Элементарные конформные отображения
ЕЛЕЦ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ.
КУРСОВАЯ РАБОТА
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Тема: «Элементарные конфортные отображения»
Выполнила: студентка группы М-31
физико-математического факультета
Е.Г. Петренко
Научный руководитель:
О.А. Саввина
1998 г.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек точку (или точки) со значениями в множестве
Задание функции эквивалентно заданию двух действительных функций и тогда , где
1. - линейная функция. Определена при всех . Функция сжимает) ее в раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину
2.
3. - показательная функция. По определению
;
Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней. ,
4. натуральный логарифм). По определению: называется главным значением - бесконечно-значная функция, обратная к
5.
6. Тригонометрические функции По определению,
;
7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями действительной переменной, а именно:
,
Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.
Задачи с решением.
1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел:
Решение. По определению,
Найти суммы:
1)
2)
Решение. Пусть:
; Преобразуя, получим:
3. Доказать, что: 1) 2)
3) 4)
Доказательство:
1) По определению,
2)
3) ;
Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1)
Решение: и, учитывая результаты предыдущего примера, получим:
Напомним, что
2)
3)
, ,
, .
Найти действительные и мнимые части следующих значений функций: ; ;
Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:
; ; ;
;
Вычислить: 1) 3) ; 5)
2) 4) ; 6) ;
Решение. По определению,
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Найти все значения следующих степеней:
1) 2) ; 3) ; 4)
Решение. Выражение для любых комплексных и
1)
2)
3)
4)
8. Доказать следующие равенства:
1)
2)
3)
Доказательство: 1) , откуда
Решив это уравнение, получим и
2)
3)
Отсюда