Исследование прочности на разрыв полосок ситца

Министерство образования и науки РФ

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Московской области

Международный Университет природы

общества и человека «Дубна»

Филиал «Котельники»

Кафедра естественных и гуманитарных наук.

К У Р С О В А Я   Р А Б О ТА

«Исследование прочности на разрыв полосок ситца»

по дисциплине:

«Теория вероятностей и математическая статистика»

Выполнила студентка

Второго курса 262 ЭТ группы

Одинцова Е.С.

Проверила:

___________Поздеева С.Н.

2006г.

Содержание

1.     Введение………………………………………………….3стр.     

2.     Цель работы………………………………………………3

3.     Постановка задачи………………………………………. 3

4.     Исходные данные……………………………………….. 4

5.     Распределение случайной величины на основе

      опытных данных………………………………………… 4

6.     Построение эмпирической функции распределения….. 9

7.     Статистические оценки параметров распределения……12

8.     Проверка гипотезы о нормальном распределении,

Изучаемой случайной величины…………………………16

9.     Заключение…………………………………………………19

10.                                                                                                                                                                                                                  Список литературы………………………………………..20

1. Введение.

Математическая статистика – наука которая занимается разработкой методов отбора, группировки и обработки опытных данных  с целью изучения закономерностей массовых случайных явлений.

Математическая статистика опирается на методы и понятия теории вероятностей и, в свою очередь, служит основой для обработки анализа статистических результатов в конкретных областях человеческой деятельности.

Задачи математической статистики:

1)    нахождение функции распределения по опытным данным.

2)    из теоретических соображений функция распределения оказывается в общем виде известна, но неизвестны её параметры. Неизвестные параметры определяются по опытным данным.

3)    Статистическая проверка гипотез:

в общем виде известна функция распределения, определяют её неизвестные параметры и выясняют, как согласуются экспериментальные данные с общим видом функции распределения.

2. Цель курсовой работы.

     Целью курсовой работы является закрепление теоретических знаний и приобретения навыков обработки статистической информации.

    

3.Постановка задачи

В данной курсовой работе были поставлены следующие задачи для

обработки статистических данных:

1)    построение полигона частот и относительных частот

2)    построение гистограммы частот и относительных частот

3)    построение эмпирической функции распределения.

4)    нахождение выборочной средней, выборочной дисперсии и                    

               нахождение среднего выборочного квадратичного                                       отклонения.

            5) проверка гипотезы о нормальном распределении изучаемой случайной величины.

4. Исходные данные

Вариант 14

Прочность на разрыв полосок ситца (в дан.):

32      31      34      32      31      29      32      34      33      31      31      34      32      31      35      32

34      33      31      30      30      32      32      34      31      31      35      32      34      33      32      31

34      32      31      29      32      34      33      31      31      34      32      31      35      32      34      33

31      30      34      32      31      29      32      34      33      31      30      32      32      31      36      32

34      33      31      30      32      33      31      28      32      34      33      31      30      32      33      30

35      32      34      33      32      30      31      33      30      33      32      34      33      31      30      32

33      30      31      32      34      33      31      30      32      33      30      31      32      33      33      31

30      32      33      30      31      32      33      30      34      33      31      30      32      33      30      31

32      33                                                                                                                                       

5. Распределение случайной величины на основе опытных данных

Для обработки опытных данных воспользуемся составлением статистического ряда. В первой строке записываются номера наблюдений, а во второй строке результаты наблюдений.

Если результаты наблюдений расположить в возрастающем порядке, то получим вариационный ряд.

Результат измерения называется- варианта.

Число появления каждой варианты называется частотой.

Отношение частоты к объему выборки называется относительной частотой.

xi - варианта (значение, полученное в процессе измерения)

ni - частота (сколько раз появилась каждая варианта)

Р*i – отношение частоты объёму выборки   

                                                                      

                           

xi

28

29

30

31

32

33

34

35

36

ni

1

3

18

29

32

24

18

4

1

       ni                     

Pi*   n

1

130

3

130

18

130

29

130

32

130

24

130

18

130

4

130

1

130

Существует вместо статистического ряда так называемая статистическая совокупность, для этого все наблюдаемые значения признака разбиваются на группы равной длины.

xi<x≤xi+1

(27;29]

(29;31]

(31;33]

(33;35]

(35;37]

ni

4

47

56

22

1

Pi*

4/130

47/130

56/130

22/130

1/130

Размах колебания: хmin=28

                                 хmax=36

                                 R= 36-28=8

       Статистическое распределение можно изобразить графически:

Либо в виде полигона частот, полигона относительных частот и в виде гистограммы частот, гистограммы относительных частот.

Полигоном частот называется ломаная линия, соединяющая точки с абcциcсой (Ох) - варианта и  ординатой  (Оу) – частота.

Cтроим полигон  частот.

Полигоном относительных частот называется ломаная линия, соединяющая точки с абсциссой (Ох) – варианта и ординатой (Оу) – относительная частота.

Строим полигон относительных частот.

                                                       Полигон относительных частот

Гистограммой частот называется фигура, состоящая из прямоугольников с равными основаниями (длина интервала) и площадью численно равной частоте.

Для построения гистограммы воспользуемся таблицей:

xi<x≤xi+1

(27;29]

(29;31]

(31;33]

(33;35]

(35;37]

ni

4

47

56

22

1

hi =   ni

            Δx

4/2

47/2

56/2

22/2

1/2

                                        

Δx=2

hi

56⁄ 2

47⁄ 2

22⁄ 2

 4/2

 1/2

27

29

31

33

35

37

xi

Гистограммой относительных частот называется фигура, состоящая из прямоугольников с равными основаниями (длина интервала)и площадью численно равной относительной частоте.

Для построения гистограммы воспользуемся таблицей:

xi<x≤xi+1

(27;29]

(29;31]

(31;33]

(33;35]

(35;37]

Р*i

4/130

47/130

56/130

22/130

1/130

hi =   P*i

            Δx

4/260

47/260

56/260

22/260

1/260

Δx=2

h*i

56∕ 260

47⁄ 260

22⁄ 260

4∕ 260

1 ∕ 260

0

27

29

31

33

35

37

xi

6. Построение эмпирической функции распределения

 

Статистическая функция распределения (эмпирическая) – это частота события, состоящего в том, что случайная величина Х в процессе изменения примет значение меньше некоторого фиксированного х

F*(х) = Р* = P* (X<x)

                                      

Статистическая функция распределения ( эмпирическая) является разрывной функцией, точки разрыва  совпадают с наблюдаемыми значениями случайной величины, а скачок в каждой точке разрыва равен частоте появления наблюдаемого значения в данной серии наблюдения. Сумма скачков всегда равна 1.

  9

Σ  Pi* = 1

i=1

1) ∞ < х ≤ 28

  F*(x)=P*(X<28)=0

2) 28<x≤29

  F*(x)=P*(X<29)=P*(X=28)=1/130

3) 29<x≤30

  F*(x)=P*(X=28)+ P*(X=29)=1/130+3/130=4/130

4) 30<x≤31

  F*(x)=P*(X<31)= P*(X=28)+ P*(X=29) P*(X=30)+1/130+3/130+18/130=22/130

5) 31<x≤32

  F*(x)=P*(X<32)= P*(X=28)+         +P*(X=29)+P*(X=30)+P*(X=31)=1/130+3/130+18/130+29/130=51/130

6) 32<x≤33

F*(x)=P*(X<33)= P*(X=28)+P*(X=29)+P*(X=30)+P*(X=31) P*(X=32)=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130=83/130

7) 33<x≤34

F*(x)=P*(X<34)= P*(X=28)+P*(X=29)+P*(X=30)+P*(X=31)+

+P*(X=32)+P*(X=33)=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130=107/130

8)34<x≤35

F*(x)=P*(X<35)= P*(X=28)+P*(X=29)+P*(X=30)+P*(X=31)+

+P*(X=32)+P*(X=33) P*(X=34)=

=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130+18/130=125/130

9) 35<x≤36

F*(x)=P*(X<36)= P*(X=28)+P*(X=29)+P*(X=30)+P*(X=31)+

+P*(X=32)+P*(X=33) P*(X=34)+ P*(X=35)

=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130+18/130+4/130=129/130

10) x>36

  F*(x)=1

                     0, -∞<х≤28

                     1/130, -∞<х≤29

                     4/130, 29<х≤30

                   22/130, 30<х≤31

F*(x)           51/130, 31<х≤32

                   83/130, 32<х≤33

                   107/130, 33<х≤34

                   125/130, 34<х≤35

                   129/130, 35<х≤36

                   1, х>36

 

Статистическая функция распределения является разрывной функцией и  её графиком является ступенчатая линия.

Построим систему координат:

на оси Ох=хi

на оси Оу=F*(x)

F*

1

129/130

125/130

107/130

83/130

51/130

22/130

4/130

1/130

0

xi

28

29

30

31

32

33

34

35

36

 

7.Статистические оценки параметров распределения

Одной из задач статистики является оценка параметров распределения случайной величины Х по данным выборки.

Оценка параметра зависит от наблюдаемых значений и от числа наблюдений. Для того чтобы полученную оценку можно было бы использовать на практике она должна удовлетворять следующим условиям:

1) оценка должна быть не смещённой оценкой параметра, т.е. математическое ожидание должно быть равно оцениваемому параметру. Если это условие не выполняется, то оценку называют смещённой оценкой оцениваемого параметра;

2) оценка должна быть состоятельной оценкой оцениваемого параметра;

3) Оценка должна быть эффективной оценкой оцениваемого параметра;

Из всех различных оценок выбираем ту которая имеет наименьшую дисперсию она и называется эффективной если её дисперсия является минимальной из всех получившихся дисперсий.

Таким образом, чтобы полученная опытным путем оценка  оцениваемого параметра была пригодной она должна быть несмещённой состоятельной и эффективной. 

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность объема N количественного признака Х.

Генеральной средней совокупностью называют среднее арифметическое наблюдаемых значений.

_       х12+….+хN                             

хг=                                   =    

                     N

     N

=Σ  xi

     i=1

       N

                    

 

Если же значение признака х12,…….хк имеют соответственно частоты N1,N2……..Nk, то средняя генеральная вычисляется по формуле:

_               х1×N1+x2×N2+…...xk×Nk                                     

хг=                                                                             =    

                                  N   

     k

=Σ  xi×Ni

     i=1

           N

                                                                                                                                                             

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно некоторого количественного признака Х произведена выборка объема n.

          х12+….хn            

хв=                               =      

                 n

     n

 =Σ  xi

      i=1

          n

                                                                                                                                                      

                            

Выборочной средней   называют среднее арифметическое наблюдаемых значений в данной выборке.

Если же значение признака х12,….хk имеет соответственно частоты n1,n2,….nk, то выборочная средняя определяется по формуле:

_           х1×n1+x2×n2+…+xk×nk

хв=______________________ =

                        n

     k

 =Σ  xni

      i=1

          n

                                                                                                                                                          

xi

28

29

30

32

32

33

34

35

36

ni

1

3

18

29

32

24

18

4

1

_         28×1+29×3+30×18+31×29+32×32+33×24+34×18+35×4+36×1

в =                                                                                                                  =

                                                  130

  =  4158     = 31,98

       130

Выборочной дисперсией  называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочной средней. Вычисляется выборочная дисперсия по формуле:

                     _                 _                       _

_          (х1в)2 + (х2в)2 + ….(хnв)2

Dв=                           n                            =

     n          _              

 =Σ  (хi-xв )2

      i=1

          n

  

Если же значение признака х12…..x k имеет соответственно частоты n1,n2….nk, то выборочная дисперсия вычисляется по формуле:

                     _                        _                             _

_          (х1в)2× n1 + (х2в)2 ×n2+ ….(хkв)2×nk      =

Dв=                                                       n

     k          _              

 =Σ  (хi-xв )2× ni

      i=1

                n

_       (28-31,98)2×1+(29-31,98)2×3+(30-31,98)2×18+(31-31,98)2×29+

Dв=   +(32-31,98)2×32+(33-31,98)2×24+(34-31,98)2×18+(35-31,98)2×

          ×4+(36-31,98)2×1                                                                               =

                                               130

= 291,972   =  2,24

       130

Среднее выборочное квадратичное отклонение  - это величина численно равная квадратному корню из выборочной дисперсии.

_          __

σв =    Dв

 __ 

 σв =  √  2,24 = 1,5

 

Нормальный закон распределения случайной величины

Говорят, что случайная величина распределена по нормальному закону если плотность распределения этой случайной величины выражается формулой:                                                                                                                         

                  1                      -(x-a)2

F(x) =   σ √2¶       × e    2σ2

 SHAPE  * MERGEFORMAT

8.Проверка гипотезы о нормальном распределении

изучаемой величины

Гипотезу Н0 выдвигаем в качестве основной – пусть наш исследуемый признак х распределён по нормальному закону. Параллельно гипотезе Н0 выдвигаем альтернативную гипотезу о том, что исследуемый признак распределен не по нормальному закону.

Проверка гипотезы о предполагаемом законе распределения производится с помощью специально подобранной величины называемой критерием согласия.

Для исследования воспользуемся критерием χ2  Пирсона.

Вычисляем χ2 для наблюдаемых значений. Для вычислений составляем таблицу и воспользуемся следующими формулами:

 SHAPE  * MERGEFORMAT

       xi-xв

Zi =   _

         σв

            xi+1-xв

Zi+1=     _

             σв

_

хв =31,98

_

Dв=2,24

_

σв=1,5

N интервал I

xi<X≤xi+1

ni

xi

 xi^2

xi-xв

xi+1-xв

Zi

Zi+1  

Ф(Zi)

Ф(Zi+1)

Pi=Ф(Zi+1)-Ф(Zi)

ni*=n*Pi

ni-ni*

(ni-ni*)^2

(ni-ni*)^2/ni*

1

27<X≤29

4

28

784

-4,98

-2,98

-3,32

-1,987

-0,4991

-0,4699

0,03

3,7999

0,2001

0,04004

0,01053712

2

29<X≤31

47

30

900

-2,98

-0,98

-1,987

-0,653

-0,4699

-0,2357

0,23

30,446

16,554

274,03492

9,00068699

3

31<X≤33

56

32

1024

-0,98

1,02

-0,653

0,68

-0,2357

0,2357

0,47

61,282

-5,282

27,899524

0,45526458

4

33<X≤35

22

34

1156

1,02

3,02

0,68

2,0133

0,2357

0,4699

0,23

30,446

-8,446

71,334916

2,34299796

5

35<X≤37

1

36

1296

3,02

5,02

2,0133

3,3467

0,4699

0,49913

0,03

3,7999

-2,7999

7,83944

2,06306482

Σ

130

13,8725515

            k         (ni-ni*)2

χ2 набл.=Σ 

            i=1           ni

χ2 набл=13,8725515

Далее находим χ2 с помощью таблицы критических точек распределения по заданному уровню значимости £=0,05 и числу степеней свободы.

К=S-3

5-3=2

χ2крит.=6,0

                               χ2 набл=13,8725515   >  χ2крит=6,0

Гипотеза не принимается.

9. Вывод

В данной работе был изучен статистический материал по исследованию прочности на разрыв полосок ситца, статистически были обработаны и получены соответствующие результаты.

Цель курсовой работы реализована через решение поставленных задач.

Наглядно представление о  поведении случайной величины показано через полигон частот и полигон относительных частот, гистограммы частот и гистограммы относительных частот. Была составлена и построена эмпирическая функция распределения и построен график этой функции на основе наблюдаемых значений.

0ценили параметры распределения:

- выборочную среднюю

- выборочную дисперсию

- выборочное среднее квадратичное отклонение.

После обработки имеющихся статистических данных было выдвинуто предположение о нормальном распределении случайной величины. При проверке этой гипотезы оказалось, что  случайная величина нераспределена  по нормальному закону.

Литература

1.     Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник.- М.: Наука, 1988.

2.     Боровков А.А. Теория вероятностей: Учеб. пособие.; М.: Наука, 1986.

3.     Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей: Учеб. пособие.- М.: Изд-во ун-та Дружбы народов, 1994.

4.     Бочаров П.П., Печинкин А.В. Математическая статистика: Учеб. пособие.- М.: Изд-во ун-та Дружбы народов, 1994.

    5.   Б.М. Рудык, В.И. Ермаков, Р.К. Гринцевевичюс, Г.И. Бобрик, В.И.                  Матвеев,И.М.Гладких, Р.В. Сигитов, В.Г.Шершнев.Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник/Под ред.В.И.Ермакова.-М.:ИНФАРМА-М, 2005.-656с.-(Высшее образование).