Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике

ХАКАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Н.Ф. КАТАНОВА

ИНСТИТУТ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК И МАТЕМАТИКИ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МПМ

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 010100 – МАТЕМАТИКА

Изучение элементов современной

алгебры, на примере подгрупп

симметрических групп, на

факультативных занятиях по

математике

Дипломная работа

Студент-дипломник _________________________________________

Научный руководитель ______________________________________

Рецензент _________________________________________________

«Допустить к защите»

Зав. кафедрой _________

«___»__________ 2000 г.

Абакан, 2000

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение …………………………………………………………………………………………………………………………… 04

Глава 1. Подгруппы симметрических групп ………………………………………… 08

   1.1. Основные понятия и определения …………………………………………… 09

   1.2. Теоремы о подгруппах ……………………………………………………………………… 10

   1.3. Знакопеременная группа ………………………………………………………………… 14

   1.4. Теорема Лагранжа ………………………………………………………………………………… 15

   1.5. Следствия из теоремы Лагранжа ……………………………………………… 18

   1.6. Задачи …………………………………………………………………………………………………………… 19

Глава 2. Использование элементов современной алгебры на

   факультативных занятиях …………………………………………………………………………… 29

   2.1. Элементы современной алгебры, как средство раз-

      вития абстрактного мышления учащихся старших

      классов ……………………………………………………………………………………………………………… 29

      2.1.1. Мышление и его развитие ………………………………………………… 29

      2.1.2. Особенности формирования мышления в старшем

         школьном возрасте …………………………………………………………………………… 31

      2.1.3. Необходимость развития мышления старшеклас-

         сников в процессе обучения …………………………………………………… 33

      2.1.4. Развитие абстрактного мышления учащихся

         старших классов средствами современной алгебры  34

   2.2. Изучение элементов теории групп на факультатив-

      ных занятиях по математике …………………………………………………………… 37

      2.2.1. Роль факультативов в процессе обучения ма-

         тематике …………………………………………………………………………………………………… 37

      2.2.2. Характерные особенности факультативных за-

         нятий по математике ……………………………………………………………………… 39

      2.2.3. Элементы теории групп на факультативных

         занятиях …………………………………………………………………………………………………… 42

         2.2.3.1. Целесообразность введения элементов

            теории групп в программу факультативных

            курсов ………………………………………………………………………………………………… 42

         2.2.3.2. Программа и содержание занятий факуль-

            тативного курса «Элементы современной ал-

            гебры» ………………………………………………………………………………………………… 43

   2.3. Организация и результаты экспериментальной ра-

      боты по внедрению в школьное обучение факульта-

      тивного курса «Элементы современной алгебры» …………… 53

Заключение ……………………………………………………………………………………………………………………… 59

Литература ……………………………………………………………………………………………………………………… 60

Приложения ……………………………………………………………………………………………………………………… 63

ВВЕДЕНИЕ

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека.

В течение многих столетий математика является неотъемлемым элементом системы общего образования. Объясняется это уникальностью роли учебного предмета «Математика» в формировании личности. Образовательный и развивающий потенциал математики огромен. В современном обучении математика занимает весьма значительное место.

Изучение основ математики в современных условиях становится все более существенным элементом общеобразовательной подготовки молодого поколения. В настоящее время внимание к школьному математическому образованию усиливается [9], [14].

Содержание школьного курса математики и методика его преподавания – извечный предмет незатихающих и подчас бурных споров. Чему и как учить в школе, по-видимому, всегда будет принадлежать к числу вечных проблем, которые постоянно возникают даже после того, как им дано решение, лучшее по сравнению с предыдущим. И это неизбежно, поскольку непрерывно пополняются наши научные знания и подходы к объяснению окружающих нас явлений. Несомненно, что содержание школьного преподавания должно изменяться с процессом науки, несколько отставая от него и давая возможность новым научным идеям и концепциям принять приемлемые в психологическом и методическом отношении формы. Периодическое обновление содержания школьного курса математики – необходимый элемент развития общего образования [1], [4], [19], [20].

Совершенно ясно, что начальное и среднее математическое образование со своими неизменными программами и методами полностью оторвано от современной математической науки, от ее фундаментальных концепций, идей, от ее приложений. Современная школьная программа по математики сложилась в прошлом веке. Она катастрофическим образом отстает от требований современной жизни.

Бурное развитие всех отраслей техники и связанный с этим новый этап в развитии математики как науки начинает настоятельно влиять на школу. Наступило время серьезного пересмотра содержания школьного обучения, причем начать следует с критического анализа материала программы сложившегося в настоящее время школьного курса математики. Нужно отметить, что с точки зрения новых требований в школе наша действующая программа по математике содержит много такого, что не имеет серьезного теоретического и практического значения. В школе уделяется слишком много внимания факторам и методам, не имеющим значения для практической деятельности в любой области [20].

Математика, действительно полезная в настоящее время, - это современная математика. Она имеет наибольший шанс быть созвучной умственным запросам современных детей. Поэтому, особенно назрела необходимость внедрения в школьное обучение элементов современной математики.

На наш взгляд, наиболее целесообразным является введение в школьное преподавание элементов современной абстрактной алгебры.

Начавшийся в нашем веке процесс алгебраизации математики не прекращается, а это вызывает упорные попытки введения в школьное математическое образование основных алгебраических понятий. Естественно, что здесь на первый план выдвигается теория групп, во-первых, ввиду той фундаментальной роли, которую группы играют в современной математике, во-вторых, ввиду относительной простоты этого понятия. Математическая глубина и необычайно широкая сфера применения теории групп сочетаются с простотой ее основных положений – понятий группы, целый ряд важных теорем можно сформулировать и доказать, обладая начальными представлениями в области теории множеств. Поэтому теория групп как нельзя лучше подходит для того, чтобы показать школьникам образец современной математики [3], [7].

Кроме того, изучение элементов теории групп полезно для школьников, способствует их интеллектуальному росту, проявляющемуся в развитии и обогащении различных сторон их мышления, качеств и черт личности, а также воспитанию у учащихся интереса к математике, к науке.

В связи с этим проблема нашего исследования заключается в разработке и апробации факультативного курса «элементы современной алгебры для учащихся старших классов, обоснование возможности и целесообразности внедрения элементов современной алгебры в школьное математическое образование.

Цель исследования – выявление возможностей введения элементов современной алгебры в программу факультативных курсов для учащихся 9-10-х классов, обоснование целесообразности и доступности данного учебного материала и влияние его на развитие абстрактного мышления школьников.

Объект исследования – элементы современной алгебры в программе факультативных курсов по математике.

Предмет исследования – теория групп на факультативных занятиях и влияние этой теории на развитие абстрактного мышления школьников.

Гипотеза исследования – введение элементов современной алгебры в программу факультативных курсов по математики для учащихся старших классов целесообразно, доступно и способствует развитию абстрактного мышления, если осуществляется систематическая и планомерная работа с учащимися.

В соответствии с целью и гипотезой в ходе исследования решались следующие задачи:

1) на основе анализа литературы обосновать возможность и целесообразность использования элементов современной алгебры на факультативных занятиях;

2) провести психолого-педагогический анализ развития абстрактного мышления учащихся старших классов;

3) разработать в рамках факультативного курса «Элементы современной алгебры» занятия по теме: «Понятие подгруппы. Подгруппы симметрических групп», а также разработать программу небольшого факультативного курса «Элементы теории групп. Симметрические группы»;

4) экспериментально проверить эффективность внедрения в программу факультативных курсов по математике элементов теории групп.

 Методы исследования: анализ математической, методической и психолого-педагогической литературы по данной теме; отбор учебного материала для использования на факультативных занятиях; осуществление педагогического эксперимента.

Экспериментальная база исследования – национальная гимназия им. Н.Ф. Катанова (г. Абакан, Республика Хакасия).

Результаты исследования обсуждались на семинарах, доказывались на научно-практической конференции «Катановские чтения» в апреле 2000 года.

Структура дипломной работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.

ГЛАВА 1. ПОДГРУППЫ СИММЕТРИЧЕСКИХ ГРУПП

В жизни современного общества очень важную роль играет математика. В настоящее время математика находит широкое применение при решении самых разнообразных проблем науки и практики. Особенно велика роль современной математики.

Одной из наиболее важных и быстро развивающихся областей современной математики является абстрактная алгебра.

В центре внимания современной абстрактной математики не только такие алгебраические структуры, как группы, подгруппы, полугруппы, кольца и так далее, ставшие уже классическими, и их далеко идущие обобщения, но и объекты новой природы [27].

Одним из основных разделов современной алгебры является теория групп. Группы – это один из основных типов алгебраических структур.

Понадобилась работа нескольких поколений математиков, занявшая в общей сложности около ста лет, прежде чем идея группы вы кристаллизировалась с ее сегодняшней ясностью.

Теория групп начала оформляться в качестве самостоятельного раздела математики в конце XVIII века. В течение первый десятилетий XIX века она развивалась медленно и практически не привлекала к себе внимания. Но затем, около 1830 года, благодаря работам Галуа и Абеля о разрешимости алгебраических уравнений всего за несколько лет она совершила гигантский скачок, который оказал глубокое влияние на развитие всей математики. С тех пор основные понятия теории групп стали детально исследоваться [3].

В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющей многочисленные применения как в самой математике, так и за ее пределами – в топологии, теории функций, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и естествознания.

Понятие группы тесно связано с понятием подгруппы. Слово «подгруппа» означает «группа внутри группы».

Понятие подгруппы является основным в теории групп. Все содержание теории связано в большей или меньшей степени с вопросами о наличии в группе подгрупп с теми или иными специальными свойствами, о группах, которые могут быть вложены в данную группу, о тех или иных свойствах, характеризующих взаимное расположение подгрупп в группе, о способах построения группы по ее подгруппам. Кроме того, с помощью подгрупп можно описать внутреннюю структуру некоторых групп. Выделение тех или иных специальных типов групп также связано преимущественно с понятием подгруппы. Поэтому подгруппы играют особую роль в развитии и применении теории группы [3], [8].

1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение: множество перестановок n-й степени образует по умножению группу, притом конечную порядка n!. Эта группа называется симметрической группой n-й степени и обозначается S_n.

Определение: подмножество Н множества S_n называется подгруппой группы S_n, если оно является группой относительно действия умножения перестановок.

Такие подмножества играют важную роль для изучения строения группы S_n.

Симметрическая группа S_n имеет много разных подгрупп, причем их число очень быстро возрастает с увеличением числа n. Полностью описать все подгруппы группы S_n удается лишь для небольших n, а для n больших изучаются лишь общие свойства таких подгрупп.

Часто подгруппы симметрической группы S_n называют просто группами перестановок. В частности, само множество S_n также является своей подгруппой, то есть группа S_n будет подгруппой самой себя. Кроме того, множество состоящее лишь из одного единичного элемента, также является подгруппой, это вытекает из следующих равенств: E*E=E, E^-1=E. Такая подгруппа называется единичной. Для каждой другой подгруппы Н группы S_n выполняется неравенство: 1<|H|<n!.

Единичная подгруппа и вся группа называются несобственными подгруппами, а все остальные подгруппы называются собственными.

В основном нас будут интересовать собственные подгруппы групп.

1.2. ТЕОРЕМЫ О ПОДГРУППАХ

Для каждого подмножества множества S_n, которое является подгруппой, должны выполняться все требования определения группы. Но проверять все эти требования не нужно, так как справедлива следующая теорема о подгруппах.

Теорема: подмножество Н группы S_n, которое содержит по меньшей мере одну перестановку, является подгруппой группы S_n тогда и только тогда, когда:

1) вместе с каждыми двумя элементами  в него входит их произведение

2) если

Доказательство.

Необходимость.

Действительно, если Н – подгруппа группы S_n, то она замкнута относительно действия упражнения перестановок, которые принадлежат Н, то есть выполняется условие 1). Каждый элемент из Н имеет обратный, следовательно, выполняется условие 2).

Достаточность.

Пусть для множества Н перестановок выполняются условия 1) и 2). Проверим, имеет ли множество Н все свойства группы. Условие 1) означает, что множество Н замкнуто относительно действия умножения своих элементов следовательно, выполняются первое требование определения группы. Ассоциативность действия умножения перестановок Н имеет место, так как умножение произвольных перестановок (в частности, и тех, которые принадлежат Н) имеет такое свойство. Тождественная перестановка также должна принадлежать множеству Н. Действительно, Н содержит хоть одну перестановку, например S_n.

Теорема доказана.

Пример 1.

Пусть Н – множество перестановок

Проверим, является ли Н подгруппой группы S₄.

Имеем:

Следовательно, произведение каждых двух элементов множества Н является элементов того же множества, то есть для Н выполняется и условие 1) упомянутой выше теоремы.

Таким образом, подмножество Н является подгруппой группы S₄.

Пример 2.

Пусть Т – множество перестановок

Проверим, является ли Т подгруппой группы S₄.

Оказывается, что множество Т не является подгруппой группы S₄, так как для него не выполняется ни одно из условий 1), 2) теоремы о подгруппах. Действительно,

Следует отметить, что сформулированная выше теорема справедлива для бесконечных групп. В случае конечных групп проверка условия 2) является излишней, то есть для конечных групп справедлива следующая теорема о подгруппах.

Теорема: пусть  - группа, Н - ее  конечное подмножество и оно замкнуто относительно умножения. Тогда Н – подгруппа группы G.

Доказательство.

Докажем замкнутость Н относительно существования обратного элемента.

Возьмем произвольный элемент  и

Пусть  - все эти числа принадлежат Н (так как Н замкнуто относительно умножения по условию). Так как множество Н конечно, то все эти числа различны быть не могут.

Значит, существуют  (в случае  доказательство проводится аналогично). Тогда  и

Следовательно,  - обратный для  получили, что G.

Теорема доказана.

Нам известно, что симметрическая группа S_n является конечной. Поэтому для того чтобы подмножество Н группы S_n являлось подгруппой группы S_n, достаточно чтобы произведение произвольных двух элементов из Н также принадлежало Н.

1.3. ЗНАКОПЕРЕМЕННАЯ ГРУППА

Особенный интерес представляет множество A_n всех четный перестановок на множестве из n символов. Ясно, что это подмножество симметрической группы S_n. Утверждается, что A_n является подгруппой группы S_n. Чтобы доказать это, проверим, что A_n удовлетворяет двум условиям, характеризующим подгруппу:

1)   замкнутость.

Если р₁ и р₂ – перестановки из A_n, представимые в виде произведений n₁ и n₂ транспозиций соответственно, то их произведение  можно записать с помощью  транспозиций. Если n₁ и n₂ – четные числа, то и n₁+n₂ четно, откуда можно заключить, что перестановка  четная и, следовательно, эта перестановка принадлежит A_n.

2)   обратимость.

Перестановка р имеет обратную р^-1 (в группе S_n); р*р^-1=Е можно представить только с помощью четного числа транспозиций, поскольку Е – четная перестановка. Значит, если р – четная перестановка, то р^-1 также должна быть четной, то есть у каждого элемента из группы A_n есть обратный в A_n.

Следовательно, для подмножества A_n выполняются два условия теоремы о подгруппах (причем, второе условие можно было бы и не проверять, так как S_n – конечная группа). Поэтому A_n является подгруппой симметрической группы S_n. Подгруппа A_n группы S_n называется знакопеременной группой.

Теорема: порядок группы A_n равен

Доказательство.

Пусть а – транспозиция из симметрической группы n). Умножим каждый элемент группы S_n слева на а=(12). В результате снова получим множество всех элементов из S_n и ни один из них не повторяется дважды. Но произведение любой четной перестановки из S_n и элемента (12) является нечетной перестановкой, а произведение нечетной перестановки и элемента (12) является четной перестановкой. Множество нечетных перестановок и множество четных при этом умножении взаимно однозначно отображаются одно на другое. Это возможно лишь при том условии, что количество четных и нечетных перестановок одинаково. Следовательно, порядок группы A_n равен

Теорема доказана.

Эта группа играет очень важную роль в теории групп перестановок.

1.4. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА

Пусть Н и G – группы перестановок, причём Н является подгруппой G. В теории групп существует теорема, доказанная Лагранжем, устанавливающая связь между порядками групп Н и G. Эта теорема очень часто применяется в теории групп.

Теорема Лагранжа: если Н – подгруппа группы G, то ее порядок является делителем порядка G.

Доказательство.

Пусть Е, а₁, а₂, …, а_n-1 – все перестановки, содержащиеся в группе G,  - все перестановки из Н (то есть G, то утверждение теоремы справедливо, поэтому предположим, что НG (Н – собственная подгруппа G). В силу этого предложения существует перестановка  такая, что

                               (1)

Все перестановки ряда (1) различны: если бы для каких-то i, j имело место равенство i имело место включение  для какого-то j. Из этого равенства имеем

Если перестановками группы Н и ряда (1) исчерпаны все перестановки из G, то |G|=2|H|, и все доказано. В противном случае найдется такая перестановка  и  не содержится в ряде (1). Определим для нее ряд перестановок.

                               (2)

Аналогично проверяется, что:

1)   все перестановки ряда (2) различны;

2)   они не содержатся в Н;

3)   ни одна из них не встречается среди перестановок ряда (1).

Если перестановками из подгруппы Н и рядов (1) и (2) исчерпываются все элементы группы G, то |G|=3|H|, и все доказано.

В противном случае продолжаем процесс выбора перестановок  и построения рядов вида (1) и (2) дальше. Так как группа G конечная, то на каком-то, например, на k-м шаге все перестановки из G будут исчерпаны. Иными словами, все их можно расположить в такую таблицу:

при этом все перестановки в каждой из строк этой таблицы различны и любые 2 строки не имеют общих элементов. Поскольку общее число элементов в таблице равно n (порядок группы G), а число элементов в каждой строке равно m (порядок группы Н), то имеем равенство m является делителем n.

Теорема доказана.

Число k называют индексом подгруппы Н в группе G и обозначают [G:H]. Из доказательства теоремы Лагранжа мы получаем, что имеет место равенство |G|=|H|[G:H].

Так как порядок циклической подгруппы, порожденной перестановкой G – делитель |G|.

Теорема Лагранжа позволяет существенно упростить решение задачи описания всех подгрупп данной группы. Например, собственные подгруппы из симметрической группы S₃ могут состоять из двух и трех перестановок (делители числа 3!=6), поэтому не нужно непосредственно проверять являются ли подгруппами группы S₃ подмножество, состоящее из 4 или 5 перестановок. А ведь эта проверка длинная, так как есть  подмножество из S₃, состоящие из 4 или 5 элементов. Таким образом, даже на одном этом примере видно, насколько существенным может быть применение теоремы Лагранжа.

1.5. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ ЛАГРАНЖА

Сформулируем некоторые непосредственные следствия из теоремы Лагранжа о порядках подгрупп.

Теорема: если порядок группы G есть простое число, то:

1)   группа G не имеет собственных подгрупп;

2)   группа G является циклической.

Доказательство.

Утверждение 1) следует непосредственно из теоремы Лагранжа и определения простого числа.

Для доказательства утверждения 2) обозначим через  любой отличный от Е элемент группы G простого порядка.

Если порядок  равен n, то  и n>1. Множество n-1>0, составляет циклическую группу n-го порядка в группе G, так что Н – подгруппа данной группы G простого порядка. По теореме Лагранжа порядок n этой подгруппы является делителем числа р. Так как n=p. Но Н – подгруппа группы G. Следовательно, Н совпадает с группой G. Это доказывает утверждение 2).

Теорема доказана.

Из теоремы Лагранжа следует только то, что если в группе G есть подгруппа Н, то порядок группы G кратен порядку группы Н. Но для нас остается открытым вопрос, верно ли обратное утверждение: если порядок группы G равен g, а h – делитель числа g, то обязательно ли группа G имеет подгруппу порядка h? Для доказательства того факта, что это обратное утверждение не верно можно использовать знакопеременную группу А₄. Эта группа имеет порядок 12, но в ней нет подгрупп порядка 6. Таким образом, утверждение, обратное к теореме Лагранжа, не верно.

Однако некоторое достаточное условие для того, чтобы группа G порядка g имела подгруппу порядка h, где h – делитель числа g, указывается в следующей теореме Силова.

Теорема Силова: пусть G – группа порядка g и h – делитель числа g; если h=pⁿ, где р – простое число, а n – положительное целое число, то G содержит подгруппу порядка h.

Теорема Силова существенно облегчает процесс нахождения подгрупп некоторой группы. Так, например, порядок группы А₄ равен 12; простыми делителями числа 12 являются 2 и 3. По теореме Силова мы можем утверждать, что знакопеременная группа А₄ содержит подгруппы порядка 2, 3 и 4=2², но мы все равно ничего не можем сказать о подгруппе порядка 6.

Исходя из всего выше описанного, можно сделать вывод о том, что теорема Лагранжа и непосредственные следствия из этой теоремы играют важную роль в теории групп. Они очень часто применяются как в самой теории групп, так и во всех ее приложениях.

1.6. ЗАДАЧИ

1. Описать все подгруппы симметрической группы S₃.

Решение.

Порядок группы S₃ равен 3!=6. из теоремы Лагранжа следует, что собственные подгруппы из S₃ могут состоять из двух или трех перестановок. Следовательно, подмножества S₃, состоящие из четырех или пяти перестановок, подгрупп не образуют.

1) Опишем сначала подгруппы, которые состоят из двух перестановок. Если Н – такая подгруппа, то в нее входит элемент Е и еще какой-то другой элемент

Элемент обратный к  не может совпадать с Е, поэтому

Таким образом, существует не больше трех подгрупп второго порядка группы S₃. эти подгруппы легко находятся с помощью таблицы Кэли. Это будут такие подмножества: S₃, так как для каждого из них выполняется условие теоремы о подгруппах для конечных групп.

Для подмножества А:

Для подмножества В:

Для подмножества С:

2) Теперь опишем подгруппы, которые состоят из трех перестановок. Если  - такая подгруппа, то перестановки  и  должны иметь порядок 3. действительно, если одна из них, например ^-1. Пусть  и  Следовательно, получили противоречие, так как у нас  и  различны. Значит,  тоже будет иметь порядок 2. но легко проверить непосредственно, что произведение любых двух перестановок второго порядка является перестановка третьего порядка. Например,

Следовательно, произведение  не принадлежит G и G тогда не является подгруппой.

Таким образом, перестановки  и  должны иметь порядок 3, то есть

Как видим, произведение каждых двух элементов множества G является элементом из G, следовательно, выполняется условие теоремы о подгруппах для конечных групп. Значит, подмножество G множества S₃ является подгруппой группы S₃.

Таким образом, группа S₃ имеет шесть разных подгрупп:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Результат только что рассмотренной задачи наталкивает нас на предположение о том, что если группа имеет порядок n, то она имеет и n различных подгрупп. Чтобы подтвердить или опровергнуть это предположение рассмотрим следующую задачу.

2. Опишите все подгруппы симметрической группы S₄.

Решение: порядок группы S₄ равен 4!=12. По теореме Лагранжа, собственные подгруппы из S₄ могут состоять из 2, 3, 4, 6, 8, 12 перестановок. По теореме Силова можно лишь утверждать, что группа S₄ содержит подгруппы порядка 2, 3, 4=2², 8=2³, но ничего не можем сказать о подгруппах порядка 6 и 12. надо будет доказать существование или отсутствие подгрупп порядка 6 и 12.

1) Опишем подгруппы, состоящие из двух перестановок.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

2) Опишем подгруппы, состоящие из трех перестановок.

10.

11.

12.

13.

3) Опишем подгруппы, состоящие из четырех перестановок.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

4) Опишем подгруппы, состоящие из шести перестановок.

21.

22.

23.

24.

5) Опишем подгруппы, состоящие из восьми перестановок.

25.

26.

27.

6) Опишем подгруппы, состоящие из двенадцати перестановок.

28.

7) Опишем несобственные подгруппы группы S₄.

29.

30.

Все описанные выше подмножества действительно являются подгруппами, так как для каждого из них выполняется условие теоремы о подгруппах для конечных групп. Кроме того, в группе S₄ имеются подгруппы 6-го и 12-го порядка.

Следовательно, симметрическая группа S₄ имеет 30 разных подгрупп, а порядок группы S₄ равен 24. поэтому, сформулированное нами предложение о том, что количество подгрупп некоторой группы равно порядку этой группы, оказалось не верным.

3. Доказать, что подмножество  группы S₄ является коммуникативной подгруппой. Составить таблицу умножения подгруппы Н.

Решение.

Коммуникативной подгруппой называется подгруппы с коммуникативной операцией.

Операция на множестве Н называется коммуникативной, если для любых двух элементов h₁ и h₂ из Н выполняется условие: h₁*h₂=h₂*h₁.

Перестановки  и  коммутируют, если

Пусть

Следовательно, произведение каждых двух элементов множества Н является элементом того же множества, то есть подмножество Н группы S₄ является подгруппой группы S₄, причем перестановки коммутируют. Значит, Н – коммуникативная подгруппа.

Составим таблицу умножения подгруппы Н.

4. Опишите все подгруппы S₄, которые состоят из трех перестановок. Сколько их?

Решение.

1) Рассмотрим подгруппы, состоящие из трех перестановок второго порядка.

Если Н – такая подгруппа, то она состоит из следующих элементов:

Если  - перестановка второго порядка, то

Пусть   и  должны быть различными. Следовательно,  - перестановка второго порядка.

Но легко непосредственно проверить, что произведение любых двух элементов второго порядка является элемент третьего порядка. Значит, при таких предположениях произведение  не принадлежит Н и Н не является подгруппой.

Следовательно, в группе S₄ не существует подгрупп, состоящих из трех перестановок второго порядка.

2) Рассмотрим подгруппы, состоящие из трех перестановок третьего порядка.

Пусть  - такая подгруппа. Если  - перестановка третьего порядка, то есть  различные, а  тоже третьего порядка. Непосредственно легко проверить, что произведением двух элементов третьего порядка является элемент третьего порядка, то есть произведение  принадлежит G и G является подгруппой. В нашем случае существует 4 подгруппы, состоящие из трех перестановок третьего порядка:

1 -

2 -

3 -

4 -

3) Рассмотрим подгруппы, которые состоят из трех перестановок четвертого порядка.

Пусть  - такая подгруппа. Если  - перестановка четвертого порядка, то есть  различные. Тогда получается, что в подгруппе М должны содержаться четыре перестановки:  не может быть четвертого порядка.

Следовательно, симметрическая группа S₄ содержит всего 4 трехэлементных подгруппы.

5. Какая из подгрупп симметрической группы S₃:  будет знакопеременной.

Решение.

Знакопеременная группа А_n имеет порядок   знакопеременная группа А₃ имеет порядок G, так как ее порядок равен 3. Проверим, являются ли перестановки подгруппы G четными. По определению, перестановка называется четной, если она раскладывается в произведение четного числа транспозиции.

(123)=(12)*(13), то есть (123) – четная перестановка

(132)=(13)*(12), то есть (132) – четная перестановка

Следовательно, подгруппа G группы S₃ является знакопеременной.

Утверждение: если G – группа порядка 2n и Н – ее подгруппа порядка n, то Н будет нормальной подгруппой группы G.

Утверждение: знакопеременная группа А_n является нормальной подгруппой симметрической группы S_n.

6. Докажите, что группа А₄ не имеет подгрупп порядка 6.

Доказательство.

Если группа А₄ обладает подгруппой порядка 6, то эта подгруппа должна быть нормальной, так как ее порядок равен половине порядка группы А₄. Но, так как любая нормальная подгруппа группы А₄ содержит только элементы порядка 2, то максимальный возможный порядок подгруппы А₄ равен 4. Следовательно, группа А₄ не имеет подгрупп порядка 6.

7. Докажите, что знакопеременная группа А_n (a b c) длины 3.

Доказательство.

Группа А_n порождается произведениями пар транспозиций. Если две транспозиции одинаковы, их произведение равно тождественной перестановке. Если они имеют одну общую букву, как, например, (a b) и (a c), то (a b)*(a c)=(a b c). Если они  не  имеют общих букв, то (a b)*(c d)=(a b)*(a c)*

*(c a)*(c d)=(a b c)*(c a d). Значит, знакопеременная группа А_n, порождается всеми циклами длины 3.

ГЛАВА 2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ

НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ В ШКОЛЕ

2.1. ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ, КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ

АБСТРАКТНОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ СТАРШИХ КЛАССОВ

2.1.1. МЫШЛЕНИЕ И ЕГО РАЗВИТИЕ

Развитие мышления школьников является одной из главных задач обучения, так как высокая результативность обучения школьников достигается прежде всего тогда, когда проявляется должная забота о развитии мышления учащихся [24].

Мышление является продуктом исторического развития общественной практики, особой теоретической формой человеческой деятельности. С точки зрения психологии, мышление – это специально обусловленный, неразрывно связанный с речью психический процесс поисков и открытия существенно нового, процесс опосредствованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза [23].

Критерий истинности мышления – общественная практика. Она служит также той основой, на которой строятся логические законы и правила. Поэтому мышление не может быть сведено только к совокупности мыслительных операций и манипулировании с ними. Развитое мышление тесно связано с речью, то есть способностью говорить, выражать свои мысли.

В задачи мышления входит правильное определение причин и следствий, которые могут выполнять функции друг друга в зависимости от обстоятельств и времени.

Развитие мышления – это изменения его содержания и форм, которые образуются в процессе познавательной деятельности ребенка. В психологии обычно рассматриваются три вида мышления: 1) практически-действенное, 2) наглядно-образное и 3) словесно-логическое. Самым ранним (у ребенка до 3 лет) является практически-действенное. В 4-7 лет развивается наглядно-образное. В первые годы обучения в школе происходит развитие словесно-логического (понятийного) мышления. У школьников среднего и старшего возрастов этот вид мышления становится особенно важным.

В процессе развития мышление предшествующий вид не отбрасывается последующим. Каждый вид продолжает и дальше развивается и совершенствоваться.

Таким образом, развитие мышления – это не простая смена видов и форм мышления, а их изменение, совершенствование в ходе усвоения все более абстрактной и обобщенной информации [23], [24].

Развивать мышление – это значит:

1) развивать все виды и формы мышления и стимулировать процесс перерастания их из одних в другие;

2) формировать и совершенствовать мыслительные операции (анализ, синтез, сравнение, обобщение, классификацию и другие);

3) развивать умения: выделять существенные свойства предметов и абстрагировать их от несущественных; находить главные связи и отношения вещей и явлений окружающего мира; делать правильные выводы из фактов и проверять их; доказывать истинность своих суждений и опровергать ложные умозаключения; раскрывать существо основных форм правильных умозаключений; излагать свои мысли определенно, последовательно, непротиворечиво и  обоснованно;

4) вырабатывать умения осуществлять перенос операций и приемов мышления из одной области в другую; предвидеть развитие явлений и делать обоснованные выводы;

5) стимулировать процесс перехода от мышления, основанного на формальной логике, к мышлению, основанному на диалектической логике; совершенствовать умения и навыки по применению законов и требований формальной и диалектической логики в учебной и внеучебной познавательной деятельности учащихся.

Указанные компоненты тесно взаимосвязаны.

Особо подчеркивается значение мыслительных операций, которые лежат в основе любого из этих компонентов: формулируя и совершенствуя их у учащихся, мы тем самым способствуем развитию их мышления вообще.

Таким образом, под развитием мышления учащихся в процессе обучения понимается формирование и совершенствование всех видов, форм и операций мышления, выработка умений и навыков по применению законов мышления в познавательной и учебной деятельности, а также умений осуществлять перенос приемов мыслительной деятельности из одной области знаний в другие [23].

2.1.2. ОСОБЕННОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ МЫШЛЕНИЯ

В СТАРШЕМ ШКОЛЬНОМ ВОЗРАСТЕ

В настоящее время особое внимание уделяется развитию мышления старшеклассников. Производительный труд и производственное обучение в системе трудового воспитания предъявляют к учащимся серьезные требования. У них вырабатывается активная жизненная позиция, более сознательное отношение к выбору будущей профессии, к самоопределению и самопознанию, прививаются навыки трудовой и учебно-познавательной деятельности. Более сложные содержание и методы обучения старшеклассников требуют от них и более высокого уровня самостоятельности, активности, организованности, умений принять на практике приемы и операции мышления. Резко возрастает потребность в самоконтроле и самовоспитании, в знаниях своих способностей и возможностей их реализации, развивается инициатива. Мышление становится более глубоким, полным, разносторонним и все более абстрактным; в процессе знакомства с новыми приемами умственной деятельности моделируются старые, освоенные на предыдущих ступенях обучения.

Овладение высшими формами мышления способствует выработке потребности в интеллектуальной деятельности, приводит в конечном счете к пониманию важности теории и стремлению применять ее на практике.

Для старшеклассников важна значимость самого учения, его задач, целей, содержания и методов. Изменение значимости учения оказывает решающее влияние на отношение ученика не только к учебе, но и к самому себе. Старшеклассник проявляет углубленный интерес к самому себе, к своему мышлению. Это во многом способствует развитию таких качеств, как наблюдательность, избирательность, критичность. Изменяются и мотивы учения, так как они приобретают для старшеклассников важный жизненный смысл. Характерно также неуклонное возрастание сознательности, усиление роли обобщений и абстракций в мыслительной деятельности: старшеклассники понимают общее значение конкретных фактов, понимают, что конкретный образ выступает не только как факт, взятый сам по себе, но и как выразитель общего. Речь идет здесь о понимании связи между отдельными, особенным и общим, которая лежит в основе познавательной деятельности человека.

В основе развивающихся способностей человека лежит активность и саморегуляция. Потребность в саморегуляции, то есть в правлении и развитии личности, - важная особенность старшеклассников. Психологи утверждают, что старшеклассникам доступно управление своими психическими процессами и действиями, поэтому они не только проявляют активность в интеллектуальной сфере, анализируют те или иные явления, высказывают суждения, но и сознательно формируют свое мировоззрение, для чего требуется достаточно высокий уровень развития мышления [23].

2.1.3. НЕОБХОДИМОСТЬ РАЗВИТИЯ МЫШЛЕНИЯ

СТАРШЕКЛАССНИКОВ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ

В современной школе задача развития мышления решается попутно с усвоением учащимся программного материала и не выделяется как самостоятельная. Дидактические основы развития мышления учащихся – это законы и закономерности процесса обучения, в особенности закон единства обучения и развития и закон активности учащихся в обучении и воспитании. Они находят отражение в ряде дидактических принципов, которые при благоприятных условиях способствуют управлению развитием мышления учащихся.

В процессе овладения знаниями школьники усваивают определенные операции и приемы мыслительной деятельности, но такой стихийный путь явно недостаточен. Нужно так организовать обучение, чтобы оно стимулировало самостоятельное мышление, вызывало активную переработку новой информации, способствовало установлению связей между старым и новым материалом, направляло на специальное усвоение рациональных приемов умственной деятельности. Школьники должны ясно осознавать мыслительные задачи, знать основные пути их решения, уметь проводить поиски решения конкретной задачи. Для этого необходима специальная работа учителя по формированию и совершенствованию умственной деятельности учащихся. Учить учиться, учить правильно мыслить, самостоятельно выполнять различные задания – вот в чем суть задач, стоящих перед современной общеобразовательной школой. А умение мыслить заключается прежде всего в правильном использовании мыслительных операций. Учитель любого предмета, формируя научное понятие, сравнивает между собой предметы, явления и события, анализирует и синтезирует их, абстрагирует существенные признаки, классифицирует и обобщает; излагал учебный материал, рассуждает; доказывает, формулирует выводы. «Прибавка» в мышлении учащихся характеризуется степенью самостоятельности их в решении предполагаемых задач, в овладении основными материалами, операциями и примами мышления, в способности комбинировать знания, проявляющийся при выполнении трудных заданий.

Если обучение организовано системно, логично, целенаправленно, то оно обогащает детей чувственным опытом, развивает их речь, наблюдательность стимулирует любознательность, стремление к поискам и открытиям. Особенно сильное воздействие оказывает деятельность, в которой объединяются учебные и трудовые, теоретические и практические задачи.

Педагогическое управление процессом развития мышления школьников может достичь своей цели лишь тогда, когда общается единство рационально отобранного и дидактически обработанного содержания, адекватных и хорошо отработанных мыслительных операций и действенных, специально значимых мотивов учебно-познавательной деятельности учащихся при учете индивидуальных различий в их мышлении [23], [24].

Мышление старшеклассников (а значит, и умение пользоваться мыслительными операциями) необходимо не только стимулировать, но и специально развивать на протяжении всех лет обучения в школе.

2.1.4. РАЗВИТИЕ АБСТРАКТНОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ

СТАРШИХ КЛАССОВ СРЕДСТВАМИ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ

Ведущее значение в мышлении старшеклассников занимает абстрактное мышление.

Абстрактное мышление тесно связано с мыслительной операцией, называемой абстрагированием. Абстрагирование имеет двойственный характер: негативный (отвлекаются от некоторых сторон или свойств изучаемого объекта) и позитивный (выделяют определенные стороны или свойства этого же объекта, подлежащие изучению).

Поэтому, абстрактным мышлением называют мышление, которое характеризуется умением мысленно отвлечься от конкретного содержания изучаемого объекта в пользу его общих свойств, подлежащих изучению.

Абстрактное мышление можно подразделить на:

1)   аналитическое мышление;

2)   логическое мышление;

3)   пространственное мышление.

Аналитическое мышление характеризуется четкостью отдельных этапов в познании, полным осознанием как его содержания, так и применяемых операций. Аналитическое мышление не выступает изолированно от других видов абстрактного мышления; на отдельных этапах мышления оно может лишь превалировать над теми видами, с которыми оно выступает совместно. Этот вид мышления тесно связан с мыслительной операцией анализа.

Логическое мышление характеризуется обычно умением выводить следствия из данных предпосылок, умением вычленять частные случаи из некоторого общего положения, умением теоретически предсказывать конкретные результаты, обобщать полученные выводы.

Пространственное мышление характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образцы или схематические конструкции изучаемых объектов и выполнять над ними операции, соответствующие тем, которые должны были быть выполнены над самими объектами [18].

Овладение абстрактными знаниями приводит к изменению у учащихся старших классов самого течения мыслительного процесса. Мыслительная деятельность отличается у них высоким уровнем обобщения и абстракции, учащиеся стремятся к установлению причинно-следственных связей и других закономерностей между явлениями окружающего мира, проявляют критичность мышления, умения аргументировать суждения, более успешно осуществлять перенос знаний и умений из одной ситуации в другие. В ходе усвоения учебного материала старшеклассники стремятся самостоятельно раскрывать отношения общего и конкретного, выделять существенное, а затем формулировать определения научных понятий [23].

На наш взгляд, развитию абстрактного мышления старшеклассников способствует изучение элементов современной алгебры. Обучение современной алгебре стоит на более высокой ступени абстракции, чем обучение элементарной математике. Например, такое основное понятие современной алгебры, как группа, является абстракцией второго порядка в отличие от понятий элементарной алгебры и геометрии, которые являются абстракциями первого порядка [20], [22].

Введение элементов современной алгебры предъявляет большие требования к абстрактному мышлению школьников. При изучении современной алгебры понятия даются в столь абстрактной и обобщенной форме, что для учащихся представляет трудность умение видеть за этими общими и абстрактными понятиями все то множество конкретных образов, обобщением которых они являются.

Кроме того, элементы современной абстрактной алгебры, в частности, элементы теории групп следует рассматривать на факультативных занятиях, так как данный материал достаточно труден для школьников. Хотя здесь и не требуются практически никакие предварительные знания, но зато необходима чрезвычайно высокая культура работы с даваемыми определениями, необходима, если можно так сказать, потребность в определениях [11].

2.2. ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ ГРУПП

НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ ПО МАТЕМАТИКЕ

2.2.1. РОЛЬ ФАКУЛЬТАТИВОВ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Факультативные занятия играют очень важную роль в процессе обучения. Факультативы обеспечивают высокие результаты в обучении и развитии школьников.

Эффективность учебного процесса, в ходе которого формируется умственный и нравственный облик человека, во многом зависит от успешного усвоения одинакового, обязательного для всех членов общества содержания образования и всемерного удовлетворения и развития духовных запросов, интересов и способностей каждого школьника в отдельности. Без факультативных занятий такой подход осуществить крайне трудно [26].

Факультативы являются одним из основных средств дифференциации обучения в условиях всеобщего среднего обязательного образования, они помогают решать задачи совершенствования содержания и методов обучения.

Наиболее перспективными являются факультативные занятия по математике. Основная задача факультативных занятий по математике состоит в том, чтобы, учитывая интересы и склонности учащихся, расширить и углубить знания программного материала, ознакомить их с некоторыми общими идеями современной математики, раскрыть приложения математики в практике.

Кроме того, основной задачей на факультативе является задача воспитания. Важно, чтобы на факультативных занятиях была создана атмосфера, выводящая учащихся из привычных и в определенной степени «приевшихся» рамок типичного «школярства». Таким образом, ценность факультативных занятий не только в обучении, но и в воспитательном воздействии [13].

Главной целью факультативов по математики является углубление и расширение знаний, развитие математического мышления, формирование активного познавательного интереса к предмету, привитие школьникам интереса и вкуса к самостоятельным занятиям математикой, воспитание и развитие их инициативы и творчества. Факультативные занятия содействуют профессиональной ориентации учащихся в области математики и ее приложений, облегчая тем самым выбор специальности и дальнейшее совершенствование в ней [17].

В основе выбора учащимися факультативного курса по математике лежит в определенной степени устойчивый интерес к математике или ее приложениям. Наличие такого интереса у учащихся позволяет в рамках факультативных занятий рассматривать разделы математики на достаточно высоком уровне. Наличие у учащихся серьезного интереса к математике – необходимое условие успешного проведения факультативных занятий.

У учащихся, приступивших к изучению математики на факультативных занятиях, несомненно, будут расти возможности интенсификации учения и, главное, трудоспособность в процессе занятий. Именно на факультативных занятиях можно ставить вопрос об ускорении изучения материала за счет значительной самостоятельности работы учащихся, большего внимания, уделяемого индивидуальному подходу к обучению.

Факультативные занятия служат не только приобщению огромного числа учащихся к углубленному изучению математики, но и важным средством индивидуализации обучения.

Важнейшее назначение факультативных занятий по математике – пробуждать и укреплять интерес учащихся к науке, потребность и желание лучше знать материал [26].

Факультативы по математике должны строиться так, чтобы быть для учащихся интересными, увлекательными, а подчас и занимательными. Необходимо использовать естественную любознательность школьников для формирования устойчивого интереса к своему предмету. Занимательность поможет учащимся освоить факультативный курс, содержащиеся в нем идеи и методы математической науки, логику и приемы творческой деятельности [18].

Факультативные занятия играют большую роль в совершенствовании школьного, в том числе математического, образования. Они позволяют производить поиск и экспериментальную проверку нового содержания, новых методов обучения, в широких пределах варьировать объем и сложность изучаемого материала.

2.2.2. ХАРАКТЕРНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ

ПО МАТЕМАТИКИ

Различают два вида факультативных занятий по математике:

1) изучение дополнительных глав и вопросов математики, цель которого состоит в расширении и углублении знаний учащихся по обязательной для всех программе, ознакомление с разделами, примыкающими к программным или раскрывающими приложениями математики;

2) небольшие специальные курсы, знакомящие учащихся (в основном старших классов) с некоторыми областями современной математике [25].

Факультативные занятия, подобно занятиям по изучению обязательного курса, должны проводиться на основе государственных программ. Этими программами определяются тематика математических факультативов и фиксируется время, отведенное на рассмотрение той или иной темы. Тем самым определяется объем знаний и навыков, достигаемых учащимися при прохождении каждой темы.

Вместе с тем, сообразуясь с собственными возможностями, возможностями своих учеников, учитель может выбрать для факультативных занятий любой из рекомендованных Министерством Просвещения курсов. Программы предусматривают различные вариации содержания факультативных курсов. Поэтому каждый учитель может в какой-то степени варьировать содержание курса, не выходя за рамки программ факультатива. Сказанное выше в еще большей степени относится к специальным курсам по математике, которые вообще предполагают последовательное изучение определенной тематики в течении длительного времени [26], [30].

Факультативные занятия не являются обязательными для учащихся. Их посещают школьники, которые выбрали данный факультатив по своему желанию.

Условие необязательного выбора накладывает определенные требования на систему факультативных занятий диктуя свои ограничения, относящиеся как к  содержанию, так и к методике этих занятий.

Во-первых, факультативные программы различных классов должны быть по возможности независимы друг от друга. Только в старших классах, учащиеся которых обладают уже сравнительно устойчивым сформировавшимся интересом к математике, возможна постановка специальных курсов, рассчитанных более чем на год. При этом желательно, чтобы такие курсы носили прикладной характер, давая учащимся возможность профориентации в области математики и ее приложений.

Во-вторых, содержание и методика проведения факультативных занятий должны привлекать учащихся.

Это обеспечивается включением в программу факультативов тем, имеющих большое общеобразовательное и прикладное значение. Изучение таких позволяет существенно повысить уровень математического развития учащихся, что и является главной задачей математических факультативов [30].

Для того, чтобы факультативные занятия по математике были эффективными, необходимо их организовать там, где есть:

1) высококвалифицированные учителя или другие специалисты, способные вести занятия на высоком научно-методическом уровне;

2) не менее 15 учащихся, желающих изучать данный факультативный курс.

Если школа имеет классы с небольшой наполняемостью, то группы учащихся для факультативных занятий можно комплектовать по параллелям или из учащихся смежных классов (8-9 классы, 10-11 классы).

Запись учащихся на факультативные занятия производится на добровольных началах в соответствии с их интересами. Требования к учащимся, участвующим в работе факультатива, такие же, как и в отношении любого учебного предмета: обязательное посещение занятий, выполнение домашних заданий, собранность, дисциплинированность в учебе [17], [18].

Учитель математики несет полную ответственность за качество факультативных занятий; факультативные занятия вносят в расписание и оплачиваются учителю.

Основными формами проведения факультативных занятий по математике являются в настоящее время изложение узловых вопросов данного факультативного курса лекционным методом, семинары, дискуссии, решение задач, рефераты учащихся как по теоретическим вопросам, так и по решению цикла задач и так далее [18].

Факультативные занятия представляют собой одно из проявлений новой формы обучения математике – дифференцированного обучения. По существу факультативные занятия являются наиболее динамичной разновидностью дифференциации обучения.

2.2.3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ

2.2.3.1. ЦЕЛЕСООБРАЗНОСТЬ ВВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ

ГРУПП В ПРОГРАММУ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ КУРСОВ

В настоящее время очень часто приходится обсуждать вопрос: нужно ли вообще изучать элементы современной математики в курсе средней школы. Мы считаем, что не только нужно, но и совершенно необходимо в силу огромной практической и познавательной значимости элементов современной математики.

Знакомство школьников с современной математикой целесообразно начать с изучения элементов теории групп, так как структура группы является не только структурой, представляющей большой научный интерес, но и структурой, имеющей простые интерпретации на конечных множествах. К тому же структура группы часто встречается в школьном курсе математики.

Можно указать и другие мотивы, в силу которых элементы теории групп целесообразно рассматривать в школе в качестве первого и основного примера математической структуры. Например, существует большое число простых и конкретных систем, иллюстрирующих аксиоматику группы на знакомом школьникам материале, причем многие из них являются весьма наглядными. Кроме того, аксиоматика группы может быть легко установлена школьниками индуктивно, посредством изучения одной из иллюстрирующих ее конкретных систем. Многие дедуктивные выводы из аксиом группы просты и изящны. К тому же учащимся, испытывающим определенные затруднения при чисто абстрактном исследовании, часто помогает сравнение общих выводов с выводами, делающимися на известном и конкретном примере системы, снабженной групповой структурой. Весьма небольшое число аксиом оказывается достаточным для рассмотрения разных теорем, сразу приводящих к интересным результатам [16].

При этом  имеет смысл не просто ознакомление школьников с некоторыми любопытными вопросами теории групп, а систематическая и планомерная работа по изучению структуры группы.

Исходя из всего выше написанного, можно сделать вывод о том, что теория групп как нельзя лучше подходит для того, чтобы показать школьникам образец современной математической теории.

2.2.3.2. ПРОГРАММА И СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЙ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА «ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ»

В качестве экспериментальной работы мы предлагаем изучение элементов современной алгебры в рамках факультативного курса по математике.

Нами была разработана программа факультативного курса «Элементы современной алгебры» и проведена апробация этого курса среди учащихся 9-10-х классов абаканской национальной гимназии им. Н.Ф. Катанова. Мы ставили перед собой следующую задачу: познакомить школьников с элементами теории групп.

Факультативный курс «Элементы современной алгебры» можно провести по следующему тематическому плану.

1) Алгебраические действия. Свойства алгебраических действий (4 часа).

2) Понятие полугруппы. Примеры полугрупп (2 часа).

3) Подполугруппы.  Идеалы полугрупп (2 часа).

4) Делимость элементов в полугруппе (2 часа).

5) Регулярные элементы полугрупп. Понятие инверсной полугруппы (2 часа).

6) Гомоморфизм и изоморфизм полугрупп (2 часа).

7) Свободная полугруппа слов. Полугруппа преобразований (2 часа).

8) Понятие группы. Примеры групп. Группы симметрий. Свободная группа (6 часов).

9) Простейшие свойства групп. Группа перестановок (симметрическая группа) (4 часа).

10)    Понятие подгруппы. Примеры подгрупп. Подгруппы симметрических групп (4 часа).

11)    Определяющие соотношения в группах (2 часа).

12)    Порождающие множества групп. Циклическая группа (2 часа).

13)    Гомоморфизм и изоморфизм (2 часа).

14)    Симметрические многочлены (4 часа).

В рамках данного факультативного курса мною проведены 2 занятия по теме: «Понятие подгруппы. Подгруппы симметрических групп».

Занятие 1.

Тема: «Понятие подгруппы. Примеры подгрупп».

Цели:

-         познакомить учащихся с понятием подгруппы, рассмотреть критерий подгрупп, теорему о подгруппах для конечных групп, разобрать примеры различных подгрупп;

-         продолжить развитие абстрактного мышления учащихся;

-         формировать у учащихся внимание, наблюдательность.

Ход занятия.

На предыдущих занятиях вы познакомились с понятием группы, а понятие группы тесно связано с таким понятием, как «подгруппа». Подгруппы играют особую роль в развитии и применении теории групп. Поэтому сегодня на занятии вы познакомитесь с понятием «подгруппа».

Для начала, давайте рассмотрим с вами множество целых чисел. Из предыдущих занятий вам известно, что множество целых чисел образует группу по сложению. Выделим во множестве целых чисел два подмножества: подмножество четных целых чисел и подмножество нечетных целых чисел. Теперь попробуем выяснить, являются ли выбранные нами подмножества группами по сложению. Для этого надо проверить выполнимость всех аксиом группы (ассоциативность операции, существование нейтрального и обратного элементов, наличие бинарной операции).

Сначала рассмотрим подмножество четных целых чисел. Сложение является бинарной операцией на подмножестве четных чисел, так как если сложить два четных числа, то в результате снова получится четное число. Сложение ассоциативно, нейтральным элементом является нуль, у каждого элемента есть обратный (так как число, обратное четному числу, также четно). Значит, подмножество четных целых чисел является группой по сложению.

Теперь рассмотрим подмножество нечетных целых чисел. Сложение не является бинарной операцией на подмножестве нечетных чисел, так как если сложить два нечетных числа, то в результате не всегда получится нечетное число. Например, числа 3 и 5 являются нечетными, а их сумма является четным числом. Следовательно, данное подмножество не является группой.

Таким образом, в том случае, когда для подмножества данного множества, являющегося группой, выполняются все аксиомы группы, то говорят, что это подмножество называется подгруппой данной группы.

Запишем определение: подмножество группы называется подгруппой этой группы, если оно само является группой относительно операции, переделенной в группе.

Следовательно, из рассмотренного нами примера следует, что подмножество четных чисел является подгруппой группы целых чисел относительно сложения. А подмножество нечетных чисел не является подгруппой группы целых чисел относительно сложения.

Но для того, чтобы каждый раз при нахождении подгруппы не проверять все аксиомы группы, принято пользоваться следующим критерием подгруппы.

Теорема: для того, чтобы непустое подмножество Н группы <G, *> было подгруппой, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий:

1) множество замкнуто относительно операции, определенной в группе, то есть для любых элементов h₁, h₂ и

2) множество содержит вместе с каждым своим элементом и обратный к нему элемент, то есть для любого элемента  и

Данная теорема справедлива для бесконечных групп. В случае конечных групп проверка 2) условия является излишней, то есть для конечных групп справедлива следующая теорема о подгруппах.

Теорема: пусть <G, *> - группа, Н – конечное пустое подмножество G, замкнутое относительно операции «*», тогда Н является подгруппой группы G.

Следует также отметить, что каждая группа имеет две особые подгруппы:

1) все группы содержат в качестве подгруппы множество, состоящее только из одного нейтрального элемента;

2) любая группа содержит себя в качестве подгруппы.

Обычно нас будут интересовать подгруппы, отличные от этих особых подгрупп. Такие подгруппы называются собственными, а две особые группы – несобственными.

Давайте выполним следующее задание:

I. Дана группа действительных чисел, отличных от нуля относительно умножения, то есть <R|{o},*>. Требуется проверить, являются ли подгруппами этой группы следующие множества:

1)   множество положительных действительных чисел;

2)   множество рациональных чисел, отличных от нуля.

Первый пункт данного задания давайте рассмотрим вместе, а второй пункт вы попробуете решить самостоятельно.

Так как группа действительных чисел, отличных от нуля относительно умножения является бесконечной группой, то для отыскания подгрупп этой группы будем пользоваться критерием подгрупп. Нам надо проверить выполнимость двух условий критерия. Первое условие выполняется, так как произведение двух положительных действительных чисел положительно и действительно (например, R⁺, *> является подгруппой группы <R|{o}, *>.

Попробуйте теперь сами привести примеры подгрупп (учащиеся приводят различные примеры подгрупп).

Далее выполним следующие задания:

II. Покажите, что множество всех чисел, кратных 5, образует подгруппу группы целых чисел по сложению.

III. Является ли множество, состоящее из чисел 1 и –1 подгруппой группы <R|{o}, *>.

В качестве домашнего задания запишите следующие упражнения:

I. Поверьте, является ли множество целых чисел подгруппой группы <Q, +>.

II. Является ли множество целых чисел подгруппой группы <Q|{o}, *>.

Занятие 2.

Тема: «Подгруппы симметрических групп».

Цели:

-         познакомить учащихся с теоремой Лагранжа и с теоремой Силова, с методом нахождения подгрупп симметрических групп;

-         продолжить развитие абстрактного мышления школьников;

-         способствовать воспитанию у учащихся наблюдательности.

Ход занятия.

Вы уже знакомы с симметрической группой S_n. Внутреннюю структуру симметрической группы S_n можно описать с помощью ее подгрупп. Изучение внутренней структуры симметрической группы позволяет установить ее многие свойства. Поэтому сегодня на занятии мы с вами будем рассматривать подгруппы некоторых симметрических групп, познакомимся с методом отыскания подгрупп.

Для начала следует отметить то, что симметрическая группа S_n имеет много разных подгрупп, причем их число очень быстро возрастает с увеличением числа n. Полностью описать все подгруппы группы S_n удается лишь для небольших n, а для больших n изучаются общие свойства таких подгрупп.

Нам известно, что симметрическая группа S_n конечна. Поэтому для того, чтобы подмножество Н группы S_n являлось подгруппой группы S_n, достаточно чтобы произведение каждых двух элементов из Н также принадлежало Н.

Рассмотрим следующий пример: пусть Н – множество перестановок

Проверим, является ли Н подгруппой группы S₄.

Проверим, выполняется ли для данного множества условие теоремы о подгруппах для конечных групп (замкнутость множества относительно операции умножения). Оказывается, что данное условие не выполняется, так как

Следовательно, множество Н не является подгруппой группы S₄.

Для нахождения подгрупп некоторой группы удобно пользоваться теоремой Лагранжа, которая устанавливает связь между порядками групп и подгрупп.

Теорема Лагранжа: если Н – подгруппа группы G, то ее порядок является делителем порядка G.

Теорема Лагранжа позволяет существенно упростить решение задач, связанных с описанием всех подгрупп некоторой группы.

Рассмотрим, например, симметрическую группу S₃, порядок этой группы равен 3!=6. По теореме Лагранжа мы можем утверждать, что подгруппы из S₃ могут состоять из 2 или 3 перестановок, так как 2 и 3 являются делителями числа 6. Поэтому нам не нужно проверять являются ли подгруппами группы S₃ подмножества, состоящие из 4 или 5 перестановок.

Даже на одном этом примере видно, насколько существенным может быть применение теоремы Лагранжа.

Следует отметить, что утверждение, обратное к теореме Лагранжа не верно. Например, знакомая вам знакопеременная  группа А₄ имеет порядок 12, но в ней нет подгрупп порядка 6.

Кроме того, в теории групп существует теорема Силова, которая также облегчает процесс нахождения подгрупп некоторой группы.

Теорема Силова: пусть G – группа порядка g и h - делитель числа g; если h=pⁿ, где р – простое число, а n – положительное целое число, то группа G содержит подгруппу порядка h.

Рассмотрим, например, знакопеременную группу A₄, порядок этой группы равен 12. По теореме Силова мы можем точно утверждать, что группа А₄ содержит подгруппы порядка 2, 3 и 4, так как 2=2¹, 3=3¹, 4=2².

Теорема Лагранжа и теорема Силова играют важную роль в теории групп. Данные теоремы позволяют существенно упростить решение задачи описания всех подгрупп симметрической группы S_n.

Сейчас я познакомлю вас с методом нахождения подгрупп симметрических групп. Для этого рассмотрим следующую задачу.

Задачи: опишите все подгруппы симметрической группы S₃.

Мы знаем, что порядок группы S₃ равен 6. Из теоремы Лагранжа следует, что подгруппы из S₃ могут состоять из 2 или 3 перестановок, а по теореме Силова такие подгруппы точно существуют.

Опишем сначала подгруппы, которые состоят из 2 перестановок. Если Н – такая подгруппа, то в нее входит элемент Е и еще какой-то другой элемент

Так как элемент обратный к  не может совпадать с Е, то  - перестановка второго порядка.

Подгруппы легко находить с помощью таблицы Кэли. Из таблицы умножения группы S₃ (Приложение 1) видно, что подгруппами  группы S₃ будут следующие подмножества:

1)

2)

3)

Это следует из того, что

Опишем теперь подгруппы, состоящие из 3 перестановки. Если G – такая подгруппа, то в нее входит элемент Е и два различных элемента  и

Перестановки  и  должны иметь порядок 3, так как если одна из них, например  также будет иметь порядок 2. но легко проверить, что произведением любых двух перестановок второго порядка является перестановка третьего порядка. Это видно из таблицы умножения группы S₃ (Приложение 1). Так как, например,  и  должны иметь порядок 3, то есть

Из таблицы Кэли видно, что  и G является элементом из G, то есть выполняется условие теоремы о подгруппах для конечных групп. Значит, множество G группы S₃ является подгруппой симметрической группы S₃.

Таким образом, мы получили, что группа S₃ имеет 6 различных подгрупп:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Вы познакомились с методом нахождения подгрупп симметрической группы S₃. Этот же метод используется для отыскания подгрупп симметрической группы S_n.

В качестве домашнего задания запишите следующие упражнения.

I. Какие из следующих множеств перестановок образуют подгруппу в группе S₄:

1)

2)

II. Существует ли в произвольной конечной группе порядка 10 подгруппа порядка 5.

III. Опишите все подгруппы группы S₄, состоящие из трех перестановок. Сколько их?

Представленные выше 2 занятия по теме: «Понятие подгруппы. Подгруппы симметрических групп» являются частью большого факультативного курса «Элементы современной алгебры». Чтобы более подробно изучить данную тему можно провести небольшой факультативный курс «Элементы теории групп. Симметрические группы» для учащихся 9-10-х классов.

Программа факультативного курса «Элементы теории групп. Симметрические группы».

1) Понятие алгебраического действия. Простейшие свойства действий (6 часов).

Дать определение действия, рассмотреть примеры действий,  свойства действий: коммутативность, ассоциативность, обратимость, сократимость, существование нейтрального и обратного элементов, познакомить с таблицей Кэли.

2)

Рассмотреть 2 определения группы, доказать эквивалентность этих определений, разобрать примеры групп.

3)

Ввести понятие перестановки, рассмотреть умножение перестановок, свойства умножения перестановок: ассоциативность, обратимость, единственность, познакомить с разложением перестановок, циклами, транспозициями, дать определения симметрической и знакопеременной групп.

4)

Познакомить с определением подгруппы, рассмотреть различные примеры подгрупп, критерий подгрупп, теорему о подгруппах для конечных групп, теорему Лагранжа и теорему Силова, познакомить с методом нахождения подгрупп симметрических групп.

5)

6)

2.3. ОРГАНИЗАЦИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ РАБОТЫ

ПО ВНЕДРЕНИЮ В ШКОЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ ФАКУЛЬТАТИВНОГО

КУРСА «ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ»

В данном параграфе будут рассмотрены общие положения, организация и результаты экспериментальной работы по введению в учебный процесс школы элементов современной алгебры в рамках факультативного курса.

Мы исходим из понимания экспериментальной работы как специально организуемой, целенаправленной и контролируемой деятельности группы студентов по апробированию разработанного факультативного курса в условиях педагогического процесса школы.

На организационном этапе были определены цель, задачи и методы исследования, сформулирована гипотеза, в структуре которой было выделено условие внедрения факультативного курса в учебный процесс.

Экспериментальная работа в школе была определена следующим методологическими характеристиками:

Тема экспериментальной работы: элементы современной алгебры на факультативных занятиях по математике.

Объект – элементы современной алгебры в программе факультативных курсов по математике.

Предмет – элементы теории групп, на примере понятия подгруппы, на факультативных занятиях по математике.

Цель экспериментального исследования обосновать целесообразность и возможность введения элементов современной алгебры в программу факультативных курсов.

Гипотеза эксперимента – введение элементов современной алгебры в программу факультативных курсов по математики для учащихся старших классов целесообразно, доступно и способствует развитию абстрактного мышления, если осуществляется систематическая и планомерная работа с учащимися.

Задачи эксперимента:

1) Экспериментально проверить возможность введения разработанного факультативного курса в школьное обучение;

2) Разработать и апробировать факультативный курс «Элементы современной алгебры»;

3) Проанализировать уровень усвоения учащимися предложенного на факультативе учебного материала;

4) Сделать выводы на основании экспериментальных данных.

Экспериментальная база – национальная гимназия им. Н.Ф. Катанова (г. Абакан, Республика Хакасия).

Этапы эксперимента:

1)   подготовительный – до октября 1999 года;

2)   формирующий эксперимент – с октября 1999 года до февраля 2000 года;

3)   подведение итогов, анализ результатов, формулирование выводов – до апреля 2000 года.

Методика эксперимента: Изучение математической и методической литературы по данной теме, наблюдение за ходом факультативных занятий, письменный опрос школьников, математическая обработка результатов эксперимента.

На подготовительном этапе эксперимента нами была разработана программа факультативного курса «Элементы современной алгебры», а также содержание занятий этого факультатива по теме: «Понятие подгруппы. Подгруппы симметрических групп».

Цель формирующего эксперимента состояла в апробации разработанного нами факультативного курса, определении продолжительности и количества занятий, в выявлении отношения учащихся к новому спецкурсу. Занятия факультатива проводились один раз неделю в течение 5 месяцев, причем продолжительность одного занятия равнялась академическому часу.

Третий этап эксперимента заключался в проведении среза по выявлению у учащихся остаточных знаний программы факультатива.

После прослушивания школьниками всего факультативного курса, им была предложена для выполнения итоговая проверочная работа (Приложение 3). Данная работа состояла из 26 заданий, причем все задания были разбиты на 4 уровня усвоения занятий, требующих от учащихся различных мыслительных операций.

Первый уровень (репродуктивный) предполагал выполнение заданий, требующих воспроизведения знаний без существенных изменений: понятия, правила, готовые выводы.

Второй уровень (уровень стандартных операций) предполагал оперирование знаниями в стандартных условиях, то есть по образцу, правилу, указаниям.

Задания третьего уровня (аналитико-синтетического) предусматривали наличие умений анализировать, синтезировать и обобщать. Для выполнения заданий такого уровня необходимы существенные преобразования в структуре приобретенных школьниками знаний, умения в применении навыков логической обработки учебного материала (выделения главного, умения сравнивать, доказывать, обобщать и конкретизировать).

Для выполнения заданий четвертого уровня (творческого) было необходимо умение применять знания в значительно измененных условиях. Задания на четвертый уровень усвоения этого задания исключительно творческого характера.

В рамках данной проверочной работы, по темам проведенных мною занятий, было предложено 3 задания первых трех уровней. Это были следующие задания:

1) Задание первого уровня.

Пусть <Q, +> - группа, <Z, +> - группа, является ли  <Z, +> подгруппой группы <Q, +>.

2) Задание второго уровня.

Доказать, что подмножество  является подгруппой группы S₃.

3) Задание третьего уровня.

Пусть Н – множество перестановок S₄.

Результаты проведенной проверочной работы свидетельствуют о том, что учащиеся справились с предложенными мною заданиями, а значит, успешно усвоили учебный материал по теме: «Понятие подгруппы. Подгруппы симметрических групп».

Так, с заданием первого уровня справились почти все учащиеся (85%), хотя наивысший балл получили лишь несколько школьников. Это связано с тем, что при выполнении данного задания учащиеся давали лишь только правильный ответ, не объясняя и не обосновывал его. Хотя встречались работы, в которых учащиеся очень подробно объясняли свой ответ. В основном, большинство школьников без особых затруднений выполняют задания первого уровня.

С задание второго уровня справилось 69% учащихся. Самой распространенной ошибкой при выполнении данного задания являлось то, что учащиеся не до конца проверяли условия теоремы о подгруппах для конечных групп. Они не учитывали то, что нужно проверять принадлежность данному множеству элемента

Можно сказать, что в среднем более половины школьников легко выполняют задания такого уровня. Снижение показателей по сравнению с первым уровнем обусловлено тем, что для перехода от воспроизведения к применению знаний необходима соответствующая натренированность учащихся в применении знаний, чему не всегда уделяется должное внимание. Мы же не смогли уделить этому внимание из-за отсутствия времени, необходимого для тренировки учащихся в применении полученных знаний.

Задание третьего уровня выполнили 54% школьников, так как задания такого типа требуют уже более высокого уровня развития мышления, они представляют значительную трудность для многих школьников. Как правило, только треть учащихся из класса без особых затруднений выполняют подобные задания.

На рисунке 1 представлены данные, полученные в результате проверочной работы. Данный рисунок отражает только результаты предложенных мною трех заданий.

Таким образом, результаты проверочной работы показали, что разработанный нами факультативный курс «Элементы современной алгебры» доступен пониманию школьников. Следовательно, в ходе формирующего эксперимента было получено подтверждение гипотезы исследования о возможности знакомства школьников с элементами современной алгебры.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В современных условиях развития общества особую актуальность приобрела проблема внедрения в школьное математическое образование элементов современной математики.

Изучение школьных программ и программ факультативных курсов по математике показало, что, например, элементы современной абстрактной алгебры, в частности, элементы теории групп в них не включены. Даже программы факультативных курсов специальных школ не содержат элементов теории групп. В связи с этим нами был разработан факультативный курс «Элементы современной алгебры» для учащихся 9-10-х классов.

В процессе исследования были выявлены возможности введения элементов современной алгебры в программу факультативных курсов, обоснованы целесообразность и доступность данного учебного материала.

В ходе исследования были изучены основные понятия теории групп, решены задачи по данной теме, установлено предположение о том, что количество подгрупп некоторой группы не равно порядку этой группы. Разработано содержание занятий факультативного курса по теме: «Понятие подгруппы. Подгруппы симметрических групп».

На основе изучения психолого-педагогической литературы была дана характеристика процесса развития мышления, сформулированы особенности формирования мышления в старшем школьном возрасте, обосновано влияние элементов современной алгебры на развитие абстрактного мышления старшеклассников.

Результаты проведенного эксперимента показали, что разработанный нами факультативный курс понятен, доступен и успешно усваивается школьниками, а также позволяет поднять абстрактное мышление учащихся на новый, более высокий уровень развития. Все это свидетельствует о том, что выдвинутая нами гипотеза подтвердилась.

ЛИТЕРАТУРА

1.    Аносов Д.В. Проблемы модернизации школьного курса математики//Математика в школе. – 2000. - №1. – с.2-4.

2.    Беляков Е. Математика – царица наук? Кажется, этот предмет немного устарел//Учительская газета. – 1999. - №20.

3.    Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы. – М.: Мир, 1971. – 246 с.

4.    Гнеденко Б.В. Статическое мышление и школьное математическое образование//Математика в школе. – 1999. - №6. – с.5-8.

5.    Историческое введение в теорию Галуа/Сост. Марков С.Н. – Иркутск: ИГУ, 1997. – 20 с.

6.    Каргополов М.И. Основы теории групп. – М.: Наука, 1982. – 288 с.

7.    Калужнин Л.А., Сущанский В.И. Преобразования и перестановки. – М.: Наука, 1979. – 112 с.

8.    Курош А.Г. Теория групп. – М.: Наука, 1967. – 648 с.

9.    Концепция математического образования в 12-летней школе//Математика (приложение к «Учительской газете»). – 2000. - №7. – с.1-5.

10.  Куликов Л.Я. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей пед. институтов. – М.: Просвещение, 1993. – 288 с.

11.  Карп А.П. Даю уроки математики…: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1992. – 191 с.

12.  Ляпин Е.С., Айзенштат А.Я. Упражнения по теории групп. – М.: Наука, 1967. – 304 с.

13.  Монахов В.М. Проблемы дальнейшего развития факультативных занятий по математике//Математика в школе. – 1981. - №6. – с.8-10.

14.  Метельский Н.В. Дидактика математики: Общая методика и ее проблемы. – Минск: Издательство БГУ, 1982. – 256 с.

15.  Методическая разработка по современной алгебре к разделу «Элементы теории групп и ее приложения»/Сост. Карижская Е.В., Толстова Г.С. – Л., 1990. – 42 с.

16.  Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики/Сост. Калягин Ю.М. и др. – М.:  Просвещение, 1977. – 480 с.

17.  Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика/Сост. Черкасов Р.С., Столяр Е.С. – М.: Просвещение, 1985. – 336 с.

18.  Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика/Сост. Оганесян В.П., Калягин Ю.М. – М.: Просвещение, 1980. – 368 с.

19.  Метельский Н.В. Пути совершенствования обучения математике: Проблемы современной методики математики. – Минск: Университетское, 1989. – 160 с.

20.  На путях обновления школьного курса математики. Сборник статей и материалов/Сост. Маркушевич А.И. – М.: Просвещение, 1980. – 368 с.

21.  Новое в школьной математике//Сост. Яглом И.М. – М.: Знание, 1972. – 199 с.

22.  Потоцкий М.В. О педагогических основах обучения математике. – М.: Учпедгиз, 1963. – 1999 с.

23.  Поспелов Н.Н., Поспелов И.Н. Фомирование мыслительных операций у старшеклассников. – М.: Педагогика, 1989. – 152 с.

24.  Панамарчук В.Ф. Школа учит мыслить. – М.: Просвещение, 1979. – 144 с.

25.  Столяр А.А. Педагогика математики. – Минск: Высшая школа, 1986. – 414 с.

26.  Фирсов В.В., Шварцбург С.И. Состояние и перспективы факультативных занятий по математике. – М.: Просвещение, 1977. – 48 с.

27.  Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. Пер. с венгерского Данилова Ю.А. – М.: Ми, 1979. – 260 с.

28.  Холл Ю.А. Теория групп. – М.: Издательство иностранной литературы, 1962. – 468 с.

29.  Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. – М.: Просвещение, 1983. – 160 с.

30.  Шварцбург С.И., Фирсов В.В. О характерных особенностях факультативных занятий//Математика в школе. – 1972. - №1. – с.55-59.

Приложение 1

Таблица умножения симметрической группы S₃

Приложение 2

Итоговая проверочная работа по материалу

факультативного курса

«Элементы теории групп. Симметрические группы».

Задания первого уровня

1. Является ли операция сложения алгебраической операцией во множестве действительных чисел.

2. Какие из следующих преобразований являются перестановками:

а)            б)            в)

3. Пусть <Z, +> - группа и <{0}, +> - группа. Проверить, является ли <{0}, +> подгруппой группы <Z, +>.

Задания второго уровня

1. Выяснить, является ли действием в множествах R⁺ и N нахождение среднего арифметического.

2. Представьте перестановку в виде произведения независимых циклов:

3. Является ли подгруппой группы <Z, +> множество

4. Существует ли в конечной группе порядка 8 подгруппа порядка 4.

Задние третьего уровня

1. Проверить, является ли множество рациональных чисел группой по сложению.

2. Пусть Н – множество перестановок S₅.

3. Дана перестановка  и покажите, что множество  является группой перестановок.

Задания четвертого уровня

1. Приведите пример четырехэлементной группы.

Приложение 3

Итоговая проверочная работа по материалу факультативного

курса «Элементы современной алгебры».

Задания первого уровня

1. Заданы преобразования  укажите а)

2. Является ли операция умножения алгебраической операцией на множестве действительных чисел.

3. Дана подгруппа <Z, +>, в ней нашелся элемент –5 такой, что выполняется соотношение: 5+(-5)+5=5. Является ли элемент 5 регулярным в подгруппе <Z, +>.

4. X.

а)           б)

в)            г)

д)            е)

ж)

5. В подгруппе <M, *> выполнено равенство b правым делителем элемента

6. Пусть <Q, +> - группа, <Z, +> - группа. Является ли <Z, +> подгруппой группы <Q, +>. Обоснуйте ответ.

7. Какие из следующих преобразований являются перестановками:

а)            б)

в)         г)

Задания второго уровня

1. Множество

2. Из операций (+, -, *, /) укажите только те, которые являются алгебраическими в каждом из числовых множеств (N, Z, Q, R).

3. Дана полугруппа <Q|{0}, *>. Проверить, будет ли данная полугруппа регулярной.

4. u, v, w – слова над алфавитом u*(w*v), (u*w)*v:

а)              б)

в)               г)

5. На множестве  заданы произведения u*v=E и w*u=E, u=x²x₁Найдите слова v и w, удовлетворяющие произведениям.

6. Дано множество M, +>, где «+» операция сложения и <M, *>, где «*» операция умножения.

7. Доказать, что подмножество  является подгруппой группы S₃.

8. Действия в полугруппе  задано таблицей Кэли:

Верно ли утверждение, что каждый элемент подгруппы делится на каждый элемент из этой же полугруппы слева.

9. Определите, является ли полугруппой множество     <R, *>, если

10. Решите уравнение:

Задания третьего уровня

1. Всякая ли регулярная полугруппа является инверсной. Ответ обосновать.

2. Приведите пример полугруппы преобразований, состоящей из трех элементов.

3. Как вы думаете, будет ли свободная полугруппа свободной группой. Обоснуйте ответ.

4. Пусть Н –множество перестановок S₄.

5. Действие в полугруппе  задано таблицей Кэли:

Что можно сказать о делимости элементов в полугруппе.

7. Дана перестановка u₁=. Найдите  является группой перестановок (по таблице Кэли).

8. Задайте во множестве R операцию *, по которой числа 2 и 3 можно поставить в соответствие число m и проверить, является ли <R, *> полугруппой:

а) m=2             б) m=1             в) m=

Задание четвертого уровня

1. Придумайте фигуру для которой можно составить группу симметрий, имеющей 4 элемента.