Гамма функции
1. Бэта-функции 6
Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:
(1.1)
сходятся при
=
т.e. аргумент и входят в симетрично. Принимая во внимание тождество
по формуле интегрирования почестям имеем
Откуда
(1.2)
7
При целом b = n последовательно применяя(1.2)
Получим
(1.3)
при целых = m,= n,имеем
но B(1,1) = 1,следовательно:
Положим в (1.1) .Так как график функции
8
и в результате подстановки
полагая в(1.1) ,откуда
(1.4)
разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до и применение ко второму интегралу подстановки
2. Гамма-функция 9
Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода
G(a) = (2.1)
сходящийся при 0.Положим ty,t > 0 ,имеем
G(a) =
и после замены и t через 1+t ,получим
Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до, имеем:
или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования ,получаем:
10
откуда
(2.2)
заменяя в (2,1) ,на и интегрируем по частям
получаем рекурентною формулу
(2.3)
так как
но при целом имеем
(2.4)
то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При n=1 в (2.4) имеем
3. Производная гамма функции 11
Интеграл
сходится при каждом при
В области и можна применить признак Веерштраса. Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом где произвольно.Действительно для всех указаных значений ходится равномерно.
Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при функция непрерывна при и
12
сходится равномерно на каждом сегменте , . Выберем число так , чтобы при такое , что и на справедливо неравенство
и так как интеграл сходится, то интеграл сходится равномерно относительно на существует такое число выполняется неравенство и всех получим в силу признака сравнения следует , что интеграл сходится равномерно относительно на
в котором подынтегральная функция непрерывна в области
интеграл
13
сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функция бесконечно дифференцируема при любом и справедливо равенство
Относительно интеграла
По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема при
Изучим теперь поведение
Из выражения для второй производной для всех возрастает. Поскольку [1,2]производная при и при Монотонно убывает на из формулы при
14
Равенство
Положим для из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция принимает на (-1,0) отрицательные значения и при функция
Определив таким образом той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что и
Отметим еще раз, что интеграл
определяет Г-функцию только при положительных значениях
15
(рис.1)
4. Вычисление некоторых интегралов. 16
Формула Стирлинга
Применим гамма функцию к вычислению интеграла:
где m > -1,n > -1.Полагая , что
и на основании (2.2) имеем
(3.1)
В интеграле
Где k > -1,n > 0,достаточно положить
17
Интеграл
Где s > 0,разложить в ряд
=
где
Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)
связанные неравенством
Разлагая, в ряд имеем
18
Переходя к выводу формулы Стирлинга , дающей в частности приближенное значение n! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию
(3.2)
Непрерывна на интервале (-1, до при изменении от до и обращаются в 0 при u = 0.Так как
то u > 0 и при u < 0 , далее имеем
И так производная непрерывна и положительна во всем интервале
19
Из предыдущего следует, что существует обратная функция, определенная на интервале непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале,
Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие
(3.3)
Формулу Стирлинга выведем из равенства
полагая
Положим далее u = -1при при .Замечая что(см.3.2)
20
имеем
,
полагая на конец ,
или
в пределе при
откуда вытекает формула Стирлинга
которую можно взять в виде
21
(3.4)
где ,при
для достаточно больших полагают
(3.5)
вычисление же производится при помощи логарифмов
если целое положительное число, то и (3.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n
приведем без вывода более точную формулу
где в скобках стоит не сходящийся ряд.
5. Примеры вычисления интегралов 22
Для вычисления необходимы формулы:
Г(
Вычислить интегралы
23
Міністерство освіти і науки України
Запорізький державний університет
ДО ЗАХИСТУ ДОПУЩЕНИЙ
Зав. каф. Математичного аналізу
д. т. н. проф. ____ С.Ф. Шишканова
_________________________ 2002р.
ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА ДО КУРСОВОГО ПРОЕКТУ
ГАМА ФУНКЦІЇ
Розробив
Ст..гр.. 8221-2
Садигов Р.А.
Керівник
Ст. викладач
Кудря В.І.
Запоріжжя 2002.
Содержание
Задание на курсовую работу........................... ...................................2
Реферат............................................................. ...................................4
введение............................................................ ...................................5
1. Бета функции……………………………………………..............6
2. Гамма функции....................................... ...................................9
3. Производная гамма функции ............... ..................................11
4. Вычисление интегралов формула Стирлинга............................16
5. Примеры вычеслений............................. ..................................22
вывод................................................................ ..................................24
Список литературы……………………………………………..............25
Реферат
Курсовая работа: 24 ст., 5 источников, 1 рис.
Обьект иследований: гамма и ее приложения.
В работе идет речь о представлении бета и гамма функций с помощью интегралов Эйлера соответствено первого и второго рода. И о их применении для вычисления интегралов.
Ключевые слова:
ГАММА И БЕТА ФУНКЦИЯ, ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА, ПРОИЗВОДНАЯ, ПРЕДЕЛ.
Введение
Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.
Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.
Бета функции представимы интегралом Эйлера первого рода:
гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:
Вывод
Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.
Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.
Список литературы
1. Специальные функции и их приложения:
Лебедев И.И.,М.,Гостехтериоиздат,1953
2. Математический анализ часть 2:
Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,”Московский университет”,1987
3. Сборник задач по математическому анализу:
Демидович Б.П.,М.,Наука,1966
4. Интегралы и ряды специальные функции:
Прудников А.П., Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983
5. Специальные функции:
Кузнецов , М.,”Высшая школа”,1965