¢  = с u¢

 u ¢ = u¢ v – u v¢

 v                 v2

(c)¢ =  0

(xn )¢ =  n xn-1

(ax  = ax ln a

х )¢ =  ех

(sin x)¢ = cos x

(cos x)¢ = - sin x

(tg x)¢ =   1

              cos2 x

(ctg x)¢ = -  1

                  sin2 x

(ln x)¢ = 1

              х

(1 / х)¢ = - 1

                 х2

(Öх)¢ =   1

            2 Öх

(х)¢ = 1

Логарифмы.

logав = с    

logа 1 = 0

logа а = 1

logа (m n) = logа m + logа n

logа m = logа m - logа n

       n

logа m n = n logа m

logа  n Öm  = 1 logа m

                    n

logав = logсв

            logс а

Основные тригонометрические тождества

sin2x + cos2x = 1

tg x = sin x

          cos x

ctg x = cos x

            sin x

1 + ctg2 x =    1

                    sin2 x

1 + tg2 x =    1

                  cos2 x

tg x  ctg x = 1

Формулы сложения и вычитания

sin (a ± b) = sina cosb ± cosa sinb

cos (a ± b) = cosa cosb ± sina sinb

tg  (a ± b) = (tga ± tgb)

                    (1 + tga tgb)

ctg (a ± b) = ctga ctgb + 1

                       ctgb ± ctga

sina + sinb = 2 sin (a + b) cos (a - b)

2              2

sina - sinb = 2 cos (a + b) sin (a - b)

2              2

cosa + cosb = 2 cos (a + b) cos (a - b)

2              2

cosa - cosb = - 2 sin (a + b) sin (a - b)

2              2

tga ± tgb = sin (a ± b)

                   cosa cosb

ctga ± ctgb = sin (b ± a)

                       sina sinb

sin2a - sin2b = cos2b - cos2a =

               sin (a + b) sin (a - b)

cos2a - sin2b = cos2b - sin2a =

              cos (a + b) cos (a - b)

Связь между тригонометрическими функциями

sina = ± Ö1 - cos2a

sina =       tga

           ± Ö1 + tg2a

sina =         1

           ± Ö1 + ctg2a

cosa = ± Ö1 - sin2a

cosa =        1

            ± Ö1 + tg2a

cosa =       ctga

            ± Ö1 + ctg2a

tga =       sina

          ± Ö1 - sin2a

tga = ± Ö1 - cos2a

                cosa

tga =   1

          ctga

ctga = ± Ö1 - sin2a

               sina

ctga =        cosa

            ± Ö1 - cos2a

ctga =  1

            tga

Формулы преобразования произведения

sina sinb = cos (a - b) - cos (a + b)

                                      2

cosa cosb = cos (a - b) + cos (a + b)

                                      2

sina cosb = sin (a + b) + sin (a - b)

                                      2

tga tgb =  tga + tgb

                ctga + ctgb

ctga tgb = ctga + tgb

                  tga + ctgb

ctga ctgb = ctga + ctgb

                     tga + tgb

Формулы двойных углов

sin2a = 2 sina cosa

sina = 2 sin (a) cos (a)

cos2a = cos2a - sin2a =

              = 1 - 2sin2a =

              = 2cos2a - 1

tg2a = 2 tga

            1 - tg2a

         =       2

            ctga - tga

tga = 2 tg (a/2)

          1 - tg2 (a/2)

ctg2a = ctg2a - 1

               2 ctga

           = ctga - tga

                       2

ctga = ctg2 (a/2) - 1

             2 ctg (a/2)

sin x = a

x = (-1)n arksin a + pn

cos x = a

x = ± arkcos a + 2pn

tg x = a

x = arktg a + pn

ctg x = a

x = arkctg a + pn

Формулы приведения

sin (p /2 - a) = + cosa

sin (p /2 + a) = + cosa

sin (p - a) = + sina

sin (p  + a) = - sina

sin (3p/2 - a) = - cosa

sin (3p /2 + a) = - cosa

sin (2p - a) = - sina

sin (2p  + a) = + sina

        ----------------

cos (p/2 - a) = + sina

cos (p/2 + a) = - sina

cos (p - a) = - cosa

cos (p + a) = - cosa

cos (3p/2 - a) = - sina

cos (3p/2 + a) = + sina

cos (2p - a) = + cosa

cos (2p + a) = + cosa

        -----------------

tg (p/2 - a) = + ctga

tg (p/2 + a) = - ctga

tg (p - a) = - tga

tg (p + a) = + tga

tg (3p/2 - a) = + ctga

tg (3p/2 + a) = - ctga

tg (2p - a) = -  tga

tg (2p + a) = + tga

        -------------

ctg (p/2 - a) = + tga

ctg (p/2 + a) = - tga

ctg (p - a) = - ctga

ctg (p + a) = + ctga

ctg (3p/2 - a) = + tga

ctg (p/2 + a) = - tga

ctg (2p - a) = - ctga

ctg (2p + a) = + ctga

sin (- a) = - sina

cos (- a) = cosa

tg (- a) = - tga

В прямоугольном треугольнике

a2 + b2 = c2

a = c sina

a = b tga

b = c cosa

теорема синусов:

  a    =   b   =   c

sina    sinb   sing

теорема косинусов:

a2 = b2 + c2 - 2 bc cosa

S = ½ ab

Площади фигур

Прямоугольник

S = a b = ½ d1 d2 sina,

d1 и d2 - диагонали

a - угол пересечения диагоналей

Параллелограмм

S = a h = a b sina

S = ½ d1 d2 sina

Трапеция

S = a + b  h = ½ d1 d2 sina

         2

Круг

S = l r = p r2

       2

ТРЕУГОЛЬНИК

S = ½ ah = ½ ab sina

Формула Герона:

S = Ö p (p - a) (p - b) (p - c)

p = a +b + c

           2

Площадь треугольника описанного окружностью:

S = a b c

        4r

Площадь треугольника с вписанной окружностью:

S = ½ r P

где Р – периметр

радиус описанной окружности:

R = a b c

        4S

радиус вписанной окружности:

r =     2S

     a + b + c

длина окружности:

l = 2pr

Квадрат

S = a2 = d2/2

Ромб

S = a2 sina = ah = ½ dD

где d - малая диагональ

      D - большая диагональ

Объемы тел:

Параллелепипед

V = Sосн h

Куб

V = abc = a3

Призма

V = Sосн h = S^сеч l

l - грань призмы

Пирамида

V = 1/3 Sосн h

Цилиндр

V = Sосн h = p r2 h = 1/4p d2 h

r - радиус основания

d - диаметр основания

Конус

V = 1/3 Sосн h = 1/3 p r2 h

Шар

V = 4/3 p r3

Площади поверхностей

Призма

Sп = Sбок + 2Sосн

Sбок = ph = S^сеч l

p = a + b +c

Куб

Sп = 6a2

Пирамида четырехугольная

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = ½ Pосн h

h – высота боковой грани

Пирамида треугольная

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = Sосн cosj

j - угол наклона грани

Цилиндр

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = 2p rh

Sосн = 2pr (h + r)

Конус

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = prl

Sосн = pr (l + r)

Параллелепипед

Sп = Sбок + 2Sосн

Sбок = Pосн l

Шар

S = 4 pr2

Значения углов

a      0      p/6       p/4        p/3      p/2       p

sin    0       ½       Ö2/2     Ö3/2       1         0 

cos   1     Ö3/2     Ö2/2       ½          0       -1

tg     0      1/Ö3       1         Ö3          -         0

ctg    -       Ö3         1        1/Ö3       0          -