Введение

Для более полного представления о кривизне плоской кривой для начала введём понятие векторной функции скалярного аргумента.

Определение 1.  Если каждому значению независимого переменного tÎTÍR , называемого далее скалярным аргументом, поставить  в соответствие единственный вектор r(t), то r(t) называют вектор-функцией скалярного аргумента.  Вектор r(t) с началом в фиксированной точке O называют радиус-векторм.

Пусть в геометрическом (трёхмерном) пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz с ортонормированным базисом i, j, k. Тогда представление

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

является разложением радиус-вектора r(t) в этом базисе, причем x(t), y(t), z(t) – действительные  функции одного действительного переменного t с общей областью определения TÍR , называемые координатными функциями вектор-функции r(t).

Понятие кривой

Введём теперь термин «кривой». Его строге определение связано с понятием вектор-функции r(t), которую будем считать непрерывной на отрезке [a, b] . Пусть в трёхмерном пространстве R³ задана  прямоугольная декартова система координат Oxyz с  ртонормированным базисом {i,  j, k}.

Определение 2. Множество ГÌR³ точек, заданных радиус-векторм r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, tÎ[a, b]  соответствующим непрерывной на отрезке [a, b]  вектор-функции r(t) называют непрерывной кривой, или просто кривой, а аргумент t - параметром кривой.

При фиксированном значении t = t₀ Î [a, b]  параметра значения x(t₀), y(t₀), z(t₀)  являются координатами точки кривой. Поэтому одна и та же кривая может иметь как векторное так и координатное представление

Г = {r Î R³ : r = r(t), tÎ[a, b] },

Г = {(x; y; z) Î R³ : x = x(t), y = y(t), z = z(t), tÎ[a, b] }

Заданную таким образом кривую называют годографом вектор-функции r(t), поскольку именно такую кривую описывает в простарнстве конец вектора  при изменении параметра t.

Кривую можно также представить как линию пересечения двух поверхностей с уравнениями F₁(x, y, z) = 0, F₂(x, y, z) = 0. Выбрав за параметр одну из координат, можно через него попытаться выразить из этой системы уравнений остальные координаты. Если это удастся сделать, то можно будет записать

Г = {(x; y; z) Î R³ : x = x(t), y = y(t), z = z(t),  tÎ[c, d] }.

Одной и той же точке кривой могут соответствовать различные значения параметра t. Такие точки кривой называют её кратными точками. Начальной и конечной точками кривой называются точки с радиус-векторами r(a) и r(b) соответственно. Если конечная точка кривой совпадает с её начальной точкой, то кривую называют замкнутой. Замкнутую кривую, не имеющую кратных точек при tÎ(a, b)  называют простым замкнутым контуром.

Определение 3.  Кривую, лежащую в некоторой плоскости называют плоской.

Если эта плоскость выбрана за координатную плоскость xOy, то координатное представление плоской кривой Г имеет вид:

Г = {(x; y; z) Î R³ : x = x(t), y = y(t), z = z(t),  tÎ[a, b] }.

причём равенство z=0 обычно опускают и пишут

Г = {(x; y) Î R² : x = x(t), y = y(t), tÎ[a, b] }.

.

График непрерывной на отрезке [c, d] функции f(x) является плоской кривой с координатным представлением Г = {(x; y) Î R² : x = x, y = f(x), xÎ[c, d] }.

В этом случае роль параметра выполняет аргумент x . Плоская кривая является годографом радиус-вектора r(t) = x(t)i + y(t)j  или  r(x) = xi + f(x)j   соответсвенно.

Кривизна плоской кривой.

Длина дуги иеё производная.

В введении были рассмотрены понятия векторной функции, опираясь на которое и было дано строгое определение кривой и её частного случая – плоской кривой. В данном пункте дадим определение длины дуги и найдём её дифференциал.

Пусть дуга кривой M₀M  (рис. 1) есть график функции  y=f(x), определённой на интервале (a ,b). Определим длину дуги кривой.

 Возьмём на кривой АВ точки M₀, M₁, M₂, … , M_i-1, M_i…, M_n-1,  M.

Соединив взятые точки отрезками, получим ломаную линию M₀ M₁M₂… M_i-1 M_i…M_n-1M, вписанную в дугу M₀ M. Обозначим длину этой ломаной линии через P_n.

Длиной дуги M₀M  называется предел (обозначим его через s), к которому стремится длина ломаной при стремлении к нулю наибольшей длин отрезков ломанной M_i-1 M_i , если этот предел существует и не зависит от выбора точек ломаной M₀ M₁M₂… M_i-1 M_i…M_n-1M .

Найдём выражение дифференциала дуги.

Пусть имеется на плоскости кривая, заданная уравнением y=f(x). Пусть M₀(x₀, y₀)- некотрая фиксированная точка кривой. Обозначим через s длину дуги M₀M (рис.3).  При изменении абсциссы x точки М длина s дуги будет меняться, т. е. s есть функция x. Найдём производную s по x.

Дадим x приращение Dx. Тогда дуга  s  получит приращение Ds = дл. ÈMM₁. Пусть  - хорда, стягивающая эту дугу. Для того чтобы найти    поступим  следующим  образом:                                                         

 Из  DMM₁Q  находим Dx)² +(Dy)².       Умножим и разделим левую часть наDs²:

Разделим все члены равенства на Dx²:

Найдём предел левой и правой частей при Dx®0. Учитывая, что  и   получим    

Для дифференциала дуги получим следующее выражение:

  или  

Мы получили выражение дифференциала дуги для того случая, когда кривая задана уравнением y=f(x). Но эта же формула сохраняется и в том случае, когда кривая задана параметрически:

и выражение принимает вид:

Кривизна

Первая производная функции  даёт нам простейшую характеристику линии y=f(x), а именно её направление. Вторая производная тесно связана с другой количественной характеристикой этой линии, с так называемой кривизной, устанавливающей меру изогнутости или искривлённости линии.

Пусть мы имеем кривую, которая не пересекает сама себя и имеет определённую касательную в каждой точке. Проведём касательные к кривой в каких-нибудь двух её точках А и В и обозначим через  a  угол, образованный этими касательными, или – точнее - угол поворота касательной при переходе от точки А к точке В (рис. 4). Этот угол называется углом смежности. Угол смежности в некоторой степени даёт представление о степени изогнутости дуги. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та, у которой угол смежности больше (рис. 5,4).

Полной характеристикой изогнутости кривой будет отношение угла смежности к длине соответствующей дуги.

Определение 4.  Средней кривизной К_ср дуги ÈАВ называется отношение соответствующего угла смежности a к длине дуги:

Для одной и той же кривой средняя кривизна её различных частей (дуг) может быть различной; так, например, для кривой (см. рис. 6)   средняя кривизна дуги АВ не равна средней кривизне дуги А₁В_{1 ,} хотя длины этих дуг равны между собой.

 Отметим, что вблизи различных точек кривая искривлена по-разному. Для того чтобы охарактеризовать степень искривлённости данной линии в непосредственной близости к данной точке А, введём понятие кривизны в данной точке.

Определение5.  Кривизной К_а линии в данной точке А называется предел средней кривизны дуги АВ, когда длина этой дуги стремится к нулю:

Вычисление кривизны

Выведем формулу для вычисления кривизны данной линии в любой её точке M(x, y).  При этом  будем предполагать, что кривая задана в декартовой системе координат уравнением вида  y=f(x)  и что функция имеет непрерывную вторую производную.

Проведём касательные к кривой в точках  M и M₁ с абсциссами   x  и  x+Dx и  обозначим через  j и j+Dj  углы наклона этих касательных (рис.7).

Длину дуги ÈM₀M отсчитываемую от некоторой постоянной точки M₀, обозначим через s; тогда Ds = ÈM₀M₁ -  ÈM₀M, а½Ds½ = ÈMM_1.   Как видно из (рис. 7), угол смежности, соответствующий дуге  ÈMM₁   равен абсолютной величине  разности углов  j   и  j+Dj, то есть равен ½Dj½.

Согласно определению средней кривизны кривой на участке  ÈMM₁  имеем

Чтобы получить кривизну в точке М, нужно найти предел полученного выражения при условии, что длина дуги ÈMM₁ стремится к нулю:

Так как величины j и s зависят от x, то, следовательно, j  можно рассматривать как функцию от s. Можно считать, что эта функция задана параметрически с помощью параметра x. Тогда

Для вычисления  воспользуемся формулой дифференцирования функции, заданной параметрически:   

Чтобы выразить производную   через функцию  y=f(x),  заметим,  что   и, следовательно 

Дифференцируя по x последнее равенство,  получаем        .

И так как            

  и окончательно, так как

Следовательно, в любой точке кривой, где существует и непрерывна вторая производная, можно вычислить кривизну по формулам.

Вычисление кривизны линии, заданной параметрически.

Пусть кривая задана параметрически: x=j(t),  y=y(t).  Тогда

Подставляя полученные выражения в формулу 3, получаем

.

 Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах.

Пусть кривая задана уравнением вида r = f(q). Запишем формулы перехода от полярных координат к декартовым: x = r cos q, y = r sin q .

Если в эти формулы подставить вместо r его выражение через q, то есть f(q), то получим

x = f(q) cos q, y = f(q) sin q

Последние уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой, причём параметром является q.

Тогда,       

 ,         

Подставляя последние выражения в формулу, получаем формулу для вычисления кривизны кривой, заданной в полярных координатах:

 Радиус и круг кривизны

Определение 7.   Величина R, обратная кривизне К линии в данной точке М, называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке:  R = 1/K,   или 

Построим в точке М нормаль к кривой (рис. 8 ), направленную в сторону вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС, равный радиусу R кривизны кривой в точке М.

Точка С называется центром кривизны данной кривой с центром в точке С (проходящий через точку М) называется кругом кривизны данной кривой в точке М.

Из определения круга кривизны следует, что в данной точке кривизна кривой и кривизна круга кривизны равны между собой. Выведем формулы, определяющие координаты центра кривизны.

 Пусть кривая задана уравнением y=f(x). Зафиксируем на кривой точку M(x, y) и определим координаты  a  и b   центра кривизны, соответствующего этой точке (рис. 9).Для этого напишем уравнение нормали к кривой в точке М:

Так как точка C(a, b) лежит на нормали, то её координаты должны удовлетворять уравнению   

Далее, точка  C(a, b)  находится от точки М на расстоянии, равном радиусу кривизны R:

Решив совместно уравнения * определим a, b:

и так как      то

Чтобы решить вопрос о том, верхние или нижние знаки сле6дует брать в последних формулах, нужно рассмотреть случай y^!!>0  и y^!!<0. Если y^!!>0 , то в этой точке кривая вогнута и, следовательно, b>y (рис. 9) и поэтому следует брать нижние знаки. Учитывая, что в этом случае ½y^!!½= y^!!, формулы координат центра запишем в следующем виде:

                                                 (1)

Аналогично можно показать, что формулы будут справедливы и в случае y^!!<0.

Параметрическое задание кривой

Если кривая задана параметрически:  x = j(t),  y = y(t),  то координаты центра кривизны можно получить из формул *, подставляя  в них вместо y^! и y^!! их выражения через параметр:

Тогда

                                                  (2)

Эволюта и эвольвента

Если в точке M₁(x, y) данной линии кривизна отлична от нуля, то этой точке соответствует вполне определённый центр кривизны C₁(a, b) . Совокупность всех центров кривизны данной линии образует некоторую новую линию, называемую эволютой по отношению к первой.

По отношению к своей эволюте данная линия называется эвольвентой или инволютой (или развёрткой). Дадим определение.

Определение 8.  Геометрическое место центров кривизны линии L называется её эволютой L₁ , а сама линия L относительно своей эволюты называется эвольвентой.

Если данная кривая определяется уравнением   y=f(x) , то уравнения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения эволюты с параметром x. Исключая из этих уравнений параметр  x, получим непосредственную зависимость между текущими координатами эволюты a   и  b. Если же кривая задана параметрически x = j(t),  y = y(t), то уравнеия (2) дают параметрические уравнеия эволюты.

Свойства эволюты

Теорема 1.  Нормаль к данной кривой является касательной  к её эволюте.

Доказательство.  Угловой коэффициент касательной к эволюте, определяемой параметрическими уравнениями (1) , равен         В силу уравнений (1)     

  (4)

Получаем соотношение

Но y^! есть угловой коэффициент касательной к кривой в соответствующей точке, поэтому из полученного соотношения следует, что касательная к кривой  и касательная к её эволюте в соответствующей точке взаимно перпендикулярны, то есть нормаль к кривой является касательной к эволюте.

Теорема 2. Если на некотором участке M₁M₂ кривой радиус кривизны изменяется монотонно, то приращение длины дуги эволюты на данном участке кривой равно по абсолютной величине соответствующему приращению радиуса кривизны данной кривой.

Доказательство.

Так как     где ds  - дифференциал длины дуги эволюты;  отсюда

Подставляя сюда выражения  (3) и (4) получим

  (4)

Так как          ,      то      .

Дифференцируя по x обе части этого равенства, получим после соответствующих преобразований

Деля обе части равенства на   ,   получим

Возведём в квадрат полученное равенство:

   (5), и сравнивая равенства (4), (5)  находим

  ,    откуда       

По условию  не меняет знак (R только возрастает или только убывает), следовательно, и  не меняет знак. Пусть для определённости  Следовательно,

Пусть точка M₁ имеет абсциссу x₁, а M₂ – абсциссу x₂.

Применим теорему Коши к функциям  s(x) и R(x) на отрезке       [x_1,  x₂]:

Где x - число, заключённое между x₁ и x₂ .

Введём обозначения (рис. ):      S(x₂) = s₂,  s(x₁)= s₁,  R(x₂)=R₂,  R(x₁)=R₁

Тогда     Но это значит, что

Доказательство при возрастании радиуса кривизны аналогично.

Если кривая задана параметрически, то теоремы 1 и 2 остаются в силе и доказываются аналогично.

Укажем без доказательства приёмы приближённых построений эволюты по эвольвенте  и эвольвенты по эволюте.

1). Каждая нормаль к эвольвенте является касательной к эволюте; эволюта как бы огибает всё семейство нормалей эвольвенты. Поэтому, если постройть достаточно большое число нормалей к эвольвенте L, то огибающая их линия и будет эволютой L^! (рис.11 ).

2). Если гибкую нерастяжимую нить, обтягивающую заданную выпуклую линию L^! развёртывать, сохраняя постоянно натянутой, то каждая её точка опишет эвольвенту L. Поэтому эвольвенту называют ещё развёрткой. Эта операция развёртывания нити равносильна качению без скольжения прямой линии по данной линии L^!; Каждая точка такой прямой описывает эвольвенту L линии L^!. Отсюда следует, что данная эволюта L^!  имеет бесконечное число эвольвент L. В то же время любая данная линия, рассматриваемая как эвольвента, имеет только одну эволюту.

следует, что данная эволюта L^!  имеет бесконечное число эвольвент L. В то же время любая данная линия, рассматриваемая как эвольвента, имеет только одну эволюту.

В качестве заключения рассмотрим применение эвольвенты в технике.

В технике эвольвенту окружности применяют для профилирования зубчатых зацеплений. Пусть боковые поверхности зубьев двух цилиндрических зубчатых колёс с параллельными осями вращения, проходящими через точки O₁ и O₂ (рис. б), очерчены по эвольвентам, а линия контакта зубьев при некотором взаимном положении колёс проходит через точку  К. Тогда в точке  К нормали  КМ₁ и КМ₂  к эвольвентам Э₁ и Э₂ будут лежать на отрезке М₁М₂ общей касательной к окружностям радиусов R₁ и R₂ соответственно (эти окружности по отношению к эвольвентам являются эволютами). При вращении колёс точка  К  перемещается вдоль отрезка М₁М₂ (новое положение эвольвент показано на (рис. б) штриховыми линиями) до тех пор, пока рассматриваемая пара зубьев не выйдет из взаимного зацепления. Однако зубчатую передачу профилируют так, что к этому времени возникает зацепление между другой парой зубьев, и линия их контакта снова перемещается вдоль отрезка  М₁М₂.

Если угловая скорость w₂ ведущего колеса постоянна, то постоянна и скорость w₂R₂ движения точки К по линии, называемой линией зацепления. Но тогда постоянна и угловая скорость w₁ =w₂R₂/R₁ ведомого колеса. Таким образом, эвольвентное зацеплние обеспечивает плавность вращения ведомого колеса и постоянство передаточного отношения w₁/w₂ = R₂/R₁ зубчатой передачи. Кроме того, некоторые изменения межосевого расстояния O₁O₂, вызванные неизбежными погрешностями при установке зубчатых колёс не влияют на передаточное отношение, если эти погрешности, конечно, не столь велики, что зубья колёс вообще не могут войти в зацепление.

Эвольвентное зацепление предложено математиком  Л. Эилером.