Элементарные конформные отображения

ЕЛЕЦ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ.

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Тема: «Элементарные конфортные отображения»

 

Выполнила: студентка группы М-31

физико-математического факультета

Е.Г. Петренко

Научный руководитель:

О.А. Саввина

1998 г.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек  точку (или точки) со значениями в множестве

Задание функции  эквивалентно заданию двух действительных функций  и тогда  , где

1.   - линейная функция. Определена при всех  . Функция сжимает) ее в  раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину

2. 

3.   - показательная функция. По определению

   ;       

Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней.   ,

    4.  натуральный логарифм). По определению:              называется главным значением  - бесконечно-значная функция, обратная к

5.   

6. Тригонометрические функции   По определению,   

                                ;      

7.  Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями действительной переменной, а именно:

                          ,

Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.

Задачи с решением.

1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел:  

Решение. По определению,   

                       

                  

               

Найти суммы:

                   1)     

                   2)     

Решение. Пусть:     

                               

; Преобразуя, получим:

                  

3. Доказать, что:      1)         2)

                                       3)           4)

Доказательство:

  1) По определению,

  2)

  3)  ;

Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1)

Решение:  и, учитывая результаты предыдущего примера, получим:

Напомним, что

2)

 

3)

  ,   ,

            ,  .

Найти действительные и мнимые части следующих значений функций:        ;   ;

Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:

 ;   ;   ;

               ;

Вычислить:      1)           3)   ;               5)

2)      4)  ;       6)  ;

Решение. По определению,

1)                     

                                         

2)                   

                                         

3)                 

4)        

                                         

 5) 

                                           

 6)              

Найти все значения следующих степеней:

    1)         2)  ;       3) ;         4)

Решение. Выражение   для любых комплексных  и

1)

2)

3) 

4)

8. Доказать следующие равенства:

                            1)  

                            2) 

                            3)  

Доказательство:   1)  , откуда 

Решив это уравнение, получим  и

2)  

                 

3)

    

Отсюда