Рисунок 1.2 – Структурная схема двигателя при якорном управлении

Момент М_В является возмущающим воздействием, поэтому при получении передаточной функции эта величина не рассматривается. Тогда, делая подстановку уравнения (1.21) в (1.20), можно получить передаточную функцию, как отношение:

которая затем может быть преобразована к виду колебательного звена, или звена второго порядка:

где k, Т₁, ζ, a₀, а₁ и а₂ – его параметры, подлежащие определению.

Коэффициент передачи k  вычисляется по формуле:

Постоянная времени T и коэффициент демпфирования ζ определяются по формулам (1.25) и (1.26):

Подставляя найденные параметры двигателя в формулу (1.23), получаем окончательное выражение для передаточной функции:

Структурная схема, описывающая работу двигателя при якорном управлении, с рассчитанными значениями всех коэффициентов приведена на рисунке 1.3:

Рисунок 1.3 – Структурная схема работы двигателя при

якорном управлении с рассчитанными значениями коэффициентов

2 Моделирование объекта управления

Моделирование объекта управления осуществляется в среде Matlab+Simulink. Схема работы двигателя при якорном управлении без нагрузки представлена на рисунке 2.1

Рисунок 2.1 -Схема работы двигателя при якорном управлении без нагрузки

На вход системы подается напряжение якоря U_Я = 110 В, на выходе системы – номинальная скорость ω_Н . На рисунке 2.2 изображена переходная характеристика при работе двигателя без нагрузки.

Рисунок 2.2 – Переходный процесс при работе двигателя без нагрузки

Схема работы двигателя при якорном управлении с постоянной нагрузкой  М_н = 1,55 Н·м представлена на рисунке 2.3. На рисунке 2.4 изображена переходная характеристика при работе двигателя с постоянной нагрузкой.

Рисунок 2.4 – Переходный процесс при работе двигателя с постоянной нагрузкой

Для моделирования схемы  при работе двигателя с переменной нагрузкой используем блок Switch (переключатель). Схема и переходный процесс представлены на рисунках 2.5 – 2.6.

Рисунок 2.5 -Схема работы двигателя при якорном управлении  с переменной нагрузкой

Рисунок 2.6 – Переходный процесс при работе двигателя с переменной  нагрузкой

3 Расчет  регуляторов

Принцип управления по отклонению заключается в том, что определяется отклонение текущего значения  выходной переменной объекта от желаемого значения и на основе этого отклонения формируется управляющее воздействие. Структурная схема системы, состоящей из объекта управления (двигателя постоянного тока) с передаточной функцией W₀(p)  и регулятора  W_p(p), приведена на рисунке 3.1. На схеме обозначены: g(t) – входной сигнал ( задающее воздействие для скорости двигателя, или ее желаемое значение); e(t) – ошибка ( отклонение, рассогласование); u(t) -  управляющее воздействие ( напряжение на зажимах якоря двигателя); Ω(t) (далее y(t)) – выходная переменная (скорость двигателя).

Рисунок 3.1 – Структурная схема системы

Задача синтеза состоит в определении структуры и параметров регулятора с целью изменения выходной величины y(t) в соответствии с заданным желаемым значением g(t). При отклонении y(t) появляется отличный от нуля сигнал рассогласования e(t), и регулятор воздействует на объект до тех пор, пока выходная величина не вернется к желаемому значению.

При использовании такого принципа управления не требуется информация о возмущающих воздействиях ( моменте механической нагрузки M_B, действующей на вал двигателя). Это является достоинством управления с использованием обратной связи. Недостаток заключается в принципиальной невозможности полной компенсации возмущающих воздействий, и, как следствие, в наличии инерционности. Это объясняется тем, что управляющее воздействие начинает вырабатываться и оказывать влияние на ход процесса управления  только после того, как возмущение, начав действовать, вызывает отклонение скорости от действующего режима.

Под регулятором или управляющим устройством понимают преобразующее устройство, формирующее на основе рассогласования  e(t) управляющее воздействие по некоторому закону

На практике чаще всего используют линейные законы управления. Они рассматриваются с двух позиций – обеспечения приемлемого качества переходного процесса и обеспечения приемлемой точности в статическом режиме работы.

Для этого используется аппарат передаточных функций. Передаточная функция замкнутой системы, приведенной на рисунке 3.1, определяется по формуле

Корни характеристического уравнения

Определяют характер поведения системы в переходном режиме.

Выходная переменная объекта управления изменяется по закону

где A_i  - постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий;

λ_i – корни характеристического уравнения (3.3).

В общем случае каждый корень λ_i является комплексным и описывается действительной  и мнимой частью:

Этому корню соответствует колебательная составляющая выходной переменной:

Величина η характеризует интенсивность (быстроту) затухания переходного процесса и называется степенью устойчивости. Величина ω определяет частоту колебаний в переходном режиме.

На рисунке 3.2 показан пример расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости.

Рисунок 3.2 – Корни характеристического уравнения

Для устойчивой работы системы требуется, чтобы все корни имели отрицательные действительные части, т.е. располагались в левой части комплексной переменной.

Статический режим работы (по окончании переходного процесса) может оцениваться на основе передаточной функции замкнутой системы по ошибке, которая определяется выражением:

Ошибка по положению определяется по формуле

Наиболее распространенные линейные регуляторы основаны на простейших линейных операциях, производимых над одномерной функцией времени e(t). Такими операциями являются умножение на число, интегрирование и дифференцирование.

 В пропорциональном законе или П-законе (П-регулятор) управляющее воздействие пропорционально отклонению выходной величины от требуемого значения:

где k_П- настроечный параметр регулятора.

Передаточная функция регулятора имеет вид

В этом случае передаточная функция замкнутой системы

а характеристическое уравнение

имеет корни

Эти корни являются комплексными, поскольку подкоренное выражение отрицательно. С увеличением коэффициента k_П возрастает мнимая часть корней, следовательно увеличивается и степень колебательной системы.

Передаточная функция ошибки по задающему воздействию

Статическая ошибка по положению

Система является статической и ошибка по положению убывает с ростом коэффициента k_П.

Таким образом, с увеличением k_П качество системы в установившемся режиме улучшается, а в переходном режиме ухудшается.

 В интегральном законе или И-законе (И-регулятор) управляющее воздействие пропорционально  интегралу отклонения выходной величины от требуемого значения:

где k_И- настроечный параметр регулятора.

Передаточная функция регулятора имеет вид

В этом случае передаточная функция замкнутой системы

а характеристическое уравнение

Определитель Гурвица второго порядка

при k_И < больше нуля и система устойчива, а при k_И ≥ меньше или равен нулю и система неустойчива. Поэтому увеличение коэффициента k_И приводит к потере устойчивости.

Передаточная функция ошибки по задающему воздействию

Статическая ошибка по положению

Интегральный закон управления делает замкнутую систему астатической (ошибка по положению отсутствует). Качество в переходном режиме ухудшается и с определенного k_И система становится неустойчивой.

В дифференциальном законе или Д-законе (Д-регулятор) управляющее воздействие пропорционально  производной отклонения e(t):

где k_Д- настроечный параметр регулятора.

Передаточная функция регулятора имеет вид

В этом случае передаточная функция замкнутой системы

а характеристическое уравнение

имеет корни

Повышая значение k_Д , можно увеличить значение подкоренного выражения, тем самым уменьшая коэффициент колебательности или вовсе делая систему апериодической.

Передаточная функция ошибки по задающему воздействию

Статическая ошибка по положению

то есть дифференциальный регулятор не оказывает никакого влияния на качество системы в установившемся режиме.

В связи с тем, что дифференцирующее звено физически нереализуемо, на практике вместо него используется звено с передаточной функцией

 где постоянная времени τ должна быть много меньше постоянной времени T объекта управления.

Таким образом, введение в закон управления интегрирующего члена делает систему астатической и улучшает качество системы в установившемся режиме, но оказывает дестабилизирующее влияние (может сделать систему неустойчивой) и ухудшает качество системы в переходном режиме. Введение в закон управления дифференцирующего члена оказывает стабилизирующее влияние ( может сделать неустойчивую систему устойчивой) и улучшает качество системы в переходном режиме, не оказывая влияния на качество системы в установившемся режиме.

Управляющее воздействие в ПИ-регуляторе вычисляется по формуле

а соответствующая ему передаточная функция

Или в другом виде

В соответствии с формулой (3.32) ПИ-регулятор представляет собой последовательное соединение интегрирующего и форсирующего звеньев, поэтому одновременно с повышением точности системы за счет выбора параметра T_Р могут быть обеспечены требуемые запасы устойчивости.

Дальнейшее повышение устойчивости может быть обеспечено введением дополнительного дифференцирующего звена, тогда управляющее воздействие определяется алгоритмом ПИД-регулятора

Передаточная функция

Выбором величин k_И, k_П и k_Д добиваются требуемых точностных и динамических характеристик системы.

Структурная схема ПИД-регулятора приведена на рисунке 3.3.

Рисунок 3.3 – Структурная схема ПИД-регулятора

               Настройка ПИ-регулятора

Один из простейших методов расчета параметров ПИ-регулятора основан на заданном расположении нулей и полюсов передаточной функции замкнутой системы. На вид переходного процесса наибольшее влияние оказывают корни, располагающиеся ближе к мнимой оси. Пусть некоторый корень λ_i – ближайший к мнимой оси корень характеристического уравнения. Тогда свободное движение системы описывается уравнением (3.5).

Степень устойчивости η, которая характеризует интенсивность затухания переходного процесса, напрямую влияет на время регулирования. Если некоторому заданному времени регулирования соответствует значение η, то для обеспечения заданного быстродействия нужно, чтобы корни характеристического уравнения располагались в заштрихованной области, показанной на рисунке 3.1.1,а.

Рисунок 3.1.1 – Расположение корней при заданных устойчивости и колебательности

Вторым показателем качества является число колебаний за время регулирования, которое оценивается степенью колебательности

Корням характеристического уравнения, которые лежат на лучах, проведенных под углом γ=arctg(m), соответствует степень колебательности m. Если корни расположены в заштрихованной области, то можно считать, что в системе обеспечена заданная колебательность.

Накладывая ограничения одновременно на быстродействие  и колебательность переходного процесса, получим область допустимого расположения полюсов передаточной функции (заштрихованная область на рисунке 3.1.1,в).

Корень λ_i должен иметь вид

и ему соответствует переходная составляющая

Характер затухания ω(t) оценивается величиной

которая называется степенью затухания (рисунок 3.1.2).

Рисунок 3.1.2 – Определение степени затухания

Подставляя значения из (3.1.3) и (3.1.4) при t=t_i и t=t_i+1, получается, что

Очевидно, что степень затухания ψ равна нулю в случае, когда процесс незатухающий (система на границе устойчивости). Если процесс имеет апериодический характер, то ψ=1. затухающий колебательный процесс соответствует 0<ψ<1.

Оптимальным переходам процессам в большинстве случаев соответствует значение степени затухания из диапозона

П- и И- регуляторы рассматриваются как частные случаи k_И=0 (П-регулятор) и  k_П=0 (И-регулятор).

Интегральный закон управления делает замкнутую систему астатической. Качество  в переходном процессе ухудшается и с определенного k_И система становится неустойчивой.

В соответствии с желаемой степенью затухания ψ определяется из (3.1.5) величина m. Тогда условие нахождения хотя бы одного или пары корней характеристического уравнения замкнутой системы на границе допустимой области имеет вид

Выражение (3.1.6) получено по аналогии с критерием Найквиста для случая нейтральной системы:

только в передаточные функции объекта и регулятора подставляется на условие нахождения корней на мнимой оси s=jω. А

Подставим в уравнение (3.1.6) передаточную функцию регулятора (3.31) с учетом (3.1.7), и получим уравнение

Введем обозначения

Тогда в результате решения уравнения (3.1.8) получаются следующие формулы

Путем изменения частоты в пределах

строится зависимость k_И= k_И(k_П).

Поскольку заранее неизвестно, при какой степени затухания переходный процесс будет оптимальным, эти зависимости строятся при ψ=0; 0,7; 0,8; 0,9. Семейство кривых k_И= k_И(k_П) приведено на рисунке 3.1.3. Линия  ψ=0 соответствует границе устойчивости.

Рисунок 3.1.3 – Области параметров настройки ПИ-регулятора

Построим зависимости k_И= k_И(k_П) при ψ =0,7; 0,8; 0,9.

Текст программы m-файла:

Kp = 1;

      Ki = 1;

      F = [0.7 0.8 0.9];    

      mm = -log(1-F)/(2*3.14);     

      hold on;   

      for i = 3:-1:1     

          m = mm(i);                                    

          for w = 1:1000

              s = -m*w+j*w;

              W = k/(T^2*s*s+2*z*T*s+1); 

              U = real(W);

              V = imag(W);

              Kp(w) = -(U+m*V)/(U^2+V^2);

              Ki(w) = - V*(m^2*w+w)/(U^2+V^2);

              if Ki(w) < 0

                  break;

              end;

          end;

          plot(Kp,Ki);

          grid on;

      end;

На рисунке 3.1.4 представлены зависимости k_И= k_И(k_П) при степени затухания ψ =0,7; 0,8; 0,9 ;

Рисунок 3.1.4 – График зависимости k_И= k_И(k_П) при ψ =0,7

Оптимальные значения настроечных параметров для П-регулятора получаются при k_И=0 как точки пересечения кривых с осью абсцисс, для И-регулятора ( k_П=0) – при пересечении с осью ординат. Оптимальные значения параметров ПИ-регулятора определяются по кривой несколько правее точки максимума, как это показано на рисунке 3.1.3.

Значения настроечных  параметров для П- , И-  и ПИ-регуляторов, полученные по методике, основанной на заданном расположении нулей и полюсов передаточной функции, представлены в таблицах 2,3,4 соответственно.

Таблица 2 - Значения настроечных  параметров для П- регулятора (k_И=0)

Таблица 3 - Значения настроечных  параметров для И- регулятора (k_П=0)

Таблица 4 - Значения настроечных  параметров для ПИ- регулятора

                   Настройка  ПИ- и ПИД-регулятора

Если считать, что передаточная функция объекта

То коэффициенты ПИД-регулятора, оптимального по степеням устойчивости, можно рассчитать по формулам:

где η – степень устойчивости, ω – параметр, пропорциональный степени колебательности.

Как следует из формулы (3.2.4), если принять степень устойчивости η равной величине , то получится ПИ-регулятор. Путем варьирования величины ω в формулах (3.2.1) и (3.2.2), подбирается оптимальный переходный процесс. Если величину ω принять равной 0, то переходный процесс должен быть апериодическим. В этом случае η выбирается так, чтобы коэффициент k_П был неотрицательным.

 Вычислим степень устойчивости для ПИ-регулятора:

 Примем величину ω равной 0. В итоге получаем, что коэффициенты для ПИ-регулятора имеют следующие значения:

Для ПИД-регулятора степень устойчивости примем равной величине  и рассчитаем коэффициенты по формулам (3.2.6):

3.3 Автоматическая настройка регуляторов

Автоматическая настройка основана на использовании блока Signal Constraint из раздела Simulink Response Optimization. Этот блок подключается к выходу системы. В его свойствах задаются допустимые границы для переходного процесса, из которых не должна выходить скорость двигателя. В командном окне Matlab задаются начальные приближенные значения коэффициентов ПИД-регулятора, и имена этих параметров заносятся в список настроечных параметров ( в окне блока Signal Constraint необходимо зайти в меню Optimization, пункт Tuned Parameters и добавить кнопкой Add параметры регулятора). После этого делается запуск процесса оптимизации. В результате определяются оптимальные для заданных границ коэффициенты.

На рисунке 3.3.1- 3.3.2 представлены схемы для автоматической настройки ПИД-регулятора и ПИ-регулятора.

Рисунок 3.3.1 – Схема для автоматической настройки ПИД-регулятора

Коэффициенты для ПИД-регулятора:

Рисунок 3.3.2 – Схема для автоматической настройки ПИ-регулятора

Коэффициенты для ПИ-регулятора:

4 Выбор оптимального регулятора

Для выбора оптимального регулятора необходимо построить переходную характеристику для каждого из рассчитанных регуляторов и получить показатели качества. Переходная характеристика h(t) является реакцией замкнутой системы (рисунок 4.1) на выходное ступенчатое воздействие. Таким ступенчатым воздействием может являться функция g(t)=Ω_H·1(t). Характеристика h(t) получается путем имитационного моделирования в Simulink.

Рисунок 4.1 – Определение показателей качества

Номинальное значение скорости Ω_н =  83.733 рад/сек. Переходные и логарифмические характеристики для П-, И-, и ПИ-регуляторов, рассчитанных по методике, основанной на заданном расположении нулей и полюсов передаточной функции, представлены на рисунках (4.2) – (4.10). По графикам переходных процессов определяем величину перерегулирования ϭ, которая является отношением величины “всплеска” к величине установившегося значения; время регулирования t_РЕГ, колебательность переходного процесса m и  ошибка по положению e_уст. С помощью блоков Simulink определяем значения квадратичной и абсолютной интегральных ошибок.

Для системы с П-регулятором ошибка e_уст вычисляется по формуле (3.14), а для систем с И-, с ПИ- и с ПИД- регуляторами она равна нулю. Запасы устойчивости по амплитуде и по фазе вычисляются по следующим формулам:

где a – запас устойчивости по амплитуде, дБ, γ – запас устойчивости по фазе, °,  A(ω) –ЛАЧХ системы, φ(ω) – ЛФЧХ системы, ω_ср – частота среза, рад/сек, ω_п – частота пересечения ЛФЧХ, рад/сек.

Рисунок 4.2 – Переходная и логарифмические характеристики системы с П-регулятором при  ψ = 0,8

Из рисунка 4.2 следует:

Время регулирования t_РЕГ = 0,3 сек;

Колебательность переходного процесса 

Величина перерегулирования  = 0,43;

Ошибка по положению

Запас устойчивости по фазе:  рад/сек;

Запас устойчивости по амплитуде :  рад/сек.

Рисунок 4.3 – Переходная и логарифмические характеристики системы с И-регулятором при  ψ = 0,8

Из рисунка 4.3 следует:

Время регулирования t_РЕГ = 2,5 сек;

Колебательность переходного процесса 

Величина перерегулирования  = 0,45;

Ошибка по положению

Запас устойчивости по фазе:  рад/сек;

Запас устойчивости по амплитуде :  рад/сек.

Рисунок 4.4 – Переходная и логарифмические характеристики системы с ПИ-регулятором при  ψ = 0,8

Из рисунка 4.4 следует:

Время регулирования t_РЕГ = 0,3 сек;

Колебательность переходного процесса 

Величина перерегулирования  = 0,43;

Ошибка по положению

Запас устойчивости по фазе:  рад/сек;

Запас устойчивости по амплитуде :  рад/сек.

Рисунок 4.5 – Переходная  и логарифмические характеристики системы с ПИД-регулятором  с коэффициентами K_П=20,4239; K_И=310,5654; K_Д=0,3332

Из рисунка 4.5 следует:

Время регулирования t_РЕГ = 0,4 сек;

Колебательность переходного процесса 

Величина перерегулирования  = 0,57;

Ошибка по положению

Запас устойчивости по фазе:  рад/сек;

Запас устойчивости по амплитуде :  рад/сек.

Рисунок 4.6 – Переходная и логарифмические характеристики системы с ПИ-регулятором с коэффициентами K_П=1,2696;  K_И=11,5024

Из рисунка 4.6 следует:

Время регулирования t_РЕГ = 0,4 сек;

Колебательность переходного процесса 

Величина перерегулирования  =0;

Ошибка по положению

Запас устойчивости по фазе:  рад/сек;

Запас устойчивости по амплитуде :  рад/сек.

На рисунках (4.7), (4.8) изображены переходные и логарифмические характеристики для ПИ- и ПИД-регуляторов при автоматической настройке регуляторов.

Рисунок 4.7 – Переходная  и логарифмические характеристики системы с ПИД-регулятором  с коэффициентами K_П=9,207; K_И=31,702; K_Д=127,664

Из рисунка 4.7 следует:

Время регулирования t_РЕГ = 2,5 сек;

Величина перерегулирования  = -0,04;

Ошибка по положению

Запас устойчивости по фазе:  рад/сек;

Запас устойчивости по амплитуде :  рад/сек.

Рисунок 4.8 – Переходная  и логарифмические характеристики системы с ПИ-регулятором  с коэффициентами K_П=2,923; K_И=18,035

Из рисунка 4.8 следует:

Время регулирования t_РЕГ =0,6 сек;

Величина перерегулирования  0,005;

Ошибка по положению

Запас устойчивости по фазе:  рад/сек;

Запас устойчивости по амплитуде :  рад/сек.

В  таблице 5 представлены показатели качества для всех рассчитанных регуляторов.