Комплексные числа
1. Введение.
1.1. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа. Поэтому квадратные корни из отрицательных чисел стали употреблять в математике и назвали их мнимыми числами – тем самым они как бы приобрели право на нелегальное существование. Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень.
2. Комплексные числа в алгебраической форме.
2.1. ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Решение многих задач математики, физики сводится к решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Стремление сделать уравнения разрешимыми – одна из главных причин расширения понятия числа.
Так для решимости уравнений вида X+A=B X+A=B # "# ##0" положительных чисел недостаточно. Например, уравнение X+5=2 не имеет положительных корней. Поэтому приходится вводить отрицательные числа и нуль.
На множестве рациональных чисел разрешимы алгебраические уравнения первой степени, т.е. уравнения вида A·X+B=0 (A Однако алгебраические уравнения степени выше первой могут не иметь рациональных корней. Например, такими являются уравнения X2=2, X3=5. Необходимость решения таких уравнений явилось одной из причин введения иррациональных чисел. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.
Однако и действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение. Например, квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет действительных корней. Простейшее из них – уравнение X2+1=0. Поэтому приходится расширять множество действительных чисел, добавляя к нему новые числа. Эти новые числа вместе с действительными числами образуют множество, которое называют множеством комплексных чисел.
Выясним предварительно, какой вид должны иметь комплексные числа. Будем считать, что на множестве комплексных чисел уравнение X2+1=0 имеет корень. Обозначим этот корень буквой i Таким образом, i – это комплексное число, такое, что i 2= –1.
Как и для действительных чисел, нужно ввести операции сложения и умножения комплексных чисел так, чтобы сумма и произведение их были бы комплексными числами. Тогда, в частности, для любых действительных чисел A и B выражение A+B·i можно считать записью комплексного числа в общем виде. Название «комплексное» происходит от слова «составное»: по виду выражения A+B·i.
Комплексными числами называют выражения вида A+B·i, где A и B –действительные числа, а i – некоторый символ, такой что i2= –1, и обозначают буквой Z.
Число A называется действительной частью комплексного числа A+B·i, а число B – его мнимой частью. Число i называется мнимой единицей.
Например, действительная часть комплексного числа 2+3·i равна 2, а мнимая равна 3.
Для строгого определения комплексного числа нужно ввести для этих чисел понятие равенства.
Два комплексных числа A+B·i и C+D·i называются равными тогда и только тогда, когда A=C и B=D, т.е. когда равны их действительные и мнимые части.
Пусть дано комплексное число Z=A+B·i. Сопряженным с Z называется комплексное число A – B·i, которое обозначается
A – B·i.
2.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
|
Рисунок SEQ Рисунок * ARABIC 1 |
Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число A+B·i можно рассматривать как пару действительных чисел(A;B). Поэтому естественно комплексное число изображать точками плоскости. В прямоугольной системе координат комплексное число Z=A+B·i изображается точкой плоскости с координатами (A;B), и эта точка обозначается той же буквой Z (рисунок 1). Очевидно, что получаемое при этом соответствие является взаимно однозначным. Оно дает возможность интерпретировать комплексные числа как точки плоскости на которой выбрана система координат. Такая координатная плоскость называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, т.к. на ней расположены точки соответствующие действительным числам. Ось ординат называется мнимой осью – на ней лежат точки, соответствующие мнимым комплексным числам.
|
Рисунок SEQ Рисунок * ARABIC 2
|
Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа A+B·i как вектора, т.е. вектора с началом в точке
O(0;0) и с концом в точке М(A;B) (рисунок 2).
Соответствие установленное между множеством комплексных чисел, с одной стороны, и множествами точек или векторов плоскости, с другой, позволяет комплексные числа точками или векторами.
2.3.МОДУЛЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Пусть дано комплексное число Z=A+B·i. Сопряженным с Z называется комплексное число A – B·i, которое обозначается
A – B·i.
Отметим, что A+B·i, поэтому для любого комплексного числа Z имеет место равенство =Z.
Модулем комплексного числа Z=A+B·i называется число и обозначается
(1)
Это расстояние между точками либо длина. Множество комплексных чисел нельзя линейно упорядочить (сравнить).
Из формулы (1) следует, что для любого комплексного числа Z, причем Z=0, т.е. когда A=0 и B=0.
2.4. СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Суммой двух комплексных чисел A+B·i и C+D·i называется комплексное число (A+C) + (B+D)·i, т.е. (A+B·i) + (C+D·i)=(A+C) + (B+D)·i
Произведением двух комплексных чисел A+B·i и C+D·i называется комплексное число (A·C – B·D)+(A·D+B·C) ·i, т.е.
(A + B·i)·(C + D·i)=(A·C – B·D) + (A·D + B·C)·i
Из формул вытекает, что сложение и умножение можно выполнять по правилам действий с многочленами, считая i2= –1. Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами действительных чисел. Основные свойства:
Переместительное свойство:
Z1 +Z2=Z2+Z1, Z1·Z2=Z2·Z1
(A+B·i) + (C+D·i) = (A+C) + (B+D)·i (C+D·i) + (A+B·i) = (C+A) + (D+ B)·i
(A + B·i)·(C + D·i) = (A·C – B·D) + (A·D + B·C)·i (C + D·i) ·(A + B·i) = (C·A – D·B) + (D·A + C·B)·i
Сочетательное свойство:
(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3), (Z1·Z2)·Z3=Z1·(Z2·Z3)
((A+B·i) + (C+D·i)) + (E+F·i) = ((A+C) + (B+D)·i )+ (E+F·i) = (A+C+E) + (B+D+F) ·i =… = (A+B·i) + ((C+E) + (D+F) ·i) (A+B·i) + ((C+D·i) + (E+F·i)) = (A+B·i) + ((C+E) + (D+F) ·i) =…= ((A+C) + (B+D)·i )+ (E+F·i) = ((A+B·i) + (C+D·i)) + (E+F·i)
((A + B·i)·(C + D·i)) ·(E+F·i) = ((A·C – B·D) + (A·D + B·C)·i) ·(E+F·i) = …= (A + B·i)·(( C + D·i)·(E+F·i)) (A + B·i)·(( C + D·i)·(E+F·i)) =…= (A + B·i)·(( C·E – D·F) + (C·F + D·E)·i) = ((A + B·i)·(C + D·i)) ·(E+F·i)
Распределительное свойство:
Z1·(Z2+Z3)=Z1·Z2+Z1·Z3
(A + B·i)·((C+D·i)) + (E+F·i)) = ((A·C – B·D) + (A·D + B·C)·i)+ ((A·E – B·F) + (B·E + B·F)·i)=…= (A + B·i)·(C+D·i) + (A + B·i)· (E+F·i) (A + B·i)·(C+D·i) + (A + B·i)· (E+F·i)=…= ((A·C – B·D) + (A·D + B·C)·i)+ ((A·E – B·F) + (B·E + B·F)·i) = (A + B·i)·((C+D·i)) + (E+F·i))
2.5. Геометрическое изображение суммы комплексных чисел
|
Рисунок SEQ Рисунок * ARABIC 3 |
Согласно определению сложения двух комплексных чисел, действительная часть суммы равна сумме действительных частей слагаемых, мнимая часть суммы равна сумме мнимых частей слагаемых. Точно также определяются координаты суммы векторов:
Сумма двух векторов с координатами (A1;B1) и (A2;B2) есть вектор с координатами (A1+A2;B1+B2). Поэтому, чтобы найти вектор, соответствующий сумме комплексных чисел Z1 и Z2 нужно сложить векторы, соответствующие комплексным числам Z1 и Z2.
2.6. ВЫЧИТАНИЕ И ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Вычитание комплексных чисел – это операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел Z1 и Z2 существует, и притом только одно, число Z, такое, что:
Z + Z2=Z1
Если к обеим частям равенства прибавить (–Z2), противоположное числу Z2:
Z+Z2+(–Z2)=Z1+(–Z2), откуда
Z = Z1 – Z2
Число Z=Z1+Z2 называют разностью чисел Z1 и Z2, т.е.
Z=(A+B·i) - (C+D·i)=(A-C) + (B-D)·i
Деление вводится как операция, обратная умножению:
Z×Z2=Z1
Разделив обе части на Z2 получим:
Z=
Из этого уравнения видно, что Z2
Z= E+ F·i = (·i)/ (C+D·i)= (·i)·(C-D·i)/ (C+D·i)·(C-D·i) = ((A·C + B·D) + (A·D - B·C)·i)/(C2 + D2) = (A·C + B·D)/(C2 + D2) + (A·D - B·C)·i/(C2 + D2) = E+ F·i
2.7. Геометрическое изображение разности комплексных чисел
|
Рисунок SEQ Рисунок * ARABIC 4 |
Разности Z2 – Z1 комплексных чисел Z1 и Z2, соответствует разность векторов, соответствующих числам Z1 и Z2. Модуль разности двух комплексных чисел Z2 и Z1 по определению модуля есть длина вектора Z2 – Z1. Построим этот вектор, как сумму векторов Z2 и (–Z1) (рисунок 4). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам.
Это важное геометрическое истолкование модуля разности двух комплексных чисел позволяет с успехом использовать простые геометрические факты.
2. 8. Возведение в степень и корень из комплексного числа.
Комплексное число также можно возводить в степень, как и другие числа, выглядит это следующим образом:
n = Z·Z·Z·Z·Z·Z·… - n-раз
Квадратным корнем из комплексного числа называется выражение вида
W2 = Z
= X+Y·i, A,B,X,Y
Возведем в квадрат и приравняем обе части, откуда и находятся X и Y.
2.9. Свойства комплексного числа.
· Операций сопряжения:
1.
2.
3.
4.
5.
· Свойства модуля:
1. Если Z, то совпадает с понятием действительного числа
2.
3.
4.
5.
3.ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА
КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Запись комплексного числа Z в виде A+B·i называется алгебраической формой комплексного числа. Помимо алгебраической формы используются и другие формы записи комплексных чисел.
Рисунок SEQ Рисунок * ARABIC 1
Рассмотрим тригонометрическую форму записи комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа Z=A+B·i выражаются через его модуль = r и аргумент j=argZ следующим образом:
A= r·cosj ; B= r·sinj.
Число Z можно записать так:
Z= r·cosj+ i··sinj = r·(cosj + i·sinj)
Z = r·(cosj + i·sinj) (2)
Эта запись называется тригонометрической формой комплексного числа.
r =– модуль комплексного числа.
Число j называют аргументом комплексного числа.
Аргументом комплексного числа ZZ, причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если производится по часовой стрелке.
Для числа Z=0 аргумент не определяется, и только в этом случае число задается только своим модулем.
Как уже говорилось выше = r =
A+B·i=·cosj + i··sinj, откуда приравнивая действительные и мнимые части, получим:
cosj = sinj = (3)
Если sinj поделить на cosj получим: tgj= (4)
Эту формулу удобней использовать для нахождения аргумента j, чем формулы (3). Однако не все значения j, удовлетворяющие равенству (4), являются аргументами числа A+B·i . Поэтому при нахождении аргумента нужно учесть, в какой четверти расположена точка A+B·i.
Декартову плоскость, которая служит для изображения комплексных чисел называется комплексной плоскостью.
Если комплексное число изобразить в полярной системе координат, то это будет выглядеть следующим образом:
j при этом называется полярным углом, а r – полярным радиусом, причем
Совокупность точки О и оси ОР и единичного отрезка ОЕ называется полярной системой координат.
3.1.СВОЙСТВА МОДУЛЯ И АРГУМЕНТА
КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Комплексные числа равны Z1 = Z2 r1=r2 и
С помощью тригонометрической формы удобно находить произведение и частное комплексных чисел.
Пусть Z1= r1·(cosj1 + i·sinj1), Z2 = r2·(cosj2 + i·sinj2). Тогда:
Z1Z2= r1·r2[cosj1·cosj2 – sinj1·sinj2 + i·( sinj1·cosj2 + cosj1·sinj2)]=
= r1·r2[cos(j1 + j2) + i·sin(j1 + j2)].
Таким образом, произведение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:
Z1Z2= r1·r2[cos(j1 + j2) + i·sin(j1 + j2)] (5)
Из формулы (5) следует, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Вывод: arg(Z1Z2) = arg Z1+arg Z2
Если Z1=Z2 то получим:
Z2=[r·(cosj + i·sinj)]2= r2·(cos2j + i·sin2j)
Z3=Z2·Z= r2·(cos2j + i·sin2j)·r·(cosj + i·sinj)=
= r3·(cos3j + i·sin3j)
Вообще для любого комплексного числа Z= r·( cosj + i·sinj) и любого натурального числа n справедлива формула:
Zn =[ r·(cosj + i·sinj)]n= rn·( cosnj+ i·sinnj), (6)
которую называют формулой Муавра.
Частное двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:
cos(j1 – j2) + i·sin(j1 – j2)]. (7)
cos(–j2) + i·sin(–j2)
Используя формулу 5
cosj1 + i·sinj1)×( cos(–j2) + i·sin(–j2)) =
cos(j1 – j2) + i·sin(j1 – j2).
Вывод: arg(arg Z1-arg Z2
3.2. Показательная запись комплексного числа.
Выражение вида: называется формулой Эйлера, где r-модуль, а - аргумент.
Z=A+Bcos + isin)=
При r =1, получим cos + isin - тождество Эйлера.
Ну а сопряж. ему = cos - isin
Если их сложить или вычисть, то получим следующее:
cos , sin
При
4.ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ.
Многочлены деления круга.
Из формулы 6 видно, что возведение комплексного числа r·( cosj + i·sinj) в целую положительную степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.
[ r·(cosj + i·sinj)]n= rn·( cos nj + i·sin nj)
Число Z называется корнем степени n из числа w ( обозначается Zn =w.
Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения Zn = w является корнем степени n из числа w. Другими словами, для того, чтобы извлечь корень степени n из числа w, достаточно решить уравнение Zn = w. Если w=0, то при любом n уравнение Zn = w имеет только одно решение Z= 0. Если wZ0, а, следовательно, и Z и w можно представить в тригонометрической форме
Z = r·(cosj + i·sinj), w = p·(cosy + i·siny)
Уравнение Zn = w примет вид:
rn·( cos nj + i·sin nj) = p·( cosy + i·siny)
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются слагаемыми, кратными 2p. Следовательно, rn = p и nj = y + 2pk, где kÎZ или r = и j = kÎZ.
Итак, все решения могут быть записаны следующим образом:
ZK=[cos() + i·sin()], kÎZ (8)
Формулу 8 называют второй формулой Муавра.
Таким образом, если wn корней степени n из числа w: все они содержатся в формуле 8. Все корни степени n из числа w имеют один и тот же модуль n из комплексного числа w, соответствует точкам комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в точке Z = 0.
Символ не имеет однозначного смысла. Поэтому, употребляя его, следует четко представлять себе, что под этим символом подразумевается. Например, используя запись i и –i, или одно, то какое именно.
4.1. Уравнения высших степеней
Формула 8 определяет все корни двучленного уравнения степени n. Неизмеримо сложнее обстоит дело в случае общего алгебраического уравнения степени n:
an×Zn + an–1×Zn–1 +...+ a1×Z1 + a0 = 0 (9)
Где an,..., a0 – заданные комплексные числа.
В курсе высшей математики доказывается теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайней мере один корень. Эта теорема была доказана немецким математиком Карлом Гауссом в 1779 году.
Опираясь на теорему Гаусса, можно доказать, что левая часть уравнения 9 всегда может быть представлена в виде произведения:
,
Где Z1, Z2,..., ZK – некоторые различные комплексные числа,
а a1,a2,...,ak – натуральные числа, причем:
a1 + a2 + ... + ak = n
Отсюда следует, что числа Z1, Z2,..., ZK являются корнями уравнения 9. При этом говорят, что Z1 является корнем кратности a1, Z2 – корнем кратности a2 и так далее.
Если условиться считать корень уравнения столько раз, какова его кратность, то можно сформулировать теорему: каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n корней.
Теорема Гаусса и только что сформулированная теорема дают решения о существовании корней, но ничего не говорят о том, как найти эти корни. Если корни первой и второй степени могут быть легко найдены, то для уравнений третей и четвертой степеней формулы громоздки, а для уравнений степени выше четвертой таких формул вообще не существует. Отсутствие общего метода не мешает отыскивать все корни уравнения. Для решения уравнения с целыми коэффициентами часто оказывается полезной следующая теорема: целые корни любого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.
Докажем эту теорему: Пусть Z = k – целый корень уравнения
an×Zn + an–1×Zn–1 +...+ a1×Z1 + a0 = 0
с целыми коэффициентами. Тогда
an×kn + an–1×kn–1 +...+ a1×k1 + a0 = 0
a0 = – k(an×kn–1 + an–1×kn–2 +...+ a1) Число в скобках, при сделанных предположениях, очевидно, целое, значит k – делитель числа a0.
5. Связь комплексных чисел с геометрией на плоскости.
5.1. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Длина отрезка
При заданной прямоугольной декартовой системе координат на плоскости комплексному числу z = x+iy (i2= -1) можно взаимно однозначно поставить в соответствие точку М плоскости с координатами х, у (рис.1):
.
Число z тогда называют комплексной координатой точки М.
Поскольку множество точек евклидовой плоскости находится во взаимно однозначном соответствии с множеством комплексных чисел, то эту плоскость называют также плоскостью комплексных чисел. Начало О декартовой системы координат называют при этом начальной или нулевой точкой плоскости комплексных чисел.
При у=0 число z действительное. Действительные числа изображаются точками оси х, поэтому она называется действительной осью. При х=0 число z чисто мнимое: z=iy. Мнимые числа изображаются точками оси у, поэтому она называется мнимой осью. Нуль - одновременно действительное и чисто мнимое число.
Paccтoяниe от начала О плоскости до точки М(z) называется модулем комплексного числа z и обозначается |z| или r:
|z| = r = |OM| =
Если — ориентированный угол, образованный вектором с осью х, то по определению функции синуса и косинуса
откуда и поэтому .
Такое представление комплексного числа z называется его тригонометрической формой. Исходное представление z=x+iy называют алгебраической формой этого числа. При тригонометрическом представлении угол называют аргументом комплексного числа и обозначают еще через arg z:
Если дано комплексное число z=x+iy, то число называется комплексно-сопряженным (или просто сопряженным) этому числу z. Тогда, очевидно, и число z сопряжено числу Точки М(z) и симметричны относительно оси х (рис.2).
Из равенства y=0 и обратно. Это значит, что число, равное своему сопряженному, является действительным и обратно.
Точки с комплексными координатами z и -z симметричны относительно начальной точки О. Точки с комплексными координатами z и симметричны относительно оси у. Из равенства z= вытекает x=0 и обратно. Поэтому условие z= является критерием чисто мнимого числа.
Для любого числа z, очевидно, |z| = | = |-z| = |
Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами: .
Число, сопряженное с суммой, произведением или же частным комплексных чисел, есть соответственно сумма, произведение или же частное чисел, сопряженных данным комплексным числам:
Эти равенства можно легко проверить, пользуясь формулами для операций над комплексными числами.
Каждой точке М(z) плоскости - взаимно однозначно соответствует вектор . Поэтому комплексные числа можно интерпретировать векторами, приложенными к точке O. Сложению и вычитанию комплексных чисел отвечает сложение и вычитание соответствующих им векторов. Именно если а и b - комплексные координаты точек A и В соответственно, то число с=а+b является координатой точки С, такой, что (рис.3). Комплексному числу d=a-b соответствует такая точка D, что .
Расстояние между точками А и В равно
|АВ| = |а-b|. (1)
Так как |z|2= z, то
|AB|2=(a-b)( (2)
Уравнение z= r2 определяет окружность с центром О радиуса r. Отношение в котором точка С делит данный отрезок АВ, выражается через комплексные координаты этих точек так:
откуда (3)
Если положить и
(4)
Условия (4) необходимы и достаточны для того, чтобы точки А, В, С были коллинеарны.
При точка С является серединой отрезка AB, и обратно.
Тогда:
c = . (4a)
Пусть имеем параллелограмм ABCD. Его центр имеет комплексную координату = при условии, что точки А, В, С, D имеют соответственно комплексные координаты а, b, с, d. Если не исключать случай вырождения параллелограмма, когда все его вершины оказываются на одной прямой, то равенство
a+c = b+d (5)
является необходимым и достаточным условием того, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом.
5.2. Параллельность и перпендикулярность. Коллинеарность трех точек
ОПР: Пусть на плоскости комплексных чисел даны точки А(а) и B(b). Векторы и сонаправлены тогда и только тогда, когда arg a = arg b, т. е. при arg а - arg b=arg=0 (при вычитании комплексных чисел, из аргумента делимого вычитается аргумент делителя!).
Очевидно также, что эти векторы направлены противоположно в том и только в том случае, если arg a - arg b=arg.
Комплексные числа с аргументами 0, являются действительными. ТЕОРЕМА (Критерий коллинеарности точек О, А, В): Для того чтобы точки А(а) и В(b) были коллинеарны с начальной точкой О, необходимо и достаточно, чтобы частное было действительным числом, т. е.
или (6)
Действительно, так как в этом случае число действительное (k=), то критерий (6) эквивалентен такому:
(7)
Возьмем теперь точки A(а), B(b), C(c), D(d).
ОПР: Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда точки, определяемые комплексными числами а—b и с—d, коллинеарны с началом О.
Замечание:
1. На основании (6) имеем:
(8)
2. Если точки А, В, С, D принадлежат единичной окружности l,то
и поэтому условие (8) принимает вид:
; (9)
3. Коллинеарность точек A, В, С характеризуется коллинеарностью векторов и . Используя (8), получаем:
(10)
Это критерий принадлежности точек A, B, С одной прямой. Его можно представить в симметричном виде
(11)
Если точки A и B принадлежат единичной окружности l, то , и поэтому каждое из соотношений (10) и (11) преобразуется (после сокращения на (а-b) в такое:
(12)
Точки А и В фиксируем, а точку С будем считать переменной, переобозначив ее координату через z. Тогда каждое из полученных соотношений (10), (11), (12) будет уравнением прямой АВ:
, (10а)
. (12a)
В частности, прямая ОА имеет уравнение
Переходим к выводу критериев перпендикулярности отрезков. Ясно, что
Комплексные числа с аргументами и являются чисто мнимыми.
Поэтому,
или
(13)
Отрезки АВ и CD перпендикулярны тогда и только тогда, когда векторы точек с комплексными координатами а—b и с—d перпендикулярны. В силу (13) имеем:
(14)
В частности, когда точки А, В, С, D принадлежат единичной окружности l, то зависимость (14) упрощается:
(15)
Выведем уравнение касательной к единичной окружности l в ее точке
P(р). Если М (z) — произвольная точка этой касательной, то и обратно. На основании (14) имеем:
или
Поскольку , то уравнение касательной становится таким:
(16)
Это частный случай уравнения (12a) при а=b=р. Решим еще две вспомогательные задачи, необходимые для решения содержательных геометрических задач.
5.3. ПРЯМАЯ И ОКРУЖНОСТЬ НА ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Пусть произвольной точке М плоскости комплексных чисел соответствует комплексное число. Из равенств и однозначно выражаются декартовы координаты х и у точки М через комплексные числа
(1)
Поэтому комплексные числа z и называются сопряженными комплексными координатами этой точки.
Формулы (1) позволяют осуществить переход от уравнения геометрической фигуры в декартовых координатах к ее уравнению в сопряженных комплексных координатах. Однако сейчас мы предпочли непосредственное рассмотрение уравнений в сопряженных комплексных координатах.
Геометрический смысл уравнения
Найдем множество точек плоскости, сопряженные комплексные координаты которых удовлетворяют уравнению
(2)
Сначала выделим особый случай, когда с=0. Тогда имеем систему относительно и
второе уравнение которой получается из первого переходом к сопряженным числам. Уравнивая коэффициенты при , путем вычитания второго уравнения из первого получаем:
Если , т.е. будет единственное число z=0. При уравнение напишем в виде . Этому условию удовлетворяет каждая точка прямей m, проходящей через начало под углом к действительной оси (рис.1). Так, уравнением
(3)
задается прямая при и точка при .
Пусть теперь (2) можно всегда сделать действительным числом путем умножения обеих частей уравнения на с. Поэтому сразу будем полагать Тогда имеем систему:
из которой получаем: . Рассмотрим возможные случаи.
Если , то и подстановкой в исходное уравнение получаем: или
При его решение единственно:
При решений нет.
Если и (2) при прямая. В самом деле, возьмем точку и вектор точки В(b) и рассмотрим множество точек М(z), для каждой из которых (MQ)OB):
(4)
Очевидно, это множество есть прямая. При и уравнение (4) эквивалентно уравнению (2).
Таким образом, при и уравнение (2) есть уравнение прямой, которая проходит через точку перпендикулярно вектору .
Наконец, отметим случай, когда , но . Тогда система
приводит к противоречию:
Подведем итоги. Уравнением a и b отличен от нуля, задается:
1) прямая при |а|=|b|, с=0, а также при ;
2) единственная точка при ;
3) пустое множество в иных случаях, т. е. при |a| = |b|, а также при , .
Достигнув поставленной цели, возвратимся снова к системе:
не налагая ограничений на коэффициенты а, b, с, кроме того, что a и b не равны нулю одновременно. Уравнивая коэффициенты при , приходим к уравнению , которое:
а) имеет единственное решение при ;
б) имеет бесконечное множество решений при и ;
в) не имеет решений при и .
Отсюда и на основании результата предыдущих исследований получаем, что уравнение определяет:
а) единственную точку при
б) прямую при и ;
в) пустое множество при и .
Уравнение
(5)
прямой в сопряженных комплексных координатах будем называть приведенным уравнением прямой.
5.4. Две прямые. Расстояние от точки до прямой
Пусть прямая т задана приведенным уравнением . Так как она перпендикулярна вектору будет ей параллелен (рис.2). Следовательно, ориентированный угол от оси х до прямой т равен аргументу числа ai:
(6)
Положительно ориентированный угол от прямой до прямой равен углу между их направляющими векторами и :
. (7)
Формулы (6) и (7) позволяют находить соответствующие углы с точностью до слагаемого .
Из формулы (7) вытекает критерий перпендикулярности и критерий параллельности прямых и . В самом деле, чисто мнимое число. Это значит, что
(8)
При или получаем:
(9)
Если прямая проходит через точку и ее уравнение можно написать в виде:
(10)
В силу условия (8) перпендикулярности для прямой, перпендикулярной данной, коэффициентами при, z и будут соответственно числа а и . Поэтому на основании уравнения (10) получаем уравнение
(11)
прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой Решение системы
дает координату
(12)
основания M1 перпендикуляра, опущенного из точки на прямую
Так как расстояние d от точки M0 этой прямой равно
. (13)
Геометрический смысл, уравнения
Из формулы расстояния между двумя точками получается уравнение окружности по ее центру S (s) и радиусу R :
(14)
Пусть дано уравнение
, (15)
в котором на комплексные коэффициенты а, b, с не накладывается заранее никаких условий. Требуется найти множество точек, координаты которых ему удовлетворяют. С этой целью удобно представить его в эквивалентном виде:
(16)
Рассмотрим все возможные случаи для коэффициентов а, b, с.
1. Сравнивая уравнение (16) с уравнением (14) окружности, приходим к выводу, что уравнение (16), а значит, и уравнение (15) задают окружность тогда и только тогда, когда и ab—с - действительное число. Так как в этом случае с должно быть действительным числом.
Итак, уравнение
(17)
есть уравнение окружности с центром s=-b и радиусом .
2. При с=ab уравнению (16) удовлетворяет единственная точка s=-b. В частности, этот случай имеет место при а=b=с=0. Соблюдая аналогию, говорят, что уравнением задается окружность с центром s=-b нулевого радиуса.
3. Если , , то - чисто мнимое число. Полагаем , тогда (16) можно записать так:
. (18)
Уравнению (18) не удовлетворяет ни одна точка плоскости, поскольку левая часть неотрицательна, а правая отрицательна при любом значении z. Говорят, что это уравнение есть уравнение окружности мнимого радиуса iR с действительным центром S, имеющим комплексную координату s=-b.
4. Когда , но , уравнение (16) противоречиво: левая часть его действительна, а правая нет. В этом случае оно не задает никакого геометрического образа (даже мнимого!).
5. Осталось рассмотреть случай, когда . Тогда из уравнения (15) вычтем уравнение , получающееся из (15) переходом к сопряженным комплексным числам. Получаем:
откуда
Выполняя эту подстановку в уравнение (15), приводим его к виду
(19)
При уравнения (15) и (19) равносильны. В зависимости от того, отличен от нуля или равен нулю дискриминант
квадратного уравнения (19), оно будет определять две различные (действительные!) или две совпавшие точки. При D=0 совпавшие точки имеют комплексную координату
В частности, при c=ab как уравнение (16), так и уравнение (19) дает пару точек z1=-b и .
Итак, уравнением (15) задается либо окружность (действительная, мни мая, нулевого радиуса), либо две точки (различные или же совпавшие), либо пустое множество точек.
Рассмотрим одну замечательную пару окружностей.
Две пересекающиеся окружности называются ортогональными, если касательные к ним в их общей точке перпендикулярны. Тогда, очевидно, касательная к одной из ортогональных окружностей в их общей точке содержит центр другой окружности.
Для того чтобы окружности (A, R) и (В, r) были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы |AB|2=R2+r2 , или
(20)
Если окружности заданы уравнениями
и
то (20) их ортогональности трансформируется так:
(21)