Исследование кривых и поверхностей второго порядка
Международный университет природы, общества и человека
«Дубна»
Кафедра высшей математики
Курсовая работа
по линейной алгебре и аналитической геометрии
студентки I курса 1033 группы
Ярмак Елены Владимировны
«Исследование кривых и поверхностей
второго порядка»
Руководители: старший преподаватель Маркова И. А.
ассистент Павлов А. С.
Дубна, 2002
Оглавление TOC o "1-3" h z
Анализ кривой второго порядка. h 4
1. Определение зависимости типа данной кривой (1) от параметра b с помощью инвариантов h 4
4. Вывод уравнения осей канонической системы координат.. h 8
5. Построение кривой в канонической и общей системах координат.. h 9
Анализ поверхности второго порядка. h 11
1. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений h 11
2. Построение поверхности в канонической системе координат.. h 16
Список использованной литературы.. h 18
Задание 1
1.Определить зависимость типа данной кривой от параметра b с помощью инвариантов.
2. Привести уравнение кривой при b = 0 к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.
3. Найти фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка.
4. Написать уравнения осей канонической системы координат.
5. Построить кривую в канонической и общей системах координат.
Задание 2
Для данного уравнения поверхности второго порядка:
1. Исследовать форму поверхности методом сечений и построить полученные сечения.
2. Построить поверхность в канонической системе координат.
Цель
Целью курсовой работы является закрепление и углубление полученных студентом знаний и технических навыков по изучению и анализу свойств кривых и поверхностей второго порядка.
Задача
Определить зависимость типа данной кривой от параметра b с помощью инвариантов. Привести уравнение кривой при b = 0 к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей. Найти фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка. Написать уравнения осей канонической системы координат. Построить кривую в канонической и общей системах координат.
Исследовать форму данной поверхности методом сечений и построить полученные сечения. Построить поверхность в канонической системе координат.
Исходные данные
Уравнение кривой второго порядка:
.
Уравнение поверхности второго порядка:
Их инварианты и классификация.
Анализ кривой второго порядка
Для данного уравнения кривой второго порядка:
(1)
1. Определение зависимости типа данной кривой (1) от параметра b с помощью инвариантов
Для уравнения кривой второго порядка (1) имеем:
Вычислим инварианты кривой
.
.
.
В соответствии с классификацией кривых второго порядка:
Если I2 = 0, то уравнение (1) определяет кривую параболического типа. Но I2 = -306-11b , следовательно, если
Если I2 ¹ 0, то данная кривая – центральная. Следовательно, при данная кривая – центральная.
Если I2 > 0, то уравнение (1) определяет кривую эллиптического типа. Следовательно, если I1I3 = (1-b)(4885b-306) < 0, и в соответствии с признаками кривых второго порядка (I2 > 0, I1I3 < 0) получим, что если
Если I2 < 0, то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа. Следовательно, если
Если I2 < 0 и I3 = 0, то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые. Получим:
Следовательно, если
Если I2 < 0 и I3 ¹ 0, то данная кривая – гипербола. Но I3 ¹ 0 при всех за исключением точки
|
Значение параметра b |
|||||
|
Тип кривой |
Эллипс |
Парабола |
Гипербола |
Две пересекающиеся прямые |
Гипербола |
2. Приведение уравнения кривой при b = 0 к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей
При b = 0 уравнение (1) принимает следующий вид:
(2)
Согласно таблице, это гипербола. Приведем уравнение кривой (2) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей. Мы установили, что данная кривая – центральная, поэтому используем методику приведения к каноническому виду для уравнения центральной кривой.
а) Совершим параллельный перенос начала координат в точку x, y произвольной точки М плоскости в системе координат xOy и координаты x’, y’ в новой системе координат x’O’y’ связаны соотношениями:
Подставляя эти выражения для x и y в уравнение (1), получим:
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим уравнение вида
В этом уравнении коэффициенты при x’ и y’ приравняем к нулю. Получим систему уравнений относительно
которая определяет координаты центра исходной кривой. Следовательно, - решение данной системы и точка О’(2, 4) – центр данной кривой. Подставим найденные значения в уравнение (2), получим
(3)
б) Дальнейшее упрощение уравнения (3) достигается при помощи поворота осей координат на угол a.
При повороте осей координат на угол a координаты x’, y’ произвольной точки М плоскости в системе координат х’O’y’ и координаты Х, Y в новой системе координат XO’Y связаны соотношениями:
(4)
Подставляя (4) в уравнение кривой (3), получим:
Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим уравнение вида:
(5)
Выберем угол a такой, что в уравнении (5) коэффициент при произведении X×Y равен нулю:
Это требование эквивалентно уравнению:
(6)
Решая уравнение (6), получим:
Tga=k, k – угловой коэффициент оси О’Х. Он определяется формулой:
l1 – корень характеристического уравнения данной кривой, совпадающий со знаком I3. Характеристическое уравнение для данной кривой (1) имеет вид
Следовательно,
Тогда получим, что tga найдем sina и cosa:
Подставляя эти значения в уравнение (5), получим:
т. е. преобразование уравнения будет иметь вид
и, соответственно, уравнение
- это каноническое уравнение исходной гиперболы с центром в точке O’(2, 4) и полуосями и
3. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситета и асимптот (если они есть) данной кривой второго порядка
Найдем фокусы гиперболы. Коoрдинаты F1,2 равны (±с, 0), с определяется по формуле:
Следовательно, точки и - фокусы данной гиперболы.
Найдем эксцентриситет гиперболы:
Найдем директрисы гиперболы:
D1: D2: .
Найдем асимптоты гиперболы:
.
4. Вывод уравнения осей канонической системы координат
Напишем уравнения осей канонической системы координат. Из задания 2 известно, что точка О’(2, 4) – центр данной кривой. Оттуда же известен угловой коэффициент оси O’X XO’Y в исходной системе координат xOy. Так как система XO’Y – каноническая для данной гиперболы, то ее центр находится в центре кривой – точке О’(2, 4), т е. оси О’X и O’Y проходят через точку О’. Уравнение прямой, проходящей через данную точку k имеет вид: Следовательно, ось О’X в системе координат xOy имеет уравнение
Так как ось О’Y перпендикулярна оси О’X, то ее угловой коэффициент Следовательно, ось О’Y имеет уравнение или
5. Построение кривой в канонической и общей системах координат
На основе полученной информации, нарисуем кривую в канонической и общей системах координат:
Рис. 1. Кривая в общей и канонической системах координат.
Рис. 2. Кривая в канонической системе координат.
Анализ поверхности второго порядка
Для данного уравнения поверхности второго порядка:
(7)
1. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений
1) Для того чтобы исследовать поверхность методом сечений, сначала приведем уравнение (7) к каноническому виду с помощью параллельного переноса и поворота осей координат.
Совершим параллельный перенос начала координат в точку x, y, z произвольной точки М плоскости в системе координат Oxyz и координаты x’, y’, z’ в новой системе координат O’x’y’z’ связаны соотношениями:
Подставляя эти выражения для x, y, z в уравнение (7), получим:
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим уравнение вида
(8)
В уравнении (8) коэффициенты при x,’ y’, z’ приравняем к нулю. Получим систему уравнений относительно ,
которая определяет координаты центра исходной поверхности. Следовательно, - решение данной системы и точка – центр данной поверхности. Подставим найденные значения , в уравнение (8), получим
(9)
Дальнейшее упрощение уравнения (3) достигается при помощи поворота осей координат на угол a. При повороте осей координат O’Y и O’Zна угол a координаты y’, z’ произвольной точки М плоскости yOz в системе координат O’х’y’z’ и координаты Y, Z в новой системе координат O’XYZ связаны соотношениями:
(10)
Подставляя (10) в уравнение поверхности (9) с последующим раскрытием скобок и приведением подобных членов, получим уравнение вида:
(11)
Выберем угол a такой, что в уравнении (11) коэффициент при произведении Y×Z равен нулю:
Получим, что a, решим характеристическое уравнение для эллипса
Отсюда вычислим угловой коэффициент поворота осей k:
Следовательно, cosa = sina = ±
Подставляя эти значения в уравнение (11), получим:
т. е. уравнение
(12)
– это каноническое уравнение для данной поверхности, которое задает эллипсоид с полуосями и a=b, то эллипсоид называется сплюснутым.
2) Данное каноническое уравнение (12) задает эллипсоид.
Рассмотрим линии, полученные в сечениях эллипсоида плоскостями Z=h (h=const). Эти линии определяются системой уравнений:
Решая эту систему, получаем:
(13)
где h – любое вещественное число. Уравнения (13) – это уравнения окружностей с радиусом ½h½, с центрами на оси O’Z в точках C(0, 0, h). Плоскость XO’Y (h=0) пересекает эллипсоид по окружности:
Эта окружность будет наибольшей, как видно из выражения радиуса. При получаем уравнение:
т. е. сечения в таких значениях h будут представлять собой точки в центре координат полученных сечений. При получаем отрицательное число под корнем, т. е. при таких значениях h плоскость XO’Y не пересекает данный эллипсоид. При получаем окружность:
Изобразим полученные сечен
Рис. 3. Сечение плоскостью Z=h.
Рассмотрим линии, полученные в сечениях эллипсоида плоскостью X=h:
Решая эту систему, получаем:
(14)
где h – любое вещественное число. Уравнения (14) – это уравнения эллипсов с полуосями:
уменьшающимися с увеличением ½h½, с центрами на оси O’X в точках C(h, 0, 0) и осями, параллельными плоскости YO’Z.
Плоскость YO’Z (h=0) пересекает эллипсоид по эллипсу
Этот эллипс будет наибольшим, как видно из выражения полуосей. При получаем уравнение
т. е. сечения в таких значениях h будут представлять собой точки в центре координат полученных сечений. При получаем
т. е. при таких значениях h плоскость YO’Z не пересекает данный эллипсоид. При получаем эллипс:
Изобразим полученные сечения:
Рис. 4. Сечение плоскостью X=h.
Аналогичная картина получаются при сечении эллипсоида плоскостью XO’Z.
2. Построение поверхности в канонической системе координат
Проанализировав каноническое уравнение эллипсоида (12) и на основе данных исследований методом сечений плоскостями, построим эллипсоид:
Рис. 5. Эллипсоид.
Вывод
Мы научились приводить уравнения кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду, применяя параллельный перенос и поворот осей, строить их, исследовать поверхность методом сечений. Также мы приобрели навыки оформления текстовых документов.
Список использованной литературы
1. Ильин В. А., Позняк Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1974
2. Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике для ВТУЗов (4 части). – М.: Наука, 1993.
|
Преподаватель. |
Оценка. |
Подпись. |
Дата. |