Алгебраические системы

Оглавление

п.1. r- перестановки...............................................................................................................52

п.2. r -элементные подмножества (r - сочетания)...............................................................53

п.3. Перестановки с повторениями......................................................................................54

Задачник.............................................................................................56

Заключение. 67

Литература. 68

Введение

На рубеже XIX и XX столетий алгебра претерпела важное качественное изменение, которое можно охарактеризовать как переход к изучению абстрактных систем объектов. До этого момента основное внимание уделялось в алгебре конкретным системам, таким как различные числовые системы, системы матриц, перестановок и т.д. Новый этап в развитии алгебры ознаменовался полным отвлечением от природы и способов построения объектов системы, и единственным предметом изучения стали отношения между этими объектами. Современная алгебра имеет дело просто с системами объектов, для которых определены некоторые операции и отношения, удовлетворяющие тем или иным требованиям; что именно стоит за объектами системы- матрицы, уравнения, числа и т.д.- для алгебры безразлично, важно только, чтобы заданные операции и отношения были определены и заданные требования для этих операций и отношений выполнялись.

Цель работы: теоретическое обоснование и необходимость практического применения на множествах алгебраических систем и операций над ними.

Данная курсовая работа состоит из теории важнейших алгебраических систем и содержит введение, 8 параграфов, разбитых на пункты, задачника, заключения и списка литературы.

В §1 рассматриваются бинарные и n-местные операции, виды бинарных операций, вводятся понятия алгебры, подалгебры, алгебраической системы, приводятся примеры.

В §2 содержится определение системы натуральных чисел (системы Пеано), аксиоматической системы Пеано, доказываются теоремы математической индукции, вводится определение чисел Фиббоначи и формула Бине для вычисления чисел Фиббоначи с доказательством.

В §3 даны определения группы, абелевой, бесконечной, аддитивной, мультипликативной и коммутативной групп, гомоморфизмов и изоморфизмов групп, приведены примеры групп и их простейшие свойства с доказательствами.

В §4 представлены понятия подстановки, умножения подстановок, единичной подстановки, четной и нечетной подстановок, транспозиции, лемма о нечетности транспозиции, знак подстановки, теорема о знаке произведения, свойства знаков подстановок, определения цикла, независимых циклов и свойства циклов.

В §5 для изучения предлагаются понятия кольца, коммутативного кольца и области целосности, гомоморфизма и изоморфизма колец, подкольца, а так же свойства кольца целых чисел.

В §6 рассматривается определение поля, примеры и простейшие свойства полей, определения подполя, простого поля и поля рациональных чисел.

§7 изучает вопросы поля комплексных чисел, описывается построение поля комплексных чисел, приводятся алгебраическая форма записи комплексных чисел, определение комплексного числа, действия над комплексными числами, определение сопряженного, свойства и операции сопряжения, определение модуля комплексного числа и его свойства, геометрический смысл комплексного числа, тригонометрическая показательная форма записи, вводится понятние корня из комплексного числа и понятие упорядоченного поля, доказываются теорема и следствие о мультисекции многочлена.

В §8 описываются понятия r-перестановок множества, r-сочетания, перестановки с повторениями.

§1. Алгебра и алгебраические системы

п.1. Бинарные и n-местные операции.

Пусть - непустое множество, то есть .

Определение. Бинарной операцией на множестве называется отображение прямого произведения .

Другими словами: если каждой упорядоченной паре элементов множества поставлен в соответствие единственный элемент из , то говорят, что задана бинарная операция на множестве .

Пример.

1) Пусть - произвольные высказывания

: - бинарная операция на множестве высказываний.

2) Пусть - произвольные множества

: - бинарная операция на множестве множеств.

3) Пусть

: - бинарная операция на множестве действительных чисел.

: - не является бинарной операцией на множестве , так как .

Если - произвольная бинарная операция на множестве и паре ставится в соответствие элемент (то есть ), то вместо записи пишут , то есть имеем . Элемент называется композицией элементов .

Определение. Пусть . Отображение называется - местной операцией на множестве . Число - ранг операции.

Определение. Нульместной операцией на множестве называется выделение (фиксация) какого-нибудь элемента множества . Число называется рангом нульместной операции.

Определение. Одноместные операции называются унарными операциями. Другими словами: унарная операция каждому элементу из множества ставит в соответствие элемент из множества , то есть унарная операция – это отображение множества во множество .

Унарную операцию называют оператором.

Пример.

1) Пусть - множество натуральных чисел

- унарная операция

- не является унарной операцией

2) На множестве высказываний операция : - унарная операция

3) На множестве подмножеств универсального множества операция дополнения – унарная операция.

Определение. Отображение из множества называется частичной - местной операцией на множестве , если область определения отображения не совпадает с .

Виды бинарных операций

Пусть - бинарные операции на множестве .

Операция - коммутативна на множестве .

Операция - ассоциативна на множестве .

Операция - дистрибутивна слева относительно операции .

Операция дистрибутивна справа относительно операции .

Пример.

1) Операция на множестве - коммутативна, ассоциативна.

2) Операция на множестве - коммутативна, ассоциативна.

3) На множестве множеств операции и дистрибутивны относительно друг друга.

4) На множестве функций композиция функций - ассоциативная операция, не является коммутативной операцией.

п.2. Понятие алгебры.

Определение. Алгебра , где , - множество операций на .

Другими словами: если мы говорим об алгебре, то считаем, что задано множество и заданы операции.

Пример.

1) Пусть - множество высказываний

- алгебра логики высказываний.

2) Пусть - множество натуральных чисел

- алгебра натуральных чисел относительно операций и .

Определение. Алгебра называется подалгеброй алгебры , если множество ; - ограничение операции .

Определение. Алгебраическая система - это упорядоченная тройка , где , - множество операций на ; - множество отношений на .

§2. Система натуральных чисел. Принцип математической индукции. Теоремы математической индукции

п.1. Аксиоматическая система натуральных чисел.

Определение. Системой натуральных чисел (системой Пеано) называется алгебра , где - бинарные операции, - унарная операция (функция «следования»), - выделенный элемент в множестве , для которой выполнены следующие аксиомы:

1. Для , (элемент называется следующим за ).

2. Для , , .

3. , .

4. Для , .

5. , .

6. Для , .

7. Аксиома индукции: Пусть . Если множество удовлетворяет условиям:

а) ;

б) для , ;

то .

Система аксиом Пеано обладает тем свойством, что ни одна из аксиом системы не является следствием других аксиом.

Из системы аксиом Пеано можно вывести все известные нам свойства натуральных чисел.

п.2. Теоремы математической индукции.

Теорема 1. (принцип полной математической индукции). Пусть - одноместный предикат на , который удовлетворяет условиям:

1. - истина.

2. (- истина ® - истина).

Тогда предикат тождественно истинен на .

Доказательство. Обозначим через множество всех тех , для которых истина. Проверим, что удовлетворяет условиям аксиомы индукции.

Т.к. - истина, то .

Если , то - истина и по второму условию теоремы индукции - истина. Поэтому .

Множество удовлетворяет условиям аксиомы индукции. Поэтому .

Обозначение. Множество целых чисел состоит из натуральных чисел, нуля и чисел противоположных натуральным.

Для обозначим .

Теорема 2. (обобщение принципа полной математической индукции). Пусть - одноместный предикат на , где , который удовлетворяет условиям:

1. - истина.

2. (- истина ®- истина).

Тогда предикат тождественно истинен на .

Теорема 3. (сильная форма принципа полной математической индукции). Пусть - одноместный предикат на , который удовлетворяет условиям:

1. - истина.

2. (- истины® - истина).

Тогда предикат тождественно истинен на .

Теорема 4. (обобщение сильной формы принципа полной математической индукции). Пусть - одноместный предикат на , где , который удовлетворяет условиям:

1. - истина.

2. (- истины ® - истина).

Тогда предикат тождественно истинен на .

Числа Фибоначчи

Определение. Числа Фибоначчи , для , определяются рекуррентно

(1) , ;

(2) для всех .

Из определения чисел Фибоначчи следует, что

, , , , , , , , , , .

Для вычисления чисел Фибоначчи справедлива следующая формула Бине

(3) , .

Из (1) и (2) следует, что индукционное предположение, при доказательстве формулы Бине, должно предполагать справедливость (3) для и , и значит, начальные условия должны требовать выполнение (3) для и . Поэтому доказательство формулы Бине может проводиться по следующей теореме математической индукции.

Теорема 5. Пусть - одноместный предикат на , который удовлетворяет условиям:

1. - истины.

2. (- истины ® - истина).

Тогда предикат тождественно истинен на .

Проведём доказательство формулы Бине по теореме 5.

Для и равенство (3) принимает вид

, .

Очевидно, что эти равенства верны.

Предположим, что равенство (3) истинно для чисел и . Тогда из (2) следует, что

После простых преобразований правой части получим, что

По индукции формула Бине доказана.

Теорема 6. Пусть - одноместный предикат на , который удовлетворяет условиям:

1. - истина.

2. (- истины ® - истина).

Тогда предикат тождественно истинен на .

п.3. Основное свойство ассоциативных операций.

Теорема. Если бинарная операция на множестве ассоциативна, то при любой расстановке скобок, задающих порядок выполнения операций в произведении значения произведений будут одинаковыми, то есть значение произведения не зависит от способа расстановки скобок.

Доказательство. Проводится индукцией по . Проверим утверждения теоремы для и .

Для - очевидно, так как порядок выполнения операций единственен.

Для произведение может быть вычислено двумя способами: или . В силу ассоциативности - эти произведения равны.

Предположим, что теорема доказана для всех чисел , где .

Докажем теорему для числа . При любой расстановке скобок в произведении , такое произведение есть произведение двух скобок (1), где . Внутри каждой скобки расставлены свои скобки. Так как в каждой скобке множителей, то по индукционному предположению значение произведения в скобках не зависит от того, как в них расставлены скобки. Поэтому произведение (1) можно записать в виде , применяя закон ассоциативности и индукцирования к множителям. Получим, что произведение (1) равно и так далее продолжая, получим , поэтому произведение (1) не зависит от способа расстановки скобок.

5rik.ru

Материалы для учебы и работы

Алгебраические системы

Введение

§1. Алгебра и алгебраические системы

п.1. Бинарные и n-местные операции.

п.2. Понятие алгебры.

§2. Система натуральных чисел. Принцип математической индукции. Теоремы математической индукции

п.1. Аксиоматическая система натуральных чисел.

п.2. Теоремы математической индукции.

п.3. Основное свойство ассоциативных операций.

Алгебраические системы

Введение

§1. Алгебра и алгебраические системы

п.1. Бинарные и n-местные операции.

п.2. Понятие алгебры.

§2. Система натуральных чисел. Принцип математиче­ской индукции. Теоремы математической индукции

п.1. Аксиоматическая система натуральных чисел.

п.2. Теоремы математической индукции.

п.3. Основное свойство ассоциативных операций.

§2. Система натуральных чисел. Принцип математической индукции. Теоремы математической индукции