Градиентные методы
Доклад по математическому моделированию
На тему “Градиентные методы”
Студента группы ЭФП-21
Мельникова Олега
Курск 2004 год
1. Общие сведения.
Наиболее распространенные и эффективные методы приближенного решения задачи безусловной оптимизации
|
f(x) ® min, |
(1) |
где f: Rm ® R, укладываются в следующую схему. Начиная с некоторого x0 Î Rm, строится последовательность {xn} Ì Rm такая, что
|
f(xn+1) < f(xn) |
(2) |
при всех n Î N. Такие последовательности иногда называют релаксационными, а методы построения релаксационных последовательностей — итерационными методами или методами спуска. Последовательность, удовлетворяющую (2), строят в надежде, что уменьшая на каждом шаге (переходе от xn к xn+1) значение функции, мы приближаемся к минимуму (по крайней мере, локальному).
Будем говорить, что метод, начиная с данного x0 Î Rm,
а) условно сходится, если последовательность {xn} релаксационна и
|
f ¢(xn) ® Q при n ® ¥; |
б) сходится, если
|
xn ® x* = argmin f(x) при n ® ¥; |
в) линейно сходится (или сходится со скоростью геометрической прогрессии, или имеет первый порядок сходимости), если при некоторых C > 0 и q Î [0, 1)
|
||xn - x*|| £ Cqn; |
(3) |
г) сверхлинейно сходится, если для любого q Î (0, 1) и некоторого (зависящего от q) C выполнено неравенство (3);
д) квадратично сходится (или имеет второй порядок сходимости), если при некоторых C > 0 и q Î [0, 1) и всех n Î N
|
||xn - x*|| £ Cq2n. |
Выше уже отмечалось, что если x не является точкой локального минимума функции f, то двигаясь из x в направлении, противоположном градиенту (еще говорят, в направлении антиградиента), мы можем локально уменьшить значение функции. Этот факт позволяет надеяться, что последовательность {xn}, рекуррентно определяемая формулой
|
xn+1 = xn - af ¢(xn), |
(4) |
где a - некоторое положительное число, будет релаксационной.
К этой же формуле приводит и следующее рассуждение. Пусть у нас есть некоторое приближение xn. Заменим в шаре B(xn, e) с центром в точке xn функцию f ее линейным (вернее, афинным) приближением:
|
f(x) » j(x) = f(xn) + (f ¢(xn), x - xn) |
(функция j аппроксимирует f в окрестности точки xn с точностью o(x - xn). Разумеется, (линейная) безусловная задача j(x) ® min неразрешима, если f ¢(xn) ¹ Q. В окрестности же B(xn, e) функция j имеет точку минимума. Эту точку естественно взять за следующее приближение xn+1.
2. Градиентный метод с постоянным шагом.
В общем случае число a в формуле (4) может на каждом шаге (т. е. для каждого n) выбираться заново:
|
xn+1 = xn - anf ¢(xn). |
(5) |
Именно методы, задаваемые формулой (5), называются градентными. Если an = a при всех n, то получающийся метод называется градиентным методом с постоянным шагом (с шагом a.)
Поясним геометрическую суть градиентного метода. Для этого выберем способ изображения функции с помощью линий уровня. Линией уровня функции f (изолинией) называется любое множество вида {x Î Rm: f(x) = c}. Каждому значению c отвечает своя линия уровня (см. рис. 1).
Рис. 1.
Геометрическая интерпретация градиентного метода с постоянным шагом изображена на рис. 2. На каждом шаге сдвигаемся по вектору антиградиента, "уменьшенному в a раз".
Рис. 2.
Изучим сходимость градиентного метода с постоянным шагом на примере функции
|
f(x) = |x|p, |
где p > 1 (случай p £ 1 не рассматриваем, поскольку тогда функция f не будет гладкой, а мы такой случай не исследуем). Очевидно, задача (1) с такой функцией f имеет единственное решение x* = 0. Для этой функции приближения xn градиентного метода имеют вид:
|
xn+1 = xn - ap|xn|p-1sign xn. |
(6) |
Пределом этой последовательности может быть только 0. Действительно, если x** = limn®¥ xn ¹ 0, то, переходя к пределу в (6) при n ® ¥, получаем противоречащее предположению x** ¹ 0 равенство
|
x** = x** - ap|x**|p-1sign x**, |
откуда x** = 0. Очевидно также, что если x0 = 0, то и xn = 0 при всех n.
Покажем, что если p < 2, то при любом шаге a > 0 и любом начальном приближении x0 (за исключением не более чем счетного числа точек) приближения (6) не являются сходящимися. Для этого заметим, что если 0 < |xn| < (2/ap)1/2(2-p), то
|
|xn+1| > |xn|. |
(7) |
Поэтому, если xn не обращается в нуль, то она не может сходиться к нулю и, следовательно, не может сходиться вообще.
Таким образом, осталось доказать (7). В силу (6)
|
|xn+1| = |xn - ap|xn|p-1 ·sign xn| = |xn|·| 1 -ap|xn|p-2·sign xn|. |
Остается заметить, что если 0 < |xn| < (2/ap)1/(2-p), то |1 - ap|xn|p-2·sign xn| > 1, что и требовалось доказать.
Если p = 2, т. е. f(x) = x2, то (6) имеет вид
|
|xn+1| = |xn|·|1 - 2a|. |
Поэтому, если a Î (0, 1), то |1 - 2a| < 1, а следовательно,
|
|xn+1| = |1 - 2a|n+1·|x0| ® 0 при n ® ¥. |
Если же a ³ 1, то
|
|xn+1| ³ |xn|, |
и последовательность {xn}, начинающаяся из ненулевой начальной точки, расходится.
Таким образом, есть функции, для которых градиентный метод не сходится даже при сколь угодно малом шаге a и есть функции, для которых он сходится только при достаточно малых шагах. В следующих пунктах рассмотрим ряд теорем о сходимости градиентного метода.
3. Теорема об условной сходимости градиентного метода с постоянным шагом.
Пусть в задаче (1) функция f ограничена снизу, непрерывно дифференцируема и, более того, f ¢ удовлетворяет условию Липшица:
|
||f ¢(x) - f ¢(y)|| £ L ||x - y|| при всех x, y Î Rm. |
Тогда при a Î (0, 2/L) градиентный метод с постоянным шагом условно сходится.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим zn = -af ¢(xn) и обозначим f(xn + tzn) через j(t).
Тогда
|
j¢(t) = (f ¢(xn + tzn), zn) |
и поэтому по формуле Ньютона — Лейбница для функции j
|
f(xn+1) - f(xn) = f(xn + zn) - f(xn) = j(1) - j(0) = |
|
|
Добавив и отняв (f ¢(xn), zn) = ò01(f ¢(xn), zn) ds и воспользовавшись неравенством (x, y) £ ||x|| · ||y||, получим |
|
|
Учитывая условие Липшица для f ¢, эту цепочку можно продолжить:
|
(8) |
Поскольку 1 - La/2 > 0, последовательность {f(xn)} не возрастает и, следовательно, релаксационность {xn} доказана. А так как в силу условий теоремы f еще и ограничена снизу, последовательность {f(xn)} сходится. Поэтому, в частности, f(xn+1) - f(xn) ® 0 при n ® ¥. Отсюда и из (8) получаем
|
Подчеркнем, что теорема не гарантирует сходимости метода, но лишь его условную сходимость, причем, локальную.