Комплексные числа

Брянский городской лицей № 1

Учебно-исследовательская работа

по математике на тему:

“Комплексные числа”

Выполнил

ученик 10 физико-

математического класса

Петрухин Вячеслав

Учитель: Тюкачева О.И.

Брянск, 2003

Оглавление:

1.Комплексные числа                                                                                              3      

2.Свойства операций над комплексными числами                                               3

3. Комплексная плоскость                                                                                       3

4. Модуль комплексного числа                                                                              4

5. Геометрический смысл сложения, вычитания и модуля разности двух комплексных чисел                                                                                                  5

6. Аргументы комплексного числа                                                                         5

7.Алгебраическая и тригонометрическая формы. комплексного числа             6

8. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме    8

9. Возведение в степень и извлечение корня                                                         8

10.Квадратные уравнения                                                                                      10

11.Использованная литература                                                                              14

В элементарной математике изучаются действительные числа. С начала в процессе счёта возникает так называемый натуральный ряд чисел 1, 2,… n,… В арифметике вводятся действия сложения и умножения над натуральными числами. Что де касается операций вычитания и деления, то они уже оказываются не всегда возможными во множестве натуральных чисел.

Та же потребность измерения величин и проведения таких операций, как извлечения корня, решение алгебраических уравнений, приводит к дальнейшему расширению запаса рассматриваемых чисел: появляются иррациональные и, наконец, комплексные числа.

1.Комплексные числа

Комплексными числами называются выражения вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – некоторый символ, для которых вводятся понятия равенства и операции сложения и умножения:

а) два комплексных числа a + ib и c + id равны тогда и только тогда, когда

a=c и b=d;

б) суммой чисел a + ib и c + id называется число

a + c + i(b +d);

в) произведением чисел a + ib и c + id называется число

ac – bd +i(ad+bc).

Комплексные числа принято обозначать одной буквой (чаще всего буквой z или w). Равенство z= a + ib означает, что комплексное число a + ib обозначено буквой z.

Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z = a + ib и обозначается Re z; пишут Re z =a или Re z=a  или Re(a + ib) = a. Число b называется мнимой частью числа z= a +ib и обозначается Im z, пишут Im z = b или Im(a +ib) = b. Символ I называется мнимой единицей.

Заметим, что операции сложения и умножения над числами a+ i0 проводятся так же, как над действительными числами.

Таким образом, отождествив число a + i0 с действительным числом a, получим, что каждое действительное число содержится во множестве комплексных чисел, а именно a =a+i0.

Числа вида 0 +ib называю чисто мнимыми и обозначаются ib.

На основании формулы (2) найдём значение выражения i2=ii:

i2 = ii =(0+i1)(0+i1)= -1+i0=-1.

Таким образом,

i2=-1.

 2.Свойства операций над комплексными числами.

1.          Коммутативность сложения: z1 + z2 = z2 + z1.

2.          Ассоциативность сложения (z1 + z2)+z3 = z1 +(z2 + z3)

3.          z+0=z.

4.          Коммутативность умножения: z1 z2= z2 z1.

5.          Ассоциативность умножения: z3( z1 z2) =z1( z2 z3).

6.          Дистрибутивный закон: z1( z2 + z3) =z1 z2 + z1 z3.

7.          1*z=z.

8.          z1 и  z2, где z1, существует такое число z

такое, что z1z = z2. Это число называется частным комплексных чисел z1 и z2 и обозначается  .Деление на 0 невозможно.

  y

M(a;b)

z = a +ib

x

    0

a

b
  3. Комплексная плоскость. Рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости. Каждому комплексному числу z = a + ib поставим в соответствие точку M(a,b) координатной плоскости, т.е. точку, абсцисса которой равна Re z = a, а ордината равна Im z = b. Обратно, каждой точке плоскости с координатами (a,b) поставим в соответствие комплексное число z = a + ib.Сама координатная плоскость называется при этом комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат – мнимой.

 Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа a + ib как вектор .

4. Модуль комплексного числа. Модулем комплексного

 числа z = a +ib называется длина вектора, соответствующего

 этому числу. Модуль обозначается  или буквой r. Применяя

теорему Пифагора, получим, что  =.

Пусть z = a +ib. Число a – ib называется комплексно сопряжённым с числом z = a +ib и обозначается  = a – ib. Заметим, что  = =, z2 + b2=2 =2,

 

Пример 1. Запишите z в алгебраической форме, если

а)

б)

Пример 2. Запишите решения системы

а)       б)

в алгебраической форме.

Решение:

а)

        

 б)

    

Пример 3.Существуют ли такие действительные числа  x и y, для которых числа z1 и z2 являются сопряжёнными

а) z1=8x2 – 20i15, z2=9x2 – 4+ 10yi3;

б)z1=4x + y+(1+I)y, z2=8 + ix.

Решение:

а) z1=8x2 – 20i15=8x2 + 20i; z2=9x2 – 4+ 10yi3=9x2 - 4 - 10yi;

Используя определение сопряжённых комплексных чисел, получим систему:

откуда такие сопряжённые числа  существуют.

б)z1=4x + y + (1+i)y = 4x +2y+yi;

   z2=8+ix.

Используя определение сопряжённых комплексных чисел, получим систему:

 откуда такие сопряжённые числа  существуют.

5. Геометрический смысл сложения, вычитания и модуля разности двух комплексных чисел.

z1

M1

y
z1=a1 + ib1 и z2=a2 + ib2.Им соответствуют векторы с координатами (a1,b1) и (a2,b2). Тогда числу z1+z2=a1 + a2 + i(b1 + b2) будет соответствовать вектор с координатами (a1 + a2,b1+b2).Таким образом, чтобы найти вектор, соответствующий сумме комплексных чисел z1 и z2, надо сложить векторы, отвечающие комплексным числам z1 и z2.

z2-z1

M

z2

-z1

M

M2

x
z1- z 2 комплексных чисел z1 и z2 соответствует разность векторов, Соответствующих числам z1 и z2.Модуль  двух комплексных чисел z1 и z2 по определению модуля есть длина вектора z1- z 2.Построим вектор, как сумму двух векторов z2 и (- z1). Получим вектор , равный вектору .Следовательно,  есть длина вектора ,то есть модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам.

b

z=a+ ib

y
6. Аргументы комплексного числа. Аргументом комплексного числа z= a + ib z; величина угла считается положительной если отсчет производится против часовой стрелки, и отрицательной, если отсчет производится по часовой стрелке.

Для обозначения того факта, что число j является аргументом числа z= a+ ib, пишут     j=arg z или j=arg (a+ib).

j-2p

a

j

x
z=0 аргумент не определяется. Поэтому во всех последующих рассуждениях, связанных с понятием аргумента будем считать, чтоz=0 – единственное число, которое определяется заданием только его модуля

С другой стороны, если задано комплексное число, то, очевидно, модуль этого числа всегда определён единственным образом в отличие от аргумента, который всегда определяется неоднозначно: если j - некоторый аргумент числа z,то углы j+2pk, z.

Из определения тригонометрических функций следует, что если j=arg (a+ib),то имеет место следующая система

 или

Пример 4. Сколько решений имеет система уравнений

а) б)   в)

Решение:

1

i

найдём модуль1-i:  .

Заметим, что никакая точка большей окружности не

приближена к меньшей на расстояние, равное

i

1
i только одной точки меньшей окружности мы получаем что эта точка попадает на

другую окружность.

i

корень

корни

1

7.Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Запись комплексного числа z в виде a +ib называется алгебраической формой комплексного числа.

Рассмотрим другие формы записи комплексных чисел. Пусть r- модуль, а j - какой-либо из аргументов комплексного числа z= a+ ib, то есть r = j=arg (a+ib). Тогда из формулы (5) следует, что

Запись комплексного числа в виде тригонометрической формой.

Для того чтобы перейти от алгебраической формы комплексного числа a+ib к тригонометрической, достаточно найти его модуль и один из аргументов.

Пример 5. Какое множество точек комплексной плоскости задаётся условием

а)

б)

в)

а)

д)

1

i

1

i

б)
i  и вправо на 1 поучались бы равноудалёнными от начала координат, откуда

чтобы построить множество точек, удовлетворяющих данному условию, мы должны:

1)     

2)        влево и на i вверх

в)
  -i чем к 2i ,а эти точки указаны на рисунке.

ip/3

i

p/3

i

г)

1

д)
  это будут точки удалённые от начала координат не более чем на 1 и при этом исключая число 0. Учитывая второе и третье условие, получим:

е)

е) Чтобы построить точки, удовлетворяющие первому условию, надо сдвинуть точки, удалённые на расстояние 1,

на 1 вправо. При этом, учитывая другие условия, получим

искомое множество точек.

Пример 6. Будет ли тригонометрической формой числа

а)

б)

в)

Решение:

Тригонометрической формой записи числа  только будет выражение а), так как только оно удовлетворяет определению тригонометрической формы записи числа(

8. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Пусть

        

Тогда

модуль и произведение двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а сумма аргументов сомножителей является аргументом произведения.

Пусть

Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частого.

9. Возведение в степень и извлечение корня. Формула (6) для произведения двух комплексных чисел может быть обобщена  на случай

 

Отсюда, как частный случай, получается формула, дающая правило возведение комплексного числа  в целую положительную степень:

  (8)

Таким образом, при возведении комплексного числа в степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.

Формула (8) называется формулой  Муавра.

Число  из числа w (обозначается

Если w=0, то при любом n уравнение z=0.

Пусть теперь z и w в тригонометрической форме:

Тогда уравнение  примет вид

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на число, кратное 2p. Следовательно,

или

Таким образом, все решения уравнения

В самом деле, придавая числу k в формуле (9)целые значения, отличные от 0, 1, …, (n-1), мы не получаем других комплексных чисел.

Формула (9) называется  второй формулой Муавра.

Таким образом, если n корней степени n из числа w: все они содержатся в формуле(9).

В частности, если   уравнение  имеет два корня:

то есть эти корни симметричны относительно начала координат.

Также из формулы (9) нетрудно получить, что еслиn-угольника, вписанного в окружность с центром в точке z=0 и радиусом

Из сказанного выше следует, что символ i и-i,или одно, и, если одно, то какое именно.

Пример 7. Запишите в тригонометрической форме:

а)

б)

в)

Решение:

а)

б) Так как

Так как

в) Так как

10.Квадратные уравнения. В школьном курсе алгебры рассматривались квадратные уравнения

                  (10)

с действительными коэффициентами a, b, c. Там было показано, что если дискриминант уравнения (10) неотрицателен, то решения такого уравнения даются формулой

                    (11)

В случае, если

Для вывода формулы (11) использовался приём выделения квадрата трёхчлена с последующим разложением левой части на линейные множители:

           

откуда и получалась формула (11). Очевидно, что все эти выкладки остаются справедливыми и в том случае, когда a, b, c являются комплексными числами, а корни уравнения отыскиваются во множестве комплексных чисел.

Таким образом, во множестве комплексных чисел уравнение

всегда разрешимо. Если

где под подразумеваются все значения корня.

Пример 8. Решить уравнение

а)

б)

Решение:

а) Данное уравнение является квадратным.

По формуле корней квадратного уравнения имеем:

Для определения всех значений  положим

Тогда

и, следовательно, x и y удовлетворяют системе

причём x и y действительные числа. Решим систему:

Заметим, что x=0 решением системы не является.

При :

Решим уравнение (*): x4+15x2-16=0 –квадратное уравнение относительно x2, откуда

 Вернёмся к системе:

Поэтому

б) Данное уравнение является квадратным.

По формуле корней квадратного уравнения имеем:

Для определения всех значений  положим

Тогда

и, следовательно, x и y удовлетворяют системе

причём x и y действительные числа. Решим систему:

Заметим, что x=0 решением системы не является.

При :

Решим уравнение (*): x4-16x2-225=0 –квадратное уравнение относительно x2, откуда

 Вернёмся к системе:

Поэтому

Пример 9. Решить уравнение

а)

б)

Решение:

а) Пусть

Возвращаясь к z, получим

1)   вторую формулу Муавра, получим:

1)   вторую формулу Муавра, получим:

Следовательно,

2)   вторую формулу Муавра, получим:

Следовательно,

б)Преобразуем уравнение:

Заметим, что   вторую формулу Муавра, получим:

Пример10. Решите уравнение:

Решение:

Решим уравнение как квадратное относительно z2: D=

Пусть z=a+ib, тогда

Пусть

Пусть

Ответ:

Использованная литература:

  1. Пособие по математике для поступающих в вузы: пособие/ Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлев Т.Х. – под редакцией Яковлева Г.Н.-3-е издание М.: Наука, 1998, Глава X.
  2. Лекции и задачи по элементарной математике / Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И., - М.: Наука, 1971. ГлаваIV.