Исследование элементарных функций
Красноярский Государственный Педагогический Университет им. В.П. Астафьева.
Реферат
На тему: «Исследование элементарных функций».
Выполнила: Квашенко Д.В.
Проверил: Адольф В.А.
г. Красноярск
2005г.
Содержание:
· Определение элементарных функций…………….3
· Функция и её свойства……………………………………..3
· Способы задания функции……………………………….4
· Определение функции……………………………………..4
· Исследование элементарных функций………....6
а) Линейная функция…………………………….......7
б) Степенная функция…………………………………..8
в) Показательная функция……………………………9
г) Логарифмическая функция……………………..10
д) Тригонометрическая функция………………..11
o Y=sin x……………………………….…11
o Y=cos x…………………………………13
o Y=tg x…………………………………..14
o Y=ctg x…………………………………15
е) Обратно тригонометрическая функция..16
o Y=arcsin x…………………………….16
o Y=arccos x……………………………17
o Y=arctg x……………………………..18
o Y=arcctg x…………………………….19
· Список литературы………………………………………..20
Определение элементарных функций.
Функции С (постоянная), xⁿ, ах, 1оgа х, sin х, соs х, tg х, ctg x, аrcsin х, аrccos х, аrctg х называются простейшими элементарными функциями.
Применяя к этим функциям арифметические действия или операции функции от функции, мы будем получать новые более сложные функции, которые называются элементарными функциями.
Например, у = sin (xⁿ) — элементарная функция.
Элементарные функции нам известны из школьной математики.
Функция, и её свойства:
Функция - зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.
●Переменная х - независимая переменная или аргумент.
●Переменная у - зависимая переменная.
●Значение функции - значение у, соответствующее заданному
значению х.
●Область определения функции - все значения, которые принимает независимая переменная.
●Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.
●Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x).
●Функция является нечетной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x).
●Возрастающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2).
●Убывающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2).
Способы задания функции:
●Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x) - заданная функция с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.
●На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента.
Определение функции.
Функция, прежде всего, – это одно из основных понятий математического анализа, и чтобы далее рассматривать различные функции, следует дать определение функции.
Пусть даны две переменные x и y с областями изменения X и Y. Предположим, что переменной x может быть приписано произвольное значение из области X без каких-либо ограничений. Тогда переменная y называется функцией от переменной x в области её изменения X, если по некоторому правилу или закону каждому значению x из X ставится в соответствие одно определенное значение y из Y.
Независимая переменная x называется также аргументом функции.
В этом определении существенны два момента: во-первых, указание области X изменения аргумента x (её называют также областью определения функции) и, во-вторых, установление правила или закона соответствия между значениями x и y (Область Y изменения функции обычно не указывается, поскольку самый закон соответствия уже определяет множество принимаемых функцией значений).
Можно в определении понятия функции стать на более общую точку зрения, допуская, чтобы каждому значению x из X отвечало не одно, а несколько значений y (и даже бесконечное множество их). В подобных случаях функцию называют многозначной, в отличие от однозначной функции, определенной выше.
Для указания того факта, что y есть функция от x, пишут:
y=f (x), y=g (x), y=F (x) и т.п.
Буквы f, g, F, … характеризуют именно то правило, по которому получается значение x, отвечающее заданному y. Поэтому, если одновременно рассматриваются различные функции от одного и того же аргумента x, связанные с различными законами соответствия, их не следует обозначать одной и той же буквой.
Хотя именно буква f связана со словом “функция”, но для обозначения функциональной зависимости может применяться и любая другая буква; иногда даже повторяют одну и ту же букву y: y=y(x). В некоторых случаях пишут аргумент и в виде значка при функции, например,
Если, рассматривая функцию y=f(x), мы хотим отметить её частное значение, которое отвечает выбранному частному значению x, равному f(
F (x)=, g (t)=, то f(1) означает численное значение функции f(x) при x=1, т.е. попросту число g(5) означает число 2, и т. д.
Теперь обратимся к самому правилу, или закону соответствия между значениями переменных, которое составляет сущность понятия функциональной зависимости.
Наиболее просто осуществление этого правила с помощью формулы, которая представляет функцию в виде аналитического выражения, указывающего те аналитические операции или действия над постоянными числами и над значением x, которые надо произвести, чтобы получить соответствующее значение y. Этот аналитический способ задания функции является наиболее важным для математического анализа.
Однако будет ошибочным думать, что это – единственный способ, которым может быть задана функция. В самой математике нередки случаи, когда функция определяется без помощи формулы. Такова, например, функция E(x) – “целая часть числа x”. Например,
E (1)=1, E (2,5)=2, E ()=3, E (-)=-4 и. т.,
хотя никакой формулы, выражающей E(x), у нас нет.
Функция, все значения которой равны между собой, называется постоянной. Постоянную функцию обозначают C (f (x) = C).
Функция f (x) называется возрастающей (убывающей) на множестве X, если для любой пары чисел < следует, что f (f (f ( ) > f ( )).
Функция f(x) называется четной, если область её определения X есть множество, симметричное относительно начала координат, и при любом x из X имеет место равенство f(-x)=f(x).
График четной функции симметричен относительно оси Oy.
Функция f(x) называется нечетной, если область её определения X есть множество, симметричное относительно начала координат, и если при любом x из X имеет место равенство f(-x)=-f(x).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Сумма и разность двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная).
Действительно, пусть y(x)=f(x) + g(x). Тогда, если f(x) и g(x) – четные, то y (-x) = f(-x) + g(-x) = f (x) + g (x) = y (x). Если же f (x) и g (x) – нечетные функции, то функция y (x) также будет нечетной, y (-x) = f (-x) + g (-x) = -f (x) – g (x) = -[f (x) + g (x)] = -y (x). (Для разности доказательство аналогичное).
Произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная, а произведение четной функции на нечетную – нечетная функция.
В самом деле, пусть y (x) = f (x)*g (x) и f (x) и g (x) – четные функции, тогда y (-x) = f (-x)*g (-x) = f (x)*g (x) = y (x); если f (x) и g (x) – нечетные функции, то y (-x) = f (-x)*g(-x) = [-f (x)]*[-g(x)] = y (x); если же f (x) – четная, а g (x) – нечетная функции, то y (x) = f (x)*g (-x) = f (x)*[-g (x)] = -y (x).
Функция f (x) называется периодической, если существует число Т x из области определения функции выполняется равенство f (x - T) = f (x) = f (x + T). Число T называется периодом функции. Если T – период функции, то её периодом является также число – T, так как f (x-T) = f [(x - T) +T] = f (x).
Если T – период функции, то её периодом будет также и число kT, где k – любое целое число (k=f (x 2T) = f [(x)T] = f (x) = f (x), f (x 3T) = f [(x 2T) ] = f (x 2T) = f (x 2T) = f (x);обычно под периодом функции понимают наименьший из положительных периодов, если такой период существует.
Исследование элементарных функций .
Основные простейшие элементарные функции:
· Линейная функция y=kx+b;
· Степенная функция y=xⁿ;
· Квадратичная функция;
· Показательная функция (0 <a1);
· Логарифмическая функция (0 < a1);
· Тригонометрические функции: sin x, cos x, tg x, ctg x;
· Обратные тригонометрические функции: arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.
Линейная функция.
y = kx + b
1. Областью определения линейной функции служит множество R всех действительных чисел, так как выражение kx+b имеет смысл при любых значениях x
2. Множеством значений линейной функции при k¹0 является множество R всех действительных чисел
3. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как f (-x) = -kx + b .
4. Функция не является периодической, за исключением частного случая, когда функция имеет вид y=b.
5. Асимптоты графика функции не существуют.
6. Функция возрастает при k>0, функция убывает при k<0.
7. Функция не является ограниченной.
8. График линейной функции y=kx+b – прямая линия. Для построения этого графика, очевидно, достаточно двух точек, например A(0; b) и B(-b/k; 0), если k¹0. График линейной функции y=kx+b может быть также построен с помощью параллельного переноса графика функции y=kx. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y=kx и положительное направление оси Ox, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k>0, то этот угол острый, если k<0 – тупой; а при k=0 прямая параллельна оси Ox.
9. Точек перегиба не существует.
10. Не существует экстремальных точек.
y=kx+b (k<0) y=kx+b (k>0)
Степенная функция.
Степенная функция с натуральным показателем y=xn,
где n-натуральное число.
1. Область определения функции: D(f)= R;
2. Область значений: E(f)= (0;+∞);
3. Функция является четной, т.е. f(-x)=f(x);
4. Нули функции: y=0 при x=0;
5. Функция убывает при x(-∞;0];
6. Функция возрастает при x[0;+ ∞);
7.
8. Если n-четное, то экстремум функции x=0
Если n-нечетное, то экстремумов функции нет
9. Если n-четное, то точек перегиба нет
Если n-нечетное, то точка перегиба x=0
10. График функции:
a) Если n=2, то графиком функции является квадратная парабола;
b)Если п = 3, то функция задана формулой у = х3. Ее графиком является кубическая парабола;
c)Если п — нечетное натуральное число, причем п 1, то функция обладает свойствами теми же, что и у = х3.
|
|
|
Рассмотрим свойства степенной функции с нечетным показателем (п1):
1. Область определения функции: D(f)= R;
2. Область значений [0,+∞];
3. Функция является четной, т.е. f(-х)=f(х);
4. Нули функции: у = 0 при х = 0;
5. Функция убывает на промежутке (-∞;0), возрастает на промежутке (0;+∞).
6. График функции: [1]
Рассмотрим свойства степенной функции с четным показателем :
1. Область определения функции: D(f)= R;
2. Область значений: E(f)= R;
3. Функция является нечетной, т.е. f(-х)=-f(х);
4. Нули функции: у = 0 при х = 0;
5. Функция возрастает на всей области определения.
6. График функции: [2]
Показательная функция.
Y = ax
1. Область определения функции: -∞ < х < +∞
2. Множество значений функции: 0 < y < +∞
3. Функция ни четная, ни не чётная, так как f(-x) = a-x
4. Функция не является периодической.
5. Асимптоты графика функции:
Вертикальных асимптот не существует,
Горизонтальная асимптота у = 0
6. Если а > 1, то функция возрастает на промежутке -∞ < x < +∞ (на рис.1);
7. если 0 < a < 1, то функция убывает на промежутке -∞ < x < +∞ (на рис. 2);
8. Точка (0; 1) – единственная точка пересечения с осями координат.
9. Не существует точек перегиба.
10. Не существует экстремальных точек.
[1]
Логарифмическая функция.
Y = logax
1. Область определения функции: 0 < x < ∞
2. Множество значений функции: -∞ < y < +∞
3. Функция ни четная, ни нечетная, так как f(-x) = loga(-x)
4. Функция не периодическая
5. Асимптоты графика функции:
Вертикальные асимптоты х = 0
Горизонтальных асимптот не существует
6. Если a > 1, то функция возрастает на промежутке 0 < x < +∞ (на рис.1);
если 0 < a < 1, то функция убывает на этом же промежутке (на рис.2);
7. Точка (1; 0) – единственная точка пересечения с осями
координат.
8.Не существует точек перегиба.
9.Не существует экстремальных точек.
[2]
[1]
Тригонометрические функции.
Функция y=sin x
Свойства функции y=sin x:
1. Область определения функции: D(f)=R;
2. Область значений: E(f)=[-1;1];
3. Функция является нечетной, т.е. sin(-x) = - sin x;
4. Функция периодическая с положительным наименьшим периодом 2π;
5. Нули функции: sin x = 0 при x = πk, kZ;
6. Функция принимает положительные значения: sin x>0 при xπk; π+2πk), kZ;
7. Функция принимает отрицательные значения: sin x<0 при xπ+2πk; 2π+2πk), kZ;
8. Функция возрастает на [-1;1] при xπk; πk], kZ;
9. Функция убывает на [1;-1] при xπk; πk], kZ;
10. Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках x=πk, kZ;
11. Функция принимает наименьшее значение, равное -1, в точках x=πk, kZ;
12.
b) нет горизонтальных асимптот
13. Графиком функции является синусоида.
|
Функция y=cos x
Свойства функции y=cos x:
1. Область определения функции: D(f)=R;
2. Область значений: E(f)=[-1;1];
3. Функция является четной, т.е. cos (-x) = cos x;
4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π;
5. Нули функции: cos x = 0 при x = πk, kZ;
6. Функция принимает положительные значения: cos x>0 при xπk; πk), kZ;
7. Функция принимает отрицательные значения: cos x<0 при xπk; πk), kZ;
8. Функция возрастает на [-1;1] при xπ+2πk; 2πk], kZ;
9. Функция убывает на [1;-1] при xπk; π+2πk], kZ;
10. Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках x=2πk, kZ;
11. Функция принимает наименьшее значение, равное -1, в точках x=π+2πk, kZ;
12.
13. Графиком функции является косинусоида:
|
Функция y=tg x
Свойства функции y=tg x:
1. Область определения функции: D(f)=R , кроме чисел вида x =πk, kZ;
2. Область значений: E(f)=R;
3. Функция является нечетной, т.е. tg (-x) = - tg x;
4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π;
5. Нули функции: tg x = 0 при x = πk, kZ;
6. Функция принимает положительные значения: tg x>0 при xπk; πk), kZ;
7. Функция принимает отрицательные значения: tg x<0 при xπk; πk), kZ;
8. Функция возрастает на (-xπk ; πk ), kZ;
9.
10. Графиком функции является тангенсоида:
|
Функция y=ctg x
Свойства функции y=ctg x:
1. Область определения функции: D(f)=R , кроме чисел вида x = πn , где n Z;
2. Область значений: E(f)=R;
3. Функция является нечетной, т.е. ctg (-x) = - ctg x;
4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π;
5. Нули функции: ctg x = 0 при x = πn, nZ;
6. Функция принимает положительные значения: ctg x>0 при xπn; πn), nZ;
7. Функция принимает отрицательные значения: ctg x<0 при xπn; π +πn), nZ;
8. Функция убывает в каждом из промежутков (πn ; π +πn), nZ;
9. a) вертикальные асимптоты x= πn и x=0
b) наклонных асимптот нет
10.
|
|
Обратно тригонометрические функции.
Функция y=arcsin x
Свойства функции y=arcsin x:
1. Область определения функции: D(f)=[-1;1];
2. Область значений: E(f)=[-
3. Функция является нечетной, т.е. arcsin (-x) = - arcsin x;
4. Нули функции: arcsin x = 0 при x = 0;
5. Функция возрастает на [-1;1];
6. Функция принимает наибольшее значение при x=1;
7. Функция принимает наименьшее значение при x= -1;
8.
9. График функции y = arcsin x:
|
Функция y=arccos x
Свойства функции y=arccos x:
1. Область определения функции: D(f)=(-1;1);
2. Область значений: E(f)=[0; π];
3. Функция не является ни четной, ни нечетной;
4. Нули функции: arccos x = 0 при x = 1;
5. Функция убывает на (-1;1);
6. Функция принимает наибольшее значение π при x =-1;
7. Функция принимает наименьшее значение 0 при x= 1;
8. a) вертикальные асимптоты x=-1 и x=1
b)наклонных асимптот нет
9. График функции y = arccos x:
|
Функция y=arctg x
Свойства функции y=arctg x:
1. Область определения функции: D(f)=R;
2. Область значений: E(f)= (-
3. Функция является нечетной, т.е. arctg (- x) = - arctg x;
4. Нули функции: arctg x = 0 при x = 0;
5. Функция возрастает на R;
6. a) нет вертикальных асимптот
b) наклонные асимптоты y= πn
7. График функции y = arctg x:
|
Функция y=arcctg x
Свойства функции y=arcctg x:
1. Область определения функции: D(f)=R;
2. Область значений: E(f)= (0; π );
3. Функция не является ни четной, ни нечетной;
4. Нули функции: arctg x = 0 при x =
5. a) нет вертикальных асимптот
b) наклонные асимптоты y= πn
6.Функция убывает на R;
7.График функции y = arcctg x:
Литература:
ü Э.С. Маркович «Курс высшей математики»
ü А.Г. Цыпкин «Справочник по математике»
ü М.М. Потапов, В.В. Александров, П.И. Пасиченко «Алгебра и анализ элементарных функций»