Критерий омега-квадрат фон-Мизеса

Министерство образования и науки Украины

Запорожский национальный университет

Индивидуальная работа по математической статистике

Тема: «Критерий w² фон Мизеса»

Выполнил:                                                   студент гр. 8216-2  Безбородов Вячеслав

Проверила:                                                                       Лысенко Елена Анатольевна

Запорожье

2009

Критерий w² Крамера-Мизеса-Смирнова при простой гипотезе

Порядок проверки простой гипотезы о согласии

Простая проверяемая гипотеза имеет вид H₀: F(x)=F(x,q), где F(x,q) – функция распределения вероятностей, с которой проверяется согласие наблюдаемой выборки, а q – известное значение параметра (скалярного или векторного). В случае простых гипотез предельные распределения статистик критерия согласия w ² не зависят от вида наблюдаемого закона распределения F(x,q) и, в частности, от его параметров. Говорят, что эти критерии являются “свободными от распределения”. Это достоинство предопределяет широкое использование данных критериев в приложениях.

            При проверке согласия опытного распределения с теоретическим распределением случайной величины X:

1.              Формулируют проверяемую гипотезу, выбирая теоретическое распределение случайной величины, согласие которого с опытным распределением этой величины следует проверить.

2.              Из совокупности отбирают случайную выборку объема n. Полученные результаты наблюдений располагают в порядке их возрастания, так что в распоряжении имеют упорядоченную выборку значений

x₁ £ x₂ £ … £ x_n.

3.              В соответствии с выбранным критерием проверки вычисляют значение статистики S^* критерия w² Мизеса. 

4.              В соответствии с выбранным критерием проверки вычисляют значение

где G(S|H₀) – распределение статистики критерия при справедливости гипотезы H₀. Если P{S>S^*}>a , где a – задаваемый уровень значимости, то нет оснований для отклонения проверяемой гипотезы. В противном случае проверяемая гипотеза H₀ отвергается.

Можно вычисленное значение статистики S^* сравнить с критическим значением S_a , определяемым из условия

Гипотеза о согласии отвергается, если значение статистики попадает в критическую область, т. е. при S^*> S_a .

Нулевая гипотеза

         В критериях типа w² расстояние между гипотетическим и истинным рас­пределениями рассматривают в квадратичной метрике.

         Проверяемая гипотеза H₀ имеет вид

при альтернативной гипотезе

,                         

где E[^.]  - оператор математического ожидания,  y(t) - заданная на отрезке 0£t£1 неотрицательная функция, относительно которой предполагают, что y(t), ty(t), t²y(t) интегрируемы на отрезке 0£t£1. Статистику крите­рия  выражают соотношением

,       

где

,    .

Статистика Крамера-Мизеса-Смирнова

 При выборе y(t) º1 для критерия w² Мизеса получают статистику вида (статистику Крамера-Мизеса-Смирнова)

,                       

которая при простой гипотезе в пределе подчиняется закону с функцией рас­пределения a1(S), имеющей вид

,                           

Алгоритм

1.       Значение статистики Крамера-Мизеса-Смирнова S^* вычисляется по формуле

_.

2.       Значение вероятности P{S>S^*}=1-a1(S^*) вычисляется по функции распределения a1(S)

,

или берется из таблицы 1 приложения.

3.       Критические значения критерия S_a при заданном a могут быть взяты из таблицы 2.

4.       Гипотеза H₀ не отвергается, если для вычисленного по выборке значения статистики S^*

P{S>S^*}=1-a1(S^*)>a .

Пример 1.

Гипотеза Н₀: рост детей в 5 классе одинаковый и находится в согласии с теоретическим распределении.

1.    Дано распределение детей по росту: 133, 125, 120, 145, 151,  114, 140, 150, 139 (в сантиметрах).

2.    a1(S*)≈ 0,999 (из таблицы 1)

3.    На уровне значимости α=0,05 в таблице 2 находим a1(S)=0,4614.

4.    Подтверждение гипотезы находим по формуле: P{S>S^*}=1-a1(S^*)>a

P{S<1,59}=1-0,999>a => 0,01<0,5.

Гипотезу Н_о опровергаем, выборка не находится в согласии с теоретическим распределением.

Пример 2.

Гипотеза Н₀: Количество рыбы в сезон на Аляске, за последние 5 лет, теоретически согласовано.

1.    Имеются данные о количестве рыбы (в млн кг), обрабатываемой в рыбный сезон на заводе «Seward Fisheries» на Аляске:

1,5; 0,8; 1; 0,6; 1,2.

2.    a1(S*)= 0, 99036 (из таблицы 1)

3.    На уровне значимости α=0,01 a1(S)= 0,7434.

4.    Подтверждение гипотезы находим по формуле: P{S>S^*}=1-a1(S^*)>a

P{S<0,71288}=1-0, 99036 <a => 0,00964<0,01.

Гипотезу Н_о опровергаем, количество рыбы на Аляске теоретически не согласовано.

Пример 3.

Гипотеза Н₀: Средний балл студента Иванова И.И.  за последние 5 сессий согласован с теоретическим распределением.

1.    Средние баллы за каждую из 5 последних сессий такие:

4; 4,2; 4; 4,3; 4.

2.    a1(S*)= 0, 98314 (из таблицы 1)

3.    На уровне значимости α=0,1, пользуясь таблицей 2, находим a1(S)= 0,3473.

4.    Подтверждение гипотезы находим по формуле: P{S>S^*}=1-a1(S^*)>a

P{S<0,594398}=1-0, 98314 <a => 0,01686<0,1.

Гипотезу Н_о, оценки студента теоретически не согласованы.