Исследование искажений сигналов на выходе фильтра нижних частот
Министерство общего и профессионального образования РФ
Государственный Санкт-Петербургский электротехнический университет «ЛЭТИ» имени Ульянова-Ленина
Кафедра ТОЭ
Пояснительная записка к курсовой работе
по теории электрических цепей
«Исследование искажений сигналов на выходе фильтра нижних частот»
Выполнил: Антонов В.В.
Группа: 3322
Факультет: КТИ
Кафедра: АПУ
Вариант: 01
Руководитель: Соколов В.Н.
Санкт – Петербург
2005
Оглавление
TOC o "1-5" h z u Цель работы.. h 3
Выполнение курсового расчета. h 4
1. Нормирование параметров и переменных цепи. h 4
2. Определение передаточной функции цепи ........ PAGEREF _Toc103016361 h 5
3. Расчет частотных характеристик цепи ........... PAGEREF _Toc103016362 h 8
4. Составление уравнений состояния цепи. h 10
5. Определение переходной и импульсной характеристик. h 12
6. Вычисление реакции цепи при воздействии одиночного импульса на входе. h 17
7. Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия. h 19
8. Вычисление спектра реакции при одиночном импульсе на входе. h 21
10. Определение спектра периодического входного сигнала. h 23
11. Приближенный расчет реакции при периодическом воздействии. h 25
Список использованной литературы.. PAGEREF _Toc103016372 h 28
Цель работы
Практическое освоение и сравнение различных методов расчета цепей.
Техническое задание
Из [3, стр. 60]: на вход электрической цепи, представленной на Рис. T.1, с момента t = 0 подается импульс напряжения Рис. T.2 .
Параметры цепи: 114 -
Параметры импульса:
|
Рис. T.1. Схема цепи |
|
u1(t) |
|
R1 |
|
U2 |
|
3 |
|
2 |
|
4 |
|
1 |
|
R2 |
|
L1 |
|
C1 |
|
C2 |
|
Uвх |
|
t |
|
T = tи |
|
0 |
|
A |
|
tи/4 |
|
(3tи)/4 |
|
Рис. T.2. Входной импульс |
В курсовой работе требуется:
1. Определить передаточную функцию, частотные и временные характеристики цепи.
2. Исследовать реакцию цепи при воздействии одиночного импульса.
3. Исследовать установившуюся реакцию цепи при воздействии периодической последовательности импульсов.
Примечание: при выполнении данной курсовой работы для разного рода аналитических и численных расчетов применялся математический пакет MathCAD 12.
Выполнение курсового расчета
1. Нормирование параметров и переменных цепи
Нормирование параметров и переменных цепи произведем в целях облегчения процессов вычисления, в которых они используются. Суть нормирования заключается в сближении порядков значений параметров и переменных цепи. Для нормировки будем использовать следующие формулы [4]:
где:
§ величины с индексом «звездочка» - есть пронормированные величины;
§ величины с индексом «сигма» - это те величины, по которым производится нормировка (базисные величины). Примем базисные величины следующими: (поскольку время импульса имеет размерность «мкс»)
Произведем нормирование параметров цепи согласно указанным выше условиям (все полученные величины - безразмерные):
В дальнейшем, в целях упрощения записей, все величины будем полагать пронормированными и поэтому символ «звездочка» в индексе величин указывать не будем.
2. Определение передаточной функции цепи
|
C |
|
А |
|
ZL1 |
|
2 |
|
Zc1 |
|
Рис. 2.1. Операторная схема цепи |
|
Zc2 |
|
B |
|
u1(t) |
|
R1 |
|
U2 |
|
3 |
|
4 |
|
1 |
|
R2 |
Согласно [1, стр. 156] передаточной функцией цепи называют отношение изображения реакции к изображению единственного в цепи воздействия при нулевых независимых начальных условиях. В нашем случае передаточная функция цепи имеет вид:
Для определения передаточной функции построим операторную схему замещения цепи (Рис. 2.1). Проведем машинный расчет передаточной функции цепи:
Проконтролируем полученные результаты способом, описанным в [2, стр. 191]:
1. Исходя из физики процесса (экспоненты в реакции должны быть затухающими), корни характеристического полинома цепи должны лежать в левой полуплоскости. Необходимое для этого условие: все коэффициенты полинома имеют один и тот же знак – выполнено. Проверим достаточное условие согласно теореме Гурвица:
Действительно, все представленные выше определители положительны. Следовательно, согласно теореме Гурвица, корни характеристического полинома цепи лежат в левой полуплоскости, а соответствующая им система дифференциальных уравнений - устойчива.
2. Рассмотрим эквивалентные схемы замещения исходной цепи на характерных частотах и [2] (Рис. 2.2). При получаем: (сопротивления нет, поэтому можно заменить данный элемент на короткозамкнутый участок), (заменяем на КЗ),
|
R1 |
|
U1 |
|
C |
|
L≡КЗ |
|
R1 |
|
U2 |
|
3 |
|
2 |
|
4 |
|
R2 |
|
U1 |
|
С1≡ХХ |
|
Рис. 2.2. Схемы замещения |
|
С2≡ХХ |
|
а |
|
C |
|
L≡ХХ |
|
U2 |
|
3 |
|
2 |
|
4 |
|
R2 |
|
С1≡КЗ |
|
С2≡КЗ |
|
б |
Случай а (
Случай б (
Проведенная проверка позволяет говорить о правильности полученного выше результата.
Нули передаточной функции определяются как корни полинома ее числителя. В нашем случае в числителе находится числовая константа, которая никогда не обратится в ноль. Поэтому можно сказать, что нули нашей передаточной функции находятся в бесконечности.
Вычислим теперь полюсы полученной передаточной функции (собственные частоты цепи). Согласно [1, стр. 157] они являются корнями характеристического полинома ее знаменателя. Произведем машинный расчет корней и изобразим их на комплексной плоскости (Рис. 2.3):
Оценим практическую длительность переходных процессов:
3. Расчет частотных характеристик цепи
Согласно [3, стр. 31] найдем аналитические выражения для Амплитудно-Частотной, Фазочастотной и Амплитудно-Фазовой характеристик цепи и постоим их графики (Рис. 3.1, 3.2 и 3.3. соответственно):
Определим полосу пропускания на уровне:
Частота среза:
Если предположить, что спектр входных сигналов попадает в указанную полосу пропускания, ожидаемые изменения амплитуды и времени запаздывания сигналов будут следующими:
§ Время запаздывания сигнала на выходе цепи:
§ Амплитуда выходного сигнала изменится в раз (уменьшится в два раза).
4. Составление уравнений состояния цепи
|
Ik1 |
|
4 |
|
uc1 |
|
Рис. 4.1. Резистивная цепь |
|
uc2 |
|
iL |
|
Ik2 |
|
Ik3 |
|
2 |
|
u1(t) |
|
R1 |
|
U2 |
|
3 |
|
1 |
|
R2 |
Для составления уравнений состояния цепи воспользуемся методом вспомогательных источников: заменим индуктивные элементы источниками тока, а конденсаторы – источниками напряжения (Рис. 4.1.). Расчет получившейся резистивной цепи будем осуществлять методом контурных токов (МКТ):
Уравнения состояния:
Произведем машинный расчет характеристического полинома цепи:
Проконтролируем полученные результаты способом, описанным в [3, стр. 28]:
1. Корни характеристического полинома цепи совпали с корнями знаменателя передаточной функции, который согласно [1, стр. 157] также является характеристическим полиномом цепи.
2. Рассмотрим эквивалентные схемы замещения исходной цепи (Рис. 4.2).
|
R1 |
|
U1 |
|
C |
|
L≡КЗ |
|
R1 |
|
U2 |
|
3 |
|
2 |
|
4 |
|
R2 |
|
U1 |
|
С1≡ХХ |
|
Рис. 4.2. Схемы замещения |
|
С2≡ХХ |
|
а |
|
C |
|
L≡ХХ |
|
U2 |
|
3 |
|
2 |
|
4 |
|
R2 |
|
С1≡КЗ |
|
С2≡КЗ |
|
б |
Случай а - вынужденный режим (
Случай б (
Такие же значения производных получаем из уравнений состояния при
Проведенная проверка позволяет говорить о правильности полученного выше результата.
5. Определение переходной и импульсной характеристик
Согласно [1, стр. 156] передаточная функция цепи
H(s) ¸h(t)
Также исходя из [1, стр. 156], переходная характеристика цепи определяется из выражения:
h1(t)¸H1(s)=H(s)/s
Таким образом, импульсную и переходную характеристики цепи можно найти, взяв оригинал от изображения и соответственно (для этого следует использовать теорему разложения, описанную в [1, стр. 140]). Произведем машинный расчет для данного случая (при этом необходимо полученный результат домножить на для на для ):
Проконтролируем полученные результаты способом, описанным в [3, стр. 33]: контролю подвергнем конечное и начальное значения полученной переходной характеристики, использовав теоремы о конечном и начальном значении:
Условие совпадения и выполнено, что позволяет говорить о правильности полученного выше результата.
Построим графики переходной (Рис. 5.2) и импульсной (Рис. 5.1) характеристик цепи, изобразив на графиках кроме этого еще и составляющие аналитического расчета этих характеристик (см. следующий лист).
Согласно Рис. 5.2. длительность переходного процесса составляет примерно 3, что согласуется с нашими предположениями о значении данной величины в п.2 курсового расчета (см. выше).
Найдем теперь переходную и импульсную характеристики цепи по уравнениям состояния, полученным в п. 4 курсового расчета. Входное воздействие:
Общий вид уравнения:
Таким образом,
Свободная составляющая решения: собственных колебаний согласно [1, стр. 157] есть корни характеристического полинома, которые были найдены в п. 4 курсового расчета. Длительность переходного процесса:
Начальное значение по закону коммутации
Начальное значение второй производной:
Для определения постоянных интегрирования решим систему уравнений:
Машинный расчет корней данной системы уравнений:
Таким образом, значение постоянных интегрирования
Получаем реакцию:
Таким образом:
Для получения импульсной характеристики цепи продифференцируем переходную характеристику:
Данные выражения, что и следовало ожидать, совпадают с результатами расчета по Лапласу переходной и импульсной характеристики цепи.
6. Вычисление реакции цепи при воздействии одиночного импульса на входе
Для получения реакции цепи при воздействии представленного на Рис. Т.2. одиночного импульса на входе воспользуемся аналитическим методом расчета: разложим сигнал на элементарные составляющие при помощи обобщенных функций цепи. Далее изобразим на Рис. 6.1. исходный входной сигнал, заданный в условии, и сигнал на выходе цепи.
Исходя из Рис. 6.1. можно заключить, что:
· Сигнал на выходе цепи подвергся искажениям.
· В общем, несмотря на произошедшие искажения, форма сигнала весьма близка к форме сигнала исходного (входного сигнала цепи) – искажения сигнала по форме можно признать незначительными.
· Предположения о характере выходного сигнала, сделанные в п. 3 курсового расчета, с целом, оправдались: амплитуда выходного сигнала приблизительно в два раза меньше амплитуды входного сигнала цепи, время запаздывания сигнала, исходя из графика, несколько меньше по сравнению с нашими предположениями.
Искажение исходного сигнала на выходе цепи связано, прежде всего, с особенностями прохождения тока через реактивные элементы цепи, а именно с запаздыванием реакции вследствие инерционности этих элементов (этим и объясняется запаздывание сигнала на выходе).
7. Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия
Найдем изображение по Лапласу входного одиночного сигнала, затем - амплитудный и фазовый спектры одиночного входного сигнала, затем – построим их графики (Рис. 7.1 и 7.2. соответственно).
При сравнении ширины амплитудного спектра (которая была оценена по 10%-му критерию на Рис. 7.1. и составляет характеристика в этой полосе близка к линейной.
Значит, правомерно предположить, что сигнал на выходе цепи подвергнется весьма незначительным искажениям, что согласуется с нашей оценкой, данной в п. 6 выше.
8. Вычисление спектра реакции при одиночном импульсе на входе
10. Определение спектра периодического входного сигнала
11. Приближенный расчет реакции при периодическом воздействии
Полученный в данном пункте Рис. 11.3. подтверждает наши предположения, сделанные выше, о незначительных искажениях сигнала на выходе цепи.
Заключение
Выполненная работа позволяет произвести сравнение различных методов расчета цепей. После ее проведения можно заключить следующее:
1. Наиболее трудоемким является отыскание реакции цепи во временной области.
2. Применение преобразований Лапласа и Фурье позволяет значительно упростить отыскание реакции на воздействие сигнала произвольной формы.
3. Применение частотного метода анализа при апериодическом воздействии позволяет сделать качественные выводы об искажениях сигнала при его прохождении через цепь.
4. При воздействии периодического сигнала наиболее оправданным является применение частотного метода анализа.
Список использованной литературы
1. Основы теории электрических цепей: Учебник для вузов. – СПб.: Издательство «Лань», 2002. – 464 с.
2. Сборник задач и практикум по основам теории электрических цепей. – СПб.: Питер, 2005. – 304 с.:ил. – (Серия «Учебное пособие»).
3. Курсовое проектирование по теории электрических цепей. – СПб.: Издательство СПб ГЭТУ «ЛЭТИ», 1996. – 136 с.:ил.
4. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи. М.: Высш. шк., 1990.
5. Mathcad 11: полное руководство по русской версии. – М.: ДМК Пресс, 2005. – 592 с., ил.
6. Лектор: доцент кафедры ТОЭ СПб ГЭТУ «ЛЭТИ», к.т.н. Соколов Валентин Николаевич.
7. Лектор: доцент кафедры Высшей математики – 2 СПб ГЭТУ «ЛЭТИ», к.т.н Дюмин Виктор Георгиевич.