О квази генетическом коде
Творческая группа юных математиков – программистов, руководимая Братом Михаилом Шишигиным.
(Церковь Христа Спасителя)
О КВАЗИ ГЕНЕТИЧЕСКОМ КОДЕ
Аннотация
Приводится класс полимино, моделирующий фундаментальное свойство генетического кода, а именно то, что 20 различных аминокислот, входящих в структуру белков, образованы из 4 различны нуклеотидов. Этот класс полимино назван квазигенетическим кодом.
Вводятся унарные операции < - , -1, * > над матрицами 4*2
|
a1 |
a2 |
||
|
|
b2 |
||
|
c1 |
c2 |
||
|
d1 |
d2 |
состоящими из элементов 0, 1, 2, 3, а именно:
|
a2 |
a1 |
4 - a2 |
4 - a1 |
2 - d1 |
2 - d2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
b2 |
b1 |
|
4 - b2 |
4 - b1 |
|
|
2 - c1 |
|
|||||||||||||||||||
|
c2 |
c1 |
= |
4 - c2 |
4 - c1 |
, |
2 - b1 |
2 - b2 |
|||||||||||||||||||||
|
d2 |
d1 |
4 - d2 |
4 - d1 |
2 - a1 |
2 - a2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
d1 |
d2 |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
c1 |
c2 |
, |
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
b1 |
b2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
a1 |
a2 |
|||||||||||||||||||||||||
W* = (W)-1, a + b = (a + b)(mod 4), a - b = (a - b)(mod 4),
a, b Î { 0, 1, 2, 3}.
W = W, (W-1) = (W)-1.
Используя введенные операции над матрицами 4*2, элементы квазигенетического кода можно записать так:
a, b, g, d, l, t, a, b, g, d, a-1, b-1, g-1, d-1, l-1, t-1, a*, b*, g*, d*, где
|
|
3 |
1 |
|
3 |
2 |
|
3 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
1 |
2 |
0 |
1 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
3 |
1 |
3 |
0 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
1 |
|
3 |
1 |
|
3 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
1 |
3 |
1 |
1 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
3 |
1 |
3 |
3 |
1 |
О КВАЗИГЕНЕТИЧЕСКОМ КОДЕ
Данная работа посвящена геометрическим структурам, моделирующим фундаментальное свойство генетического кода, а именно то, что 20 различных аминокислот, входящих в структуру белков, образованы из 4 различных нуклеотидов.
Положим, что прямоугольник размером 4*2 должен быть покрыт прямоугольниками размером 2*1 (домино). Причём, нечётное число домино должно выходить за пределы как стороны AB, так и стороны CD (рис. 1).
B |
C |
||||||||||||||||||
A |
D |
||||||||||||||||||
|
Рис. 1 |
Покрытие, в котором домино, выходящие за пределы сторон AB и CD, однозначно определяют структуру покрытия прямоугольника ABCD, назовём жестким покрытием. Например, покрытие a) (рис. 2.) является жестким, а покрытия b) и c) (рис. 2.) такими не являются.
B |
C |
B |
C |
B |
C |
||||||||||||||||
A |
D |
A |
D |
A |
D |
||||||||||||||||
|
a) |
b) |
c) |
|
Прямоугольник размером 4*2n разобьём вертикалями на n прямоугольников шириной в длину домино, которые пронумеруем слева направо и назовём шагами. Множество жестких покрытий прямоугольника размером 4*2 назовём квазигенетическим кодом. Покрытие прямоугольника размером 4*2n , при котором покрытие каждого шага представляет собой жесткое покрытие, назовём квазигенетическим покрытием.
Будем считать, что клетка прямоугольника ABCD находится в состоянии 0, 1, 2, 3, если она покрыта домино, ориентированным соответственно вверх, вправо, вниз, влево.
|
0 |
|||||||||||||||||||
|
3 |
1 |
||||||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
Рис. 3 |
Матрицу размером 4*2 , соответствующую жесткому покрытию прямоугольника ABCD будем называть квазинуклеотидной матрицей, либо квазинуклеотидом. Матрицу размером 4*2n , соответствующую квазигенетическому покрытию прямоугольника размером 4*2n , будем называть белковой матрицей.
Методом последовательного исключения (перебором) можно показать, что существуют 20 различных, жестких покрытий прямоугольника ABCD. в Таблице 1 приведены все 20 жестких покрытий прямоугольника 4*2 и соответствующие им квазинуклеотидные матрицы.
Таблице 1
|
3 |
1 |
3 |
2 |
3 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a= |
2 |
1 |
b= |
2 |
0 |
g = |
1 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
3 |
1 |
3 |
0 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
1 |
2 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
2 |
d = |
0 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
0 |
3 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
3 |
1 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
3 |
|
1 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
2 |
3 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
0 |
2 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
1 |
0 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
3 |
|
1 |
3 |
|
2 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
1 |
2 |
1 |
0 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
1 |
0 |
2 |
1 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
1 |
3 |
0 |
3 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
1 |
3 |
2 |
3 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
2 |
|
3 |
0 |
l = |
3 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
0 |
3 |
1 |
3 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
3 |
|
3 |
1 |
|
3 |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
0 |
3 |
1 |
3 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
2 |
|
3 |
1 |
3 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
0 |
3 |
2 |
3 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
1 |
3 |
0 |
3 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть записи a + b , a - b обозначают (a + b)(mod 4), (a - b)(mod 4), где
a, b Î { 0, 1, 2, 3}.
Введём унарные операции < - , -1, * > над матрицей 4*2
|
a1 |
a2 |
||
|
|
b2 |
||
|
c1 |
c2 |
||
|
d1 |
d2 |
,
состоящей из элементов 0, 1, 2, 3.
Положим
|
a2 |
a1 |
4 - a2 |
4 - a1 |
2 - d1 |
2 - d2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
b2 |
b1 |
|
4 - b2 |
4 - b1 |
|
|
2 - c1 |
|
|||||||||||||||||||
|
c2 |
c1 |
= |
4 - c2 |
4 - c1 |
, |
2 - b1 |
2 - b2 |
|||||||||||||||||||||
|
d2 |
d1 |
4 - d2 |
4 - d1 |
2 - a1 |
2 - a2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
d1 |
d2 |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
c1 |
c2 |
, |
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
b1 |
b2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
a1 |
a2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
2 + d2 |
d1 |
|
2 + c2 |
2 + c1 . |
|
2 + b2 |
2 + b1 |
|
2 + a2 |
2 + a1 |
Положим
|
Нетрудно показать, что W = W, (W-1) = (W)-1, (W-1)-1 = W.
Используя введенные операции над матрицами 4*2, квазинуклеотидные матрицы можно записать так (см. Таблицу 1) :
a, b, g, d, l, t, a, b, g, d, a-1, b-1, g-1, d-1, l-1, t-1, a*, b*, g*, d*.
Введём понятие генетической информации белковой матрицы. Последовательность из количества единичных элементов в правых столбцах квазинуклеотидных подматриц белковой матрицы будем называть генетической информацией. Например, на рис. 4 показано квазигенетическое покрытие прямоугольника размером 4´22 , которому соответствует белковая матрица с генетической информацией 1 3 3 1 3 3 1 3 3 1 3.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|||||||||||||||
|
1 |
3 |
3 |
1 |
3 |
3 |
1 |
3 |
3 |
1 |
3 |
|||||||||||||||
|
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
2 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
||||
|
0 |
2 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
0 |
0 |
1 |
3 |
1 |
3 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
2 |
1 |
||||
|
3 |
0 |
0 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
0 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
2 |
0 |
1 |
||||
|
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
0 |
1 |
3 |
1 |
3 |
0 |
2 |
3 |
||||
|
b |
a |
l |
d |
d |
l |
a |
g |
t-1 |
g |
a |
|||||||||||||||
|
Рис. 4 |
Используя «жёсткость» упаковки квазигенетического покрытия, можно показать, что квазигенетический код обладает высокой помехоустойчивостью.
Предложение 1. По двум любым строкам квазигенетического покрытия прямоугольника, размером 4´2n (n>1) , можно полностью восстановить покрытие, а, следовательно, и генетическую информацию.
Предложение 2. Зная жёсткие покрытия на нечётных шагах квазигенетического покрытия прямоугольника размером, 4´2(2k+1), можно полностью восстановить покрытие, а, следовательно, и генетическую информацию.
Дальнейшие исследования должны показать плодотворность идеи квазигенетического кода.
Приложение.
|
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
2 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
||||
|
0 |
2 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
0 |
0 |
1 |
3 |
1 |
3 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
2 |
1 |
||||
|
3 |
0 |
0 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
0 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
2 |
0 |
1 |
||||
|
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
0 |
1 |
3 |
1 |
3 |
0 |
2 |
3 |
||||
|
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
2 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
||||
|
0 |
2 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
0 |
0 |
1 |
3 |
1 |
3 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
2 |
1 |
||||
|
3 |
0 |
0 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
0 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
2 |
0 |
1 |
||||
|
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
0 |
1 |
3 |
1 |
3 |
0 |
2 |
3 |
||||
|
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
2 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
||||
|
0 |
2 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
0 |
0 |
1 |
3 |
1 |
3 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
2 |
1 |
||||
|
3 |
0 |
0 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
0 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
2 |
0 |
1 |
||||
|
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
0 |
1 |
3 |
1 |
3 |
0 |
2 |
3 |
||||
|
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
2 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
||||
|
0 |
2 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
0 |
0 |
1 |
3 |
1 |
3 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
2 |
1 |
||||
|
3 |
0 |
0 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
0 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
2 |
0 |
1 |
||||
|
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
0 |
1 |
3 |
1 |
3 |
0 |
2 |
3 |