Финансовая математика (19 задач с решениями)
Министерство образования и науки Российской Федерации
Сибирский институт финансов и банковского дела
Кафедра: NNN
Контрольная работа
по дисциплине: Финансовая математика
Вариант: 2
Выполнил: Руководитель:
Студент группы NNN-NNN ст. преп.
Nnnnnnnn N.N. Волынская О.А
Новосибирск
2004
Задача 1
Определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размере 10 000 руб. достигнет через 180 дней суммы 19 000 руб.
Дано: Решение:
PV = 10 000 руб. Вывод формулы для простой ставки процентов:
FV = 19 000 руб.
t = 180 дней
T = 360 дней
_________________
i - ?
Ответ: простая ставка процентов равна 180%.
Задача 2
Кредит в размере 15 000 руб. выдан с 26.03 по 18.10 под простые 24% годовых. Определить размеры долга для различных вариантов начисления процентов.
Дано: Решение:
PV = 15 000 руб. Размер долга:
i = 24% = 0,24
__________________ 1) «английская практика»: Т=365 или 366 дней.
FV – ? (дней)
I – ? (руб.)
2) «французская практика»: T=360 дней.
(дней)
(руб.)
3) «германская практика»: T=360 дней.
(дня)
(руб.)
Ответ: размер долга составляет:
- согласно «английской практике»: 17 031,781 руб.;
- согласно «французской практике»: 17 060 руб.;
- согласно «английской практике»: 17 020 руб.
Задача 3
Банк объявил следующие условия выдачи ссуды на год: за I квартал ссудный процент 24%, а в каждом последующем квартале процентная ставка по ссуде увеличивается на 3%. Определить сумму к возврату в банк, если ссуда выдана на год и составляет 15 000 руб.(простые проценты)
Дано: Решение:
Сумма начисленных процентов:
T = 1 год = 360 дней
PV = 15 000 руб. Сумма к возврату:
= 30×3 = 90 дней
__________________
FV - ? = 19 275 (руб.)
Ответ: сумма к возврату в банк составит 19 275 руб.
Задача 4
Договор вклада заключён сроком на 2 года и предусматривает начисление и капитализацию процентов по полугодиям. Сумма вклада 15 000 руб., годовая ставка 16%. Рассчитать сумму на счёте клиента к концу срока.
Дано: Решение:
PV = 15 000 руб. Сумма на счёте клиента к концу срока:
n = 2 года
j = 16% = 0,16
m = 2 = 20 407,334 (руб.)
________________
FV - ?
Ответ: сумма на счёте клиента к концу срока составит 20 407,334 руб.
Задача 5
Владелец векселя номинальной стоимости 19 000 руб. и сроком обращения 1 год предъявил его банку-эмитенту для учёта за 60 дней до платежа. Банк учёл его по ставке 60% годовых. Определить дисконтированную величину, то есть сумму, полученную владельцем векселя, и величину дисконта.
Дано: Решение:
FV = 19 000 руб. Величина дисконта:
T = 1 год = 360 дней
t = 60 дней (руб.)
n = 1 год Сумма, полученная владельцем векселя:
d = 60% = 0,6 PV = FV – D ;
________________ PV = 19 000 – 1 900 = 17 100 (руб.)
D - ? PV - ?
Ответ: - величина дисконта равна 1 900 руб.;
- сумма, полученная владельцем векселя, равна 17 100 руб.
Задача 6
Определить значение годовой учётной ставки банка, эквивалентной ставке простых процентов 24% годовых (n = 1 год).
Дано: Решение:
i = 24% = 0,24 Эквивалентная годовая учётная ставка:
n = 1 год ;
______________
- ?
Ответ: эквивалентная годовая учётная ставка равна 19,4%.
Задача 7
На вклады ежеквартально начисляются проценты по номинальной годовой ставке 16%. Определить сумму вклада для накопления через 1,5 года суммы 19 000 руб.
Дано: Решение:
FV = 19 000 руб. Сумма вклада:
j = 16% = 0,16
m = 4
n = 1,5 года = = 15 015,976 (руб.)
_________________
PV - ?
Ответ: сумма вклада равна 15 015,976 руб.
Задача 8
Банк предлагает долгосрочные кредиты под 24% годовых с ежеквартальным начислением процентов, 26% годовых с полугодовым начислением процентов и 20% годовых с ежемесячным начислением процентов. Определить наиболее выгодный для банка вариант кредитования.
Дано: Решение:
n = 1 год Эффективная процентная ставка:
1) m = 4
j =24% = 0,24 при n=1 год: ;
2) m = 2
j =26% = 0,26
3) m = 12
j = 20% = 0,2
_________________
- ? - ? - ?
Ответ: выдача кредитов под 26% годовых с полугодовым начислением процентов банку выгоднее, т.к. эффективная годовая процентная ставка в этом случае больше (сумма кредита возрастает на 27,7% за год).
Задача 9
Банк выдаёт кредит под 24% годовых. Полугодовой уровень инфляции составил 3%. Определить реальную годовую ставку процентов с учётом инфляции.
Дано: Решение:
n = 1 год Индекс цен:
i = 24% = 0,24
N = 2 Реальная годовая процентная ставка:
______________
- ?
Ответ: реальная годовая ставка процентов равна 16,9%.
Задача 10
Какую ставку процентов по вкладам нужно назначить, чтобы реальная доходность вклада с учётом инфляции 3% была 10% годовых?
Дано: Решение:
= 3% = 0,03 Вывод формулы для процентной ставки:
n = 1
________________
i - ?
Ответ: нужно назначить ставку процентов по вкладам, равную 13,3%.
Задача 11
Рассчитать уровень инфляции за год при ежемесячном уровне инфляции 3%.
Дано: Решение:
Индекс цен:
N = 12 месяцев
________________
- ? Уровень инфляции:
- ?
Ответ: уровень инфляции за год равен 42,6%.
Задача 12
Вклад 15 000 руб. положен в банк на полгода с ежемесячным начислением сложных процентов по номинальной ставке 72% годовых. Определить реальный доход вкладчика, если ожидаемый ежемесячный уровень инфляции составит 3%.
Дано: Решение:
PV = 15 000 руб. Реальная покупательная способность вклада через
j = 72% = 0,72 определённое время:
m = 12 месяцев
n = 6/12 года
p = 3% = 0,03 (руб.)
N = 6 месяцев Реальный доход вкладчика:
___________________
- ? (руб.)
Ответ: реальный доход вкладчика равен 2 819,811 руб.
Задача 13
Договор аренды имущества заключён на 5 лет. Аренда уплачивается суммами S1=19 000 руб., S2=20 000 руб., S3=21 000 руб. в конце 1-го, 3-го и 5-го годов. По новому графику платежей вносится две суммы: S4=22 000 руб. в конце 2-го года и S5 в конце 4-го года. Ставка банковского процента 5%. Определить S5.
Дано:
суммы платежей,
S1=19 000 S4 =22 000 S2=20 000 S5 - ? S3=21 000 руб.
|__________|__________|__________|__________|__________|
0 1 2 3 4 5 сроки платежей,
годы
наращение дисконти-
рование
Рис. 1. Исходный и новый графики платежей
На рис.1 отмечены: полужирным шрифтом – исходный график платежей, курсивом – новый график платежей. Моментом приведения выбран год, совпадающий с годом платежа суммы
Решение:
Уравнение эквивалентности: графики платежей будут эквивалентны, если сумма приведённых на какую-либо дату (на момент приведения) платежей одного графика будет равна сумме платежей другого графика, приведённых на ту же дату при неизменной ставке процентов:
Коэффициент приведения (наращения или дисконтирования):
где: n – число лет до момента приведения:
n = n0 – ni ,
где: ni - срок i-го платежа.
при - коэффициент наращения;
при - коэффициент дисконтирования;
при
(руб.)
Ответ: сумма второго платежа по новому графику платежей равна 38 739,875 руб.
Задача 14
Определить размер ежегодных платежей по сложной ставке 5% годовых для создания через 6 лет фонда в размере 19 000 000 руб.
Дано: Решение:
i = 5% = 0,05 Размер ежегодных платежей:
n = 6 лет
FVA = 19 000 000 руб. (руб.)
_____________________
R - ?
Ответ: размер ежегодных платежей равен 2 793 331,894 руб.
Задача 15
Рассчитать величину фонда, который может быть сформирован за 2 года путём внесения в конце каждого года сумм 19 000 руб. Проценты на вклад начисляются по ставке 5%.
Дано: Решение:
R = 19 000 руб. Величина будущего фонда:
n = 2 года
i = 5% = 0,05 (руб.)
____________________
FVA - ?
Ответ: величина будущего фонда равна 38 950 руб.
Задача 16
Ежемесячная арендная плата за квартиру составляет 1 800 руб. Срок платежа – начало месяца. Рассчитать величину равноценного платежа, взимаемого за год вперёд. Ставка банковского депозита 48% годовых.
Дано: Решение:
R = 1 800 руб. Авансовая приведённая сумма аренды:
j = 48% = 0,48
m = 12
n = 1 год
________________ (руб.)
- ?
Ответ: равноценный платёж, взимаемый за год вперёд, равен 17 568,858 руб.
Задача 17
Двухлетняя облигация номиналом 1 000 руб. имеет 4 полугодовых купона доходностью 20% годовых каждый. Рассчитать цену её первоначального размещения, приняв ставку сравнения 16%.
Дано: Решение:
n = 2 года Цена первоначального размещения облигации:
N = 1 000 руб.
m = 2
j = 16% = 0,16
q = 20%
______________
P - ?
Ответ: цена первоначального размещения облигации равна 1 066,243 руб.
Задача 18
Бескупонная облигация куплена на аукционе по курсу 40 и продана по курсу 58 через 90 дней. Рассчитать доходность вложения по схеме сложных и простых процентов.
Дано: Решение:
1) доходность по схеме простых процентов:
дней
Т = 360 дней 2) доходность по схеме сложных процентов:
________________
Y - ? - ?
Ответ: - доходность по схеме простых процентов равна 180%;
- доходность по схеме сложных процентов равна 342,1%.
Задача 19
Представить план амортизации 5-летнего займа в 1 500 000 руб., погашаемого:
1)
2)
Процентная ставка по займу 5%.
Дано:
i = 5% = 0,05
n = 5 лет
PVA = 1 500 000 руб.
1) амортизация займа, погашаемого равными суммами
Сумма погашения основного долга:
(руб.)
Сумма срочной уплаты:
Остаток долга на начало периода:
Таблица 1
План амортизации займа, погашаемого равными суммами
|
№ года к |
Остаток долга на начало периода , руб. |
Сумма погашения основного долга |
Сумма процентов |
Сумма срочной уплаты |
|
1 |
1 500 000 |
300 000 |
75 000 |
375 000 |
|
2 |
1 200 000 |
300 000 |
60 000 |
360 000 |
|
3 |
900 000 |
300 000 |
45 000 |
345 000 |
|
4 |
600 000 |
300 000 |
30 000 |
330 000 |
|
5 |
300 000 |
300 000 |
15 000 |
315 000 |
|
Итого: |
Х |
1 500 000 |
225 000 |
1 725 000 |
2) амортизация займа, погашаемого равными срочными уплатами
Срочный платёж:
(руб.);
Сумма процентов:
Погасительный платёж:
Остаток долга на начало периода:
Таблица 2
План амортизации займа, погашаемого равными срочными уплатами
|
№ года к |
Остаток долга на начало периода , руб. |
Остаток долга на конец периода, , руб. |
Срочный платёж R, руб. |
Сумма процентов , руб. |
Погаситель-ный платёж , руб. |
|
1 |
1 500 000,00 |
1 228 537,80 |
346 462,20 |
75 000,00 |
271 462,20 |
|
2 |
1 228 537,80 |
943 502,49 |
346 462,20 |
61 426,89 |
285 035,31 |
|
3 |
943 502,49 |
644 215,42 |
346 462,20 |
47 175,13 |
299 287,07 |
|
4 |
644 215,42 |
329 963,99 |
346 462,20 |
32 210,77 |
314 251,43 |
|
5 |
329 963,99 |
-0,01 |
346 462,20 |
16 498,20 |
329 964,00 |
|
Итого: |
Х |
Х |
1 732 311,00 |
232 310,99 |
1 500 000,01 |