Ещё не зная тригонометрии ,Соня пыталась разобраться в смысле тригонометрических формул ,встретившихся ей в учебнике по физике.Отец пригласил заниматься с дочерью известного преподавателя А.Н.Страннолюбского ,и с 15 лет она начала систематически изучать курс высшей математики.

   В  то время в России девушкам было запрещено учиться в университетах и высших школа.Женщины могли поступать только в некоторые зарубежные университеты.Но уехать из-под строгого надзора родителей молодым девушкам было очень трудно.Многим девушкам из богатых семей приходилось вступать в фиктивный брак ,чтобы получить право уехать за границу и там учиться.Софья Васильевна вступила в такой брак (ставший позже фактическим) с молодым учёным В.О.Коваленским.

         В 1869 г.  молодые супруги  уезжают   за границу ,в Германию , в университетский  городок  Гейдельберг. Каждый из них стал усердно заниматься наукой.

    В Гейдельберге Ковалевская  посещала лекции  крупнейших  ученых-математиков.В1870 г.  она  переехала в  Берлин ,

решив добиваться права на посещение лекций знаменитого немецкого математика К.Вейерштрасса. Вейерштрасс читал лекции в Берлинском университете , куда женщины  не допускались .Сам  Вейерштрасс считал , что в  университете  , а особенно   на математическом  фркультете  , женщинам  учиться  нельзя  . Однако  Ковалевская  добилась  того  , чтобы  Вейерштрасс проэкзаменовал  ее  .  Вейерштрасс  предложил  ей  задачи   ,которые  сам  считал  трудными  для  таких экзаменов .   Каково же было   удивление профессора  ,  когда   на следующий день молодая   женщина  принесла   ему   блестяще  решенные задачи ! Вейерштрасс согласился заниматься с ней частным  образом . Вскоре он  признал особое математическое дарование своей ученицы.Он писал :  * Что  касается   математического  образования Ковалевской      ,то я имел очень немного учеников  ,которые могли бы сравниться с ней по прилежанию   , способностям ,

усердию и увлечению наукой*.  

   Через 4 года  Вейерштрасс представил в Гетингенский университет работы Ковалевской ,посвященные интерес- нейшим вопросам математики и механики . Работа * К теории дифференциальных уравнений в частных производных * содержала доказательство  существования   решений  у  таких  уравнений  . В  курсах  дифференциальных  уравнений  ,           которые теперь читают в университетах ,эта теорема называется теоремой Ковалевской.Другая работа была посвящена исследованию  формы   гигантского  кольца  планеты  Сатурн  .  В  третьей   работе   излагались  труднейшие  теоремы математического  анализа   .   Университет  заочно  присудил  талантливому  молодому   ученому  докторскую  степень                   *с наивысшей похвалой*.    Двадцати четырех лет,*с докторским дипломом в кармане* ,Ковалевская возвращается в Петербург.Здесь она на 6 лет