Курс лекций по математике (1 семестр)

Линейная алгебра

 

Основные определения

Определение. Матрицей  размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =  

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

cij = aij ± bij 

С = А + В = В + А.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к  умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

 

a (А+В) =aА ± aВ

А(a±b) = aА ± bА

Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.

2А = ,                                 2А + В = .

Операция умножения матриц

         

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

A×B = C;

.

          Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Свойства операции умножения матриц

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

А×Е = Е×А = А

          Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

A×O = O;  O×A = O,

где О – нулевая матрица.

          2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

          3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения  А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

          4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:

a(AB) = (aA)B = A(aB).

          5) Если определено произведение АВ , то определено произведение ВТАТ и выполняется равенство:

(АВ)Т = ВТАТ, где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

          6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB.

          Пример. Найти произведение матриц А =  и В = .

АВ = × = .

ВА = × = 2×1 + 4×4 + 1×3 = 2 + 16 + 3 = 21.

          Пример. Найти произведение матриц А=, В =

АВ = ×= = .

Определители (детерминанты)

          Определение. Определителем квадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы  по формуле:

det A = ,     где

М1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Предыдущая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:

det  A =  

          Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:

detA = ,     i = 1,2,…,n.

          Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.

Определитель единичной матрицы равен 1.

          Для указанной матрицы А число М1к называется дополнительным минором  элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

          Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij  равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

         

          Пример. Вычислить определитель матрицы А =

= -5 + 18 + 6 = 19.

          Пример:. Даны матрицы А = , В = .  Найти det (AB).

1-й способ: det A = 4 – 6 = -2;      det B = 15 – 2 = 13;          

det (AB) = det A ×det B = -26.

2- й способ:  AB = ,      

det (AB) = 7×18 - 8×19 = 126 – 152  = -26.

Миноры

          Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.

          Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным.

          Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.

Алгебраические дополнения

          Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется  его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы.

          В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его дополнительный минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.

          Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i1, … ,is, то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения.

Обратная матрица

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

          Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1.

          Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

          Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.

Исходя из определения произведения матриц, можно записать:

AX = E Þ , i=(1,n), j=(1,n),

eij = 0,                      i ¹ j,

eij = 1,                       i = j .

Таким образом, получаем систему уравнений:

,

Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

          Пример. Дана матрица А = , найти А-1.

               

Таким образом, А-1=.

Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:

,

где Мji- дополнительный минор элемента аji матрицы А.

          Пример. Дана матрица А = , найти А-1.

det A = 4 - 6 = -2.

M11=4;       M12= 3;        M21= 2;        M22=1

   x11= -2;      x12= 1;       x21= 3/2;      x22= -1/2

Таким образом, А-1=.

Пример.  Дана матрица А = , найти А3.

А2 = АА =  = ;            A3 = = .

          Отметим, что матрицы  и  являются перестановочными.

          Пример.    Вычислить определитель .

 = -1

 = -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.

 = = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.

=  = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.

Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.

Базисный минор матрицы

Ранг матрицы

Определение.  В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.

          В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

          Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.

           

          Пример.   Определить ранг матрицы.

~ ~,         RgA = 2.

            Пример: Определить ранг матрицы.

~ ~ ~,    Rg = 2.

Пример. Определить ранг матрицы.

~, Þ Rg = 2.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

          Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

          Метод удобен для решения систем невысокого порядка.

          Метод основан на применении свойств умножения матриц.

          Пусть дана система уравнений: 

Составим матрицы:   A = ;             B = ;           X = .

Систему уравнений можно записать:

A×X = B.

Сделаем следующее преобразование: A-1×A×X = A-1×B,

т.к.   А-1×А = Е, то  Е×Х = А-1×В

Х = А-1×В

          Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

          Пример. Решить систему уравнений:

 

Х = , B = , A =  

Найдем обратную матрицу А-1.

D = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.

M11 =  = -5;                M21 =  = 1;                 M31 =    = -1;

M12 =                M22 =                     M32 =

M13 =                  M23 =                     M33 =  

                     A-1 = ;

Cделаем проверку:

A×A-1 = =E.

Находим матрицу Х.

Х = = А-1В = ×= .

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.

         

Метод Крамера

          Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

          Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.

det A ¹ 0;

Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

 

Теорема (Правило Крамера): Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

xi = Di/D, где

D = det A,  а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.

Di =

          Пример. 

A = ;   D1= ;  D2= ;   D3= ;

x1 = D1/detA;       x2 = D2/detA;        x3 = D3/detA;

          Пример.   Найти решение системы уравнений:

 

D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

D1 =  = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

x1 = D1/D = 1;

D2 =  = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

x2 = D2/D = 2;

D3 =  = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

x3 = D3/D = 3.

          Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше матричным методом.

 

Решение произвольных систем линейных уравнений

 

          Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.

          Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

                                                    ,                                    

где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

          Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

          Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

          Определение. Для системы линейных уравнений матрица

А =  называется матрицей системы, а матрица

А*=  называется расширенной матрицей системы

          Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.

Элементарные преобразования систем

          К элементарным преобразованиям относятся:

          1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

          2)Перестановка уравнений местами.

          3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

Теорема Кронекера – Капелли

(условие совместности системы)

          Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA*.

          Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:

x1 + x2 + … + xn

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:

A =

~ .                               RgA = 2.

A* =           RgA* = 3.

          Система несовместна.

          Пример. Определить совместность системы линейных уравнений.

                     А = ;  = 2 + 12 = 14 ¹ 0;    RgA = 2;

A* =

        RgA* = 2.

          Система совместна. Решения: x1 = 1;  x2 =1/2.

Метод Гаусса

          В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

          Рассмотрим систему линейных уравнений:

          Разделим обе части 1–го  уравнения на a11 ¹ 0, затем:

1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения

                                     и т.д.

Получим:

,   где d1j = a1j/a11,  j = 2, 3, …, n+1.

 

dij = aij – ai1d1j         i = 2, 3, … , n;       j = 2, 3, … , n+1.

          Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

          Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

А* =

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем:  x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.

          Пример. Решить систему методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем:  z = 3; y = 2; x = 1.

          Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.

Элементы векторной алгебры

          Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

          Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

          Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

          Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

          Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

          Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

          Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

          Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

          Суммой векторов является вектор -

          Произведение - , при этом  коллинеарен .

Вектор  сонаправлен с вектором ( ­­), если a > 0.

Вектор  противоположно направлен с вектором (­¯), если a < 0.

Свойства векторов

          1)  + = +  - коммутативность.

          2)  + (+ ) = ( + )+

          3)  +  =  

          4)  +(-1)  =

          5) (a×b) = a(b) – ассоциативность

          6) (a+b) = a + b - дистрибутивность

          7) a( + ) = a + a

          8) 1× =  

Определение.

1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.

3)Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.

          Определение. Если   - базис в пространстве и  , то числа a, b и g - называются компонентами или координатами вектора  в этом базисе.

В связи с этим можно записать следующие свойства:

-         равные векторы имеют одинаковые координаты,

-         при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число,

= .

-         при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты.

;            ;

 + = .

 

Линейная зависимость векторов

          Определение. Векторы   называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно ai , т.е. .

Если же только при ai = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.

          Свойство 1. Если среди векторов  есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

          Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.

          Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

          Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.

          Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.

          Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.

Система координат

          Для определения положения произвольной точки могут использоваться различные системы координат. Положение произвольной точки в какой- либо системе координат должно однозначно определяться. Понятие системы координат представляет собой совокупность точки начала отсчета (начала координат) и некоторого базиса. Как на плоскости, так и в пространстве возможно задание самых разнообразных систем координат. Выбор системы координат зависит от характера поставленной геометрической, физической или технической задачи. Рассмотрим некоторые наиболее часто применяемые на практике системы координат.

Декартова система координат

          Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М.

Вектор  назовем радиус- вектором точки М. Если в пространстве задать некоторый базис, то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел – компоненты ее радиус- вектора.

          Определение. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат.

1-я ось – ось абсцисс

2-я ось – ось ординат

3-я ось – ось апликат

          Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.

Если заданы точки А(x1, y1, z1),   B(x2, y2, z2), то = (x2 – x1, y2 –  y1, z2 – z1).

          Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

          Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.

          Пример. Даны векторы(1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы ,  и  образуют базис и найти координаты вектора  в этом базисе.

          Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если  уравнения, входящие в систему:

           линейно независимы.

Тогда .

Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.

   

Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.

D1 =

;

D2 =

D3 =

Итого, координаты вектора в базисе , , :    { -1/4, 7/4, 5/2}.

          Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то  .

          Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении l/m, считая от А, то координаты этой точки определяются как:

          В частном случае координаты середины отрезка находятся как:

x =  (x1 + x2)/2;         y = (y1 + y2)/2;            z = (z1 + z2)/2.

Линейные операции над векторами в координатах

          Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат

 тогда линейные операции над ними в координатах имеют вид:

Скалярное произведение векторов

          Определение. Скалярным произведением векторов  и  называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

× = ïïïïcosj

          Свойства скалярного произведения:

1)     × = ïï2;

2)     × = 0, если ^ или = 0 или  = 0.

3)     × = ×;

4)     ×(+) = ×+ ×;

5)     (m)× = ×(m) = m(×); m=const

Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то

× = xa xb +  ya yb + za zb;

 

Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:

.

         

Пример.  Найти (5 + 3)(2 - ), если

10×- 5×+ 6×- 3× = 10,

 т.к. .

         

          Пример. Найти угол между векторами и , если

.

Т.е.  = (1, 2, 3),     = (6, 4, -2)

×= 6 + 8 – 6 = 8:

.

cosj =

          Пример.  Найти скалярное произведение (3 - 2)×(5 - 6), если

15×- 18×- 10×+ 12× = 15

+ 12×36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.

          Пример. Найти угол между векторами и , если

.

Т.е.  = (3, 4, 5),     = (4, 5, -3)

×= 12 + 20 - 15 =17 :

.

cosj =

          Пример. При каком m векторы  и  перпендикулярны.

= (m, 1, 0);      = (3, -3, -4)

.

          Пример. Найти скалярное произведение векторов  и , если

()() =

= 10 +

+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.

Векторное произведение векторов

          Определение. Векторным произведением векторов и  называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) , где j - угол между векторами и ,

2) вектор ортогонален векторам и

3) , и  образуют правую тройку векторов.

Обозначается:  или.

 

                                                    

                                                            

                                                                j

                                      

                                                             

Свойства векторного произведения векторов:

1) ;

2) , если ïï или = 0 или = 0;

3) (m)´= ´(m) = m(´);

4) ´(+ ) = ´+ ´ ;

5) Если заданы векторы (xa, ya, za) и (xb, yb, zb) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то

´=

6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

          Пример.  Найти векторное произведение векторов  и

.

 = (2, 5, 1);    = (1, 2, -3)

.

          Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2),      В(4, 0, 3),С(0, 1, 0).

         

                        (ед2).

          Пример. Доказать, что векторы , и  компланарны.

          , т.к. векторы линейно зависимы, то они компланарны.

          Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

(ед2).

Смешанное произведение векторов

          Определение. Смешанным произведением векторов ,  и  называется число, равное скалярному произведению вектора  на вектор, равный векторному произведению векторов  и .

          Обозначается или (, ,).

Смешанное произведение   по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах ,  и .

                            

                                     

                                               

                                               

                            

Свойства смешанного произведения:

          1)Смешанное произведение равно нулю, если:

                   а) хоть один из векторов равен нулю;

                   б) два из векторов коллинеарны;

                   в) векторы компланарны.

          2)

          3)

          4)

          5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами ,  и , равен

          6)Если , , то

          Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.

Найдем координаты векторов:

Найдем смешанное произведение полученных векторов:

,

Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

          Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3),          D(3; 7; 2).

Найдем координаты векторов:

Объем пирамиды

Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.

Sосн = (ед2)

Т.к. V = ;     (ед)

Уравнение поверхности в пространстве

          Определение. Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.

Общее уравнение плоскости

          Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:

Ax + By + Cz + D = 0,

где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.

          Возможны следующие частные случаи:

А = 0 – плоскость параллельна оси Ох

В = 0 – плоскость параллельна оси Оу

С = 0 – плоскость параллельна оси Оz

D = 0 – плоскость проходит через начало координат

А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу

А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz

В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz

А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох

В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу

С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz

А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу

А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz

В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

          Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

          Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой системе координат.

          Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М1, М2, М3 необходимо, чтобы векторы  были компланарны.

() = 0

          Таким образом,              

Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости

          Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор .

Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору .

          Векторы и вектор  должны быть компланарны, т.е.

() = 0

          Уравнение плоскости:

 

 

 

Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам

 коллинеарным плоскости

Пусть заданы два вектора  и , коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы  должны быть компланарны.

          Уравнение плоскости:

 

 

Уравнение плоскости по точке и вектору нормали

          Теорема. Если в пространстве задана точка М0(х0, у0, z0), то уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали   (A, B, C) имеет вид: 

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

Уравнение плоскости в отрезках

 

          Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на (-D)

,

заменив , получим уравнение плоскости в отрезках:

          Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.

Уравнение плоскости в векторной форме

 где

- радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),

 - единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат.

a, b и g - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z.

p – длина этого перпендикуляра.

          В координатах это уравнение имеет вид:

xcosa + ycosb + zcosg - p = 0.

Расстояние от точки до плоскости

          Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z0)  до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:

          Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

         

Таким образом, A = 4/13;  B = -3/13;   C = 12/13, воспользуемся формулой:

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

          Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; -1) и

Q(1; -1; 3)  перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.

          Вектор нормали к плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0 параллелен искомой плоскости.

          Получаем:

          Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и  В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.

          Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости (A, B, C). Вектор (1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали (1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то

          Таким образом, вектор нормали (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 11×2 + 7×1 - 2×4 + D = 0;    D = -21.

          Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.

          Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

          Находим координаты вектора нормали = (4,  -3, 12). Искомое уравнение плоскости имеет вид: 4x – 3y + 12z + D = 0. Для нахождения коэффициента D подставим в уравнение координаты точки Р:

16 + 9 + 144 + D = 0

D = -169

          Итого, получаем искомое уравнение: 4x – 3y + 12z – 169 = 0

Пример. Даны координаты вершин пирамиды А1(1; 0; 3), A2(2; -1; 3), A3(2; 1; 1),

A4(1; 2; 5).

1)     Найти длину ребра А1А2.

2)     Найти угол между ребрами А1А2 и А1А4.

         

3)     Найти угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3.

Сначала найдем вектор нормали к грани А1А2А3  как векторное произведение векторов и.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

          Найдем угол между вектором нормали и вектором .

-4 – 4 = -8.

Искомый угол g между вектором и плоскостью будет равен g = 900 - b.

4)     Найти площадь грани А1А2А3.

5)     Найти объем пирамиды.

 (ед3).

6)     Найти уравнение плоскости А1А2А3.

Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Полярная система координат

          Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью.

          Суть задания какой- либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус– вектором этой точки. Этот угол j называется полярным углом.

 

                                                                             М

                                                      r

                                                                                      r =

                                           j

                                0

                                                                                      l

          Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох.

          Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями:

x = rcosj;       y = rsinj;      x2 + y2 = r2

Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид:

. Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую.

          Воспользуемся связью декартовой прямоугольной и полярной системы координат: ;

          Получили каноническое уравнение эллипса. Из уравнения видно, что центр эллипса сдвинут вдоль оси Ох на 1/2 вправо, большая полуось a равна 3/2, меньшая полуось b равна , половина расстояния между фокусами равно с = = 1/2. Эксцентриситет равен е = с/a = 1/3. Фокусы F1(0; 0) и F2(1; 0).

                                                y

                                         

                                                F1                   F2

                             -1                0         ½         1                       2                           x

                                           -

          Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид:

. Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую.

          Подставим в заданное уравнение формулы, связывающие полярную и декартову прямоугольную системы координат.

          Получили каноническое уравнение гиперболы. Из уравнения видно, что гипербола сдвинута вдоль оси Ох на 5 влево, большая полуось а равна 4, меньшая полуось b равна 3, откуда получаем c2 = a2 + b2 ; c = 5;   e = c/a = 5/4.

          Фокусы F1(-10; 0), F2(0; 0).

          Построим график этой гиперболы.

 

                                                                                  y

                                                                             3

                           F1       -9                -5                   -1     0   F2                                     x

                                                                             -3

Линейное (векторное) пространство

Как известно, линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число) определены по-своему для каждого множества (числа, многочлены, направленные отрезки, матрицы). Сами операции различны, но их свойства одинаковы.

          Эта общность свойств позволяет обобщить понятие линейных операций для любых множеств вне зависимости от того, что это за множества (числа, матрицы и т.д.).

          Для того, чтобы дать определение линейного (векторного) пространства рассмотрим некоторое множество L действительных элементов, для которых определены операции сложения и умножения на число.

 Эти операции обладают свойствами:

                 1) Коммутативность + = +

            2) Ассоциативность  (+) + = + (+)

3)Существует такой нулевой вектор , что +=для "Î L

4) Для "Î L существует вектор  = -, такой, что +=

          5)1× =

          6) a(b) = (ab)

          7) Распределительный закон (a + b) = a+ b

          8) a(+) = a+ a

          Определение: Множество L, элементы которого обладают перечисленными выше свойствами, называется линейным (векторным) пространством, а его элементы называются векторами.

Линейные преобразования

          Определение: Будем считать, что в линейном пространстве L задано некоторое линейное преобразование А, если любому элементу Î L по некоторому правилу ставится в соответствие элемент АÎ L.

          Определение: Преобразование А  называется линейным, если для любых векторов Î L и Î L и любого a верно:

A(+) = A+A

A(a) = aA

          Пример. Является ли А линейным преобразованием. А=+;  ¹ 0.

Запишем преобразование А для какого- либо элемента .  А = +

Проверим, выполняется ли правило операции сложения для этого преобразования А(+) = ++; A() + A() = +++, что верно только при = 0, т.е. данное преобразование А нелинейное.

Матрицы линейных преобразований

          Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом ,,…, задано линейное преобразование А. Тогда векторы А,А,…,А- также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:

A= a11+ a21+…+ an1

A= a12+ a22+…+ an2

……………………………….

A= an1+ an2+…+ ann

Тогда матрица А =  называется матрицей линейного преобразования А.

          Если в пространстве L взять вектор = x1+ x2+…+ xn, то AÎ L.

, где

……………………………..

          Эти равенства можно назвать линейным преобразованием в базисе ,,…,.

В матричном виде:

,             А×,       

          Пример. Найти матрицу линейного преобразования, заданного в виде:

x¢ = x + y

y¢ = y + z

z¢ = z + x

x¢ = 1×x + 1×y + 0×z

y¢ = 0×x + 1×y + 1×z

z¢ = 1×x + 0×y + 1×z

A =

На практике действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами.

Определение: Если вектор переводится в вектор  линейным преобразованием с матрицей А, а вектор  в вектор  линейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему вектор  в вектор (оно называется произведением составляющих преобразований).

С = В×А

          Пример. Задано линейное преобразование А, переводящее вектор в вектор  и линейное преобразование В, переводящее вектор  в вектор . Найти матрицу линейного преобразования, переводящего вектор  в вектор .

С = В×А

Т.е.

          Примечание: Если ïАï= 0, то преобразование вырожденное, т.е., например, плоскость преобразуется не в целую плоскость, а в прямую.

Собственные значения и собственные векторы

линейного преобразования

         

          Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство:

A.

При этом число l называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе ,,…, имеет матрицу А = , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни l1, l2, … ,ln уравнения:

          Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть- характеристическим многочленом линейного преобразования А.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

Запишем линейное преобразование в виде:

Составим характеристическое уравнение:

l2 -  8l + 7 = 0;

Корни характеристического уравнения: l1 = 7;  l2 = 1;

          Для корня l1 = 7:

Из системы получается зависимость: x1 – 2x2 = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; 0,5t) где t- параметр.

          Для корня l2 = 1:

Из системы получается зависимость: x1 + x2 = 0. Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; -t) где t- параметр.

          Полученные собственные векторы можно записать в виде:

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .

          Составим характеристическое уравнение:

(1 - l)((5 - l)(1 - l) - 1) - (1 - l - 3) + 3(1 - 15 + 3l) = 0

(1 - l)(5 - 5l - l + l2 - 1) + 2 + l - 42 + 9l = 0

(1 - l)(4 - 6l + l2) + 10l - 40 = 0

4 - 6l + l2 - 4l + 6l2 - l3 + 10l - 40 = 0

-l3 + 7l2 – 36 = 0

-l3 + 9l2 - 2l2 – 36 = 0

-l2(l + 2) + 9(l2 – 4) = 0

(l + 2)(-l2 + 9l - 18) = 0

Собственные значения:     l1 = -2;  l2 = 3;   l3 = 6;

1) Для l1 = -2:   

Если принять х1 = 1, то Þ   х2 = 0;    x3 = -1;

Собственные векторы: 

2) Для l2 = 3:   

Если принять х1 = 1, то Þ   х2 = -1;    x3 = 1;

Собственные векторы: 

3) Для l3 = 6:   

Если принять х1 = 1, то Þ   х2 = 2;    x3 = 1;

Собственные векторы: 

Введение в математический анализ

 

Предел функции в точке

                                             y                                f(x)

                                     

                                             A + e

                                                  A

                                              A - e

                                                0                      a - D  a  a + D      x

          Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

          Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что

0 < ïx - aï < D

верно неравенство                                ïf(x) - Aï< e.

          То же определение может быть записано в другом виде:

Если а - D < x < a + D,  x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

Запись предела функции в точке:

Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности

          Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e>0 существует такое число М>0, что для всех х, ïхï>M выполняется неравенство

При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.

Записывают:         

                                     

          Графически можно представить:                                

 

               y                                                            y

               A                                                            A

               0                                                            0

                                                      x                                                                x

               y                                                            y

 

               A                                                            A

               0                                                            0

                                                    x                                                             x

Аналогично можно определить пределы  для любого х>M и

 для любого х<M.

Основные теоремы о пределах

          Теорема 1. , где С = const.

          Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.

          Теорема 2.

Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.

          Теорема 3.

          Следствие.

          Теорема 4.     при

          Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

          Теорема 6. Если g(x) £ f(x) £ u(x) вблизи точки х = а и , то и .

          Пример. Найти предел

Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х ® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

          Пример. Найти предел .

Так как 1 – cosx =  при х®0, то .

          Пример. Найти предел

          Если a и b - бесконечно малые при х®а, причем b - бесконечно малая более высокого порядка, чем a, то g = a + b - бесконечно малая, эквивалентная a. Это можно доказать следующим равенством .

          Тогда говорят, что a - главная часть бесконечно малой функции g.

          Пример.  Функция х2 +х – бесконечно малая при х®0, х – главная часть этой функции. Чтобы показать это, запишем a = х2, b = х, тогда

.

 

Некоторые замечательные пределы

, где P(x) = a0xn + a1xn-1 +…+an, 

Q(x) = b0xm + b1xm-1 +…+bm - многочлены.

Итого:

Первый замечательный предел      

Второй замечательный предел        

          Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

 Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

          Пример. Найти предел.

Пример. Найти предел.

          Пример. Найти предел.

          Пример. Найти предел.

 

          Пример. Найти предел.

          Пример. Найти предел   .

          Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.

x2 – 6x + 8 = 0;                                    x2 – 8x + 12 = 0;

D = 36 – 32 = 4;                                 D = 64 – 48 = 16;

x1 = (6 + 2)/2 = 4;                               x1 = (8 + 4)/2 = 6;

x2 = (6 – 2)/2 = 2 ;                               x2 = (8 – 4)/2 = 2;

 

Тогда

          Пример. Найти предел.

  домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: =

=.

         

Пример. Найти предел.

          Пример. Найти предел .

          Разложим числитель и знаменатель на множители.

x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)

x3 – 6x2 + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3), т.к.

x3 – 6x2 + 11x – 6    x - 1

                                                 x3 – x2                      x2 – 5x + 6

                                                    - 5x2 + 11x

                                                    - 5x2 + 5x

                                                              6x - 6

                                                              6x - 6                                                                                                                         0

x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)

Тогда

          Пример. Найти предел.

 - не определен, т.к. при стремлении х к 2 имеют место различные односторонние пределы -∞ и +∞.

Комплексные числа

          Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

          При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).

          Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

          Определение. Числа  и называются комплексно – сопряженными.

          Определение. Два комплексных числа  и  называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

          Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

          Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.

          Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

 

                                             у

                                                                   A(a, b)

                                                       r                   b

                                                          j

                                            0           a                                x

          Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.

          С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

 

 

 

Тригонометрическая форма числа

          Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:

          Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

          При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона j - аргументом комплексного числа.

.

          Из геометрических соображений видно:

Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.

Действия с комплексными числами

          Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

          1) Сложение и вычитание

          2) Умножение

В тригонометрической форме:

,

С случае комплексно – сопряженных чисел:

          3) Деление

В тригонометрической форме:

          4) Возведение в степень

Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:

,

где n – целое положительное число.

          Это выражение называется формулой Муавра.

(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)

          Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.

          Пример. Найти формулы sin2j и cos2j.

Рассмотрим некоторое комплексное число

Тогда с одной стороны .

По формуле Муавра:

Приравнивая, получим

Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то

Получили известные формулы двойного угла.

          5) Извлечение корня из комплексного числа

Возводя в степень, получим:

Отсюда:

          Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

          Пример. Даны два комплексных числа . Требуется а) найти значение выражения в алгебраической форме, б) для числа  найти тригонометрическую форму, найти z20, найти корни уравнения

a)     Очевидно, справедливо следующее преобразование:

Далее производим деление двух комплексных чисел:

Получаем значение заданного выражения: 16(-i)4 = 16i4 =16.

б) Число  представим в виде , где

Тогда .

Для нахождения  воспльзуемся формулой Муавра.

Если , то

 

Дифференциальное исчисление функции

одной переменной

 

Производная функции, ее геометрический и физический смысл

 

          Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

                                           у

                                                                             f(x)

                                     

                                   f(x0 +Dx)                                      P

                                                Df

                                      f(x0)               M

                                     

                                          a                b      Dx  

                                             0                     x0         x0 + Dx                   x

          Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда  тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

,

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

          Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

          Уравнение касательной к кривой:  

          Уравнение нормали к кривой: .

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

          Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

          Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

 

Основные правила дифференцирования

          Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3), если v ¹ 0

          Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

Производные основных элементарных функций

                                 1)С¢  = 0;                             9)

                                 2)(xm)¢ = mxm-1;                    10)

                                 3)                       11)

                                 4)                       12)

                                 5)                                     13)

                                  6)                    14) 

                                  7)                         15)

                                  8)                 16) 

 

Производная сложной функции

          Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

 

          Тогда      

 

 

 

Логарифмическое дифференцирование

Рассмотрим функцию  .

Тогда (lnïxï)¢= , т.к. .

          Учитывая полученный результат, можно записать .

Отношение  называется логарифмической производной функции f(x).

          Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

Производная показательно- степенной функции

          Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.

Найдем производную функции y = uv. Логарифмируя, получим:

lny = vlnu

          Пример. Найти производную функции .

По полученной выше формуле получаем:

Производные этих функций:

Окончательно:

 

 

Производная обратных функций

          Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.

          Для решения этой задачи дифференцируем функцию  x = g(y) по х:

т.к. g¢(y) ¹ 0                                       

т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.

          Пример. Найти формулу для производной функции arctg.

          Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:

          Известно, что  

По приведенной выше формуле получаем:

Т.к.  то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:

          Таким образом получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных.

          Пример.  Найти производную функции.

Сначала преобразуем данную функцию:

          Пример.  Найти производную функции .

          Пример. Найти производную функции

          Пример. Найти производную функции

          Пример. Найти производную функции

 

 

Производные и дифференциалы высших порядков

          Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную

          Если найти производную функции f¢(x), получим вторую производную функции f(x).

т.е. y¢¢ = (y¢)¢ или .

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.

.

Общие правила нахождения высших производных

          Если функции u = f(x) и v = g(x) дифференцируемы, то

1)     (Сu)(n)  = Cu(n);

2)     (u ± v)(n) = u(n) ± v(n);

3)

.

          Это выражение называется формулой Лейбница.

Также по формуле dny = f(n)(x)dxn может быть найден дифференциал n- го порядка.

Исследование функций с помощью производной

 

Возрастание и убывание функций

          Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.

                              2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

          Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f¢(x)£0 на этом отрезке. Если f¢(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].

          Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

          Эту теорему можно проиллюстрировать геометрически:

             y                                                               y

                     j            j                                                                          j             j

                                                    x                                                             x

 

 

Точки экстремума

          Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 +Dx) > f(x2) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным).

          Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

          Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

          Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то  производная функции обращается в нуль в этой точке.

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция  у = х3, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

Пример: f(x) = ôxô                                               Пример: f(x) =   

                         y                                                                             y

                                                                                                                     x

                                                      x

В точке х = 0 функция имеет минимум, но не имеет производной.

В точке х = 0 функция не имеет            ни максимума, ни минимума, ни производной.

          Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

          Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

          Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х1).

          Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

1)     Найти критические точки функции.

2)     Найти значения функции в критических точках.

3)     Найти значения функции на концах отрезка.

4)     Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

Исследование функции на экстремум с помощью

производных высших порядков

          Пусть в точке х = х1 f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х1.

          Теорема. Если f¢(x1) = 0, то функция f(x) в точке х = х1 имеет максимум, если f¢¢(x1)<0 и минимум, если f¢¢(x1)>0.

 

Выпуклость и вогнутость кривой

Точки перегиба

          Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

                                                у

                                                                                                               x

          На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.

          Теорема 1.  Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

          Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

          Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

          Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если  вторая производная f¢¢(a) = 0 или f¢¢(a) не существует и при переходе через точку х = а  f¢¢(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

 

Асимптоты

          При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

          Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

          Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

          Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.

         

          Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.

 

 

Вертикальные асимптоты

          Из определения асимптоты следует, что если или  или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).

          Например, для функции  прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты

          Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.

                                                                  M

 

                                                          j

                                                               N        

                                                        j           P

                                                                  Q

          Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим j. Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.

          Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ =  - ордината точки N на асимптоте.

          По условию: ,     ÐNMP = j,   .

Угол j - постоянный и не равный 900, тогда

Тогда   .

Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.

          В полученном выражении выносим за скобки х:

Т.к. х®¥, то , т.к.  b = const, то .

Тогда ,   следовательно,  

.

Т.к. , то  , следовательно,

          Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.

          Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

1) Вертикальные асимптоты: y®+¥    x®0-0:      y®-¥     x®0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.

2) Наклонные асимптоты:

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

Построим график функции:

          Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.

Найдем наклонные асимптоты:

y = 0 – горизонтальная асимптота.

         

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

Прямая  х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.

Найдем наклонные асимптоты.

Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.

Схема исследования функций

          Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1)     Область существования функции.

Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

2)     Точки разрыва. (Если они имеются).

3)     Интервалы возрастания и убывания.

4)     Точки максимума и минимума.

5)     Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

6)     Области выпуклости и вогнутости.

7)     Точки перегиба.(Если они имеются).

8)     Асимптоты.(Если они имеются).

9)     Построение графика.

Применение этой схемы рассмотрим на примере.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые  х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки  х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = -; x = ;  x = -1;  x = 1.

Найдем вторую производную функции

.

          Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-¥ < x < -,      y¢¢ < 0,  кривая выпуклая

- < x < -1,       y¢¢ < 0,  кривая выпуклая

-1 < x < 0,            y¢¢ > 0,  кривая вогнутая

 0 < x < 1,             y¢¢ < 0,  кривая выпуклая

 1 < x < ,         y¢¢ > 0,   кривая вогнутая

  < x < ¥,        y¢¢ > 0,   кривая вогнутая

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

-¥ < x < -,      y¢ > 0, функция возрастает

- < x < -1,       y¢ < 0,  функция убывает

-1 < x < 0,            y¢ < 0,  функция убывает

 0 < x < 1,             y¢ < 0,  функция убывает

 1 < x < ,         y¢ < 0,   функция убывает

 < x < ¥,        y¢¢ > 0,   функция возрастает

          Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х =  является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно -3/2 и 3/2.

          Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

          Итого, уравнение наклонной асимптоты –     y = x.

Построим график функции:

Векторная функция скалярного аргумента

                                                           z

                                                          A(x, y, z)

                                                                    

                                                                  

                                                   

                                                                                                y

                          х

          Пусть некоторая кривая в пространстве задана параметрически:

x = j(t);     y = y(t);        z = f(t);

Радиус- вектор произвольной точки кривой: .

          Таким образом, радиус- вектор точки кривой может рассматриваться как некоторая векторная функция скалярного аргумента t. При изменении параметра t изменяется величина и направление вектора .

          Запишем соотношения для некоторой точки t0:

Тогда вектор  - предел функции (t).   .

Очевидно, что

, тогда

.

          Чтобы найти производную векторной функции скалярного аргумента, рассмотрим приращение радиус- вектора при некотором приращении параметра t.

 

                                                                               

                                                           

                                                                              

                                                          

;                    ;

или, если существуют производные j¢(t), y¢(t), f¢(t), то

          Это выражение – вектор производная вектора .

Если имеется уравнение кривой:

x = j(t);     y = y(t);        z = f(t);

то в произвольной точке кривой А(xА, yА, zА) с радиус- вектором

можно провести прямую с уравнением

Т.к. производная - вектор, направленный по касательной к кривой, то

.

Уравнение нормальной плоскости к кривой будет иметь вид:

         

Пример. Составить уравнения касательной и нормальной плоскости к линии, заданной уравнением    в точке t = p/2.

          Уравнения, описывающие кривую, по осям координат имеют вид:

x(t) = cost;       y(t) = sint;      z(t) = ;

Находим значения функций и их производных в заданной точке:

x¢(t) = -sint;                y¢(t) = cost;           

  x¢(p/2) = -1;               y¢(p/2) = 0;            z¢(p/2)=

      x(p/2) = 0;               y(p/2) = 1;            z(p/2)= p/2

 

-         это уравнение касательной.

Нормальная плоскость имеет уравнение:

Параметрическое задание функции

          Исследование и построение графика кривой, которая задана системой уравнений вида:

,

производится в общем то аналогично исследованию функции вида y = f(x).

          Находим производные:

Теперь можно найти производную . Далее находятся значения параметра t, при которых хотя бы одна из производных j¢(t) или y¢(t) равна нулю или не существует. Такие значения параметра t называются критическими.

          Для каждого интервала (t1, t2), (t2, t3), … , (tk-1, tk) находим соответствующий интервал (x1, x2), (x2, x3), … , (xk-1, xk)  и определяем знак производной  на каждом из полученных интервалов, тем самым определяя промежутки возрастания и убывания функции.

          Далее находим вторую производную функции на каждом из интервалов и, определяя ее знак, находим направление выпуклости кривой в каждой точке.

          Для нахождения асимптот находим такие значения t, при приближении к которым или х или у стремится к бесконечности, и такие значения t, при приближении к которым и х и у стремится к бесконечности.

          В остальном исследование производится аналогичным также, как и исследование функции, заданной непосредственно.

          На практике исследование параметрически заданных функций осуществляется, например, при нахождении траектории движущегося объекта, где роль параметра t выполняет время.

          Ниже рассмотрим подробнее некоторые широко известные типы параметрически заданных кривых.

 

Производная функции, заданной параметрически

          Пусть

Предположим, что эти функции имеют производные и функция  x = j(t) имеет обратную функцию t = Ф(х).

Тогда функция у = y(t) может быть рассмотрена как сложная функция y = y[Ф(х)].

т.к. Ф(х) – обратная функция, то

Окончательно получаем:

          Таким образом, можно находить производную функции, не находя непосредственной зависимости у от х.

          Пример. Найти производную функции

Способ 1:   Выразим одну переменную через другую , тогда

Способ 2: Применим параметрическое задание данной кривой: .

x2 = a2cos2t;       

 

          Пример: Методами дифференциального исчисления исследовать функцию  и построить ее график.

1. Областью определения данной функции являются все действительные числа (-¥; ¥).

2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;

                                                                   с осью Ох: y = 0; x = 1;

4. Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;

Итого: у = -х – наклонная асимптота.

5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума.

. Видно, что у¢< 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция убывает на всей области определения и не имеет экстремумов. В точке х = 0 первая производная функции равна нулю, однако в этой точке убывание не сменяется на возрастание, следовательно, в точке х = 0 функция скорее всего имеет перегиб. Для нахождения точек перегиба, находим вторую производную функции.

   y¢¢ = 0 при х =0 и y¢¢ = ¥ при х = 1.

Точки (0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к. y¢¢(1-h) < 0; y¢¢(1+h) >0; y¢¢(-h) > 0; y¢¢(h) < 0 для любого h > 0.

6. Построим график функции.

          Пример: Исследовать функцию  и построить ее график.

1. Областью определения функции являются все значения х, кроме х = 0.

2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x =

с осью Оу: x = 0; y – не существует.

4. Точка х = 0 является точкой разрыва , следовательно, прямая х = 0 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b.

Наклонная асимптота у = х.

5. Находим точки экстремума функции.

;   y¢ = 0 при х = 2,  у¢ = ¥ при х = 0.

y¢ > 0 при х Î (-¥, 0) – функция возрастает, 

y¢ < 0 при х Î (0, 2) – функция убывает,

у¢ > 0 при х Î (2,  ¥) – функция возрастает.

Таким образом, точка (2, 3) является точкой минимума.

Для определения характера выпуклости/вогнутости функции находим вторую производную.

 > 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция, вогнутая на всей области определения.

6. Построим график функции.

          Пример: Исследовать функцию  и построить ее график.

1.     Областью определения данной функции является промежуток х Î (-¥, ¥).

2.     В смысле четности и нечетности функция является функцией общего вида.

3.     Точки пересечения с осями координат: с осью Оу: x = 0, y = 0;

 с осью Ох: y = 0, x = 0, x = 1.

4.     Асимптоты кривой.

Вертикальных асимптот нет.

Попробуем найти наклонные асимптоты в виде y = kx + b.

 - наклонных асимптот не существует.

5.     Находим точки экстремума.

Для нахождения критических точек следует решить уравнение   4х3 – 9х2 +6х –1  = 0.

Для этого разложим данный многочлен третьей степени на множители.

Подбором можно определить, что одним из корней этого уравнения является число

х = 1. Тогда:

                                                     4x3 – 9x2 + 6x – 1   x - 1

                                         `        4x3 – 4x2                4x2 – 5x + 1

                                                           - 5x2 + 6x

                                                     `    - 5x2 + 5x

                                                                      x - 1

                                                            `        x - 1

                                                                        0

Тогда можно записать (х – 1)(4х2 – 5х + 1) = 0. Окончательно получаем две критические точки: x = 1 и x = ¼.

Примечание. Операции деления многочленов можно было избежать, если при нахождении производной воспользоваться формулой производной произведения:

Найдем вторую производную функции: 12x2 – 18x + 6. Приравнивая к нулю, находим:

x = 1, x = ½.

Систематизируем полученную информацию в таблице:

     (-¥ ; ¼)

1/4

      ( ¼ ; ½) 

1/2

( ½  ; 1 )

  1

  (1 ; ¥)

f¢¢(x) 

          +

 +

           +

  0

        -

  0

       +

f¢(x)

           -

 0

           +

  +

       +

  0

       +

f(x)

убывает

вып. вниз

min

возрастает

вып.вниз

перегиб

возрастает

вып.вверх

перегиб

возрастает

вып. вниз

6.     Построим график функции.

Функции нескольких переменных

          При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.

          Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.

z = f(x, y)

          Определение: Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной, а если более одного, то – многозначной.

          Определение: Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.

          Определение: Окрестностью точки М0(х0, у0) радиуса r называется совокупность всех точек  (х, у), которые удовлетворяют условию .

          Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М0(х0, у0), если для каждого числа e > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие

также верно и условие .

Записывают:

          Определение: Пусть точка М0(х0, у0) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М0(х0, у0), если

                                                            

                                                                                                            (1)

причем точка М(х, у) стремится к точке М0(х0, у0) произвольным образом.

          Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:

1)     Функция z = f(x, y) не определена в точке М0(х0, у0).

2)     Не существует предел .

3)     Этот предел существует, но он не равен f( x0, y0).

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и

 ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка 

N(x0, y0, …), такая, что для остальных точек верно неравенство

f(x0, y0, …) ³ f(x, y, …)

а также точка N1(x01, y01, …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство

f(x01, y01, …) £ f(x, y, …)

тогда f(x0, y0, …) = M – наибольшее значение функции, а f(x01, y01, …) = m – наименьшее значение функции f(x, y, …) в области D.

          Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.

          Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки m Î [m, M] существует точка

N0(x0, y0, …) такая, что f(x0, y0, …) = m.

          Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по крайней мере один раз обращается в ноль.

          Свойство. Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена в этой области, если существует такое число К, что для всех точек области верно неравенство .

          Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для любого положительного числа e существует такое число D > 0, что для любых двух точек (х1, y1) и (х2, у2) области, находящихся на расстоянии, меньшем D, выполнено неравенство

            

Производные и дифференциалы функций

нескольких переменных

          Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина Dxz = f( x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

Можно записать

.

          Тогда  называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Обозначение:

          Аналогично определяется частная производная функции по у.

          Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.

Полное приращение и полный дифференциал

          Определение. Для функции f(x, y) выражение Dz = f( x + Dx, y + Dy) – f(x, y) называется полным приращением.

          Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то

      

Применим теорему Лагранжа к выражениям, стоящим в квадратных скобках.

здесь

          Тогда получаем

Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства:

          Определение. Выражение  называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где a1 и a2 – бесконечно малые функции при Dх ® 0 и Dу ® 0 соответственно.

          Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке (х, у).

          Для функции произвольного числа переменных:

          Пример. Найти полный дифференциал функции .

          Пример. Найти полный дифференциал функции

Геометрический смысл полного дифференциала

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

                             нормаль

                                                   N

                                                          j           N0

                                     

                   касательная плоскость

          Пусть N и N0 – точки данной поверхности. Проведем прямую NN0. Плоскость, которая проходит через точку N0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN0.

          Определение. Нормалью к поверхности в точке N0 называется прямая, проходящая через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

          В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

          Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М0(х0, у0), касательная плоскость в точке N0(x0,y0,(x0,y0)) существует и имеет уравнение:

.

          Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

          Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+Dх, у0+Dу).

          Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

          Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке М(1, 1, 1).

          Уравнение касательной плоскости:

          Уравнение нормали:

Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала

          Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:

          Если подставить в эту формулу выражение

то получим приближенную формулу:

          Пример.  Вычислить приближенно значение , исходя из значения функции  при x = 1, y = 2, z = 1.

          Из заданного выражения определим Dx = 1,04 – 1 = 0,04, Dy = 1,99 – 2 = -0,01,

Dz = 1,02 – 1 = 0,02.

          Найдем значение функции u(x, y, z) =

Находим частные производные:

Полный дифференциал функции u равен:

          Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.

Частные производные высших порядков

          Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные  и  тоже будут определены в той же области или ее части.

          Будем называть эти производные частными производными первого порядка.

Производные этих функций будут частными производными второго порядка.

Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков.

Определение. Частные производные вида и т.д. называются смешанными производными.

Экстремум функции нескольких переменных

          Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство

то точка М0 называется точкой максимума.

          Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство

то точка М0 называется точкой минимума.

          Теорема. (Необходимые условия экстремума).

Если функция f(x,y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю , либо хотя бы одна из них не существует.

          Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой.

          Теорема. (Достаточные условия экстремума).

          Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:

1)     Если D(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если

 - максимум, если  - минимум.

2)     Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума

В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.

Условный экстремум

          Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение

j(х, у) = 0, которое называется уравнением связи.

          Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, т.к. другая может быть выражена через нее из уравнения связи.

          Тогда u = f(x, y(x)).

В точках экстремума:

                                                             =0   

                                                                                                  (1)

Кроме того:

                                                                 

                                                                                                  (2)

Умножим равенство (2) на число l и сложим с равенством (1).

          Для выполнения этого условия во всех точках  найдем неопределенный коэффициент l так, чтобы выполнялась система трех уравнений:

          Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум.

          Выражение u = f(x, y) + lj(x, y) называется функцией Лагранжа.

 

 

          Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи:

2x + 3y – 5 = 0

          Таким образом, функция имеет экстремум в точке .

Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа.

Производная по направлению

Рассмотрим функцию  u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М1( x + Dx, y + Dy, z + Dz).

 Проведем через точки М и М1 вектор .  Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора .

          Расстояние между точками М и М1 на векторе  обозначим DS.

         

          Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:

                                                             z

                                                                              M                   

                                                                            

                                                                  

                                                                                                              M1

                                                                               

                                                                                               

                                                                                                                               y

                                x

          Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные  по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:

,

где величины  e1, e2, e3 – бесконечно малые  при .

          Из геометрических соображений очевидно:

          Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:

;

          Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление вектора .

          Из этого уравнения следует следующее определение:

          Определение: Предел   называется производной функции u(x, y, z) по направлению вектора  в точке с координатами ( x, y, z).

          Пример. Вычислить производную функции  z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).

Решение.   Прежде всего необходимо определить координаты вектора .

=(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2.

Далее определяем модуль этого вектора:

=

Находим частные производные функции z в общем виде:

Значения этих величин в точке А :

Для нахождения направляющих косинусов вектора  производим следующие преобразования:

=

За величину  принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.

Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора :

cosa = ;           cosb = -

Окончательно получаем:  - значение производной заданной функции по направлению вектора .

Градиент

          Определение: Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке

,

то этот вектор называется градиентом функции u.

          При этом говорят, что в области D задано поле градиентов.

Связь градиента с производной по направлению

          Теорема: Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов

.

Тогда производная  по направлению некоторого вектора  равняется проекции вектора gradu на вектор .

          Доказательство: Рассмотрим единичный вектор  и некоторую функцию u = u(x, y, z) и найдем скалярное произведение векторов  и gradu.

          Выражение, стоящее в правой части этого равенства является производной функции u по направлению s.

          Т.е. .  Если угол между векторами gradu и  обозначить через j, то скалярное произведение можно записать в виде произведения модулей этих векторов на косинус угла между ними. С учетом того, что вектор  единичный, т.е. его модуль равен единице, можно записать:

          Выражение, стоящее в правой части этого равенства и является проекцией вектора gradu на вектор .

          Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем, что градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего изменения  некоторого скалярного поля u в какой- либо точке. В физике существуют такие понятия как градиент температуры, градиент давления и т.п. Т.е. направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.

          С точки зрения геометрического представления  градиент перпендикулярен поверхности уровня функции.