Градиентный метод с дроблением шага и метод наискорейшего спуска

Семинарская работа

Градиентный метод с дроблением шага и метод наискорейшего спуска

 

Выполнил

Студент группы МОС-22

Кравченко Александр

Градиентный метод с дроблением шага.

В этом варианте градиентного метода величина шага αn на каждой итерации выбирается из условия выполнения неравенства

f(xn+1) = f(xn - anf ¢(xn)) £ f(xn) - ean||f ¢(xn)||2,

где e Î (0, 1) — некоторая заранее выбранная константа. Условие  гарантирует (если, конечно, такие an удастся найти), что получающаяся последовательность будет релаксационной. Процедуру нахождения такого an обычно оформляют так.

Выбирается число d Î (0, 1) и некоторый начальный шаг a0. Теперь для каждого n полагают an = a0 и делают шаг градиентного метода. Если с таким an условие  выполняется, то переходят к следующему n. Если же условие не выполняется, то умножают an на d ("дробят шаг") и повторяют эту процедуру до тех пор пока равенство

f ¢(xn) = 

ò

1 0

f ¢¢[x* + s(xn - x*)](xn - x*) ds 

 не будет выполняться. В условиях теоремы об условной сходимости градиентного метода с постоянным шагом эта процедура для каждого n за конечное число шагов приводит к нужному an.

Можно показать, что в условиях теоремы (о линейной сходимости градиентного метода с постоянным щагом) градиентный метод с дроблением шага линейно сходится. Описанный алгоритм избавляет нас от проблемы выбора a на каждом шаге, заменяя ее на проблему выбора параметров e, d и a0, к которым градиентный метод менее чувствителен. При этом, разумеется, объем вычислений возрастает (в связи с необходимостью процедуры дробления шага), впрочем, не очень сильно, поскольку в большинстве задач основные вычислительные затраты ложатся на вычисление градиента.

 Метод наискорейшего спуска.

Этот вариант градиентного метода основывается на выборе шага из следующего соображения. Из точки xn будем двигаться в направлении антиградиента до тех пор пока не достигнем минимума функции f на этом направлении, т. е. на луче L = {x Î Rm: x = xn - af ¢(xn); a ³ 0}:

an = argminaÎ[0, ¥)f(xn - af ¢(xn)).

Рис. 1

Другими словами, an выбирается так, чтобы следующая итерация была точкой минимума функции f на луче L (см. рис.1 ). Такой вариант градиентного метода называется методом наискорейшего спуска. Заметим, что в этом методе направления соседних шагов ортогональны. В самом деле, поскольку функция j: a ® f(xn - af ¢(xn)) достигает минимума при a = an, точка an является стационарной точкой функции j:

0 = j¢(an) = 

d

da

f(xn - af ¢(xn))

ê ê

a=an

=

= (f ¢(xn - anf ¢(xn)), -f ¢(xn)) = -(f ¢(xn+1), f ¢(xn)).

Метод наискорейшего спуска требует решения на каждом шаге задачи одномерной оптимизации. Практика показывает, что этот метод часто требует меньшего числа операций, чем градиентный метод с постоянным шагом.

В общей ситуации, тем не менее, теоретическая скорость сходимости метода наискорейшего спуска не выше скорости сходимости градиентного метода с постоянным (оптимальным) шагом.