Пример практического применения интервалов устойчивости.

Изменим условие задачи следующим образом:

а) содержание олова в новом сплаве не должно превосходить 15%;

Интервал устойчивости для олова – это 15% или 0,15 входят в этот интервал, следовательно двойственные оценки не изменятся и  оптимальное решение будет (при .

По третьей теореме двойственности найдём значение критерия при этом решении:

 =>

б) содержание цинка должно быть не менее 45%;

Интервал устойчивости для цинка - . Т.к. содержание цинка в сплаве должно быть не более 42%, а т.к. 0,45 не входит в интервал устойчивости двойственных оценок, то двойственные оценки и номера базисных переменных сменятся (

Решение недопустимое. Но если бы оно было допустимым, то оно было бы и оптимальным, а значит, оценки бы удовлетворяли критерию оптимальности. Полученное решение является псевдопланом и  можно использовать двойственный симплекс-метод.

Определим, какую из переменных выведем из базиса. В данном случае это будет единственная отрицательная переменная   стандартных преобразований однократного замещения получим новую симплекс-таблицу:

Как видим, оценки по-прежнему удовлетворяют критерию оптимальности и все базисные переменные неотрицательны, значит, решение допустимое и оптимальное. Новое решение задачи

в) в новом сплаве должно быть менее 40% олова и более 30% цинка;

Запишем область устойчивости двойственных оценок, учитывая новые изменения (; ):

Решение является допустимым, а значит, и оптимальным. Значение критерия найдём по третьей теореме двойственности:

 =>

г) менее 60% олова и более 40% цинка;

В данном случае изменения составляют: увеличение содержания олова на 30% и цинка на 30%, т.е  и

Решение недопустимое, но является псевдопланом, поэтому, руководствуясь рассуждениями, аналогичными пункту б), решим задачу двойственным симплекс-методом.

Оптимальная симплекс-таблица:

Получим следующее решение: 50% сырья №2 и 50% сырья №3.

Задача анализа дополнительно закупаемых объёмов ресурсов с целью обеспечения наибольшей эффективности планирования.

Предположим, что появилась возможность покупать сырьё у других поставщиков по более низкой цене: цинк по 2 у.е., а за олово и свинец, т.к. согласно экономическому смыслу задачи они являются "антиблагами", мы получаем большую доплату от их поставщика: 1,5 у.е. и 0,5 у.е. соответственно. Руководитель предприятия выделил на закупку ресурсов 3 у.е.

Решение:

По ранее полученным результатам мы знаем, что предприятие тратит минимум средств (5,28 у.е.) когда в полученном сплаве ровно 30% олова, 42% цинка и 28% свинца (будем считать для удобства, что для производства 10 тонн сплава необходимо 3 тонны олова, 4,2 тонны цинка и 2,8 тонн свинца). Т.к. олово и свинец мы получаем с доплатой, то возьмём их в полном объёме, необходимом для производства сплава. От "покупки" олова мы получим

Будем вести анализ закупок цинка. На первой итерации мы не закупаем цинк, т.к. в этом случае он бы приносил больше убытка (двойственная оценка равна нулю по сравнению с предлагаемой ценой в 2 у.е.). Решив новую задачу без производства олова и свинца, мы безусловно выйдем за границы области устойчивости двойственных оценок. Кроме того, сменится решение: двойственная оценка цинка увеличится до 3 и новое значение целевой функции понизится до 4 у.е. Вычтем из этих затрат на производство сплава доход от получения олова и цинка:

С увеличением двойственной оценки цинка становится выгодно покупать его. Но мы располагаем суммой денег только 3 у.е. и можем закупить на них 1,5 тонн вместо 2 необходимых. Теперь нам нужно производить только 0,5 тонны цинка. На второй итерации мы получаем такое же решение: критерий равен 4 у.е. и двойственная оценка цинка, которого мы производим 3 тонны, равна 4.

Таким образом, мы получили оптимальное решение расходования выделенных 3 у.е.: "закупать" с доплатой 4 тонны олова и 5 тонн свинца и покупать по цене 2 у.е. 1,5 тонны цинка. При таком плане предприятие получит прибыль от производства сплава в размере 1,9 у.е.

2.Анализ чувствительности оптимального решения задачи к изменению коэффициентов целевой функции.

Определим интервал устойчивости решения к изменению стоимости сырья, то есть, в каких пределах могут меняться цены на сырьё, чтобы план выпуска сплава не изменился. Для этого рассмотрим два случая: изменение цен (коэффициентов целевой функции) происходит на сырьё, использующееся при производстве сплава (базисные переменные) и не использующееся (свободные переменные).

1. Пусть, сначала, меняется цена второго и третьего ресурсов (базисные переменные).

а)

Тогда оптимальная симплекс-таблица будет иметь вид:

Для того, чтобы решение оставалось оптимальным, необходимо, чтобы все оценки были неположительными (для задачи на минимум):

 =>

Это значит, что цена первого ресурса может меняться от нуля (бесплатный, недефицитный ресурс) до 4,514 у.е. (отрицательный коэффициент в целевой функции в данном случае не имеет экономического смысла, т.к. свидетельствует о получении ресурса с доплатой. В этом случае ресурс выступает в роли антиблага). Критерий изменится на