Использование решения задачи потокораспределения для анализа водо-снабжения города

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Механико-математический факультет

Кафедра информатики и вычислительной математики

Специальность «Прикладная математика и информатика»

Использование решения задачи потокораспределения для анализа водоснабжения города

Дипломная работа

Выполнила студентка

5 курса 1251 группы

Симдянкина Елена Николаевна

___________________

(подпись)

Научный руководитель

старший преподаватель

Борисова С.П.

___________________

(подпись)

Допустить к защите                                                                              Работа защищена

Зав. кафедрой                                                                                        «___»__________2006г.

д-р ф.-м.наук, профессор                                                                    

Степанов А.Н.                                                                                      Председатель ГАК

__________________                                                                           ___________________

«___»_________2006г.                                                                         ___________________

                                                                                                               ___________________

Самара 2006

Содержание

 TOC o "3-3" h z "Заглавие 1;1;Заглавие 2;2;Заглавие 3;3" Введение. h 3

1 Постановка задачи. 4

1.1    Теория графов. 4

1.2    Математическая постановка задачи. 4

2 Методы решения задачи потокораспределения. 6

2.1    Устройство гидравлических сетей. 6

2.1.1 Примеры гидравлических сетей. 6

2.1.2 Системы водоснабжения. 6

2.2    Обзор методов решения. 8

2.2.1 Графические и аналитические методы. 9

2.2.2 Алгебраический и экстремальный подходы

к расчету потокораспределения. 10

2.2.3 Методы поконтурной и поузловой увязки

и их модификации. 11

3 Программная реализация решения задачи потокораспределения

в гидравлических сетях 16

3.1    Описание программы. 16

3.2    Вычислительный эксперимент. 20

Заключение. 2 h 3

Список литературы. 24

Приложение А. h 25

Приложение Б. 26

Введение

Системы, осуществляющие централизованное снабжение рассредоточенных потребителей электрической и тепловой энергией, топливом, водой или какой-либо другой транспортируемой средой, имеет огромное значение в энергетике, коммунальном и водном хозяйствах и в других отраслях.

Они представлены весьма широким спектром объектов, различающихся назначением, масштабностью, принципами построения, физической сущностью процессов функционирования и т.д.

К ним относятся: глобальные системы, такие как электроэнергетическая и газоснабжающая система страны; межрегиональные (объединенные энергосистемы, магистральные нефте- и газопроводы, системы каналов и групповые водопроводы для переброски вод и обводнения больших территорий); системы электро-, тепло -, водо- и газоснабжения городов и промышленных центров; системы отопления, вентиляции и другие.

Гидравлические и, в частности, трубопроводные системы играют весьма существенную роль в экономике страны. Только стальных труб  в России ежегодно используется более 20 млн.т.[1] При этом наряду с бурным ростом магистрального трубопроводного транспорта нефти, газа и воды на расстояние в сотни и тысячи километров основное место занимают трубопроводные системы коммунального и промышленного назначения.

Многие задачи расчета гидравлических систем фактически можно свести к одной математической постановке, что дает возможность существенно повысить уровень и практическую эффективность применения математических методов и вычислительных машин.

Достаточно полно теория гидравлических сетей изложена в работах [1],[3],[8].

Данные факторы, а именно: народнохозяйственная важность гидравлических систем и их многообразие, с одной стороны, а также принципиальная общность математических моделей и алгоритмов для их расчета и оптимизации, с другой – вызвали огромный поток математических и отраслевых работ, во многом дублирующих друг друга.

Систематизация, обобщения исследований работ по данной теме были даны А.П.Меренковым и В.Я.Хасилевым в работе  «Теория гидравлических цепей».[19]

Моделирование гидравлических сетей, является важной задачей в процессе наладки сложных трубопроводов, а также при управлении существующими гидравлическими системами. Модели, описывающие такие сети с большим количеством участков, представляют собой системы нелинейных уравнений большой размерности. В силу возрастающей сложности реальных объектов постоянно требуется совершенствование старых и разработка новых методов их моделирования и расчета. Еще более актуальной данная задача становится в рамках перехода от задач эффективного управления (поскольку огромное количество гидравлических сетей уже построено и эксплуатируется.) к задачам проектирования трубопроводных систем (для создания новых высокоэффективных гидравлических сетей). При этом на первый план выходят более сложные задачи эффективного управления существующими трубопроводными сетями. При проектировании гидравлических сетей населенного пункта или промышленного предприятия, необходимо учитывать, что все потребители должны обеспечиваться водой в заданном количестве и с требуемым напором.

Целью данной дипломной работы было применение метода поузловой увязки для решения задачи потокораспределения в гидравлических сетях для эффективного управления существующими трубопроводными сетями и проектирования  новых трубопроводных систем. В связи с этим в данной работе необходимо было решить следующие задачи:

·        изучить структуру и устройство гидравлических сетей;

·        исследовать существующие методы решения задачи потокораспределения в гидравлических сетях, анализируя их достоинства и недостатки;

·        из всех методов выбрать наиболее подходящий;

·        на основе этого метода разработать алгоритм, позволяющий решать задачу управления и проектирования большими гидравлическими сетями.

1 Постановка задачи

1.1 Теория графов

Графы очень часто используются в приложениях, поскольку они возникают как модель при изучении многих объектов. Например, структура молекулы является графом, в котором вершинами являются атомы, а ребрами - валентные связи. Блок-схема алгоритма представляет собой орграф, в котором вершинами являются отдельные операторы, а дуги указывают переходы между ними. Другие примеры графов: элементы и соединения в электрической цепи, схема перекрестков и дорог, множество предприятий с указанием двухсторонних связей между ними, группа людей с указанием их психологической совместимости, структура управления с указанием объектов и их подчиненности друг другу и т. д.

 Графом называется совокупность конечного числа точек, называемых вершинами графа, и попарно соединяющих некоторые из этих вершин линий, называемых ребрами или дугами графа.

Вершины графа, которые не принадлежат ни одному ребру, называются изолированными.

Граф, состоящий только из изолированных вершин, называется нуль-графом.

Граф, в котором каждая пара вершин соединена ребром, называется полным.

Степенью вершины называется число ребер, которым принадлежит вершина.

Дополнением данного графа называется граф, состоящий из всех ребер и их концов, которые необходимо добавить к исходному графу, чтобы получить полный граф.

Граф, который можно представить на плоскости в таком виде, когда его ребра пересекаются только в вершинах, называется плоским.

Многоугольник плоского графа, не содержащий внутри себя никаких вершин или ребер графа, называют его гранью.

Циклом называется путь, в котором совпадают начальная и конечная точка.

Простым циклом называется цикл, не проходящий ни через одну из вершин графа более одного раза.

Длиной пути, проложенного на цикле, называется число ребер этого пути.

Две вершины A и B в графе называются связными, если в нем существует путь, ведущий из A в B.

Две вершины A и B в графе называются несвязными, если в нем не существует путь, ведущий из A в B.

Граф называется связным, если каждые две его вершины связны; если же в графе найдется хотя бы одна пара несвязных вершин, то граф называется несвязным.

Деревом называется  связный граф, не содержащий циклов.

Несвязный граф, состоящий исключительно из деревьев, называется лесом.

Упорядоченное корневое дерево - это корневое дерево D, в котором задан порядок его поддеревьев D₁, D₂,... , D_m.

Ориентированным деревом называется корневое дерево, все ребра которого ориентированы к корню. В ориентированных деревьях нет ориентированных циклов. Но это не единственные графы, обладающие этим свойством.

Ориентированным ациклическим графом называется любой ориентированный граф, в котором нет ориентированных циклов.

Вершина ориентированного графа называется истоком, если в нее не входит ни одна дуга.

Вершина ориентированного графа называется стоком, если из нее не выходит ни одной дуги.

1.2 Математическая постановка задачи

Пусть G=(E,V,H) связный конечный ориентированный граф[6],[7], E – множество вершин графа, V – множество дуг, H – отображение H: V®E*E. Каждой дуге vÎV отображение H ставит в соответствие упорядоченную пару вершин (, – начало дуги,  – ее конец. Из вершины i выходит дуга v, если i = , и входит в вершину j, если j= i обозначим через V, а множество дуг, входящих в i через V. Будем считать, что граф описывает структуру сети.

Каждой переменной iÎE ставится в соответствие переменная  интерпретируется как давление потока в вершине.

Каждой переменной vÎV ставится в соответствие переменная   интерпретируется как поток на дуге.

На каждой дуге давление в начальной и конечной вершине позволяет определить поток на дуге, что в общем виде можно записать так:

      (1.2.1)                       

Так, в частности, это соотношение может быть записано в виде:

   (1.2.2)                        

S – пьезометрическое давление

Q –суточный расход воды

l – длина трубопровода

k – коэффициент приведенного гидравлического сопротивления

Выделим два множества   и

 определяет множество вершин i, в которых задана переменная  (концевые вершины).

 определяет множество вершин j, в которых заданы величины bj, интерпретируемые как объем потока потребляемого (производимого) вершиной.

Для источников bj<0, для стоков bj>0, для промежуточных вершин bj=0.

Причем выполняется балансовое соотношение, которое называется первым законом Кирхгофа:

  (1.2.3)                        

Задача:

Для " iÎE, " vÎV определить

       (1.2.4)                       

                         (1.2.5)                        

 (1.2.6)                       

2 Методы решения задачи потокораспределения

2.1 Устройство гидравлических сетей

2.1.1 Примеры гидравлических сетей

Трубопроводные и другие гидравлические системы при всем разнообразии их назначения и физико-технических особенностей имеют геометрически аналогичные конфигурации, подчиняются одним и тем же «сетевым постулатам» Кирхгофа и однотипным законам гидравлического сопротивления. Эта общность отчетливо проявляется при моделировании данных систем с помощью гидравлических сетей и перехода к математическим формулировкам и численным методам решения задач их расчета, оптимизации и управления.

Среди трубопроводных систем уникальными во многих отношениях являются теплоснабжающие системы. В отличие от водо-, газо- и нефтеснабжающих систем они имеют двухлинейную сеть трубопроводов: подающую- от источников до потребителей, и обратную - от потребителей до источников, т.е. являются системами с замкнутой циркуляцией.

Мощными и сложными системами трубопроводного транспорта стали магистральные нефтепроводы страны. Они имеют трубопроводы большого диаметра протяженностью в тысячи километров, проложенные в несколько ниток со множеством лупингов и перемычек между ними, со значительным числом насосных станций, суммарная мощность которых измеряется миллионами киловатт, а также сложную автоматику для управления режимами их работы.

Особый класс гидравлических систем составляют нефтегазотранспортные и нефтегазоснабжающие системы, а также смешанные ( с точки зрения состава элементов, осуществляющих транспортировку среды) системы типа «пласт – скважины – нефтегазосборная сеть».

2.1.2 Системы водоснабжения

Система водоснабжения – это комплекс инженерных сооружений, предназначенных для забора воды из источника водоснабжения, ее очистки, хранения и подачи к потребителям.

Системы водоснабжения (водопроводы) классифицируют по ряду признаков.

По виду обслуживаемого объекта системы водоснабжения делят на городские, поселковые, промышленные, сельскохозяйственные, железнодорожные и другие.

По назначению системы водоснабжения подразделяют на хозяйственно-питьевые, предназначенные для подачи воды на хозяйственные и питьевые нужды населения и работников предприятий; производственные, снабжающие водой технологические цехи; противопожарные, обеспечивающие подачу воды для тушения пожаров.

По способу подачи воды различают самотечные водопроводы (гравитационные) и водопроводы с механической подачей воды (с помощью насосов).

По виду используемых природных источников различают водопроводы, забирающие воду из поверхностных источников – рек, водохранилищ, озер, морей, и водопроводы, забирающие воду из подземных источников (артезианских, родниковых). Имеются также водопроводы смешанного питания.

Системы водоснабжения могут обслуживать как один объект, например город или промышленное предприятие, так и несколько объектов. В последнем случае эти системы называют групповыми. Систему водоснабжения, обслуживающую несколько крупных объектов, расположенных на значительном расстоянии друг от друга, называют районной системой водоснабжения или районным водопроводом. Небольшие системы водоснабжения, обслуживающие одно здание или небольшую группу компактно расположенных зданий из близлежащего источника, называют обычно местными системами водоснабжения.

Существуют два вида источников водоснабжения: подземные и поверхностные. К подземным источникам водоснабжения относятся подземные воды, образующиеся вследствие просачивания в землю атмосферных и поверхностных вод. Подземные воды могут быть безнапорными и напорными (артезианскими).

К безнапорным водам относят грунтовые воды. Они характеризуются повышенной загрязненностью, поэтому при использовании для целей водоснабжения их в большинстве случаев подвергают очистке.

Напорные (артезианские) воды, как правило, характеризуются высоким качеством и в большинстве случаев могут использоваться для хозяйственно-питьевых целей без очистки.

К поверхностным источникам водоснабжения относятся реки, водохранилища и озера.

Для транспортирования воды от источников к объектам водоснабжения служат водоводы. Их выполняют из двух или более ниток трубопроводов, укладываемых параллельно друг другу. Трубопровод называют простым, если он не имеет ответвлений. Простые трубопроводы могут быть соединены между собой так, что они образуют последовательное соединение, параллельное соединение или разветвленный трубопровод. Трубопроводы могут быть сложными, содержащими как последовательные, так и параллельные соединения или ветви разветвления. Разветвленным соединением является совокупность нескольких простых трубопроводов, имеющих одно общее сечение – место разветвления (или смыкания) труб.  Для подачи воды непосредственно к местам ее потребления (жилым зданиям, цехам промышленных предприятий) служит водопроводная сеть. При трассировании линий водопроводной сети необходимо учитывать планировку объекта водоснабжения, размещение отдельных потребителей воды, рельеф местности.

По конфигурации в плане различают водопроводные сети разветвленные, или тупиковые, и кольцевые, или замкнутые. Разветвленные водопроводные сети выполняют для небольших объектов водоснабжения, допускающих  перерывы в снабжении водой. Эти сети целесообразны при сосредоточенном потреблении воды в отдаленных друг от друга точках сети. Кольцевые водопроводные сети выполняют при необходимости бесперебойного водоснабжения, что гарантируется в данном случае возможностью двухстороннего питания водой любого потребителя. Протяженность и стоимость кольцевых сетей больше, чем разветвленных.

В хозяйственно-питьевых и производственных водопроводах, как правило, применяют кольцевые сети вследствие их способности обеспечивать бесперебойную подачу воды. В противопожарных водопроводах устройство кольцевой сети обязательно.

В водопроводной сети различают магистральные (главные) и распределительные (второстепенные) линии. Расчет проводят только для магистральных линий.

В любой гидравлической системе различают три ее основные составляющие (подсистемы):

1)      источники давления или расхода (например, насосные или компрессорные станции, аккумулирующие емкости и др.), обеспечивающие притоки транспортируемой среды и привносящие энергию в систему;

2)      трубопроводную или гидравлическую сеть (в виде совокупности взаимосвязанных трубопроводов, воздуховодов и открытых каналов), соединяющую источники с множеством потребителей и доставляющую эту среду;

3)      абонентские подсистемы (или просто потребители).

Такое деление, в общем-то, довольно условно и зависит от целей изучения реальной системы и характера решаемых задач, степени детализации, а также и от режимов ее работы. Например, в качестве потребителей могут рассматриваться как отдельные установки, так и здания или, скажем, кварталы города или даже город в целом. Сеть в одних случаях включает лишь основные магистрали между источниками и укрупненными потребителями, а в других она может отображать и конкретизировать эти связи вплоть до разводящих линий и фактических потребителей. Точно так же и источники могут задаваться вместе со своей «начинкой» (оборудованием) или лишь выходными параметрами. Одни и те же аккумулирующие емкости в системе в режимах их заполнения являются потребителями, а в режимах опорожнения – источниками и т.п.

При математическом моделировании все эти подсистемы находят соответствующее отражение в расчетной схеме цепи: участки сети, включающие арматуру и другие местные сопротивления, - в виде ветвей; места расположения источников расхода (притоков) и потребителей (стоков), а также соединений ветвей – в виде узлов (вершин); источники напора (а иногда и расхода) могут относиться как к узлам, так и к ветвям.

Для устройства наружного водопровода применяют чугунные, стальные, асбестоцементные, железобетонные, пластмассовые и другие трубы.

Первые программы гидравлического расчета появились еще 30 лет назад, задолго до массового распространения персональных компьютеров и графических дисплеев. Как только были созданы надежные и эффективные системы гидравлического расчета, на первый план вышли проблемы создания удобных пользовательских оболочек. Они должны были «уметь» выполнять простые, но необходимые функции (первоначальный ввод исходных данных, контроль корректности данных, визуализация и анализ результатов, корректировка исходных данных и др.).

Для получения требуемых результатов пользователь должен был начертить на бумаге расчетную схему, составить (на бумаге же) таблицы участков, потребителей, насосных станций и регуляторов, ввести эти таблицы в компьютер, получить расчетные таблицы и перенести результаты на расчетную схему. На каждом этапе пользователь допускал ошибки, устранение которых занимало массу времени и сил.

С появлением персональных компьютеров создание систем гидравлического расчета претерпело революционные изменения по двум направлениям. Во-первых, исходные и расчетные данные стали храниться в стандартных реляционных базах данных, а не в разнообразных двоичных файлах. Во-вторых, расчетная схема, изображаемая теперь на графическом мониторе компьютера, стала и основным источником исходных данных, и средством анализа результатов расчета.

Под гидравлическим расчетом трубопроводной сети в общем случае понимают решение задачи нахождения полного установившегося потокораспределения (расходов транспортируемой среды по  трубопроводам) и узловых давлений во всех узлах сети при определенной комбинации заданных начальных условий и фиксированной топологии сети.

Гидравлический расчет производится по всем связным компонентам сети, имеющим среди принадлежащих к ним узлов хотя бы один источник. По связным компонентам, не смежным ни с одним источником, гидравлический расчет не проводится за очевидной его бессмысленностью.

2.2 Обзор методов решения.

Вопросы математического описания и расчета гидравлических систем имеют несомненную общность ряда исходных физико-математических положений с вопросами математического описания и расчета электротехнических систем. Однако если теория электрических цепей существует уже более 150 лет, начиная с работ Ома, Кирхгофа, Гельмгольца, Максвелла, и уже давно определилась как самостоятельная дисциплина, то для гидравлических систем работы обобщающего характера начали интенсивно проводиться лишь с появлением вычислительных машин.

В теории электрических цепей важно выделить такие основные открытия и выводы, как известный закон Ома, устанавливающий пропорциональную зависимость между силой постоянного тока и разностью потенциалов; два закона Кирхгофа, которые сам он сформулировал так: «Пусть задана система из проводников 1,2,…,n, которые произвольным образом соединены между собой и в каждом из которых имеется своя электродвижущая сила, тогда для определения силы токов  в проводниках можно построить необходимое число линейных уравнений на основе использования следующих 2-х правил:

1. Если проводники  образуют замкнутую фигуру и   означает сопротивление проводника K, а  взятые положительными в соответствующем направлении, удовлетворяет уравнению:
2. Если проводники  соединяются в одной точке и те из  которые отвечают токам, направленным к этой точке, берутся положительными, то

и, наконец, теорему Д.К.Максвелла о принципе наименьшего теплового действия для электрических цепей. Эти основные открытия и используются в теории гидравлических сетей.

Важно отметить, что такой общей физико-математической базы, какую представляет для электротехники теория электрических цепей, здесь нет. И одно из главных объяснений заключается в существенной нелинейности гидравлических систем, которая в условиях ручного счета лишает практического смысла разработку их общих математических описаний и методов расчета. Отдельным вопросам расчета гидравлических систем посвящались сотни работ, публикуемых в научно-технической литературе с конца CIC столетия.

Потребность в обобщении имеющихся разработок и их распространении на другие типы систем стала осознаваться лишь с 30-х годов, когда стали активно вестись исследования по разработке и применению различных аналоговых устройств в виде электрических и, в меньшей мере, гидравлических моделях. С появлением вычислительных машин необходимость в систематизации известных и использовании новых методов, а также в различных обобщениях стала особенно острой и вызвала множество статей и монографий.

Именно это обстоятельство привело к созданию теории гидравлических сетей, которая с самого начала строилась как научно-техническая дисциплина, смежная с теорией электрических цепей и синтезирующая - на некотором межотраслевом и в известном смысле оптимальном физико-математическом уровне - общие результаты, справедливые в принципе для любых трубопроводных и гидравлических систем.

Потокораспределение в сети определяется двумя группами достаточно простых и очевидных условий или, что то же самое, двумя правилами Кирхгофа [19]:

а)      общий расход, притекающий к любому узлу, равен общему расходу, покидающему его;

б)      общее изменение потенциала вдоль любого замкнутого контура равно нулю.

Эти группы условий совместно с соотношением между расходом и падением потенциала приводят в зависимости от того, какие переменные являются неизвестными, к той или иной системе уравнений. Существуют два основных метода для расчета потокораспределения. Один исходит из того, что «потоки в трубах или проводниках сети всегда удовлетворяют условию равенства нулю их общего баланса в каждом узле, и они последовательно корректируются с тем, чтобы удовлетворить условию равенства нулю общего изменения давления вдоль каждого контура». Другой основан на том, что «общее изменение давления вдоль каждого контура всегда равно нулю, а потоки в трубах контура последовательно подбираются так, чтобы общий их баланс в каждом узле, в конце концов, приблизительно или точно, стал равным нулю». Первый метод назван методом «балансирования давлений», а второй – методом «балансирования потоков».

Ниже будут рассмотрены вычислительные возможности увязочных методов, а также приведен обзор работ по применению различных подходов, математических методов для расчета трубопроводных систем.

2.2.1 Графические и аналитические методы

Графические и графоаналитические методы всегда занимали большое место в литературе, они разрабатывались, начиная с прошлого века для расчета, прежде всего систем водоснабжения. Помимо работ иностранных авторов, этим методам посвящены работы Ф.Е.Максименко, М.С.Ясюковича, Е.Б.Батурина и других авторов.

Ограниченные возможности графических методов для получения численных результатов, относящихся к сложным системам, очевидны. Однако они приносят большую пользу благодаря своей иллюстративности, способности показать на простых примерах качественный характер изменения режимов в гидравлических системах.

Среди графических методов следует различать две группы построений. Первая имеет своей непосредственной целью выполнение расчетов потокораспределения, и ее отличительной особенностью является построение сопрягающихся кривых в системе координат «напоры – расходы ». Принципиальная выполнимость таких построений определяется возможностью оценивать сопротивления отдельных ветвей и общее сопротивление гидравлической системы, отнесенное к тому или иному источнику действующего напора.

Вторая группа используется как в области водоснабжения, так и (особенно широко) теплоснабжения. Это – построения так называемых «пьезометрических графиков», которые выполняются в системе координат «напоры – длины участков сети». Методическая и иллюстративная роль таких графиков несомненна. Однако по мере усложнения схем и режимов систем их полезность явно снизилась.

Графические и аналитические методы сохраняют свое значение как вспомогательные и иллюстративные методы при расчете гидравлических систем простой структуры. Однако их ограниченность очевидна, и единственным способом ее преодоления является обращение к более общим и современным методам математического моделирования с применением вычислительных машин.

2.2.2 Алгебраический и экстремальный подходы к расчету потокораспределения

Среди различных методических приемов описания и расчета потокораспределения с математической точки зрения можно выделить два основных подхода: алгебраический и экстремальный.

Первый, так или иначе, сводится к построению и решению замкнутой системы уравнений, которой должны удовлетворять искомые расходы и давления для всех элементов расчетной схемы.

Основное место в группе этих методов занимают метод Лобачева-Кросса и его модификации. Этот метод опирается на те же два основных правила Кирхгофа и может быть отнесен к методам увязки.

Наряду с этим имеется довольно большое число работ, посвященных теоретическим и вычислительным аспектам другого подхода к данной задаче, который можно назвать экстремальным. Речь идет об одном из следующих способов, опирающихся на физическую или математическую сущность задачи о потокораспределении в произвольной системе:

1)      минимизации (или максимизации) специальной функции, отвечающей тому или иному вариационному принципу, с учетом связей, налагаемых уравнениями лишь первого (или второго) законов Кирхгофа, т.е. с помощью перехода к задачам на условный экстремум;

2)      построения особым образом подбираемых функций с последующим применением методов их безусловной минимизации;

3)      перехода к задачам нелинейного программирования и, прежде всего к нелинейной сетевой транспортной задаче.

Одним словом, экстремальный подход сводит исходную задачу к задаче минимизации строго выпуклой функции, определенной на выпуклой области.

Математическое описание потокораспределения в виде задачи нелинейного программирования дает возможность применять здесь основные положения теории и методов выпуклого программирования или нелинейных транспортных задач в сетевой постановке[7],[22],[24].

Конечно, быстродействие методов нелинейного программирования в случае гидравлических расчетов будет наибольшим, если поставленную экстремальную задачу решать как нелинейную транспортную в сетевой постановке.

Однако и при этом сравнение все равно будет в пользу алгебраического подхода, т.е. в пользу увязочных методов[1]. И дело не только в том, что при экстремальном подходе увеличивается примерно вдвое размерность задачи, в данном случае просто «неэкономично» решать замкнутую систему уравнений Кирхгофа методами линейного и нелинейного программирования.

2.2.3 Методы поконтурной и поузловой увязки и их модификации

В научно-технической и учебной литературе хорошо известны и широко применяются на практике относительно простые методы последовательных приближений для расчета потокораспределения в кольцевых многоконтурных трубопроводных сетях. Эти методы органически учитывают сетевой характер задачи гидравлического расчета и сводятся к последовательному уравновешиванию (балансированию, или, как уже общепринято называть в инженерной практике и литературе, увязке) перепадов давлений на ветвях контуров или расходов в узлах сети, исходя из законов Кирхгофа.

Метод поконтурной увязки перепадов давлений (потерь напора) обычно связывают у нас с именем В.Г.Лобачева, а в зарубежных публикациях данный метод и метод поузловой увязки расходов однозначно называются методами Х.Кросса. Вместе с тем, несмотря на огромное число статей и монографий, посвященных этим методам и их модификациям, в них нелегко найти строгий и объективный анализ первоисточников, а ссылки часто носят неправильный характер. Поэтому целесообразно дать здесь хронологически выдержанное и достаточно четкое представление о первых публикациях, связанных с увязочными методами.

Исходной публикацией по методу поконтурной увязки перепадов давлений (потерь) следует считать вышедшую в 1932 году небольшую монографию М.М.Андрияшева, в которой впервые зафиксированы основные положения данного метода и предложена формула для увязочного контурного расхода [4].

В 1934 году В.Г.Лобачев предлагает метод, который «основан на применении математического анализа и позволяет решение квадратичных уравнений … свести  к решению линейных уравнений» .

Приоритет В.Г.Лобачева заключается в переходе к системному рассмотрению совокупности колец. Основное содержание его статьи сводится к построению и решению на примере «двухколечной сети» системы из двух линейных уравнений относительно «добавочных перекидных расходов» для этих колец, а также к обобщающему выводу: «Продолжая применение указанного метода к расчету многоколечных систем, мы будем каждый раз получать столько добавочных перекидных расходов, сколько колец».

Наибольшее число ссылок, особенно в зарубежной литературе, имеет изданная в США в 1936 году статья Х.Кросса «Анализ течений в сетях из трубопроводов или проводников», о которой сам автор говорит, что она не является предметов его основных научных интересов, а представляет побочный продукт исследований в области структурного анализа. Значение этой работы состоит в том, что в ней впервые в общем виде сформулированы основные положения для описания потокораспределения в сетях (но без введения векторных и матричных обозначений) и его расчета на базе идей поконтурной и поузловой увязки потерь давления и расходов.

Методы поконтурной увязки перепадов давлений и поузловой увязки расходов предназначены для нахождения таких взаимосвязанных расходов на ветвях и давлений в узлах, которые с наперед заданной точностью в отношении расходов и (или) давлений удовлетворяли бы первому и второму законам Кирхгофа.

Поконтурная увязка перепадов давлений состоит из следующих этапов:

1.      По данным о нагрузках у потребителей выбирается какое-либо начальное приближение для расходов на всех дугах расчетной многоконтурной схемы, но такое, чтобы во всех узлах соблюдался первый закон Кирхгофа.

2.      Для получения расходов с учетом данных о коэффициентах гидравлического сопротивления вычисляются потери давления на всех дугах и их суммарные «невязки» во всех независимых контурах. Эти невязки в соответствии со вторым законом Кирхгофа должны быть сведены до нулевых значений.

3.      По выявленным невязкам тем или иным образом определяются величины так называемых контурных «увязочных расходов».

4.      Каждый увязочный расход проводится по всем дугам своего контура алгебраическим суммированием с расходами, принятыми по начальному приближению (здесь фактически решается система однородных линейных уравнений первого закона Кирхгофа).

Расходы, полученные на последнем этапе, используются в качестве очередного приближения для начала следующей итерации (п. 2 – 4) и т.д. вплоть до приближенного (в пределах заданной погрешности) совпадения последовательных значений всех или части искомых величин.

Скорость сходимости алгоритмов данного типа зависит от: начального приближения; степени преобладания коэффициентов, относящихся к контурным расходам, над коэффициентами для остальных ветвей и, следовательно, от выбора системы независимых контуров. При этом следует учитывать два важных обстоятельства, вытекающих из бесконечности итерационного процесса для нелинейных цепей:

1)      по невязке потерь давления в контурах невозможно судить о погрешности расходов на ветвях;

2)      одна и та же невязка потерь давления для различных систем контуров приводит к различным значениям расходов на ветвях.

Второй увязочный метод – метод поузловой увязки расходов сводится к следующим операциям:

1)      задаются наряду с заранее фиксированными давлениями давления во всех узлах схемы;

2)      исходя из них, определяются потери давления и отвечающие им расходы на всех дугах;

3)      для каждого из узлов подсчитывается алгебраическая сумма расходов на примыкающих к  нему дугах, включая нагрузку или приток в данном узле (если они имеются), и в результате выявляются небалансы (невязки) расходов во всех узлах;

4)      каждый из этих небалансов делится в некотором отношении между дугами, сходящимися в данный узел, и прибавляется с соответствующим знаком к их расходам.

Это перераспределяет расходы во всех смежных узлах, что требует нового последовательного обхода всех узлов схемы и выполнения для них п.3 и 4 до тех пор, пока узловые небалансы расходов не станут меньше заданной погрешности.

В таком виде этот метод был предложен Кроссом. Исходя из основной идеи данного метода, на четвертом этапе должно корректироваться (по соответствующей формуле) давление в каждом из узлов. Приведенный же алгоритм выглядит не очень четким в этом отношении, но, главное, он не гарантирует сходимости вычислительного процесса.

Метод же поконтурной увязки потерь давления, благодаря своей относительной строгости, наглядности и относительно быстрой сходимости получил самое широкое распространение.

Однако этот метод Лобачева-Кросса имеет и ряд существенных недостатков. Первый состоит в том, что приходится решать систему нелинейных уравнений. Поскольку решение системы уравнений является само по себе достаточно сложным и трудоемким процессом, а приведение этой системы нелинейных уравнений к линеаризованному виду и решение ее каким–либо итерационным процессом, еще более усложняет вычисления, то это приводит к тому, что тратится много времени на вычисления, программа становится громоздкой и не наглядной. К тому же процесс линеаризации и итерации приводит к потере в точности.

Другим недостатком является то, что данный метод требует задания в качестве исходных данных некоторого приближения начального решения, удовлетворяющего уравнениям баланса в узлах. А это под силу сделать за сравнительно небольшой промежуток времени лишь опытным работникам, остальным же придется потратить на это значительную часть своего времени.

Еще один и, пожалуй, наиболее важный недостаток этого метода состоит в том, что в зависимости от выбранной системы независимых контуров, начальных значений расходов и значений гидравлических сопротивлений участков сети в некоторых случаях он может расходиться или сходиться очень медленно[3].

Эти же недостатки могут быть названы и для метода корректировки узловых давлений. Все это привело к необходимости создания модификаций увязочного метода с целью обеспечения более широкой области сходимости, более быстрой сходимости, простоты реализации каждого шага итерационного процесса увязки и удобства программирования.

Рассмотрим некоторые из них:

1.      Метод одновременного внесения поправок во все контуры сети. Отличие этого метода от метода Лобачева-Кросса состоит лишь в том, что здесь в качестве контуров могут браться любые, а не только элементарные кольца[3].

2.      Метод последовательного внесения поправок во все контурные сети. Уже название метода говорит о том, что поправки на участки сети вносятся не одновременно во все контуры как в методе Лобачева-Кросса, а постепенно, переходя от одного контура к другому[3]. Причем здесь возможно и использование такого метода, когда последовательно вносятся поправки не во все, а лишь в те контуры, увязка которых может дать наибольший положительный эффект[15].

3.      Аналогичным с ним является метод внесения поправок в контур с максимальной невязкой, который состоит в том, что, считая потери напора в каждом контуре сети, определяя невязки в них, находят контур с максимальной невязкой. Этот метод имеет важное достоинство: он обычно сходится и тогда, когда метод Лобачева-Кросса расходится.

4.      М.П.Васильченко [8] предложил систему приведения увязки сетей, использующую формулу для определения поправочных расходов в кольцах с учетом. Однако, как заметил Н.Н.Абрамов [15], метод этот требует разнородных расчетных операций и «вряд ли имеет преимущества по сравнению с методом Лобачева-Кросса».

Перечисленные выше методы широко применяются в нашей стране и за рубежом, однако, они имеют существенный недостаток, о котором уже говорилось ранее. При использовании этих методов возникает необходимость решения систем линейных уравнений для поправок контурных расходов на каждом шаге итерации. Причем, исходя из реальных размеров гидравлической сети, можно сделать вывод, что система уравнений получается внушительных размеров и ее решение представляет достаточно трудоемкий процесс.

Можно назвать методы, которые избегают решения данной системы уравнения. Так в работе Толмачевой Н., Хасилева В.[22] описывается алгоритм решения задачи потокораспределения в гидравлических сетях, который для каждого кольца схемы сети находит невязку напора по формуле:

  (2.2.3.1)

где   на -ом участке  и

Полученные невязки сравниваются с максимально допустимой невязкой по сети и в случае неувязки хотя бы в одном из колец сети для каждого кольца находится увязочный расход:

  (2.2.3.2)

после чего расходы на участках подправляются:

 (2.2.3.3)

 где    расход для кольца, смежного

Затем вновь находятся невязки в кольцах сети и т.д. Этот метод в связи с тем, что здесь не надо решать системы уравнений, выглядит проще, надежнее и нагляднее. Однако он требует задания начального приближения расходов, удовлетворяющих первому закону Кирхгофа, что достаточно сложно бывает сделать, особенно для сетей с большим количеством участков и колец.

К тому же именно от точности задания начального приближения и будет зависеть скорость сходимости данного метода.

Существует еще один метод, позволяющий ускорить процесс увязки. Он предусматривает вместо увязки элементарных колец сети увязку системы специально выбранных расчетных контуров. В число таких контуров могут входить и элементарные кольца, и контуры, охватывающие группу  элементарных колец.

Однако способов выбора расчетных контуров из всех возможных сам по себе является делом трудоемким и пока точных и хороших рекомендаций по этому поводу не существует.

В работе Белана А.[5] предлагается следующая модификация метода увязки. Он, описывая как универсальный метод гидравлического увязочного расчета с помощью введения «итерационных напоров», одновременно предлагает находить поправочный расход не с помощью линеаризованной формулы Андрияшева, а путем точного решения для каждого контура квадратного уравнения.

Позже такая же рекомендация была дана С.Цаем и Г.К,Рязанцевым [24]. Эта модификация метода поконтурной увязки потерь давления в настоящее время широко и эффективно используется в различных программах для вычислительных машин.

Е.Р. Ставровский и М.Г. Сухарев [19] также предлагают модификацию метода увязки потерь давления, основанного на выделении из графа «дерева», что значительно упрощает решение системы уравнений, связывающей потоки на дугах и давления в вершинах.

Однако при наличии колец в сети эту систему уравнений предлагается также решать итерационным способом, что не только увеличивает время просчета программы, но и ведет к потере в точности.

Алгоритм решения задачи потокораспределения в гидравлических сетях предложен Р.Я.Берманом, С.А.Бобровским и З.Т.Галиуллиным [20], и описывается на решении систем уравнения не обычным, а модифицированным методом Зейделя, сущность которого заключается в том, что начальные приближения неизвестных величин выбираются заведомо ниже (выше) ожидаемых при решении.

Н.П.Васильченко обычный поправочный расход для кольца заменяет полным, равным сумме поправочных расходов всех смежных колец, взятых с «коэффициентом влияния»,- это позволяет учитывать взаимное влияние колец [8].

Таковы вкратце модификации метода увязки. Все они реализованы на практике, применяются для расчета гидравлических сетей.

Однако некоторые из методов рассчитаны лишь на ограниченное количество колец в сети, что не всегда удобно.

Использование во всех выше перечисленных методах второго правила Кирхгофа (сумма потерь давления по любому замкнутому контуру равно нулю), сильно усложняет методы, ведет к необходимости решать сложные системы нелинейных уравнений. Автоматическое же выполнение этого правила значительно упрощает метод.

Проанализировав методы решения задачи потокораспределения, можно сказать, что методы увязки – самые распространенные. Среди этих двух методов был выбран  метод поузловой увязки, так как в процессе решения задачи потокораспределения поконтурная увязка выполняется автоматически, а решая задачу методом поузловой увязки можно прийти к более точным результатам.

Таким образом, проанализировав увязочные методы и их модификации, а также применение различных подходов, математических методов для расчета трубопроводных систем, был выбран наиболее подходящий метод – метод поузловой увязки. Этот метод является наиболее исследованным и эффективным, решается достаточно просто.

3 Программная реализация решения задачи потокораспределения в гидравлических сетях

3.1 Описание программы

В данной дипломной работе задача потокораспределения в гидравлических сетях решается методом поузловой увязки путем одностороннего прохода по всем вершинам. Для написания программы была использована инструментальная среда Delphi 7.0. Программы в Delphi создаются на основе современной технологии визуального проектирования, которая, в свою очередь, базируется на идеях объектно-ориентированного программирования. Delphi является наглядной и простой средой, имеет интуитивно-понятный интерфейс.

 Определенные в программе классы

Класс узла:

cHouse= class(TObject)

public

No:integer; // порядковый номер

XCoord:integer; //координата X расположения узла на экране

YCoord:integer; //координата У расположения узла на экране

Pressure:real; // давление

IsSet:boolean; //если true – давление задано (НФС)

Next:pointer; //указатель на следующий узел в цепочке

Prev:pointer; //указатель на предыдущий узел в цепочке

Name:AnsiString; // адрес узла

kind:AnsiString; // тип

function IsInside(x:integer;y:integer):boolean; // проверка нахождения курсора над узлом

//путем сравнения текущих координат курсора и областей экрана, занимаемых //узлом. В параметрах передаются координаты курсора. Возвращаемое значение: //true – если курсор над узлом, false – в противном случае

procedure Draw(); // процедура рисования узла на экране. В зависимости от того, задано ли             давление, рисует НФС или собственно узел

procedure Del(forDel:pointer); // процедура удаления узла из цепочки. В параметре //передается указатель на удаляемый узел

constructor cHouse(p:pointer); // задание начальных параметров узла

end;

Класс трубы:

cTube = class

public

StartHouse:pointer; // номер узла, из которого исходит труба

FinishHouse:pointer; // номер узла, в который входит труба

params: array[0..1] of real; //массив параметров трубы – диаметр и длина

Next:pointer; //указатель на следующую трубу в цепочке

Prev:pointer; //указатель на следующую трубу в цепочке

kind:integer; //тип трубы: 0 – труба, 1 – задвижка открыта, 2 – насос, 3 – задвижка закрыта

AddPress:real; //добавочное давление (когда тип - насос)

constructor cTube; // задание начальных параметров трубы

end;

Переменные:

Base:pointer; // указатель на первый узел в цепочке

BaseTube:pointer; //указатель на первую трубу в цепочке

E:real=0.1; // параметр точности вычислений

P1:array[0..4] of real; // массив параметров жидкости

BasePrice:real; //давление в НФС

maxD:real; // максимальный диаметр трубы

minD:real; // минимальный диаметр трубы

Константы:

 -максимально возможное число вершин графа, для которого проводится расчет

-максимально возможное число дуг графа, для которого проводится расчет,

AL-коэффициент, используемый в методе нахождения начального интервала, AL=1

-максимально возможное число параметров, характеризующих транспортируемую жидкость

-максимально возможное число параметров потока, характеризующих одновременно все дуги сети

E- Маленькое число, характеризующее точность решения данной задачи

EPS-маленькое число, характеризующее точность численного решения уравнения при нахождении P

Все описанные константы, кроме E,EPS,AL необходимы для описания размерности массивов в программе, причем числовые данные констант удовлетворяют требованиям контрольных примеров и их можно изменить при решении конкретного вида задач.

Исходные данные:

M,N,KX,KPP-переменные, имеющие тот же смысл, что и , ,,, описанные в разделе констант,но их значения отражают характеристики расчетов конкретной заданной сети

P-массив,определяющий давление (начальное приближение) для всех узлов сети

[i]-номер вершины,являющийся началом дуги

 [i]- номер вершины, являющейся концом дуги

PP-массив,определяющий вершины, в которых задана величина P

Например, если PP[i]=0- давление P не задано и его надо найти, если PP[i]=1- давление в вершине P задано.

KK-массив, характеризующий параметры транспортируемой жидкости.

Результаты:

SH-счетчик итераций

P- массив, определяющий давление в узлах сети

J,K,I,S- целочисленные рабочие переменные, используемые  для организации циклов

PD- вещественная рабочая переменная

PR, - вещественные рабочие массивы

Процедуры и функции, относящиеся к алгоритму расчета:

function QR1(PH:real;PK:real; P1:array  of real ; P2:array of real; kind:integer

;addit:real):real ;

var  QQ:real;

begin

QQ:=sqrt(abs(PH+addit-PK)/(P1[0]*P1[1]*P1[2]*P1[3]*P1[4]*P2[1]));

if (PH+addit<PK)

 then begin  QR1:=-QQ; exit; end

else begin  QR1:=QQ; exit; end;

end;

Здесь:

PH – давление в узле, из которого исходит труба;

PK – давление в узле, в который входит труба;

P1 – массив параметров жидкости;

P2 – массив параметров трубы;

Kind – вид трубы;

Addit – добавочное давление (задано только для типа «насос»)

Считается, что насос вырождается в трубу с увеличенным на величину накачиваемого насосом давления в начальном узле;  открытая задвижка есть труба; закрытая задвижка – отсутствие связи между узлами

function Q(Press:real; C:cHouse):real;

var temp:cTube;

Q1,Q2:real;

begin

if (BaseTube=nil)

then begin  Q:=0; exit; end;

temp:=cTube.Create;

pointer(temp):=BaseTube;

Q1:=0; Q2:=0;

while(1=1) do begin

if (temp.kind<>3) then begin

if (temp.StartHouse=pointer(C))

then Q1:=Q1+QR1(Press,(cHouse(temp.FinishHouse)).Pressure,P1,temp.params,temp.kind,temp.AddPress);

if (temp.FinishHouse=pointer(C))

then Q2:=Q2+QR1( (cHouse(temp.StartHouse)).Pressure,Press,P1,temp.params,temp.kind, temp.AddPress);

end;

if (temp.Next=nil)

then break;

pointer(temp):=temp.Next;

end;

Q:=Q2-Q1;

end;

Здесь:

Press – давление в узле, для которого происходит расчет на данной итерации;

С – указатель на узел, для которого происходит расчет на данной итерации

Расчет не требуется, если kind=3 (задвижка закрыта) , т.к. этот случай приравнивается к отсутствию трубы

Результат выполнения функции есть значение, характеризующее правильность рассчитанного давления (при условии Q<E)

function LOS (I:cHouse):real;

var Y, A, B, QA, QB, QY,DEL,PD:real;

temp:cTube;

begin

A:=100000000.0;

B:=0.0;

if (BaseTube=nil) then begin LOS:=0; end;

 temp:=cTube.Create;

pointer(temp):=BaseTube;

while(1=1)do begin

if (temp.kind<>3) then begin

if (temp.StartHouse=pointer(I)) then begin

if (A>(cHouse(temp.FinishHouse).Pressure))

then A:=cHouse(temp.FinishHouse).Pressure;

if (B<(cHouse(temp.FinishHouse).Pressure))

then B:=cHouse(temp.FinishHouse).Pressure;end;

if (temp.FinishHouse=pointer(I)) then begin

if (A>((cHouse(temp.StartHouse).Pressure)+temp.AddPress)) then

A:=cHouse(temp.StartHouse).Pressure+temp.AddPress;

if(B<((cHouse(temp.StartHouse).Pressure)+temp.AddPress)) then

B:=cHouse(temp.StartHouse).Pressure+temp.AddPress;end;

end;

if (temp.Next=nil) then break;

pointer(temp):=temp.Next;

end;

QA:=Q(A,I);

QB:=Q(B,I);

if (QA=0.0) then PD:=A;

if (QB=0.0) then   PD:=B;

if ((QA>0)and(QB<0))

then begin

Y:=B;

B:=A;

A:=Y;

Y:=QB;

QB:=QA;

QA:=Y;

end;

if ((QA<0)and(QB>0)) then

while ((abs(QA)>=EPS)or(abs(QB)>=EPS)) do begin

Y:=(A+B)/2.0;

QY:=Q(Y,I);

if (abs(QY)<EPS) then

begin

PD:=Y;

LOS:=PD;

exit;

end;

if (QY>0.0) then B:=Y else A:=Y;

end;

PD:=(A+B)/2;

LOS:=PD;

end;

Здесь:

I – указатель на узел, для которого происходит расчет на данной итерации

Результат выполнения функции есть значение давления в узле I на данной итерации

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject); //процедура расчета гидравлической сети //методом поузловой увязки. Вызывается путем нажатия на кнопку «Расчет»

var S,J:integer;

temp:cHouse;

begin

if (Base<>nil) then pointer(temp):=Base else exit;

while(1=1) do begin

if temp.IsSet=false then temp.Pressure:=0.0;

if (temp.Next=nil) then break;

pointer(temp):=temp.Next;

end;

P1[0]:=StrToFloat(StringGrid1.Cells[1,1]);

P1[1]:=StrToFloat(StringGrid1.Cells[2,1]);

P1[2]:=StrToFloat(StringGrid1.Cells[3,1]);

P1[3]:=StrToFloat(StringGrid1.Cells[4,1]);

P1[4]:=StrToFloat(StringGrid1.Cells[5,1]);

S:=1;

while (S<>0) do begin

S:=0;

if (Base<>nil) then pointer(temp):=Base else exit;

while(1=1) do begin

if (temp.IsSet=false) then

if (abs(Q(temp.Pressure,temp))>=E)

then begin

S:=S+1;

temp.Pressure:=LOS(temp);

end;

if (temp.Next=nil) then break;

pointer(temp):=temp.Next;

end;

end;

end;

Процедура последовательно рассчитывает давление для каждого узла, проверяет полученный результат на точность путем сверки с заранее установленным контрольным значением, и при неудовлетворительном результате производит пересчет давления до достижения приемлемых результатов.

3.2 Вычислительный эксперимент

Вычислительный эксперимент был проведен в нескольких вариантах

1.Задача была решена для графа линейной структуры (приложение А, рисунок 1).

Она была решена с помощью программы и вручную, результаты расчета совпали (приложение А,рисунок 2).

Входные данные:

N=5

M=4

P (0) =100

P (4) =20

Выходные данные:

P (1) =80

P (2) =60

P (3) =40

2.Задача была решена для графа произвольной структуры (приложение А, рисунок 3).Решение задачи проводилось с помощью  программы и вручную. При сравнении результаты совпали.

Входные данные:

N=14

M=20

Количество вершин, в которых задано давление равно шести (приложение А, рисунок 4).

  Результаты счета: