Исследование прочности на разрыв полосок ситца
Министерство образования и науки РФ
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
Московской области
Международный Университет природы
общества и человека «Дубна»
Филиал «Котельники»
Кафедра естественных и гуманитарных наук.
К У Р С О В А Я Р А Б О ТА
«Исследование прочности на разрыв полосок ситца»
по дисциплине:
«Теория вероятностей и математическая статистика»
Выполнила студентка
Второго курса 262 ЭТ группы
Одинцова Е.С.
Проверила:
___________Поздеева С.Н.
2006г.
Содержание
1. Введение………………………………………………….3стр.
2. Цель работы………………………………………………3
3. Постановка задачи………………………………………. 3
4. Исходные данные……………………………………….. 4
5. Распределение случайной величины на основе
опытных данных………………………………………… 4
6. Построение эмпирической функции распределения….. 9
7. Статистические оценки параметров распределения……12
8. Проверка гипотезы о нормальном распределении,
Изучаемой случайной величины…………………………16
9. Заключение…………………………………………………19
10. Список литературы………………………………………..20
1. Введение.
Математическая статистика – наука которая занимается разработкой методов отбора, группировки и обработки опытных данных с целью изучения закономерностей массовых случайных явлений.
Математическая статистика опирается на методы и понятия теории вероятностей и, в свою очередь, служит основой для обработки анализа статистических результатов в конкретных областях человеческой деятельности.
Задачи математической статистики:
1) нахождение функции распределения по опытным данным.
2) из теоретических соображений функция распределения оказывается в общем виде известна, но неизвестны её параметры. Неизвестные параметры определяются по опытным данным.
3) Статистическая проверка гипотез:
в общем виде известна функция распределения, определяют её неизвестные параметры и выясняют, как согласуются экспериментальные данные с общим видом функции распределения.
2. Цель курсовой работы.
Целью курсовой работы является закрепление теоретических знаний и приобретения навыков обработки статистической информации.
3.Постановка задачи
В данной курсовой работе были поставлены следующие задачи для
обработки статистических данных:
1) построение полигона частот и относительных частот
2) построение гистограммы частот и относительных частот
3) построение эмпирической функции распределения.
4) нахождение выборочной средней, выборочной дисперсии и
нахождение среднего выборочного квадратичного отклонения.
5) проверка гипотезы о нормальном распределении изучаемой случайной величины.
4. Исходные данные
Вариант 14
Прочность на разрыв полосок ситца (в дан.):
32 31 34 32 31 29 32 34 33 31 31 34 32 31 35 32
34 33 31 30 30 32 32 34 31 31 35 32 34 33 32 31
34 32 31 29 32 34 33 31 31 34 32 31 35 32 34 33
31 30 34 32 31 29 32 34 33 31 30 32 32 31 36 32
34 33 31 30 32 33 31 28 32 34 33 31 30 32 33 30
35 32 34 33 32 30 31 33 30 33 32 34 33 31 30 32
33 30 31 32 34 33 31 30 32 33 30 31 32 33 33 31
30 32 33 30 31 32 33 30 34 33 31 30 32 33 30 31
32 33
5. Распределение случайной величины на основе опытных данных
Для обработки опытных данных воспользуемся составлением статистического ряда. В первой строке записываются номера наблюдений, а во второй строке результаты наблюдений.
Если результаты наблюдений расположить в возрастающем порядке, то получим вариационный ряд.
Результат измерения называется- варианта.
Число появления каждой варианты называется частотой.
Отношение частоты к объему выборки называется относительной частотой.
xi - варианта (значение, полученное в процессе измерения)
ni - частота (сколько раз появилась каждая варианта)
Р*i – отношение частоты объёму выборки
|
xi |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
|
ni |
1 |
3 |
18 |
29 |
32 |
24 |
18 |
4 |
1 |
|
ni Pi* n |
1 130 |
3 130 |
18 130 |
29 130 |
32 130 |
24 130 |
18 130 |
4 130 |
1 130 |
Существует вместо статистического ряда так называемая статистическая совокупность, для этого все наблюдаемые значения признака разбиваются на группы равной длины.
|
xi<x≤xi+1 |
(27;29] |
(29;31] |
(31;33] |
(33;35] |
(35;37] |
|
ni |
4 |
47 |
56 |
22 |
1 |
|
Pi* |
4/130 |
47/130 |
56/130 |
22/130 |
1/130 |
Размах колебания: хmin=28
хmax=36
R= 36-28=8
Статистическое распределение можно изобразить графически:
Либо в виде полигона частот, полигона относительных частот и в виде гистограммы частот, гистограммы относительных частот.
Полигоном частот называется ломаная линия, соединяющая точки с абcциcсой (Ох) - варианта и ординатой (Оу) – частота.
Cтроим полигон частот.
Полигоном относительных частот называется ломаная линия, соединяющая точки с абсциссой (Ох) – варианта и ординатой (Оу) – относительная частота.
Строим полигон относительных частот.
Полигон относительных частот
Гистограммой частот называется фигура, состоящая из прямоугольников с равными основаниями (длина интервала) и площадью численно равной частоте.
Для построения гистограммы воспользуемся таблицей:
|
xi<x≤xi+1 |
(27;29] |
(29;31] |
(31;33] |
(33;35] |
(35;37] |
|
ni |
4 |
47 |
56 |
22 |
1 |
|
hi = ni Δx |
4/2 |
47/2 |
56/2 |
22/2 |
1/2 |
|
|
|
Δx=2 |
|||||||
|
hi |
|||||||||
|
56⁄ 2 |
|||||||||
|
47⁄ 2 |
|||||||||
|
22⁄ 2 |
|||||||||
|
4/2 |
|||||||||
|
1/2 |
|||||||||
|
27 |
29 |
31 |
33 |
35 |
37 |
||||
|
xi |
|||||||||
Гистограммой относительных частот называется фигура, состоящая из прямоугольников с равными основаниями (длина интервала)и площадью численно равной относительной частоте.
Для построения гистограммы воспользуемся таблицей:
|
xi<x≤xi+1 |
(27;29] |
(29;31] |
(31;33] |
(33;35] |
(35;37] |
|
Р*i |
4/130 |
47/130 |
56/130 |
22/130 |
1/130 |
|
hi = P*i Δx |
4/260 |
47/260 |
56/260 |
22/260 |
1/260 |
Δx=2
|
|
|||||||||
|
h*i |
|||||||||
|
56∕ 260 |
|||||||||
|
47⁄ 260 |
|||||||||
|
22⁄ 260 |
|||||||||
|
4∕ 260 |
|||||||||
|
1 ∕ 260 |
|||||||||
|
0 |
27 |
29 |
31 |
33 |
35 |
37 |
|||
|
xi |
|||||||||
6. Построение эмпирической функции распределения
Статистическая функция распределения (эмпирическая) – это частота события, состоящего в том, что случайная величина Х в процессе изменения примет значение меньше некоторого фиксированного х
|
F*(х) = Р* = P* (X<x) |
Статистическая функция распределения ( эмпирическая) является разрывной функцией, точки разрыва совпадают с наблюдаемыми значениями случайной величины, а скачок в каждой точке разрыва равен частоте появления наблюдаемого значения в данной серии наблюдения. Сумма скачков всегда равна 1.
|
1) ∞ < х ≤ 28
F*(x)=P*(X<28)=0
2) 28<x≤29
F*(x)=P*(X<29)=P*(X=28)=1/130
3) 29<x≤30
F*(x)=P*(X=28)+ P*(X=29)=1/130+3/130=4/130
4) 30<x≤31
F*(x)=P*(X<31)= P*(X=28)+ P*(X=29) P*(X=30)+1/130+3/130+18/130=22/130
5) 31<x≤32
F*(x)=P*(X<32)= P*(X=28)+ +P*(X=29)+P*(X=30)+P*(X=31)=1/130+3/130+18/130+29/130=51/130
6) 32<x≤33
F*(x)=P*(X<33)= P*(X=28)+P*(X=29)+P*(X=30)+P*(X=31) P*(X=32)=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130=83/130
7) 33<x≤34
F*(x)=P*(X<34)= P*(X=28)+P*(X=29)+P*(X=30)+P*(X=31)+
+P*(X=32)+P*(X=33)=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130=107/130
8)34<x≤35
F*(x)=P*(X<35)= P*(X=28)+P*(X=29)+P*(X=30)+P*(X=31)+
+P*(X=32)+P*(X=33) P*(X=34)=
=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130+18/130=125/130
9) 35<x≤36
F*(x)=P*(X<36)= P*(X=28)+P*(X=29)+P*(X=30)+P*(X=31)+
+P*(X=32)+P*(X=33) P*(X=34)+ P*(X=35)
=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130+18/130+4/130=129/130
10) x>36
F*(x)=1
0, -∞<х≤28
1/130, -∞<х≤29
4/130, 29<х≤30
22/130, 30<х≤31
F*(x) 51/130, 31<х≤32
83/130, 32<х≤33
107/130, 33<х≤34
125/130, 34<х≤35
129/130, 35<х≤36
1, х>36
Статистическая функция распределения является разрывной функцией и её графиком является ступенчатая линия.
Построим систему координат:
на оси Ох=хi
на оси Оу=F*(x)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.Статистические оценки параметров распределения
Одной из задач статистики является оценка параметров распределения случайной величины Х по данным выборки.
Оценка параметра зависит от наблюдаемых значений и от числа наблюдений. Для того чтобы полученную оценку можно было бы использовать на практике она должна удовлетворять следующим условиям:
1) оценка должна быть не смещённой оценкой параметра, т.е. математическое ожидание должно быть равно оцениваемому параметру. Если это условие не выполняется, то оценку называют смещённой оценкой оцениваемого параметра;
2) оценка должна быть состоятельной оценкой оцениваемого параметра;
3) Оценка должна быть эффективной оценкой оцениваемого параметра;
Из всех различных оценок выбираем ту которая имеет наименьшую дисперсию она и называется эффективной если её дисперсия является минимальной из всех получившихся дисперсий.
Таким образом, чтобы полученная опытным путем оценка оцениваемого параметра была пригодной она должна быть несмещённой состоятельной и эффективной.
Пусть изучается дискретная генеральная совокупность объема N количественного признака Х.
Генеральной средней совокупностью называют среднее арифметическое наблюдаемых значений.
|
Если же значение признака х1,х2,…….хк имеют соответственно частоты N1,N2……..Nk, то средняя генеральная вычисляется по формуле:
|
_ х1×N1+x2×N2+…...xk×Nk хг= = N k =Σ xi×Ni i=1 N
|
Пусть для изучения генеральной совокупности относительно некоторого количественного признака Х произведена выборка объема n.
|
Если же значение признака х1,х2,….хk имеет соответственно частоты n1,n2,….nk, то выборочная средняя определяется по формуле:
|
|
xi |
28 |
29 |
30 |
32 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
|
ni |
1 |
3 |
18 |
29 |
32 |
24 |
18 |
4 |
1 |
_ 28×1+29×3+30×18+31×29+32×32+33×24+34×18+35×4+36×1
в = =
130
= 4158 = 31,98
130
Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочной средней. Вычисляется выборочная дисперсия по формуле:
|
_ _ _ _ (х1-хв)2 + (х2-хв)2 + ….(хn-хв)2 Dв= n = n _ =Σ (хi-xв )2 i=1 n |
Если же значение признака х1,х2…..x k имеет соответственно частоты n1,n2….nk, то выборочная дисперсия вычисляется по формуле:
|
_ _ _ _ (х1-хв)2× n1 + (х2-хв)2 ×n2+ ….(хk-хв)2×nk = Dв= n k _ =Σ (хi-xв )2× ni i=1 n |
_ (28-31,98)2×1+(29-31,98)2×3+(30-31,98)2×18+(31-31,98)2×29+
Dв= +(32-31,98)2×32+(33-31,98)2×24+(34-31,98)2×18+(35-31,98)2×
×4+(36-31,98)2×1 =
130
= 291,972 = 2,24
130
Среднее выборочное квадратичное отклонение - это величина численно равная квадратному корню из выборочной дисперсии.
|
_ __ σв = Dв |
__
σв = √ 2,24 = 1,5
Нормальный закон распределения случайной величины
Говорят, что случайная величина распределена по нормальному закону если плотность распределения этой случайной величины выражается формулой:
|
1 -(x-a)2 F(x) = σ √2¶ × e 2σ2 |
SHAPE * MERGEFORMAT
8.Проверка гипотезы о нормальном распределении
изучаемой величины
Гипотезу Н0 выдвигаем в качестве основной – пусть наш исследуемый признак х распределён по нормальному закону. Параллельно гипотезе Н0 выдвигаем альтернативную гипотезу о том, что исследуемый признак распределен не по нормальному закону.
Проверка гипотезы о предполагаемом законе распределения производится с помощью специально подобранной величины называемой критерием согласия.
Для исследования воспользуемся критерием χ2 Пирсона.
Вычисляем χ2 для наблюдаемых значений. Для вычислений составляем таблицу и воспользуемся следующими формулами:
SHAPE * MERGEFORMAT
|
xi-xв Zi = _ σв |
|
xi+1-xв Zi+1= _ σв |
_
хв =31,98
_
Dв=2,24
_
σв=1,5
|
N интервал I |
xi<X≤xi+1 |
ni |
xi |
xi^2 |
xi-xв |
xi+1-xв |
Zi |
Zi+1 |
Ф(Zi) |
Ф(Zi+1) |
Pi=Ф(Zi+1)-Ф(Zi) |
ni*=n*Pi |
ni-ni* |
(ni-ni*)^2 |
(ni-ni*)^2/ni* |
|
1 |
27<X≤29 |
4 |
28 |
784 |
-4,98 |
-2,98 |
-3,32 |
-1,987 |
-0,4991 |
-0,4699 |
0,03 |
3,7999 |
0,2001 |
0,04004 |
0,01053712 |
|
2 |
29<X≤31 |
47 |
30 |
900 |
-2,98 |
-0,98 |
-1,987 |
-0,653 |
-0,4699 |
-0,2357 |
0,23 |
30,446 |
16,554 |
274,03492 |
9,00068699 |
|
3 |
31<X≤33 |
56 |
32 |
1024 |
-0,98 |
1,02 |
-0,653 |
0,68 |
-0,2357 |
0,2357 |
0,47 |
61,282 |
-5,282 |
27,899524 |
0,45526458 |
|
4 |
33<X≤35 |
22 |
34 |
1156 |
1,02 |
3,02 |
0,68 |
2,0133 |
0,2357 |
0,4699 |
0,23 |
30,446 |
-8,446 |
71,334916 |
2,34299796 |
|
5 |
35<X≤37 |
1 |
36 |
1296 |
3,02 |
5,02 |
2,0133 |
3,3467 |
0,4699 |
0,49913 |
0,03 |
3,7999 |
-2,7999 |
7,83944 |
2,06306482 |
|
Σ |
130 |
13,8725515 |
k (ni-ni*)2
χ2 набл.=Σ
i=1 ni
χ2 набл=13,8725515
Далее находим χ2 с помощью таблицы критических точек распределения по заданному уровню значимости £=0,05 и числу степеней свободы.
К=S-3
5-3=2
χ2крит.=6,0
χ2 набл=13,8725515 > χ2крит=6,0
Гипотеза не принимается.
9. Вывод
В данной работе был изучен статистический материал по исследованию прочности на разрыв полосок ситца, статистически были обработаны и получены соответствующие результаты.
Цель курсовой работы реализована через решение поставленных задач.
Наглядно представление о поведении случайной величины показано через полигон частот и полигон относительных частот, гистограммы частот и гистограммы относительных частот. Была составлена и построена эмпирическая функция распределения и построен график этой функции на основе наблюдаемых значений.
0ценили параметры распределения:
- выборочную среднюю
- выборочную дисперсию
- выборочное среднее квадратичное отклонение.
После обработки имеющихся статистических данных было выдвинуто предположение о нормальном распределении случайной величины. При проверке этой гипотезы оказалось, что случайная величина нераспределена по нормальному закону.
Литература
1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник.- М.: Наука, 1988.
2. Боровков А.А. Теория вероятностей: Учеб. пособие.; М.: Наука, 1986.
3. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей: Учеб. пособие.- М.: Изд-во ун-та Дружбы народов, 1994.
4. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Математическая статистика: Учеб. пособие.- М.: Изд-во ун-та Дружбы народов, 1994.
5. Б.М. Рудык, В.И. Ермаков, Р.К. Гринцевевичюс, Г.И. Бобрик, В.И. Матвеев,И.М.Гладких, Р.В. Сигитов, В.Г.Шершнев.Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник/Под ред.В.И.Ермакова.-М.:ИНФАРМА-М, 2005.-656с.-(Высшее образование).