Определение. Функция называется элементарной по Кальмару, если ее можно получить й из функций s¹, Iⁿ_m, x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и мультиплицирования.

Определим пять классов функций, элементарных по Кальмару.

L₁ ­ Класс функций, получаемый из функций s¹, Iⁿ_m, x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и мультиплицирования.

L₂ ­ Класс функций, получаемый из функций s¹, Iⁿ_m, x-y, 2^x ,S, а также конечного применения операции суммирования.

L₃ ­ Класс функций, получаемый из функций s¹, Iⁿ_m, x-y, x*y, 2^x ,S, а также конечного применения операции ограниченной минимизации.

L₄ ­ Класс функций, получаемый из функций s¹, Iⁿ_m, x-y, x+y 2^x ,S, а также конечного применения операции ограниченной рекурсии.

L₅ ­ Класс функций, получаемый из функций s¹, Iⁿ_m, x-y, x*y, S, а также конечного применения операции мультиплицирования.

Доказательство будем проводить по следующей схеме:

1. L₁ÊL₂ÊL₃ÊL₄ÊL₁

2. L₁ÊL₅

3. L₅ÊL₃

Докажем, что L₁ÊL₂ (для этого выразим 2^x через функции L₁ )

Докажем, что L₂ÊL₃ (для этого выразим x*y и операцию ограниченной минимизации через функции L₂ )

Пусть

 тогда

Докажем, что L₃ÊL₄ (для этого выразим x+y и операцию ограниченной рекурсии через функции L₃ )

Выразим операцию ограниченной рекурсии на основании следующего свойства функции Геделя.

Пусть

 тогда

Отношение, примененное в операция конечной минимизации, является элементарным по Кальмару.

Докажем, что L₄ÊL₁ (для этого выразим операции суммирования и мультиплицирования через функции L₄)

Выразим м3ультиплицирование через ограниченную рекурсию.

Где y(x,y)-к-ступенчатая функция.

Выразим суммирование через ограниченную рекурсию.

Докажем, что L₁ÊL₅ (для этого выразим x*y через функции L₅ )

Докажем, что L₅ÊL₃ (для этого выразим 2^x и операцию ограниченной минимизации выразим через функции L₅ )

Пусть

 тогда

Эквивалентность классов доказана.