Здесь А, a, p, q, M, N – действительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней, т. е. p²/4-q < 0.

            Простейшие дроби первого и второго типов интегрируются непосредственно с помощью основных правил интегрального исчисления:

            Интеграл от простейшей дроби третьего типа приводится к табличным интегралам путем выделения в числителе дифференциала знаменателя и приведения знаменателя к сумме квадратов:

            Интегрирование рациональных дробей.

                       Разложение рациональной дроби на простейшие дроби. Всякую правильную рациональную дробь  можно представить в виде суммы конечного числа простейших рациональных дробей первого – четвертого типов. Для разложения  на простейшие дроби необходимо разложить знаменатель Q_m(x) на линейные и квадратные множители, для чего надо решить уравнение:

 - (5)

            Теорема. Правильную рациональную дробь где можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей:

 - (6)

(A₁, A₂, …, A_k, B₁, B₂, …, B₁, M₁, N₁, M₂, M₂, …, M_s, N_s – некоторые действительные числа).

                       Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределенных коэффициентов состоит в следующем. Пусть дано разложение правильной рациональной дроби  по формуле (6) на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Приведем простейшие дроби к общему знаменателю Q_m(x) и приравняем многочлен, получившийся в числителе, многочлену P_n(x).

                       Метод частных значений. При нахождении неопределенных коэффициентов вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях х, можно дать переменной х несколько частных значений (по числу неопределенных коэффициентов) и получить таким образом систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Особенно выгодно применять этот метод в случае, корни знаменателя рациональной дроби  просты и действительны. Тогда оказывается удобным последовательно полагать равным каждому из корней знаменателя.

                                   Правило интегрирования рациональных дробей. Для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо выполнить следующие действия:

1)                если рассматриваемая рациональная дробь  - неправильная (k≥m), представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:

где n < m; R(x) – многочлен;

2)                если рассматриваемая рациональная дробь  - правильная (n < m), представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей по формуле (6);

3)                интеграл от рациональной дроби представить в виде суммы интегралов от целой части и от соответствующих простейших дробей и вычислить эти интегралы.

7. Интегрирование выражений, содержащие тригонометрические функции.

            Интегралы вида  Универсальная подстановка. Будем рассматривать интегралы вида:

 - (7)

при условии, что они не являются табличными. Вычислить их можно различными методами, изложенными ранее. Иногда бывает достаточно преобразовать подынтегральное выражение, использовав тригонометрические формулы, применить методы «подведения» множителя под знак дифференциала, замены переменной или интегрирования по частям.

            Для вычисления интеграла вида (7) существует общая универсальная схема вычисления, основанная на универсальной тригонометрической подстановке

            Интегралы вида  (m, n є Z, m ≥ 0, n ≥ 0). Если хотя бы одно из чисел m и  n – нечетное, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы sin²x+cos²x=1 оставшуюся четную степень через конфункцию, приходим к табличному интегралу.

            Интегралы вида (n є N, n > 1). Эти интегралы вычисляются подстановками tgx= t и ctgx=t соответсвенно.

            Если t=tgx, то x=arctgt,

            Последний интеграл при n ≥ 2 является интегралом от неправильной рациональной дроби, которая вычисляется по правилу интегрирования рациональных дробей.

            Аналогично если t=ctgx, то x=arcctgt,

            Интегралы вида    (m, n є R). Они вычисляются путем разложения подынтегральной функции на слагаемые по формулам:

8.Интегрирование иррациональных выражений.

            Интегралы вида  (m₁, n₁, m₂, n₂, … - целые числа). В этих интегралах подынтегральная функция рациональна относительно переменной интегрирования и радикалов от х. Они вычисляются подстановкой x=t^s, где s – общий знаменатель дробей r₁, r₂, … являются целыми числами, т. е. интеграл приводится к рациональной функции от переменной t:

            Интегралы вида  (m₁, n₁, m₂, n₂, … - целые числа). Эти  интегралы подстановкой:

где s – общий знаменатель дробей t.

            Интегралы вида    Для вычисления интеграла I₁ выделяется полный квадрат под знаком радикала:

и применяется подстановка:

dx=du.

В результате этот интеграл сводится к табличному:

            В числителе интеграла I₂ выделяется дифференциал выражения, стоящего под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух интегралов:

где I₁ – вычисленный выше интеграл.

            Вычисление интеграла I₃ сводится к вычислению интеграла I₁ подстановкой:

            Интеграл вида  Частные случаи вычисления интегралов данного вида рассмотрены в предыдущем пункте. Существует несколько различных приемов их вычисления. Рассмотрим один из таких приемов, основанный на применении тригонометрических подстановок.

            Квадратный трехчлен ax²+bx+c путем выделения полного квадрата и замены переменной может быть представлен в виде  Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением трех видов интегралов:

            Интеграл

u=ksint            (или u=kcost)

сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.

            Интегралы вида  (m, n, p є Q, a, b є R). Рассматриваемые интегралы, называемые интегралами от дифференциального бинома

1)      p є Z, то применяется подстановка:

x=t^s,

где s – общий знаменатель дробей m и n;

2)       Z, то используется подстановка:

a+bxⁿ=t^s,

где s – знаменатель дроби

3)       Z, то применяется подстановка:

ax^-n+b=t^s,

где  s – знаменатель дроби

9.      Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.

                  Определение. Если существует конечный передел интегральной суммы (8)

 - (8)

при λ→0, не зависящий от способа разбиения τ_n отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора промежуточных точек ξ_k, то этот предел называют определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначают:

            Если указанный предел существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a; b] (или интегрируемой по Риману). При этом f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, a и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

            Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, в случае, когда диаметр разбиения λ стремится к нулю.

            Геометрический смысл определенного интеграла. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и f(x) ≥ 0. Фигура, ограниченная графиком АВ функции y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Ох (рис. 1), называется криволинейной трапецией.

            Интегральная сумма и ее слагаемые имеют простой геометрический смысл: произведение  равно площади прямоугольника с основанием  и высотой  представляет собой площадь заштрихованной ступенчатой фигуры (изображенной на рис. 1). Очевидно, что эта площадь зависит от разбиения τ_n отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора точек ξ_k.

            Чем меньше k=1, n, тем площадь ступенчатой фигуры ближе к площади криволинейной трапеции. Следовательно, за точную площадь S криволинейной трапеции принимается предел интегральной суммы при λ→0:

            Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

10.  Основные свойства определенного интеграла.

                  Рассмотрим свойства определенного интеграла.

1.                 Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю:

            Это свойство следует из определения интеграла.

2.                 Если f(x)=1, то

            Действительно, так как f(x)=1, то

3.                 При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

4.                 Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

 R.

5.                 Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на [a; b] функций f₁(x), f₂(x), …, f_n(x) равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:

6          (аддитивность определенного интеграла). Если существует интегралы  то существует также интеграл  и для любых чисел a, b, c;

            7.         Если f(x) ≥ 0 [a; b], то

 a < b.

8          (определенность определенного интеграла). Если интегрируемые функции f(x) и φ(x) удовлетворяют неравенству f(x) ≥ φ(x) a; b], то

 a >b.

9          (об оценке определенного интеграла). Если m и М – соответственно нименьшее и наибольшее значения функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b], то

 a < b.

10        (теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка a; b], что

т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования  [a; b] и длины b-a этого отрезка.

11.  Теорема о среднем.

            Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка a; b], что

т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования  [a; b] и длины b-a этого отрезка.

12.  Производная определенного интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

            До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования a и b. Если оставить постоянным нижний предел интегрирования a, а верхний х изменять так, чтобы x є [a; b], то величина интеграла будет изменяться. Интеграл вида:

 x є [a; b],

называется определенным интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела х. Здесь для удобства переменная интегрирования обозначена буквой t, а верхний предел интегрирования – буквой х.

            Теорема. Производная определенного интеграла от непрерывной функции f(x) по его переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела:

            Формула Ньютона-Лейбница. Формула Ньютона-Лейбница дает правило вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла на отрезке [a; b] от непрерывной функции f(x) равно разности значений любой ее первообразной, вычисленной при x=b и x=a.

 - (9)

13.  Замена переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.

            Замена переменной в определенном интеграле. Этот метод, как и в случае неопределенного интеграла, позволяет упростить вычисления, т. е. привести подынтегральное выражение к соответствующей табличной форме. Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме.

            Теорема. Если функция f(x) непрерывная на отрезке [a; b], а функция x=φ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [t₁; t₂], причем φ([t₁; t₂])=[a; b] и φ(t₁)=a, φ(t₂)=b, то справедлива формула:

            Интегрирование по частям в определенном интеграле. Пусть u(x) и v(x) – дифференцируемые на отрезке [a; b] функции переменной х. Тогда d(uv)=udv+vdu. Проинтегрируем обе части последнего равенства на отрезке [a; b]:

            С другой стороны, по формуле Ньютона-Лейбница

            Следовательно, формула (11) принимает вид:

 - (12)

            Формула (12) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

15.  Вычисление площадей плоских фигур.

            Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) [f(x) ≥ 0], прямыми x=a и x=b и отрезками [a; b] оси Ох, вычисляется по формуле:

            Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f₁(x) и y=f₂(x)[f₁(x) ≤ f₂(x)] и прямыми x=a и x=b, находится по формуле:

            Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и отрезком [a; b] оси Ох, выражается формулой:

где t₁ и t₂ определяются из уравнений a=x(t₁), b=x(t₂) [y(t) ≥ 0 при t₁ ≤ t ≤ t₂].

            Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ) и двумя полярными радиусами θ=α, θ=β (α < β), выражается интегралом:

16.  Определение и вычисление длины кривой, дифференциал кривой.

            Если кривая y=f(x) на отрезке [a; b]  - гладкая (т. е. производная y’=f’(x) непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле:

            При параметрическом задании кривой x=x(t), y=y(t) [x(t) и y(t) – непрерывно дифференцируемые функции] длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметра t от t₁ до t₂, вычисляется по формуле:

            Если гладкая кривая задана в полярных системах координатах уравнением ρ=ρ(θ),     α ≤ θ ≤ β, то длина дуги равна:

            Дифференциал длины дуги. Длина дуги кривой определяется формулой:

где y=f(x)  [a; b]. Предположим, что в этой формуле нижний передел интегрирования остается постоянным, а верхний изменяется. Обозначим верхний предел буквой х, а переменную интегрирования буквой t. Длина дуги будет функцией верхнего предела:

Практические задания

1.   Найти неопределенный интеграл, результат проверить дифференцированием:

1)

Решение:

Проверка:

 - верно.

___________________________________________________________________________

2)

Решение:

Проверка:

 - верно.

__________________________________________________________________________________

3)

Решение:

Проверка:

 - верно.

___________________________________________________________________________

4)

Решение:

Проверка:

 - верно.

___________________________________________________________________________

5)

Решение:

Проверка:

 - верно.

___________________________________________________________________________

6)

Решение:

Проверка:

 - верно.

___________________________________________________________________________

7)

Решение:

Проверка:

 - верно.

___________________________________________________________________________

8)

Решение:

Проверка:

 - верно.

__________________________________________________________________________________

9)

Решение:

Проверка:

 - верно.

___________________________________________________________________________

2.   Найти неопределенные интегралы:

1)

Решение:

___________________________________________________________________________

2)

Решение:

___________________________________________________________________________

3)

Решение:

___________________________________________________________________________

4)

Решение:

___________________________________________________________________________

5)

Решение:

___________________________________________________________________________

6)

Решение:

___________________________________________________________________________

7)

Решение:

___________________________________________________________________________

8) 

Решение:

___________________________________________________________________________

9)

Решение:

___________________________________________________________________________

10)

Решение:

__________________________________________________________________________________

11)

Решение:

___________________________________________________________________________

12)

Решение:

___________________________________________________________________________

13)

Решение:

___________________________________________________________________________

14)

Решение:

___________________________________________________________________________

15)

Решение:

___________________________________________________________________________

3.   Вычислить определенный интеграл:

1)

Решение:

___________________________________________________________________________

2)

Решение:

___________________________________________________________________________

3)

Решение:

____________________________________________________________________________

4.   Найти несобственные интегралы или доказать их расходимость:

1)

Решение:

 - интеграл I рода.

 - сходящийся.

____________________________________________________________________________

2)

Решение:

 - интеграл II рода.

 - расходящийся.

____________________________________________________________________________

3)

Решение:

___________________________________________________________________________________